Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи. Альберт Эйнштейн

В данной статье мы предлагаем вам подборку простых математических приёмов, многие из которых довольно актуальны в жизни и позволяют считать быстрее.

1. Быстрое вычисление процентов

Пожалуй, в эпоху кредитов и рассрочек наиболее актуальным математическим навыком можно назвать виртуозное вычисление процентов в уме. Самым быстрым способом вычислить определённый процент от числа является умножение данного процента на это число с последующим отбрасыванием двух последних цифр в получившемся результате, ведь процент есть не что иное, как одна сотая доля.

Сколько составляют 20% от 70? 70 × 20 = 1400. Отбрасываем две цифры и получаем 14. При перестановке множителей произведение не меняется, и если вы попробуете вычислить 70% от 20, то ответ также будет 14.

Данный способ очень прост в случае с круглыми числами, но что делать, если надо посчитать, к примеру, процент от числа 72 или 29? В такой ситуации придётся пожертвовать точностью ради скорости и округлить число (в нашем примере 72 округляется до 70, а 29 до 30), после чего воспользоваться тем же приёмом с умножением и отбрасыванием двух последних цифр.

2. Быстрая проверка делимости

Можно ли поровну поделить 408 конфет между 12 детьми? Ответить на этот вопрос легко и без помощи калькулятора, если вспомнить простые признаки делимости, которые нам преподавали ещё в школе.

• Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
• Число делится на 3, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 3. Например, возьмём число 501, представим его как 5 + 0 + 1 = 6. 6 делится на 3, а значит, и само число 501 делится на 3.
• Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Например, берём 2 340. Последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4.
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.
• Число делится на 9, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 9. Например, возьмём число 6 390, представим его как 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9, а значит, и само число 6 390 делится на 9.
• Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

3. Быстрое вычисление квадратного корня

Квадратный корень из 4 равен 2. Это посчитает любой. А как насчёт квадратного корня из 85?

Для быстрого приблизительного решения находим ближайшее к заданному квадратное число, в данном случае это 81 = 9^2.

Теперь находим следующий ближайший квадрат. В данном случае это 100 = 10^2.

Корень квадратный из 85 находится где-то в интервале между 9 и 10, а поскольку 85 ближе к 81, чем к 100, то квадратный корень этого числа будет 9 с чем-то.

4. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится

Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».

Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.

Почему именно 72 (иногда берут 70 или 69) ? Как это работает? На эти вопросы развёрнуто ответит «Википедия».

5. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится

В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.

6. Быстрое вычисление почасовой ставки

Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час?

Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.

360 000 превращается в 360 ÷ 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.

7. Продвинутая математика на пальцах

Ваши пальцы способны на гораздо большее, нежели простые операции сложения и вычитания.

С помощью пальцев можно легко умножать на 9, если вы вдруг забыли таблицу умножения.

Пронумеруем пальцы на руках слева направо от 1 до 10.

Если мы хотим умножить 9 на 5, то загибаем пятый палец слева.

Теперь смотрим на руки. Получается четыре несогнутых пальца до согнутого. Они обозначают десятки. И пять несогнутых пальцев после согнутого. Они обозначают единицы. Ответ: 45.

Если мы хотим умножить 9 на 6, то загибаем шестой палец слева. Получим пять несогнутых пальцев до согнутого пальца и четыре после. Ответ: 54.

Таким образом можно воспроизвести весь столбик умножения на 9.

8. Быстрое умножение на 4

Существует чрезвычайно лёгкий способ молниеносного умножения даже больших чисел на 4. Для этого достаточно разложить операцию на два действия, умножив искомое число на 2, а затем ещё раз на 2.

Посмотрите сами. Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 × 2 = 2446 и далее 2446 × 2 = 4892. Так гораздо проще.

9. Быстрое определение необходимого минимума

Представьте, что вы проходите серию из пяти тестов, для успешной сдачи которых вам необходим минимальный балл 92. Остался последний тест, а по предыдущим результаты таковы: 81, 98, 90, 93. Как вычислить необходимый минимум, который нужно получить в последнем тесте?

Для этого считаем, сколько баллов мы недобрали/перебрали в уже пройденных тестах, обозначая недобор отрицательными числами, а результаты с запасом - положительными.

Итак, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Сложив эти числа, получаем корректировку для необходимого минимума: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Получается дефицит в 6 баллов, а значит, необходимый минимум увеличивается: 92 + 6 = 98. Дела плохи. :(

10. Быстрое представление значения обыкновенной дроби

Примерное значение обыкновенной дроби можно очень быстро представить в виде десятичной дроби, если предварительно приводить её к простым и понятным соотношениям: 1/4,1/3, 1/2 и 3/4.

К примеру, у нас есть дробь 28/77, что очень близко к 28/84 = 1/3, но поскольку мы увеличили знаменатель, то изначальное число будет несколько больше, то есть чуть больше, чем 0,33.

11. Трюк с угадыванием цифры

Можно немного поиграть в Дэвида Блэйна и удивить друзей интересным, но очень простым математическим трюком.

1. Попросите друга загадать любое целое число.
2. Пусть он умножит его на 2.
3. Затем прибавит к получившемуся числу 9.
4. Теперь пусть отнимет 3 от получившегося числа.
5. А теперь пусть разделит получившееся число пополам (оно в любом случае разделится без остатка).
6. Наконец, попросите его вычесть из получившегося числа то число, которое он загадал в начале.

Ответ всегда будет 3.

Да, очень тупо, но часто эффект превосходит все ожидания.

Бонус

И, конечно же, мы не могли не вставить в этот пост ту самую картинку с очень крутым способом умножения.

"Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи" .
Альберт Эйнштейн

1. Быстрое вычисление процентов

Пожалуй, в эпоху кредитов и рассрочек наиболее актуальным математическим навыком можно назвать виртуозное вычисление процентов в уме. Самым быстрым способом вычислить определённый процент от числа является умножение данного процента на это число с последующим отбрасыванием двух последних цифр в получившемся результате, ведь процент есть не что иное, как одна сотая доля.

Сколько составляют 20% от 70? 70 × 20 = 1400. Отбрасываем две цифры и получаем 14. При перестановке множителей произведение не меняется, и если вы попробуете вычислить 70% от 20, то ответ также будет 14.

Данный способ очень прост в случае с круглыми числами, но что делать, если надо посчитать, к примеру, процент от числа 72 или 29? В такой ситуации придётся пожертвовать точностью ради скорости и округлить число (в нашем примере 72 округляется до 70, а 29 до 30), после чего воспользоваться тем же приёмом с умножением и отбрасыванием двух последних цифр.

2. Быстрая проверка делимости

Можно ли поровну поделить 408 конфет между 12 детьми? Ответить на этот вопрос легко и без помощи калькулятора, если вспомнить простые признаки делимости, которые нам преподавали ещё в школе.

Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.

Число делится на 3, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 3. Например, возьмём число 501, представим его как 5 + 0 + 1 = 6. 6 делится на 3, а значит, и само число 501 делится на 3.

Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Например, берём 2 340. Последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4.

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.

Число делится на 9, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 9. Например, возьмём число 6 390, представим его как 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9, а значит, и само число 6 390 делится на 9.

Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

3. Быстрое вычисление квадратного корня

Квадратный корень из 4 равен 2. Это посчитает любой. А как насчёт квадратного корня из 85?

Для быстрого приблизительного решения находим ближайшее к заданному квадратное число, в данном случае это 81 = 9^2.

Теперь находим следующий ближайший квадрат. В данном случае это 100 = 10^2.

Корень квадратный из 85 находится где-то в интервале между 9 и 10, а поскольку 85 ближе к 81, чем к 100, то квадратный корень этого числа будет 9 с чем-то.

4. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится

Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».

Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.

Почему именно 72 (иногда берут 70 или 69) ? Как это работает? На эти вопросы развёрнуто ответит «Википедия» .

5. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится

В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.

6. Быстрое вычисление почасовой ставки

Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час?

Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.

360 000 превращается в 360 ÷ 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.

7. Продвинутая математика на пальцах

Ваши пальцы способны на гораздо большее, нежели простые операции сложения и вычитания.

С помощью пальцев можно легко умножать на 9, если вы вдруг забыли таблицу умножения.

Пронумеруем пальцы на руках слева направо от 1 до 10.

Если мы хотим умножить 9 на 5, то загибаем пятый палец слева.

Теперь смотрим на руки. Получается четыре несогнутых пальца до согнутого. Они обозначают десятки. И пять несогнутых пальцев после согнутого. Они обозначают единицы. Ответ: 45.

Если мы хотим умножить 9 на 6, то загибаем шестой палец слева. Получим пять несогнутых пальцев до согнутого пальца и четыре после. Ответ: 54.

Таким образом можно воспроизвести весь столбик умножения на 9.

8. Быстрое умножение на 4

Существует чрезвычайно лёгкий способ молниеносного умножения даже больших чисел на 4. Для этого достаточно разложить операцию на два действия, умножив искомое число на 2, а затем ещё раз на 2.

Посмотрите сами. Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 × 2 = 2446 и далее 2446 × 2 = 4892. Так гораздо проще.

9. Быстрое определение необходимого минимума

Представьте, что вы проходите серию из пяти тестов, для успешной сдачи которых вам необходим минимальный балл 92. Остался последний тест, а по предыдущим результаты таковы: 81, 98, 90, 93. Как вычислить необходимый минимум, который нужно получить в последнем тесте?

Для этого считаем, сколько баллов мы недобрали/перебрали в уже пройденных тестах, обозначая недобор отрицательными числами, а результаты с запасом - положительными.

Итак, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Сложив эти числа, получаем корректировку для необходимого минимума: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Получается дефицит в 6 баллов, а значит, необходимый минимум увеличивается: 92 + 6 = 98. Дела плохи. :(

10. Быстрое представление значения обыкновенной дроби

Примерное значение обыкновенной дроби можно очень быстро представить в виде десятичной дроби, если предварительно приводить её к простым и понятным соотношениям: 1/4,1/3, 1/2 и 3/4.

К примеру, у нас есть дробь 28/77, что очень близко к 28/84 = 1/3, но поскольку мы увеличили знаменатель, то изначальное число будет несколько больше, то есть чуть больше, чем 0,33.

11. Трюк с угадыванием цифры

Можно немного поиграть в Дэвида Блэйна и удивить друзей интересным, но очень простым математическим трюком.

1. Попросите друга загадать любое целое число.
2. Пусть он умножит его на 2.
3. Затем прибавит к получившемуся числу 9.
4. Теперь пусть отнимет 3 от получившегося числа.
5. А теперь пусть разделит получившееся число пополам (оно в любом случае разделится без остатка).
6. Наконец, попросите его вычесть из получившегося числа то число, которое он загадал в начале.

Ответ всегда будет 3.

Да, очень тупо, но часто эффект превосходит все ожидания.

Бонус

И, конечно же, мы не могли не вставить в этот пост ту самую картинку с очень крутым способом умножения.

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей »). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа - это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами. Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

1. 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).

Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби »).

Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

Умножение десятичных дробей

Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

1. Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа - без всяких знаменателей и десятичных точек;
2. Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
3. Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.

Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

1. Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
2. Их произведение: 28 · 125 = 3500;
3. В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй - еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.

Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

1. Выпишем значащие части: 63 и 108;
2. Их произведение: 63 · 108 = 6804;
3. Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего - снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.

Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

1. Значащие части: 1325 и 34;
2. Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
3. В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй - на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди - дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.

Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишем значащие части: 108 и 16 005;
2. Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором - 1. Всего - снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.

Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

1. Значащие части: 525 и 1;
2. Умножаем их: 525 · 1 = 525;
3. В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй - на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).

Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем - на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

Деление десятичных дробей

Деление - это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

1. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей »);
3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.

Задача. Найдите значение выражения:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу - представление конечного ответа снова в десятичном виде.

Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.

В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

1. До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
2. Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
3. То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

• До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
• Записать делимое. Справа от него - делитель.
• Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
• Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
• Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
• Записать результат от умножения этого числа на делитель.
• Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
• Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
• Снова подобрать число для ответа.
• Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере - 12082: 863.

• Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
• После вычитания получается остаток 345.
• К нему нужно снести цифру 2.
• В числе 3452 четыре раза умещается 863.
• Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
• Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

• Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
• Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
• Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
• Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
• Снести к остатку 0.
• Снова взять по 8.
• Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
• Теперь брать нужно 7.
• Результат умножения - 224, остаток - 16.
• Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби...

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Считать в уме, по мнению многих из нас, в наше время уже неактуально. Калькулятор есть в каждом смартфоне и уж тем более на компьютере и ноутбуке. Однако постоянно, перед каждым своим действием, шагом или чихом в калькулятор не полезешь, а считать необходимо постоянно и много. – умение весьма нужное даже в наш высокотехнологичный век гаджетов и электронных вычислительных систем. Простой пример, иллюстрирующий данные теоретические выкладки, — поведение покупателей и продавцов в магазине: действовать нужно быстро, ведь за вами большая очередь, и если вы не умеете считать в уме, продавец может вас обсчитать – по ошибке или умышленно. Дети первые свои самостоятельные «вылазки» совершают чаще всего именно в магазин, поэтому устный счёт им очень пригодится.

– не врождённый навык у человека, и совсем маленькие дети ещё не имеют представления о числах, количестве, действий с группами предметов (прибавлением одной группы к другой, отниманием и т. д.). У примитивных народов Азии, Африки и Америки также неразвиты представления о числах и арифметических действиях: чаще всего их числовая система состоит из понятий «один», «два» и «много»; некоторые племена могут считать до пяти, некоторые до семи, но дальше у них у всех следует неизменное «много». Отсюда можно заключить, что и счёт вообще – достаточно сложная функция для человеческого сознания.

Так как же научить ребёнка первым манипуляциям с числами? Прежде чем освоить умение оперировать абстрактными числами, дети должны понять счёт на наглядных примерах. Ребёнку для начала необходимо рассказать о числах, хотя бы до первого десятка, и посчитать с ним разные предметы, которые можно увидеть вокруг: птичек на деревьях, цветы на грядке, люди на улице, машины на стоянке и так далее. Постепенно малыш уяснит «внешний облик» конкретных количеств – будь то один, пять или десять предметов. При неразвитом абстрактном мышлении у маленьких детей очень развита зрительная память, он быстро запоминает формы и цвета. Можно упражняться с ним в счёте, показывая яркие картинки.

Главное при этом – понимать, что маленький ребёнок всё воспринимает как игру. И обучение счёту тоже необходимо подавать в игровой форме, чтобы ему было интересно. При правильном подходе малыш будет очень быстро схватывать информацию, поскольку в таком возрасте его мозг впитывает всё новое очень активно. Нельзя посадить его за стол и долго читать нудную «лекцию» об арифметических действиях – ребёнок только потеряет интерес к обучению. Считать с ним нужно в разных местах и ситуациях, во время прогулки, игр и других совместных действий. Можно предложить вместе приготовить что-нибудь вкусное, и ребёнок может помочь определить, например, сколько яиц нужно для замешивания теста.

После того как представления о количестве более-менее сформированы, игру можно усложнить. Научите ребёнка первым арифметическим операциям – сложению и вычитанию. К примеру, возьмите игрушечный домик (в его роли может выступать обычная большая коробка) и фигурки людей или животных (можно использовать обычные кубики, которых назовём, например, «гномиками»). Поместите в домик одного человечка и спросите малыша, сколько человечков живёт в домике. Он должен ответить, что один. Затем поставьте в домик ещё одну фигурку и спросите, сколько человечков стало. Пусть ребёнок подумает и скажет правильный ответ. На первых порах ему для этого потребуется несколько минут, он будет ошибаться; не стоит его торопить или ругать. Когда он скажет правильный ответ, он должен открыть домик и удостовериться, что человечка именно два. Абстрактная модель, которую ребёнок воспроизвёл по памяти, подтвердилась на наглядном примере. Прибавляйте и отнимайте человечков от общего количества «жителей» домика, чем вы закрепите и разовьёте у ребёнка навык устного счёта.

Как научить ребёнка умножать и делить

Если и – достаточно лёгкие процедуры, то ребёнку понять значительно сложнее. Ещё труднее освоить деление. На помощь родителям здесь также придут наглядные примеры, игрушки и фигурки.

Нужно приготовить одинаковые коробочки и наборы фигурок. В простейшем случае фигурками послужат камешки, кубики, крышечки от пластиковых бутылок – можно отыскать всё что угодно. В каждую коробку должно входить равное количество фигурок. Предложите малышу заполнить одну коробочку, сложив туда фигурки. Пусть он сосчитает, сколько предметов лежит в коробке. А после этого пусть заполнит вторую коробочку, удостоверится, что предметов в ней столько же, и посчитает общее количество фигурок в обеих коробках. На первых порах в одну коробку должно входить всего несколько предметов – два, три. Таким способом можно подвести малыша к мысли, что два раза по три равно шести, два раза по два – четырём и так далее. Нет необходимости увеличивать коробки и фигурки до бесконечности: на этом этапе важно, чтобы ребёнок понял конкретный, материальный смысл умножения как суммы нескольких одинаковых групп предметов. Следующий этап – заучивание таблицы умножения. Учить нужно наизусть, как стихотворение. Точнее – группу стихотворений. «Строчками» в них выступают примеры: дважды три – шесть, дважды четыре – восемь… За один раз можно выучить только одно «стихотворение» — умножение на два, на три, четыре и так далее. Умножение на пять напоминает стихотворение и внешне – его «строчки» рифмуются друг с другом, поэтому его запомнить проще всего.

– самое трудное действие для малыша, к нему даже в начальной школе приступают позже, чем к другим разделам арифметики. Деление является процедурой, обратной умножению, поэтому для его освоения ребёнок должен уже знать таблицу умножения. Впрочем, на первых порах подойдут всё те же наглядные примеры, и в этом смысле деление – действие, наиболее близкое и актуальное для малыша. Как разделить конфеты на всех, чтобы у каждого было поровну? Ведь если у кого-нибудь будет меньше, чем у других, он обидится. Необходимо разделить по справедливости, и сначала это можно осуществлять методом подбора: сначала раздать по одной конфете, потом ещё по одной… Общее количество конфет должен подобрать взрослый, чтобы оно действительно делилось на всех детей без остатка. Впоследствии можно объяснить ребёнку, что не все числа можно делить друг на друга. В этом деление сложнее умножения – ведь перемножать можно абсолютно все числа. Если есть возможность, ребят знакомят и с делением с остатком: оставшиеся конфеты, которые нельзя раздать всем поровну, забирает взрослый (или же они достанутся самому послушному из детей).

Как можно помочь ребёнку

Выполнение арифметических действий для ребёнка можно упростить, если рассказать ему о свойствах чисел от 2 до 10. Например, 4 – это два раза по два; 5 можно получить разными способами – прибавить 3 к 3 или 1 к 4. Особо следует уделить внимание цифре 0. Для упрощения счёта нужно разобраться и с круглыми числами: 30 – это три раза по 10, а 5 – это половина 10.

Формулы для более сложных процедур

Когда ребёнок становится старше и уже владеет базовыми арифметическими действиями, можно познакомить его с формулами для быстрого сложения и умножения больших чисел. Таких формул существует немало, и здесь мы приведём лишь некоторые.

Достаточно просто умножать двузначные числа на 11. Например, 23*11. Необходимо просто сложить цифры первого множителя и в ответе записать этот множитель, в середине которого вписать полученную сумму: 2+3=5, следовательно, 23*11=253. Если при сложении цифр получилось двузначное число, то первую цифру этого числа прибавляют к первой цифре множителя. Например, 38*11. 3+8=11; первую единицу прибавляем к тройке, а вторую пишем в середине ответа: 38*11=418.

Сложение больших чисел можно упростить, если увеличить одно слагаемое на какое-нибудь число, которое потом вычтется из ответа. Например: 358+340=(358+2)+340-2= 360+340-2=700-2=698.

Такие формулы наверняка будут интересны и многим взрослым, ведь они существенно упростят рабочий процесс, подсчёт денег и другие насущные операции с числами.