С древних времен человек выработал представления о красоте. Красивы все творения природы. По-своему прекрасны люди, восхитительны животные и растения. Радует взор зрелище драгоценного камня или кристалла соли, сложно не любоваться снежинкой или бабочкой. Но почему так происходит? Нам кажется правильным и завершенным вид объектов, правая и левая половина которых выглядит одинаково, как в зеркальном отражении.

Видимо, первыми о сути красоты задумывались люди искусства. Древние скульпторы, изучавшие строение человеческого тела, еще в V веке до н.э. стали применять понятие «симметрия». Это слово имеет греческое происхождение и означает гармоничность, пропорциональность и похожесть расположения составляющих частей. Платон утверждал, что прекрасным может быть лишь то, что симметрично и соразмерно.

В геометрии и математике рассматриваются три вида симметрии: осевая симметрия (относительно прямой), центральная (относительно точки) и зеркальная (относительно плоскости).

Если каждая из точек объекта имеет в пределах него свое точное отображение относительно его центра - имеет место центральная симметрия. Ее примером являются такие геометрические тела, как цилиндр, шар, правильная призма и т.д.

Осевая симметрия точек относительно прямой предусматривает, что эта прямая пересекает середину отрезка, соединяющего точки, и перпендикулярна ему. Примеры биссектриса неразвернутого угла равнобедренного треугольника, любая прямая, проведенная через центр окружности, и т.д. Если свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.

При зеркальной симметрии точки объекта расположены одинаково относительно плоскости, что проходит через его центр.

Природа мудра и рациональна, поэтому почти все ее творения имеют гармоничное строение. Это относится и к живым существам, и к неодушевленным объектам. Для строения большинства форм жизни характерен один из трех видов симметрии: двусторонняя, лучевая или шаровидная.

Чаще всего осевая может наблюдаться у растений, развивающихся перпендикулярно поверхности почвы. В этом случае симметричность является результатом поворота идентичных элементов вокруг общей оси, находящейся в центре. Угол и частота их расположения могут быть разными. Примером служат деревья: ель, клен и другие. У некоторых животных осевая симметрия тоже встречается, но это бывает реже. Конечно, природе редко присуща математическая точность, но похожесть элементов организма все равно поразительна.

Биологами чаще рассматривается не осевая симметрия, а двусторонняя (билатеральная). Ее примером могут служить крылья бабочки или стрекозы, листья растений, лепестки цветов и т.д. В каждом случае правая и левая части живого объекта равны и представляют собой зеркальное отображение друг друга.

Шаровидная симметрия характерна для плодов многих растений, для некоторых рыб, моллюсков и вирусов. А примерами лучевой симметрии являются некоторые виды червей, иглокожие.

В глазах человека несимметричность чаще всего ассоциируется с неправильностью или ущербностью. Поэтому в большинстве творений людских рук прослеживается симметричность и гармония.

Симметрия в природе является объективным свойством, одним из основных в современном естествознании. Это универсальная и общая характеристика нашего материального мира.

Симметрия в природе - это понятие, которое отражает существующий в мире порядок, соразмерность и пропорциональность между элементами различных систем или объектов природы, равновесие системы, упорядоченность, устойчивость, то есть определенный

Симметрия и асимметрия - понятия противоположные. Последнее отражает разупорядочение системы, отсутствие равновесия.

Формы симметрий

Современное естествознание определяет ряд симметрий, отражающих свойства иерархии отдельных уровней организации материального мира. Известны различные виды или формы симметрий:

• пространственно-временные;
• калибровочные;
• изотопические;
• зеркальные;
• перестановочные.

Все перечисленные виды симметрий можно подразделить на внешние и внутренние.

Внешняя симметрия в природе (пространственная или геометрическая) представлена огромным многообразием. Это относится к кристаллам, живым организмам, молекулам.

Внутренняя симметрия скрыта от наших глаз. Она проявляется в законах и математических уравнениях. Например, уравнение Максвелла, определяющее взаимосвязь магнитных и электрических явлений, или свойство гравитации Эйнштейна, связывающее пространство, время и тяготение.

Для чего нужна симметрия в жизни?

Симметрия в живых организмах была сформирована в процессе эволюции. Самые первые организмы, зародившиеся в океане, имели идеальную сферическую форму. Для того чтобы внедриться в иную среду, им приходилось адаптироваться к новым условиям.

Одним из способов подобной адаптации является симметрия в природе на уровне физических форм. Симметричным расположением частей тела обеспечивается равновесие при движении, жизнестойкость и адаптация. Внешние формы человека и крупных животных имеют довольно симметричный вид. В растительном мире тоже присутствует симметрия. Например, конусообразная форма кроны ели имеет симметричную ось. Это вертикальный ствол, для устойчивости утолщенный книзу. Также симметрично по отношению к нему расположены отдельные ветви, а форма конуса позволяет рационально использовать кроной солнечной энергии. Внешняя симметрия животных помогает им сохранять равновесие при движении, обогащаться энергией из окружающей среды, используя ее рационально.

В химических и физических системах симметрия присутствует тоже. Так, наиболее устойчивыми являются молекулы, которые обладают высокой симметрией. Кристаллы - это высокосимметричные тела, в их структуре периодически повторяются три измерения элементарного атома.

Асимметрия

Иногда внутреннее расположение органов в живом организме бывает асимметричным. Например, сердце располагается у человека слева, печень - справа.

Растения в процессе жизнедеятельности из почвы поглощают химические минеральные соединения из молекул симметричной формы и в своем организме преобразуют их в асимметричные вещества: белки, крахмал, глюкозу.

Асимметрия и симметрия в природе - это две противоположные характеристики. Это категории, которые всегда находятся в борьбе и единстве. Разные уровни развития материи могут носить свойства то симметрии, то асимметрии.

Если предположить, что равновесие является состоянием покоя и симметрии, а движение и неравновесное вызвано асимметрией, то можно сказать, что понятие равновесия в биологии не менее важно, чем в физике. Биологическая характеризуется принципом устойчивости термодинамического равновесия Именно асимметрию, которая является устойчивым динамическим равновесием, можно считать ключевым принципом при решении проблемы зарождения жизни.

К понятию о симметрии мы привыкаем с детства. Мы знаем, что симметрична бабочка: у неё одинаковы правое и левое крылышки; симметрично колесо, секторы которого одинаковы; симметричны узоры орнаментов, звёздочки снежинок.

Проблеме симметрии посвящена поистине необозримая литература. От учебников и научных монографий до произведений, обращающих внимание не столько на чертежи и формулы, сколько на художественные образы.

Сам термин "симметрия" по-гречески означает "соразмерность", которую древние философы понимали как частный случай гармонии - согласования частей в рамках целого. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С ней мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство. Она многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию. Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир, именно поэтому выбранная мной тема всегда будет актуальной.

Симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то, несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям – к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т. д. В связи с этим выделяют разные виды симметрии. Рассмотрим все виды более подробно.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ.

Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией (зеркальным отражением относительно прямой).

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А1.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется её осью симметрии.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ.

Фигура называется центрально-симметричной, если существует точка, относительно которой каждая точка фигуры симметрична некоторой точке той же фигуры. А именно: движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией.

Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т. д.

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии. Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

1. ПОВОРОТ

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α - углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра. Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось бесконечно высокого порядка.

2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса достаточно задать вектор а.

3. СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия параллельный перенос. Скользящая симметрия - изометрия евклидовой плоскости. Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (этот вектор может быть и нулевым).

Скользящую симметрию можно представить в виде композиции 3 осевых симметрий (теорема Шаля).

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки.

Иммануил Кант.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. Такую симметрию называют зеркальной. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его отражение в плоском зеркале. Два симметричных тела не могут быть «вложены друг в друга», так как в сравнении с самим объектом его зазеркальный двойник оказывается, вывернутым вдоль направления, перпендикулярного плоскости зеркала.

Симметричные фигуры при всем их сходстве существенно отличаются друг от друга. Наблюдаемый в зеркале двойник не является точной копией самого объекта. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у зазеркального двойника на левой. Поднесите к зеркалу книгу, – и вы увидите, что буквы как бы вывернуты наизнанку. В зеркале всё переставлено справа налево.

Зеркально равными телами называются тела, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела.

2. 2 Симметрия в природе

Фигура обладает симметрией, если существует движение (преобразование не тождественное), переводящее ее в себя. Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переводится в себя некоторым поворотом. Но в природе с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство. Этот порядок являющийся закономерной необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой зиждется все мироздание.

Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование.

Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.

Говоря о роли симметрии в процессе научного познания, следует особо выделить применение метода аналогий. По словам французского математика Д. Пойа, "не существует, возможно, открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни, пожалуй, в любой другой области, которые могли быть сделаны без аналогий".В основе большинства этих аналогий лежат общие корни, общие закономерности, которые проявляются одинаковым образом на разных уровнях иерархии.

Итак, в современном понимании симметрия - это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов.

Симметрия в мире растений

Специфика строения растений определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т. е, наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы; по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступает воздух, свет, влага.

Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и вертикальные плоскости симметрии.

Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам приходится учитывать их осевую симметрию. Средняя жилка для листа служит осью симметрии. Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины).

В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у многих полевых цветов (колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой, лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша, мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника, малина, калина, черемуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.

Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой". Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.

В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет: «На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией».

В природе существуют тела, обладающие винтовой симметрией, то есть совмещением со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополнительным сдвигом вдоль той же оси.

Если - рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

Листья на стебле расположены не по прямой, а окружают ветку по спирали. Сумма всех предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага А+В=С, В+С=Д и т. д.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное, ботаническое явление носит название филлотаксиса (буквально «устроение листа»).

Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.

Симметрия в мире животных

Значение формы симметрии для животного легко понять, если поставить её в связь с образом жизни, экологическими условиями. Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.

Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире. Это симметрия, при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг поворотной оси 5 раз. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа. Вся кожа морских звёзд как бы инкрустирована мелкими пластинками из углекислого кальция, от некоторых пластинок отходят иглы, часть которых подвижна. Обычная морская звезда обладает 5 плоскостями симметрии и 1 осью вращения 5-ого порядка (это самая высокая симметрия среди животных). Ее предки, по-видимому, имели более низкую симметрию. Об этом свидетельствует, в частности, строение личинок звезды: они, как и большинство живых существ, в том числе человек, обладают лишь одной плоскостью симметрии. Морские звезды не имеют горизонтальной плоскости симметрии: у них есть «верх» и «низ». Морские ежи похожи на живые подушечки для булавок; шаровидное тело их несёт длинные и подвижные иголки. У этих животных известковые пластинки кожи слились и образовали сферическую раковину панцирь. В центре нижней поверхности имеется рот. Амбулакральные ножки (воднососудистая система) собраны в 5 полос на поверхности раковины.

Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко.

Для насекомых, рыб, яиц, животных характерно несовместимое с поворотной симметрией различие между направлениями «вперед» и «назад».

Направление движения является принципиально выделенным направлением, относительно которого нет симметрии у любого насекомого, любой птицы или рыбы, любого животного. В этом направлении животное устремляется за пищей, в этом же направлении оно спасается от преследователей.

Кроме направления движения симметрию живых существ определяет еще одно направление - направление силы тяжести. Оба направления существенны; они задают плоскость симметрии животного существа.

Билатеральная (зеркальная) симметрия - характерная симметрия всех представителей животного мира. Эта симметрия хорошо видна у бабочки. Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.

Можно сказать, что каждое животное (а также насекомое, рыба, птица) состоит из двух энантиоморфов - правой и левой половин. Энантиоморфами являются также парные детали, одна из которых попадает в правую, а другая в левую половину тела животного. Так, энантиоморфами являются правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т. д.

Упрощение условий жизни может привести к нарушению двусторонней симметрии, и животные из двусторонне-симметричных становятся радиально-симметричными. Это относится к иглокожим (морские звёзды, морские ежи, морские лилии). Все морские животные имеют радиальную симметрию, при которой части тела отходят по радиусам от центральной оси, подобно спицам колеса. Степень активности животных коррелирует с их типом симметрии. Радиально симметричные иглокожие обычно мало подвижны, перемещаются медленно или же прикреплены к морскому дну. Тело морской звезды состоит из центрального диска и 5-20 или большего числа радиально отходящих от него лучей. На математическом языке эту симметрию называют поворотной симметрией.

Отметим, наконец, зеркальную симметрию человеческого тела (речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы.

Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе.

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

Наша собственная зеркальная симметрия очень удобна для нас, она позволяет нам двигаться прямолинейно и с одинаковой лёгкостью поворачиваться вправо и влево. Столь же удобна зеркальная симметрия для птиц, рыб и других активно движущихся существ.

Двусторонняя симметрия означает, что одна сторона тела животного представляет собой зеркальное отражение другой стороны. Такой тип организации характерен для большинства беспозвоночных, в особенности для кольчатых червей и для членистоногих – ракообразных, паукообразных, насекомых, бабочек; для позвоночных – рыб, птиц, млекопитающих. Впервые двусторонняя симметрия появляется у плоских червей, у которых передний и задний концы тела различаются между собой.

Рассмотрим ещё один тип симметрии, который встречается в животном мире. Это винтовая или спиральная симметрия. Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси поворота, т. е. идёт перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта.

Примерами природных винтов являются: бивень нарвала (небольшого китообразного, обитающего в северных морях) – левый винт; раковина улитки – правый винт; рога памирского барана – энантиоморфы (один рог закручен по левой, а другой по правой спирали). Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина у моллюсков сужается или расширяется на конце. Хотя внешняя спиральная симметрия у многоклеточных животных встречается редко, зато спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты - ДНК.

Симметрия в неживой природе

Симметрия кристаллов - свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

Рассмотрим внимательно многогранные формы кристаллов. Прежде всего, видно, что кристаллы разных веществ отличаются друг от друга по своим формам. Каменная соль - это всегда кубики; горный хрусталь - всегда шестигранные призмы, иногда с головками в виде трехгранных или шестигранных пирамид; алмаз - чаще всего правильные восьмигранники (октаэдры); лед - шестигранные призмочки, очень похожие на горный хрусталь, а снежинки - всегда шестилучевые звездочки. Что бросается в глаза, когда смотришь на кристаллы? Прежде всего, их симметрия.

Многие думают, что кристаллы - это красивые, редко встречающиеся камни. Они бывают разных цветов, обычно прозрачные и, что самое замечательное, обладают красивой правильной формой. Чаще всего кристаллы представляют собой многогранники, стороны (грани) их идеально плоские, рёбра строго прямые. Они радуют глаз чудесной игрой света в гранях, удивительной правильностью строения.

Однако кристаллы - совсем не музейная редкость. Кристаллы окружают нас повсюду. Твёрдые тела, из которых мы строем дома и станки, вещества, которые мы употребляем в быту, - почти все они относятся к кристаллам. Почему же мы этого не видим? Дело в том, что в природе редко попадаются тела в виде отдельных одиночных кристаллов (или как говорят монокристаллов). Чаще всего вещество встречается в виде прочно сцепившихся кристаллических зёрнышек уже совсем малого размера - меньше тысячной доли миллиметра. Такую структуру можно увидеть лишь в микроскоп.

Тела, состоящие из кристаллических зёрнышек, называются мелкокристаллическими, или поликристаллическими ("поли" - по-гречески "много").

Конечно, к кристаллам надо отнести и мелкокристаллические тела. Тогда окажется, что почти все окружающие нас твёрдые тела - кристаллы. Песок и гранит, медь и железо, краски - всё это кристаллы.

Есть и исключения; стекло и пластмассы не состоят из кристалликов. Такие твёрдые тела называются аморфными.

Изучать кристаллы - это значит изучать почти все окружающие нас тела. Понятно, как это важно.

Одиночные кристаллы сразу же узнают по правильности форм. Плоские грани и прямые рёбра являются характерным свойством кристалла; правильность формы несомненно связана с правильностью внутреннего строения кристалла. Если кристалл в каком-то направлении особо вытянулся, значит, и строение кристалла в этом направлении какое-то особенное.

Есть центр симметрии и в кубике каменной соли, и в восьмиграннике алмаза, и в звёздочке снежинки. А вот в кристаллике кварца центра симметрии нет.

Наиболее точная симметрия осуществляется в мире кристаллов, но и здесь она неидеальная: невидимые глазом трещинки, царапины всегда делают равные грани слегка отличными друг от друга.

Все кристаллы симметричны. Это значит, что в каждом кристаллическом многограннике можно найти плоскости симметрии, оси симметрии, центр симметрии или другие элементы симметрии так, чтобы совместились, друг с другом одинаковые части многогранника.

Все элементы симметрии повторяют одинаковые части фигуры, все придают ей симметричную красоту и завершенность, но центр симметрии, - самый интересный. От того, есть ли в кристалле центр симметрии или нет его, могут зависеть не только форма, но и очень многие физические свойства кристалла.

Соты - настоящий конструкторский шедевр. Они состоят из ряда шестигранных ячеек. Это самая плотная упаковка, позволяющая наивыгоднейшим образом разместить в ячейке личинку и при максимально возможном объеме наиболее экономно использовать строительный материал-воск.

III Заключение

Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты Она, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.

Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира. Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.

Итак, на плоскости мы имеем четыре вида движений, переводящих фигуру F в равную фигуру F1:

1) параллельный перенос;

2) осевая симметрия (отражение от прямой);

3) поворот вокруг точки (Частичный случай – центральная симметрия);

4) «скользящее» отражение.

В пространстве к вышеперечисленным видам симметрии добавляется зеркальная.

Считаю, что цель, поставленная в реферате, достигнута. При написании реферата наибольшей сложностью для меня стали собственные выводы. Думаю, что моя работа поможет школьникам расширить представление о симметрии. Надеюсь, что мой реферат войдет в методический фонд кабинета математики.

«Математическая симметрия» - Типы симметрии. Симметрия в математике. ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ В МАТЕМАТИКЕ. В стихах рифма представляет собой поступательную симметрию. Симметрия в химии и физике. Физическая симметрия. В х и м и и. Двусторонняя симметрия. Роль симметрии в мире. Спиральная симметрия. Симметрия в химии.

«Орнамент» - Виды орнамента. Геометрический. а) Внутри полосы. 1 2 3. Создание орнамента с помощью осевой симметрии и параллельного переноса. 2011. Преобразования, используемые для создания орнамента: Плоскостной. в) С двух сторон полосы. Поворот.

«Движение в геометрии» - Движение в геометрии. К каких науках применяется движение? Понятие движения Осевая симметрия Центральная симметрия. В какую фигуру при движении переходит отрезок, угол и др.? Назовите примеры движения. Что называется движением? Как движение используется в различных сферах деятельности человека? Математика красива и гармонична!

«Симметрия в природе» - Мы занимаемся в школьном научном обществе потому, что любим познавать что-то новое и неизвестное. В 19 веке, в Европе, появились единичные работы, посвящённые симметрии растений. Симметрия в природе и в жизни. Одним из основных свойств геометрических фигур является симметрия. Работу выполнили: Жаворонкова Таня Николаева Лера Руководитель: Артёменко Светлана Юрьевна.

«Симметрия вокруг нас» - Вращения (поворотная). Центральная относительно точки. Вращения. Симметрия на плоскости. Осевая симметрия относительно прямой. Вокруг нас. Симметрия в пространстве. Горизонтальная. Симметрия властвует. Зеркальная. Два вида симметрии. Все виды осевой симметрии. Греческое слово симметрия означает «пропорциональность», «гармония».

«Точка симметрии» - Примеры вышеупомянутых видов симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник. С симметрией мы встречаемся в природе, быту, архитектуре и технике. Симметрия в архитектуре. Симметрия в природе. Симметрия плоских фигур. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют две оси симметрии.

Всего в теме 32 презентации

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 55

СОВЕТСКОГО РАЙОНА ГОРОД ВОРОНЕЖ

Научно-исследовательская работа

на тему:

«Симметрия в жизни человека»

Выполнил ученик

8 «Б» класса:

Митин Алексей

Руководитель:

учитель математики

Беляева М.В.

Воронеж, 2015г.

Оглавление:

1. 
   Актуальность темы.
2. 
   Симметрия и её виды.
3. 
   Симметрия в искусстве.
   1. 
      Архитектура;
   2. 
      Живопись;
   3. 
      Литература и музыка.
4. 
   Симметрия и техника.
5. 
   Симметрия в разных науках.
   1. 
      Биология;
   2. 
      Физика;
   3. 
      Химия.
6. 
   Выводы.
7. 
   Используемая литература.

Актуальность темы.

В основе красоты многих форм лежит симметрия или её виды. Эта тема очень обширна и затрагивает помимо математики многие другие области наук, искусства, техники. Именно симметрия преобладает в природе над асимметрией. Представить или вспомнить какое-нибудь асимметричное животное сможет не каждый, ведь их не много и в основном это различные бактерии или простейшие организмы, а так же животные, которые получили свойство асимметрии из-за необходимости. Познание природы и жизни – первая задача человека. И одной из главных ступеней к этой цели является познание симметрии.

Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Герман Вейль

Цели исследования:

• 
  изучить понятия симметрии и её видов (центральная, осевая, поворотная, зеркальная и др.),
• 
  провести исследования по изучению явлений симметрии в биологии, физике, архитектуре, живописи, литературе, транспорте и технике;
• 
  приобретение навыков самостоятельной работы с большими объемами информации.

Симметрия и её виды.

Понятие симметрии начало складываться очень давно. Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Сейчас она широко используется во многих направлениях современной науки.

Симметрия – это соразмерность, пропорциональность в расположении частей чего-нибудь по обе стороны от центра.

На протяжении веков симметрия остается предметом, который очаровывает философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были совершенно одержимы ею – и даже сегодня мы, как правило, сталкиваемся с симметрией во всем от расположения мебели до стрижки волос.

Различают три основных вида симметрии: зеркальная, осевая и центральная. Так же есть скользящая, винтовая, точечная, поступательная, фрактальная и другие виды симметрии.

Осевая симметрия: две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки и перпендикулярна к нему. Каждая точка этой прямой считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Также говорят, что фигура обладает осевой симметрией. Классическими фигурами с такой симметрией будут круг, прямоугольник, ромб, квадрат, причём они будут иметь по несколько осей симметрии. Под осевой симметрией так же в естественных науках принимают вращательную или радиальную симметрию - форма симметрии, при которой фигура совпадает сама с собой при вращении объекта вокруг определённой прямой. Центром симметрии объекта называют прямую, на которой пересекаются все оси двусторонней симметрии. Радиальной симметрией обладают такие геометрические объекты, как круг, шар, цилиндр или конус.

Центральная симметрия: две точки A и A 1 называются симметричными относительно точки O, если O – середина отрезка AA 1 . Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки O также принадлежит этой фигуре. Точка O называется центром симметрии фигуры. Это означает, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих этой симметрией, будут окружность и параллелограмм. Центр симметрии окружности является центр этой окружности, а центром параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Самый простой пример, который я могу привести - растения, почти в любых растениях можно найти часть, обладающую центральной или осевой симметрией, но при этом сам цветок будет обладать центральной симметрии только в случае чётного количества лепестков.

Зеркальной симметрией называют такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей относительно этой плоскости α точку M 1. Когда мы смотрим в зеркало, мы наблюдаем в нём своё отражение – это пример «зеркальной» симметрии. Зеркальное отражение - это пример так называемого «ортогонального» преобразования, изменяющего ориентацию. Я думаю, отражение в реке также будет хорошим примером зеркальной симметрии. Эту симметрию так же называют в других науках билатеральной и двусторонней. Она особенно заметна в архитектуре, а так же в животном мире. Человек так же обладает ей и если мысленно провести линию по центру, то правая часть будет соответствовать левой.

Симметрия в искусстве.

Мы восхищаемся красотой окружающего мира и не задумываемся, что лежит в основе этой красоты. Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. Симметрия в искусстве играет огромную роль и почти не в одном архитектурном сооружении не обходится без неё.

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. В ней тесно связанны и строго уравновешены наука, техника, искусство. Люди всегда стремились достичь гармонии в архитектуре. Благодаря этому стремлению на свет появлялись всё новые изобретения, конструкции и стили. Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счёт хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура XX века» он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимность. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит, внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота. Зеркальной симметрии подчинены постройки Древнего Египта, амфитеатры, триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры. Симметрия сооружения связывается с организацией его функций. Проекция плоскости симметрии - ось здания - определяет обычно размещение главного входа и начало основных потоков движения. Школа, в которой я учусь, так же обладает этим типом симметрии.

В искусстве существует математическая теория живописи. Это теория перспективы. Перспектива - это учение о том, как передать на плоском листе бумаги ощущение глубины пространства, то есть передать окружающим мир таким, как мы его видим. Она основано на соблюдении нескольких законов. Законы перспективы заключаются в том, что чем дальше от нас находится предмет, тем он нам кажется меньше, совсем нечетким, на нем меньше деталей, основание его выше. Симметричная композиция легко воспринимается зрителем, сразу привлекая внимание к центру картины, в котором и находится то главное, относительно которого разворачивается действие. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

В музыке и литературе так же наблюдается симметрия и определённые пропорции. Например, во второй половине XIX века анализируя произведения Баха, Э.К. Розенов пришёл к выводу, что в них «господствуют закон золотого сечения и закон симметрии». В его исследовании золотое сечение рассматривается как условие соразмерности музыкального произведения, при этом золотое сечение должно решать три задачи: 1) Устанавливать соразмерное отношение между целым и его частями; 2) быть особым местом удовлетворения подготовленного ожидания по отношению к целому и его частям; 3) направлять внимание слушателя на те места музыкального произведения, которым автор придаёт наиболее большее значение в связи с основной идеей произведения. В работе М.А. Марутаева золотое сечение, на ряду с так называемыми качественной и нарушенной симметрией, расценивается как предпосылка гармонии к музыке. Работы, посвящённые исследованию золотого сечения в музыке, играют важную роль в постижении специфики музыкального искусства. Самый распространённый вид симметрии в музыке - это трансляционный вид. В этом случае музыкальная фраза, мелодия или более крупные отрывки музыкального произведения повторяются, оставаясь неизменными. Все песни, в которых припев повторяется несколько раз, будут иметь этот вид симметрии.

Пропорция и симметрия объекта всегда необходима нашему зрительному восприятию, для того чтобы мы могли считать этот объект красивым. Баланс и пропорция частей, относительно целого, обязательны для симметрии. Смотреть на симметричные изображения приятней, нежели на асимметричные. Трудно найти человека, не любовавшегося орнаментами. В них можно обнаружить затейливое сочетание разных типов симметрии.

Симметрия в технике.

Технические объекты – самолёты, автомашины, ракеты, молотки, гайки – практически все они от самых малых технических приборов до громадных ракет обладают той или иной симметрией и это не случайно. В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. Любой станок, машина, прибор, механизм, узел должны компоноваться вокруг установленной симметрии. На заре развития авиации наши знаменитые учёные Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин исследовали полёт птиц, чтобы сделать выводы относительно лучшей формы крыла и условий его полёта. Большую роль в этом сыграла, конечно, симметрия. Даже современные боевые истребители, такие как Су-27, МиГ-29 и Т-50 в основе своей спроектированы по законам симметрии.

Симметрия в разных науках.

Все представители животного царства – млекопитающие, птицы, рыбы, насекомые, черви, паукообразные и др. в своих внешних формах и строении своего скелета демонстрируют нам зеркальную симметрию, т. е. равенство правого и левого. Рассматривая любое из этих живых существ, мы можем мысленно провести через него вертикальную плоскость, относительно которой то, что расположено справа будет зеркальным отражением того, что расположено слева, и наоборот. Равенство это выполняется не с точностью до долей миллиметра, может быть, и не до миллиметра, но, тем не менее, с некоторой степенью приближения, зеркальная симметрия налицо. Зрительно мы воспринимаем живые организмы как симметричные. Под отражениями понимают любые зеркальные отражения - в точке, линии, плоскости. Воображаемая плоскость, которая делит фигуры на две зеркальные половины, называется плоскостью симметрии. Бабочка, лист растения – самые простые примеры фигур обладающих лишь одной плоскостью симметрии, делящей ее на две зеркально равные части. Поэтому данный вид симметрии в биологии называется двусторонней или билатеральной. Полагают, что такая симметрия связана с различиями движений организмов вверх - вниз, вперед - назад, тогда как их движения направо - налево совершенно одинаковы. Нарушение билатеральной симметрии неизбежно приводит к торможению движения одной из сторон и изменению поступательного движения. Поэтому не случайно активно подвижные животные двусторонне симметричны. Но такой вид симметрии встречается и у неподвижных организмов и их органов. Она возникает в этом случае вследствие неодинаковости условий, в которых находятся прикрепленная и свободная стороны. По-видимому, так объясняется билатеральность некоторых листьев, цветков и лучей коралловых полипов. Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Поворотная симметрия – это такая симметрия, при котором объект совмещается сам с собой при повороте на 360°/n. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы. Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой". Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Дальнейшие наши поиски были сосредоточены на центральной симметрии. Она наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, но мы остановились на ягодах: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки.

Симметрия – одно из фундаментальных понятий в современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных физических теорий. Симметрии, учитываемые в физике, довольно разнообразны, некоторые из них в современной физике считаются точными, другие – лишь приближёнными. В 1918 году немецкий математик Нётер доказала теорему, согласно которой каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Наличие этой теоремы позволяет проводить анализ физической системы на основе имеющихся данных о симметрии, которой эта система обладает. Из неё, например, следует, что симметричность уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии; симметричность относительно сдвигов в пространстве - к закону сохранения импульса; симметричность относительно вращений - к закону сохранения момента импульса. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях, которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией относительно данных преобразований.

Суперсимметрия - гипотетическая симметрия, связывающая бозоны и фермионы в природе. Абстрактное преобразование суперсимметрии связывает бозонное и фермионное квантовые поля, так что они могут превращаться друг в друга. Образно можно сказать, что преобразование суперсимметрии может переводить вещество во взаимодействие (или в излучение), и наоборот. По состоянию на 2015 год суперсимметрия является физической гипотезой, не подтверждённой экспериментально. Совершенно точно установлено, что наш мир не является суперсимметричным в смысле точной симметрии, так как в любой суперсимметричной модели фермионы и бозоны, связанные суперсимметричным преобразованием, должны обладать одинаковыми массой, зарядом и другими квантовыми числами. Данное требование не выполняется для известных в природе частиц. Независимо от существования суперсимметрии в природе, математический аппарат суперсимметричных теорий оказывается полезным в самых различных областях физики. В частности, суперсимметричная квантовая механика позволяет находить точные решения весьма нетривиальных уравнений Шрёдингера. Суперсимметрия оказывается полезной в некоторых задачах статистической физики.

Симметрия в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул. Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. Обычный способ изображения молекул в органической химии - это структурные формулы. В 1810 году Д.Дальтон, желая показать своим слушателям как атомы, комбинируясь, образуют химические соединения, построил деревянные модели шаров и стержней. Эти модели оказались превосходным наглядным пособием. Молекула воды и водорода имеет плоскость симметрии. Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения.

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией. Кристалл - это твердое тело, имеющее естественную форму многогранника. Соль, лед, песок и т.д. состоят из кристаллов. Прежде всего, Ромэ-Делиль подчёркивал правильную геометрическую форму кристаллов исходя из закона постоянства углов между их гранями. Он писал: «К разряду кристаллов стали относить все тела минерального царства, для которых находили фигуру геометрического многогранника…» Правильная форма кристаллов возникает по двум причинам. Во-первых, кристаллы состоят из элементарных частичек - молекул, которые сами имеют правильную форму. Во-вторых, «такие молекулы имеют замечательное свойство соединяться между собой в симметричном порядке». Почему же так красивы и привлекательны кристаллы? Их физические и химические свойства определяются их геометрическим строением.

Вывод.

Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всём многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт ещё раз подчеркивает гармоничность нашего мира. Человеческое представление о красивом формируется под влиянием того, что человек видит в живой природе. В своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И человек в живописи, скульптуре, архитектуре, музыке применяет эти же принципы. Основополагающими принципами красоты при этом являются пропорции и симметрия. Без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому. Ведь это именно на симметрии основаны многие законы. Почти во всём, что нас окружает, есть та или иная симметрия. О ней можно говорить бесконечно. Симметрия, проявляясь в самых различных объектах природного мира, несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Поэтому изучение симметрии и сопоставление с результатами является удобным и надежным инструментом познания гармонии мира.

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель

Используемая литература.

• 
  ru.wikipedia.org
• 
  www.allbest.ru
• 
  www.900igr.net
• 
  Тарасов Л. В. Этот удивительный симметричный мир – М.: Просвещение, 1982.
• 
  Урманцев Ю.А. Симметрия в природе и природа симметрии – М.: Мысль, 1974.
• 
  Ожегов С.И. Словарь русского языка – М.: Рус. Яз., 1984.
• 
  Л.С. Атанасян Геометрия, 7-9 – М.: Просвещение, 2010.
• 
  Л.С. Атанасян Геометрия, 10-11 – М.: Просвещение, 2013.
• 
  Вейль Г. Симметрия. Перевод с английского Б.В. Бирюкова и Ю.А. Данилова – М.: Издательство «Наука», 1968.