Als we een eenheidscirkel construeren met het middelpunt op de oorsprong en een willekeurige waarde van het argument instellen x0 en tel vanaf de as Os hoek x 0, dan komt deze hoek op de eenheidscirkel overeen met een bepaald punt EEN(Figuur 1) en zijn projectie op de as Oh er zal een punt zijn M. Snijlengte OM gelijk aan de absolute waarde van de abscis van het punt EEN. gegeven argumentwaarde x0 toegewezen functiewaarde: ja= cos x 0 als de abscis van een punt MAAR. Dienovereenkomstig is het punt BIJ(x 0 ;Bij 0) hoort bij de functie grafiek Bij= cos X(Figuur 2). Als punt MAAR bevindt zich rechts van de as OU, de tocosine zal positief zijn, indien naar links zal het negatief zijn. Maar in ieder geval het punt MAAR kan de cirkel niet verlaten. Daarom varieert de cosinus van -1 tot 1:

-1 = cos x = 1.

Extra rotatie naar elke hoek, veelvoud van 2 p, geeft een punt terug EEN naar dezelfde plaats. Daarom is de functie: y= omdat xp:

omdat ( x+ 2p) = cos x.

Als we twee waarden van het argument nemen die gelijk zijn in absolute waarde maar tegengesteld in teken, x en - x, vind overeenkomstige punten op de cirkel een x en Bijl. Zoals te zien in afb. 3 hun projectie op de as Oh is hetzelfde punt M. Dat is waarom

vanwege (- x) = cos( x),

die. cosinus - even functie, f(–x) = f(x).

We kunnen dus de eigenschappen van de functie onderzoeken ja= cos X op het segment , en houd dan rekening met de pariteit en periodiciteit ervan.

Bij X= 0 punt MAAR ligt op de as Oh, de abscis is 1, en daarom cos 0 = 1. Met een toename X punt MAAR beweegt rond de cirkel naar boven en naar links, zijn projectie natuurlijk alleen naar links, en voor x = p/2 cosinus wordt 0. Punt EEN op dit moment stijgt tot maximale hoogte, en gaat dan verder naar links, maar neemt al af. De abscis blijft afnemen totdat deze de kleinste waarde bereikt die gelijk is aan -1 at X= p. Dus, op het segment, de functie Bij= cos X neemt monotoon af van 1 naar –1 (Fig. 4, 5).

Uit de pariteit van de cosinus volgt dat op het interval [– p, 0], neemt de functie monotoon toe van –1 naar 1, waarbij de waarde nul wordt bij x =–p/2. Als je meerdere perioden neemt, krijg je een golvende curve (Fig. 6).

Dus de functie ja= cos x neemt nul waarden op punten X= p/2 + kp, waar k- elk geheel getal. Op punten worden maxima gelijk aan 1 bereikt X= 2kp, d.w.z. met stap 2 p, en de minima gelijk aan -1 op de punten X= p + 2kp.

Functie y \u003d sin x.

Op de eenheidscirkel x 0 komt overeen met punt MAAR(Afb. 7), en zijn projectie op de as OU er zal een punt zijn N.Z functiewaarde: y 0 = zonde x0 gedefinieerd als de ordinaat van een punt MAAR. Punt BIJ(hoek x 0 ,Bij 0) hoort bij de functie grafiek ja= zonde x(Afb. 8). Het is duidelijk dat de functie y= zonde x periodiek, de periode is 2 p:

zonde( x+ 2p) = zonde ( x).

Voor twee argumentwaarden, X en - , projecties van hun corresponderende punten een x en Bijl per as OU symmetrisch rond het punt gelegen O. Dat is waarom

zonde(- x) = –zonde( x),

die. sinus is een oneven functie, f(– x) = –f( x) (Afb. 9).

Als het punt EEN roteren om een ​​punt O op de hoek p/2 tegen de klok in (met andere woorden, als de hoek X stijgt met p/2), dan is de ordinaat in de nieuwe positie gelijk aan de abscis in de oude. Wat betekent

zonde( x+ p/2) = cos x.

Anders is de sinus de cosinus, "late" door p/2, aangezien elke cosinuswaarde "herhaalt" in de sinus wanneer het argument met toeneemt p/2. En om een ​​sinusgrafiek te maken, volstaat het om de cosinusgrafiek met . te verschuiven p/2 naar rechts (afb. 10). Een uiterst belangrijke eigenschap van de sinus wordt uitgedrukt door de gelijkheid

De geometrische betekenis van gelijkheid blijkt uit Fig. 11. Hier X - dit is de helft van de boog AB, en zonde X - helft van het corresponderende akkoord. Het is duidelijk dat als de punten naderen, MAAR en BIJ de lengte van het akkoord komt steeds dichter bij de lengte van de boog. Uit dezelfde figuur is het gemakkelijk om de ongelijkheid te extraheren

|sin x| x|, geldig voor elke X.

De formule (*) wordt door wiskundigen de wonderbaarlijke limiet genoemd. Hieruit volgt in het bijzonder dat sin X» X in het klein X.

Functies Bij=tg x, ja=ctg X. Twee andere trigonometrische functies - tangens en cotangens zijn het gemakkelijkst te definiëren als verhoudingen van de sinus en cosinus die ons al bekend zijn:

Net als sinus en cosinus zijn tangens en cotangens periodieke functies, maar hun perioden zijn gelijk p, d.w.z. ze zijn de helft van die van sinus en cosinus. De reden hiervoor is duidelijk: als de sinus en cosinus beide van teken veranderen, verandert hun verhouding niet.

Aangezien er een cosinus in de noemer van de tangens is, wordt de tangens niet gedefinieerd op die punten waar de cosinus 0 is - wanneer X= p/2 +kp. Op alle andere punten neemt het monotoon toe. direct X= p/2 + kp voor de raaklijn zijn de verticale asymptoten. op punten kp tangens en helling zijn respectievelijk 0 en 1, (Fig. 12).

De cotangens is niet gedefinieerd waar de sinus 0 is (wanneer x = kp). Op andere punten neemt het monotoon af, en de lijnen x = kp – zijn verticale asymptoten. op punten x = p/2 +kp de cotangens wordt 0 en de helling op deze punten is -1 (Fig. 13).

Pariteit en periodiciteit.

Een functie wordt aangeroepen, zelfs als f(–x) = f(x). De cosinus- en secansfuncties zijn even, en de sinus-, tangens-, cotangens- en cosecansfuncties zijn oneven:

De pariteitseigenschappen volgen uit de symmetrie van de punten P een en R-a (Fig. 14) om de as X. Bij zo'n symmetrie verandert de ordinaat van het punt van teken (( X;Bij) gaat naar ( X; -j)). Alle functies - periodiek, sinus, cosinus, secans en cosecans hebben een periode van 2 p, en tangens en cotangens - p:

De periodiciteit van de sinus en cosinus volgt uit het feit dat alle punten P een + 2 kp, waar k= 0, ±1, ±2,..., samenvallen, en de periodiciteit van de raaklijn en cotangens is te wijten aan het feit dat de punten P een + kp vallen afwisselend in twee diametraal tegenovergestelde punten van de cirkel, waardoor hetzelfde punt op de raaklijnas ontstaat.

Basiseigenschappen trigonometrische functies kan worden getabelleerd:

Giet formules.

Volgens deze formules is de waarde van de trigonometrische functie van het argument a, waarbij p/2 a p , kan worden teruggebracht tot de waarde van de functie van het argument a , waarbij 0 a p /2, zowel hetzelfde als aanvullend.

argument b	- a	+ a	p- a	p+ a	+ a	+ a	2p- a
zonde b	omdat ik	omdat ik	zonde a	–sin a	-cos a	-cos a	–sin a
cosb	zonde a	–sin a	-cos a	-cos a	–sin a	zonde a	omdat ik

Daarom worden in de tabellen met trigonometrische functies waarden alleen gegeven voor scherpe hoeken, en het is voldoende om ons bijvoorbeeld te beperken tot sinus en tangens. De tabel bevat alleen de meest gebruikte formules voor sinus en cosinus. Van hen is het gemakkelijk om formules voor tangens en cotangens te verkrijgen. Bij het casten van een functie vanuit een argument van de vorm kp/2 ± a , waar k is een geheel getal, naar een functie van het argument a :

1) de naam van de functie wordt opgeslagen als k even, en verandert in "complementair" als k oneven;

2) het teken aan de rechterkant valt samen met het teken van de reduceerbare functie op het punt kp/2 ± a als de hoek a scherp is.

Bij het casten van ctg (a - p/2) zorg ervoor dat een - p/2 bij 0 a p /2 ligt in het vierde kwadrant, waar de cotangens negatief is, en volgens regel 1 veranderen we de naam van de functie: ctg (a - p/2) = –tg een .

Toevoeging formules.

Meerdere hoekformules.

Deze formules zijn direct afgeleid van de optelformules:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

zonde 3a \u003d 3 zonde a - 4 zonde 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

De formule voor cos 3a werd gebruikt door Francois Viet bij het oplossen van een derdegraadsvergelijking. Hij was de eerste die uitdrukkingen vond voor cos n a en zonde n a , die later op een eenvoudigere manier werden verkregen uit de formule van De Moivre.

Als je a vervangt door een /2 in formules met dubbele argumenten, kunnen ze worden geconverteerd naar formules voor halve hoeken:

Universele vervangingsformules.

Met behulp van deze formules kan een uitdrukking met verschillende trigonometrische functies van hetzelfde argument worden herschreven als een rationele uitdrukking van een enkele functie tg (a / 2). Dit is handig bij het oplossen van sommige vergelijkingen:

Formules voor het omrekenen van sommen naar producten en producten naar sommen.

Vóór de komst van computers werden deze formules gebruikt om berekeningen te vereenvoudigen. Berekeningen werden gemaakt met behulp van logaritmische tabellen, en later - een rekenliniaal, want. logaritmen zijn het meest geschikt voor het vermenigvuldigen van getallen, dus alle oorspronkelijke uitdrukkingen zijn teruggebracht tot een vorm die geschikt is voor logaritmen, d.w.z. voor werken als:

2 zonde a zonde b = cos ( a-b) – want ( a+b);

2 kosten a omdat b= vanwege ( a-b) + cos( a+b);

2 zonde a omdat b= zonde ( a-b) + zonde ( a+b).

De formules voor de tangens- en cotangensfuncties kunnen uit het bovenstaande worden verkregen.

Graadreductie formules.

Uit de formules van een meervoudig argument worden formules afgeleid:

Met deze formules trigonometrische vergelijkingen kan worden teruggebracht tot vergelijkingen van lagere graden. Op dezelfde manier kunnen reductieformules voor hogere machten van sinus en cosinus worden afgeleid.

Elke goniometrische functie op elk punt van zijn definitiedomein is continu en oneindig differentieerbaar. Bovendien zijn de afgeleiden van trigonometrische functies trigonometrische functies, en wanneer geïntegreerd, worden ook trigonometrische functies of hun logaritmen verkregen. Integralen van rationale combinaties van goniometrische functies zijn altijd elementaire functies.

Weergave van goniometrische functies in de vorm van machtreeksen en oneindige producten.

Alle trigonometrische functies kunnen worden uitgebreid tot machtreeksen. In dit geval zijn de functies sin x b cos x verschijnen in rijen. convergent voor alle waarden x:

Deze reeksen kunnen worden gebruikt om benaderende uitdrukkingen voor sin te verkrijgen x en omdat x voor kleine waarden x:

bij | x| p/2;

bij 0x| p

(B n zijn Bernoulli-getallen).

zonde functies x en omdat x kan worden weergegeven als oneindige producten:

Goniometrische systeem 1, cos x, zonde x, voor 2 x, zonde 2 x, , cos nx, zonde nx, ¼, vormen op het interval [– p, p] orthogonaal systeem van functies, dat het mogelijk maakt om functies in de vorm van trigonometrische reeksen weer te geven.

worden gedefinieerd als analytische voortzettingen van de overeenkomstige trigonometrische functies van een reëel argument in het complexe vlak. Ja, zonde z en omdat z kan worden gedefinieerd met behulp van reeksen voor sin x en omdat x, als in plaats van x leggen z:

Deze reeksen convergeren over het hele vlak, dus sin z en omdat z zijn volledige functies.

Tangens en cotangens worden bepaald door de formules:

tg-functies z en ctg z zijn meromorfe functies. Polen tg z en zie z zijn eenvoudig (1e bestelling) en bevinden zich op punten z=p/2 + pn, ctg-polen z en cosec z zijn ook eenvoudig en bevinden zich op punten z = p nee, n = 0, ±1, ±2,…

Alle formules die geldig zijn voor goniometrische functies van een reëel argument, zijn ook geldig voor een complexe. Vooral,

zonde(- z) = -sin z,

vanwege (- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

die. even en oneven pariteit blijven behouden. De formules worden ook opgeslagen

zonde( z + 2p) = zonde z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

die. de periodiciteit blijft ook behouden, en de perioden zijn dezelfde als voor functies van een reëel argument.

Goniometrische functies kunnen worden uitgedrukt in termen van een exponentiële functie van een puur denkbeeldig argument:

Rug, e iz uitgedrukt in cos z en zonde z volgens de formule:

e iz= cos z + i zonde z

Deze formules worden de Euler-formules genoemd. Leonhard Euler introduceerde ze in 1743.

Goniometrische functies kunnen ook worden uitgedrukt in termen van hyperbolische functies:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

waarbij sh, ch en th zijn hyperbolische sinus, cosinus en tangens.

Trigonometrische functies van complexe argumenten z = x + iy, waar x en ja- reële getallen, kunnen worden uitgedrukt in termen van trigonometrische en hyperbolische functies van reële argumenten, bijvoorbeeld:

zonde( x+iy) = zonde x ch ja + i omdat x sh ja;

omdat ( x+iy) = cos x ch ja + i zonde x sh ja.

De sinus en cosinus van een complex argument kunnen reële waarden groter dan 1 in absolute waarde aannemen. Bijvoorbeeld:

Als een onbekende hoek de vergelijking binnenkomt als een argument van trigonometrische functies, wordt de vergelijking trigonometrische genoemd. Dergelijke vergelijkingen zijn zo gewoon dat hun methoden de oplossingen zijn zeer gedetailleerd en zorgvuldig ontworpen. VAN helpen verschillende trucs en formules, worden trigonometrische vergelijkingen gereduceerd tot vergelijkingen van de vorm f(x)= a, waar f- een van de eenvoudigste trigonometrische functies: sinus, cosinus, tangens of cotangens. Formuleer dan het argument x deze functie door zijn bekende waarde a.

Aangezien trigonometrische functies periodiek zijn, geldt hetzelfde a uit het waardenbereik zijn er oneindig veel waarden van het argument, en de oplossing van de vergelijking kan niet worden geschreven als een enkele functie van a. Daarom wordt in het domein van de definitie van elk van de belangrijkste trigonometrische functies een sectie geselecteerd waarin deze alle waarden heeft, elk slechts één keer, en wordt een functie gevonden die in deze sectie omgekeerd is. Dergelijke functies worden aangeduid door het voorvoegsel arc (arc) toe te kennen aan de naam van de oorspronkelijke functie, en worden inverse trigonometrische genoemd. functies of alleen boogfuncties.

Inverse trigonometrische functies.

voor zonde X, omdat X, tg X en ctg X inverse functies kunnen worden gedefinieerd. Ze worden respectievelijk aangeduid als arcsin X(lees "arxine" x"), arcos x, arctg x en arcctg x. Per definitie arcsin X er is zo'n nummer ja, wat

zonde Bij = X.

Hetzelfde geldt voor andere inverse trigonometrische functies. Maar deze definitie lijdt aan enige onnauwkeurigheid.

Als we de zonde weerspiegelen X, omdat X, tg X en ctg X met betrekking tot de bissectrice van het eerste en derde kwadrant coördinaatvlak, dan worden de functies, vanwege hun periodiciteit, dubbelzinnig: dezelfde sinus (cosinus, tangens, cotangens) komt overeen met een oneindig aantal hoeken.

Om van de ambiguïteit af te komen, een sectie van de curve met een breedte van p, terwijl het noodzakelijk is dat er een één-op-één overeenkomst wordt waargenomen tussen het argument en de waarde van de functie. Gebieden in de buurt van de oorsprong worden geselecteerd. voor de sinus aangezien het "interval van één-op-één" het segment [- p/2, p/2], waarbij de sinus monotoon toeneemt van –1 tot 1, voor de cosinus - het segment , voor respectievelijk de tangens en cotangens de intervallen (– p/2, p/2) en (0, p). Elke curve in het interval wordt gereflecteerd rond de bissectrice en nu kunt u inverse trigonometrische functies definiëren. Laat bijvoorbeeld de argumentwaarde worden gegeven x 0 , zodanig dat 0 J x 0 Ј 1. Dan de waarde van de functie ja 0 = arcsin x 0 zal zijn enkele betekenis Bij 0 , zoals dat - p/2 J Bij 0 Ј p/2 en x 0 = zonde ja 0 .

De arcsinus is dus een functie van arcsin a, gedefinieerd op het interval [-1, 1] en gelijk voor elk a zo'n waarde a , – p/2 a p /2 dat sin a = a. Het is erg handig om het weer te geven met een eenheidscirkel (Fig. 15). Wanneer | een| 1 er zijn twee punten op de cirkel met een ordinaat a, symmetrisch om de as j. Een daarvan is de hoek a= arcsin a, en de andere is de hoek vader. VAN rekening houdend met de periodiciteit van de sinus, de oplossing van de vergelijking sin x= a wordt als volgt geschreven:

x =(–1)n boog zonde a + 2p nee,

waar n= 0, ±1, ±2,...

Andere eenvoudige trigonometrische vergelijkingen worden ook opgelost:

omdat x = a, –1 =a= 1;

x=±arcos a + 2p nee,

waar P= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16);

tg X = a;

x= arctg a + p n,

waar n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17);

ctg X= a;

X= arcctg a + p n,

waar n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

De belangrijkste eigenschappen van inverse trigonometrische functies:

boog zonde X(Fig. 19): het definitiedomein is het segment [-1, 1]; bereik - [- p/2, p/2], een monotoon toenemende functie;

arccos X(Fig. 20): het definitiedomein is het segment [-1, 1]; bereik van waarden - ; monotoon afnemende functie;

arctg X(Fig. 21): definitiedomein - alle reële getallen; bereik van waarden – interval (– p/2, p/2); monotoon toenemende functie; Rechtdoor Bij= –p/2 en y \u003d p / 2 - horizontale asymptoten;

arcctg X(Fig. 22): definitiedomein - alle reële getallen; bereik van waarden - interval (0, p); monotoon afnemende functie; Rechtdoor ja= 0 en y = p zijn de horizontale asymptoten.

Voor iedereen z = x+iy, waar x en ja zijn reële getallen, er zijn ongelijkheden

½| e\ey–e-y| |zonde z|≤½( e y + e-j),

½| e y–e-y| |cos z|≤½( e y + e -y),

van welke ja® Ґ asymptotische formules volgen (uniform met betrekking tot x)

|sin z| » 1/2 e |jij| ,

|cos z| » 1/2 e |jij| .

Goniometrische functies ontstonden voor het eerst in verband met onderzoek in astronomie en geometrie. De verhoudingen van segmenten in een driehoek en een cirkel, die in wezen trigonometrische functies zijn, worden al in de 3e eeuw gevonden. BC e. in de werken van wiskundigen van het oude Griekenland – Euclides, Archimedes, Apollonius van Perga en anderen, deze verhoudingen waren echter geen onafhankelijk studieobject, dus bestudeerden ze trigonometrische functies als zodanig niet. Ze werden oorspronkelijk beschouwd als segmenten en werden in deze vorm gebruikt door Aristarchus (eind 4e - 2e helft van de 3e eeuw voor Christus), Hipparchus (2e eeuw voor Christus), Menelaus (1e eeuw na Christus) en Ptolemaeus (2e eeuw na Christus) toen sferische driehoeken oplossen. Ptolemaeus stelde de eerste tabel met akkoorden samen voor scherpe hoeken tot en met 30 "met een nauwkeurigheid van 10 -6. Dit was de eerste tabel met sinussen. Als verhouding zonde functie a is al gevonden in Aryabhata (eind 5e eeuw). De functies tg a en ctg a komen voor in al-Battani (2e helft 9e - begin 10e eeuw) en Abul-Vef (10e eeuw), die ook sec a en cosec a gebruikt. Aryabhata kende al de formule (sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, evenals de sin en cos halve-hoekformules, met behulp waarvan hij tabellen met sinussen bouwde voor hoeken tot 3 ° 45 "; gebaseerd op de bekende waarden van goniometrische functies voor de eenvoudigste argumenten.Bhaskara (12e eeuw) gaf een methode voor het construeren van tabellen via 1 met behulp van optelformules.Formules voor het omzetten van de som en het verschil van goniometrische functies van verschillende argumenten in een product waren afgeleid door Regiomontanus (15e eeuw) en J. Napier in verband met de uitvinding van laatstgenoemde logaritmen (1614). tabel sinuswaarden tot 1". De uitbreiding van goniometrische functies in machtreeksen werd verkregen door I. Newton (1669). BIJ moderne vorm de theorie van goniometrische functies werd geïntroduceerd door L. Euler (18e eeuw). Hij bezit hun definitie voor de echte en complexe argumenten, de symboliek die nu wordt geaccepteerd, het leggen van een verband met de exponentiële functie en de orthogonaliteit van het systeem van sinussen en cosinus.

Goniometrische functies zijn elementaire functies waarvan het argument is hoek. Goniometrische functies beschrijven de relaties tussen zijden en scherpe hoeken in rechthoekige driehoek. De toepassingsgebieden van goniometrische functies zijn zeer divers. Zo kunnen bijvoorbeeld alle periodieke processen worden weergegeven als een som van trigonometrische functies (). Deze functies verschijnen vaak bij het oplossen van functionele vergelijkingen.

Trigonometrische functies omvatten de volgende 6 functies: sinus , cosinus , raaklijn , cotangens , secans en cosecans. voor elk van gespecificeerde functies bestaat inverse trigonometrische functie .

De geometrische definitie van trigonometrische functies wordt handig geïntroduceerd met behulp van eenheidscirkel . Onderstaande figuur toont een cirkel met straal \(r = 1\). Punt \(M\left((x,y) \right)\) is gemarkeerd op de cirkel. De hoek tussen de straalvector \(OM\) en de positieve richting van de \(Ox\)-as is gelijk aan \(\alpha\).

sinus hoek \(\alpha\) is de verhouding van de ordinaat \(y\) van het punt \(M\left((x,y) \right)\) tot de straal \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Aangezien \(r = 1\), dan is de sinus gelijk aan de ordinaat van het punt \(M\links((x,y) \rechts)\).

cosinus de hoek \(\alpha\) is de verhouding van de abscis \(x\) van het punt \(M\left((x,y) \right)\) tot de straal \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)


raaklijn hoek \(\alpha\) is de verhouding van de ordinaat \(y\) van het punt \(M\left((x,y) \right)\) tot zijn abscis \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)


Cotangens de hoek \(\alpha\) is de verhouding van de abscis \(x\) van het punt \(M\left((x,y) \right)\) tot zijn ordinaat \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)


secant hoek \(\alpha\) is de verhouding van de straal \(r\) tot de abscis \(x\) van het punt \(M\left((x,y) \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)


cosecans hoek \(\alpha\) is de verhouding van de straal \(r\) tot de ordinaat \(y\) van het punt \(M\left((x,y) \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)


In de projectie-eenheidscirkel \(x\), \(y\) vormen de punten \(M\left((x,y) \right)\) en de straal \(r\) een rechthoekige driehoek waarin \( x,y \) zijn benen, en \(r\) is de hypotenusa. Daarom zijn de bovenstaande definities van goniometrische functies zoals toegepast op een rechthoekige driehoek als volgt geformuleerd:
sinus de hoek \(\alpha\) is de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa.
cosinus hoek \(\alpha\) heet de verhouding aangrenzend been naar de hypotenusa.
raaklijn de hoek \(\alpha\) wordt het tegenoverliggende been genoemd.
Cotangens hoek \(\alpha\) wordt het aangrenzende been genoemd.
secant hoek \(\alpha\) is de verhouding van de hypotenusa tot het aangrenzende been.
cosecans hoek \(\alpha\) is de verhouding van de hypotenusa tot het andere been.


sinus functie grafiek
\(y = \sin x\), domein: \(x \in \mathbb(R)\), domein: \(-1 \le \sin x \le 1\)




Grafiek van de cosinusfunctie
\(y = \cos x\), domein: \(x \in \mathbb(R)\), domein: \(-1 \le \cos x \le 1\)

definities

Definities van goniometrische functies worden gegeven met behulp van een goniometrische cirkel, die wordt opgevat als een cirkel met eenheidsstraal gecentreerd op de oorsprong.

Beschouw twee stralen van deze cirkel: vast (waar is het punt) en beweegbaar (waar is het punt). Laat de beweegbare straal een hoek vormen met de vaste.

Het getal dat gelijk is aan de ordinaat van het uiteinde van de eenheidsstraal die een hoek vormt met een vaste straal wordt genoemd sinus van hoek : .

Het getal dat gelijk is aan de abscis van het uiteinde van de eenheidsstraal die een hoek vormt met een vaste straal wordt genoemd cosinus van de hoek : .

Het punt dat het einde is van de beweegbare straal die de hoek vormt, heeft dus coördinaten.

Raaklijn van een hoek is de verhouding van de sinus van deze hoek tot zijn cosinus: , .

cotangens van een hoek is de verhouding van de cosinus van deze hoek tot zijn sinus: , .

Geometrische betekenis van goniometrische functies

De geometrische betekenis van de sinus en cosinus op een goniometrische cirkel blijkt duidelijk uit de definitie: dit zijn de abscis en ordinaat van het snijpunt van de beweegbare straal, die een hoek maakt met de vaste straal, en de goniometrische cirkel. Dat is, .

Beschouw nu de geometrische betekenis van tangens en cotangens. Driehoeken zijn gelijkvormig in drie hoeken (,), dan geldt de relatie. Aan de andere kant, in, dus.

Ook vergelijkbaar in drie hoeken (,), dan geldt de relatie. Aan de andere kant, in, dus.

Rekening houdend met de geometrische betekenis van tangens en cotangens, wordt het concept van de raaklijnenas en de cotangensas geïntroduceerd.

Assen van raaklijnen worden assen genoemd, waarvan er één de trigonometrische cirkel in een punt raakt en naar boven is gericht, de tweede de cirkel in een punt raakt en naar beneden is gericht.

Cotangente assen worden assen genoemd, waarvan er één de trigonometrische cirkel op een punt raakt en naar rechts is gericht, de tweede de cirkel op een punt raakt en naar links is gericht.

Eigenschappen van goniometrische functies

Laten we eens kijken naar enkele basiseigenschappen van trigonometrische functies. Andere eigenschappen worden besproken in de sectie over grafieken van goniometrische functies.

Omvang en bereik van waarden

Zoals eerder vermeld, bestaan ​​sinus en cosinus voor alle hoeken, d.w.z. het domein van de definitie van deze functies is de verzameling reële getallen. Per definitie bestaat de tangens niet voor hoeken, maar de cotangens voor hoeken, .

Omdat sinus en cosinus de ordinaat en abscis zijn van een punt op een trigonometrische cirkel, liggen hun waarden daartussenin. Het bereik van tangens en cotangens is de verzameling reële getallen (het is gemakkelijk te zien door naar de assen van tangens en cotangens te kijken).

Even/Oneven

Beschouw de trigonometrische functies van twee hoeken (die overeenkomt met de beweegbare straal) en (die overeenkomt met de beweegbare straal). Sindsdien heeft het punt coördinaten. Daarom, d.w.z. sinus - oneven functie; , d.w.z. cosinus is een even functie; , d.w.z. de raaklijn is oneven; , d.w.z. de cotangens is ook vreemd.

Constante intervallen

De tekens van goniometrische functies voor verschillende coördinaatkwartieren volgen uit de definitie van deze functies. Opgemerkt moet worden dat, aangezien tangens en cotangens verhoudingen zijn van sinus en cosinus, ze positief zijn als de sinus en cosinus van een hoek hetzelfde teken hebben en negatief als ze verschillend zijn.

Periodiciteit

De periodiciteit van sinus en cosinus is gebaseerd op het feit dat hoeken die een geheel aantal volledige omwentelingen verschillen, overeenkomen met dezelfde relatieve positie bewegende en vaste balken. Dienovereenkomstig zullen de coördinaten van het snijpunt van de bewegende bundel en de trigonometrische cirkel hetzelfde zijn voor hoeken die verschillen met een geheel aantal volledige omwentelingen. Dus de periode van sinus en cosinus is en waar.

Dat is natuurlijk ook de periode voor de raaklijn en de cotangens. Maar is er een kleinere periode voor deze functies? Laten we bewijzen dat de kortste periode voor tangens en cotangens is.

Beschouw twee hoeken en. Over de geometrische betekenis van tangens en cotangens, . Driehoeken zijn gelijk langs de zijde en de hoeken ernaast en daarom zijn hun zijden ook gelijk, wat betekent en. Op dezelfde manier kan men bewijzen waar. Dus de periode van tangens en cotangens is.

Goniometrische functies van basishoeken

Trigonometrische formules

Om trigonometrische problemen met succes op te lossen, is het noodzakelijk om talrijke trigonometrische formules. Het is echter niet nodig om alle formules te onthouden. U hoeft alleen de meest elementaire formules uit uw hoofd te kennen en indien nodig moet u de rest van de formules kunnen afleiden.

Trigonometrische basisidentiteit en de gevolgen ervan

Alle goniometrische functies van een willekeurige hoek zijn met elkaar verbonden, d.w.z. als je één functie kent, kun je altijd de rest vinden. Deze verbinding wordt gegeven door de formules die in deze sectie worden besproken.

Stelling 1 (Basic trigonometrische identiteit). Voor elk, de identiteit

Het bewijs bestaat uit het toepassen van de stelling van Pythagoras voor een rechthoekige driehoek met benen en een schuine zijde.

Een meer algemene stelling is ook waar.

Stelling 2. Om twee getallen als cosinus en sinus van dezelfde reële hoek te nemen, is het noodzakelijk en voldoende dat de som van hun kwadraten gelijk is aan één:

Overweeg de gevolgen van de belangrijkste trigonometrische identiteit.

Laten we sinus uitdrukken in termen van cosinus en cosinus in termen van sinus:

In deze formules wordt het plus- of minteken voor de wortel gekozen afhankelijk van het kwartier waarin de hoek ligt.

Door de hierboven verkregen formules te vervangen door de formules die de tangens en cotangens bepalen, verkrijgen we:

Het delen van de trigonometrische basisidentiteitsterm per term door of krijgen we, respectievelijk:

Deze verhoudingen kunnen worden herschreven als:

De volgende formules geven de relatie tussen tangens en cotangens. Sinds wanneer en wanneer vindt de gelijkheid plaats:

Gegoten formules

Met behulp van reductieformules kan men de waarden van trigonometrische functies van willekeurige hoeken uitdrukken in termen van de waarden van functies van een scherpe hoek. Alle reductieformules kunnen worden gegeneraliseerd met behulp van de volgende regel.

Elke goniometrische functie van een hoek, in absolute waarde, is gelijk aan dezelfde functie van de hoek, als het getal even is, en de co-functie van de hoek, als het getal oneven is. Bovendien, als de functie van de hoek positief is, wanneer is een scherpe positieve hoek, dan zijn de tekens van beide functies hetzelfde, indien negatief, dan zijn ze verschillend.

Formules voor som en verschil van hoeken

Stelling 3 . Voor elke reële en de volgende formules zijn waar:

Het bewijs van de overige formules is gebaseerd op de formules voor reductie en even/oneven voor goniometrische functies.

QED

Stelling 4. Voor elke echte en dergelijke

1. , de volgende formules zijn geldig

2. , de volgende formules zijn geldig

Een bewijs. Per definitie van raaklijn

De laatste transformatie wordt verkregen door de teller en noemer van deze breuk te delen.

Hetzelfde geldt voor de cotangens (de teller en noemer worden in dit geval gedeeld door):

QED

Er moet aandacht worden besteed aan het feit dat de rechter en linker delen van de laatste gelijkheden verschillende reeksen van toelaatbare waarden hebben. Daarom kan het gebruik van deze formules zonder beperkingen op de mogelijke waarden van de hoeken tot onjuiste resultaten leiden.

Formules voor dubbele en halve hoek

formules dubbele hoek stellen ons in staat om de trigonometrische functies van een willekeurige hoek uit te drukken in termen van functies van een hoek die de helft van het origineel is. Deze formules zijn consequenties van de formules voor de som van twee hoeken, als we de hoeken daarin gelijk aan elkaar zetten.

De laatste formule kan worden getransformeerd met behulp van de trigonometrische basisidentiteit:

Voor de cosinus van een dubbele hoek zijn er dus drie formules:

Opgemerkt moet worden dat deze formule alleen geldig is voor:

De laatste formule is geldig voor, .

Net als bij dubbele hoekfuncties kunnen drievoudige hoekfuncties worden verkregen. Hier worden deze formules gegeven zonder bewijs:

De formules voor halve hoeken zijn gevolgen van de formules voor dubbele hoeken en stellen je in staat de trigonometrische functies van een bepaalde hoek uit te drukken in termen van functies van een hoek die twee keer zo groot is als de oorspronkelijke.

In dit artikel laten we zien hoe: definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens van hoek en getal in trigonometrie. Hier zullen we praten over notatie, voorbeelden van records geven, grafische illustraties geven. Concluderend trekken we een parallel tussen de definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens in trigonometrie en geometrie.

Paginanavigatie.

Definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens

Laten we volgen hoe het concept van sinus, cosinus, tangens en cotangens wordt gevormd in de schoolwiskundecursus. In meetkundelessen, de definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek in rechthoekige driehoek. En later wordt trigonometrie bestudeerd, die verwijst naar de sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek en het getal. We geven al deze definities, geven voorbeelden en geven het nodige commentaar.

Scherpe hoek in een rechthoekige driehoek

Uit het verloop van de meetkunde zijn de definities van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek bekend. Ze worden gegeven als de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek. We presenteren hun formuleringen.

Definitie.

Sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het andere been tot de hypotenusa.

Definitie.

Cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.

Definitie.

Raaklijn van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende been.

Definitie.

Cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenoverliggende been.

De notatie van sinus, cosinus, tangens en cotangens wordt daar ook geïntroduceerd - respectievelijk sin, cos, tg en ctg.

Als ABC bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek is met een rechte hoek C, dan is de sinus van de scherpe hoek A gelijk aan de verhouding van het tegenoverliggende been BC tot de hypotenusa AB, dat wil zeggen sin∠A=BC/AB.

Deze definities maken het mogelijk om de waarden van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek te berekenen uit de bekende lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek, evenals uit bekende waarden sinus, cosinus, tangens, cotangens en de lengte van een van de zijden om de lengtes van de andere zijden te vinden. Als we bijvoorbeeld wisten dat in een rechthoekige driehoek het been AC 3 is en de hypotenusa AB 7 , dan zouden we per definitie de cosinus van de scherpe hoek A kunnen berekenen: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Rotatiehoek

In trigonometrie beginnen ze breder naar de hoek te kijken - ze introduceren het concept van rotatiehoek. De rotatiehoek wordt, in tegenstelling tot een scherpe hoek, niet beperkt door frames van 0 tot 90 graden, de rotatiehoek in graden (en in radialen) kan worden uitgedrukt door elk reëel getal van −∞ tot +∞.

In dit licht zijn de definities van de sinus, cosinus, tangens en cotangens niet langer een scherpe hoek, maar een hoek van willekeurige grootte - de rotatiehoek. Ze worden gegeven door de x- en y-coördinaten van het punt A 1 , waar het zogenaamde beginpunt A(1, 0) doorheen gaat nadat het over een hoek α rond het punt O is gedraaid - het begin van een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem en het middelpunt van de eenheidscirkel.

Definitie.

Sinus van rotatiehoekα is de ordinaat van het punt A 1 , dat wil zeggen sinα=y .

Definitie.

cosinus van de rotatiehoekα wordt de abscis van het punt A 1 genoemd, dat wil zeggen cosα=x .

Definitie.

Tangens van rotatiehoek:α is de verhouding van de ordinaat van punt A 1 tot zijn abscis, dat wil zeggen, tgα=y/x .

Definitie.

De cotangens van de rotatiehoekα is de verhouding van de abscis van het punt A 1 tot zijn ordinaat, dat wil zeggen ctgα=x/y .

De sinus en cosinus zijn gedefinieerd voor elke hoek α , omdat we altijd de abscis en ordinaat van een punt kunnen bepalen, die wordt verkregen door het startpunt over de hoek te roteren. En tangens en cotangens zijn voor geen enkele hoek gedefinieerd. De raaklijn is niet gedefinieerd voor zulke hoeken α waarbij het beginpunt naar een punt met abscis nul (0, 1) of (0, −1) gaat, en dit gebeurt onder hoeken 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Inderdaad, bij dergelijke rotatiehoeken heeft de uitdrukking tgα=y/x geen zin, aangezien deze een deling door nul bevat. Wat betreft de cotangens, deze is niet gedefinieerd voor dergelijke hoeken α waarop het startpunt gaat naar een punt met de ordinaat nul (1, 0) of (−1, 0) , en dit is het geval voor hoeken 180° k , k ∈Z (π k rad).

Dus de sinus en cosinus zijn gedefinieerd voor alle rotatiehoeken, de tangens is gedefinieerd voor alle hoeken behalve 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), en de cotangens is voor alle hoeken behalve 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

De ons al bekende notaties komen voor in de definities sin, cos, tg en ctg, ze worden ook gebruikt om de sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek aan te duiden (soms vind je de notatie tan en cot corresponderend met tangens en cotangens). Dus de sinus van de rotatiehoek van 30 graden is te schrijven als sin30°, de records tg(−24°17′) en ctgα komen overeen met de tangens van de rotatiehoek −24 graden 17 minuten en de cotangens van de rotatiehoek α . Bedenk dat bij het schrijven van de radiale maat van een hoek de notatie "rad" vaak wordt weggelaten. De cosinus van een rotatiehoek van drie pi rads wordt bijvoorbeeld gewoonlijk aangeduid met cos3 π .

Ter afsluiting van deze paragraaf is het vermeldenswaard dat bij het spreken over de sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek, de uitdrukking "rotatiehoek" of het woord "rotatie" vaak wordt weggelaten. Dat wil zeggen, in plaats van de uitdrukking "sinus van de rotatiehoek alfa", wordt meestal de uitdrukking "sinus van de alfahoek" gebruikt, of zelfs korter - "sinus van alfa". Hetzelfde geldt voor cosinus en tangens en cotangens.

Laten we ook zeggen dat de definities van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek consistent zijn met de definities die zojuist zijn gegeven voor de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een rotatiehoek van 0 tot 90 graden. Wij zullen dit onderbouwen.

Cijfers

Definitie.

Sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal t is een getal dat gelijk is aan respectievelijk de sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek in t radialen.

Zo is de cosinus van het getal 8 π per definitie het getal cosinus hoek van 8 rad. En de cosinus van de hoek in 8 rad is gelijk aan één, daarom is de cosinus van het getal 8 π gelijk aan 1.

Er is een andere benadering voor de definitie van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal. Het bestaat uit het feit dat aan elk reëel getal t een punt van de eenheidscirkel wordt toegewezen met als middelpunt de oorsprong van het rechthoekige coördinatenstelsel, en de sinus, cosinus, tangens en cotangens worden bepaald in termen van de coördinaten van dit punt. Laten we hier nader op ingaan.

Laten we laten zien hoe de overeenkomst tussen reële getallen en punten van de cirkel tot stand komt:

• het cijfer 0 krijgt het startpunt A(1, 0) toegewezen;
• een positief getal t is geassocieerd met een punt op de eenheidscirkel, dat we zullen bereiken als we vanaf het startpunt tegen de klok in rond de cirkel gaan en een pad met lengte t volgen;
• negatief nummer t komt overeen met een punt op de eenheidscirkel, dat we zullen bereiken als we vanaf het startpunt met de klok mee rond de cirkel gaan en een pad met lengte |t| volgen. .

Laten we nu verder gaan met de definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens van het getal t. Laten we aannemen dat het getal t overeenkomt met een punt van de cirkel A 1 (x, y) (bijvoorbeeld het getal &pi/2; komt overeen met het punt A 1 (0, 1) ).

Definitie.

De sinus van een getal t is de ordinaat van het eenheidscirkelpunt dat overeenkomt met het getal t , dat wil zeggen sint=y .

Definitie.

De cosinus van een getal t wordt de abscis genoemd van het punt van de eenheidscirkel die overeenkomt met het getal t , dat wil zeggen kosten=x .

Definitie.

Raaklijn van een getal t is de verhouding van de ordinaat tot de abscis van het punt van de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t, dat wil zeggen tgt=y/x. In een andere equivalente formulering is de tangens van het getal t de verhouding van de sinus van dit getal tot de cosinus, dat wil zeggen tgt=sint/kosten.

Definitie.

Cotangens van een getal t is de verhouding van de abscis tot de ordinaat van het punt van de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t, dat wil zeggen ctgt=x/y. Een andere formulering is als volgt: de tangens van het getal t is de verhouding van de cosinus van het getal t tot de sinus van het getal t: ctgt=kosten/sint.

Hier merken we op dat de zojuist gegeven definities overeenkomen met de definitie die aan het begin van deze paragraaf is gegeven. Inderdaad, het punt van de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t valt samen met het punt dat wordt verkregen door het startpunt te roteren over een hoek van t radialen.

Het is ook de moeite waard om dit punt te verduidelijken. Laten we zeggen dat we een sin3-invoer hebben. Hoe te begrijpen of de sinus van het getal 3 of de sinus van de rotatiehoek van 3 radialen in het geding is? Dit is meestal duidelijk uit de context, anders maakt het waarschijnlijk niet uit.

Trigonometrische functies van hoekige en numerieke argumenten

Volgens de definities in de vorige paragraaf komt elke rotatiehoek α overeen met een goed gedefinieerde waarde sin α , evenals de waarde cos α . Bovendien komen alle andere rotatiehoeken dan 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) overeen met de waarden tgα , en andere dan 180° k , k∈Z (π k rad ) zijn de waarden van ctgα . Daarom zijn sinα, cosα, tgα en ctgα functies van de hoek α. Met andere woorden, dit zijn functies van het hoekargument.

Evenzo kunnen we praten over de functies sinus, cosinus, tangens en cotangens van een numeriek argument. Inderdaad, elk reëel getal t komt overeen met een goed gedefinieerde waarde van sint, evenals met kosten. Bovendien komen alle andere getallen dan π/2+π·k , k∈Z overeen met de waarden tgt , en komen de getallen π·k , k∈Z overeen met de waarden ctgt .

De functies sinus, cosinus, tangens en cotangens worden genoemd basis trigonometrische functies.

Meestal blijkt uit de context dat we te maken hebben met goniometrische functies van een hoekargument of een numeriek argument. Anders kunnen we de onafhankelijke variabele beschouwen als zowel een maat voor de hoek (het hoekargument) als een numeriek argument.

De school bestudeert echter voornamelijk numerieke functies, dat wil zeggen functies waarvan de argumenten, evenals de bijbehorende functiewaarden, getallen zijn. Daarom, als we het over functies hebben, is het raadzaam om trigonometrische functies te beschouwen als functies van numerieke argumenten.

Verbinding van definities uit geometrie en trigonometrie

Als we de rotatiehoek α van 0 tot 90 graden beschouwen, dan zijn de gegevens in de context van trigonometrie van de definitie van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek volledig consistent met de definities van de sinus, cosinus , tangens en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek, die worden gegeven in de cursus meetkunde. Laten we dit onderbouwen.

Teken in een rechthoek cartesiaans systeem Oxy coördineert eenheidscirkel. Let op het startpunt A(1, 0) . Laten we het roteren met een hoek α variërend van 0 tot 90 graden, we krijgen het punt A 1 (x, y) . Laten we de loodlijn A 1 H van het punt A 1 naar de Ox-as laten vallen.

Het is gemakkelijk in te zien dat in een rechthoekige driehoek de hoek A 1 OH gelijk aan de hoek draai α , de lengte van het been OH grenzend aan deze hoek is gelijk aan de abscis van het punt A 1 , dat wil zeggen |OH|=x , de lengte van het been tegenover de hoek A 1 H is gelijk aan de ordinaat van het punt A 1 , dat wil zeggen |A 1 H|=y , en de lengte van de hypotenusa OA 1 is gelijk aan één, aangezien dit de straal van de eenheidscirkel is. Dan is, per definitie uit de meetkunde, de sinus van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek A 1 OH gelijk aan de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa, dat wil zeggen, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= j/1=j . En per definitie uit trigonometrie is de sinus van de rotatiehoek α gelijk aan de ordinaat van het punt A 1, dat wil zeggen sinα=y. Hieruit blijkt dat de definitie van de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de definitie van de sinus van de rotatiehoek α voor α van 0 tot 90 graden.

Evenzo kan worden aangetoond dat de definities van de cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek α consistent zijn met de definities van de cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 graden: studie. voor algemeen onderwijs instellingen / [L. S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev en anderen]. - 20e druk. M.: Onderwijs, 2010. - 384 p.: ziek. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov AV Geometrie: Proc. voor 7-9 cellen. algemene educatie instellingen / A. V. Pogorelov. - 2e druk - M.: Enlightenment, 2001. - 224 p.: afb. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra en elementaire functies: zelfstudie voor leerlingen van het 9e leerjaar middelbare school/ E.S. Kochetkov, E.S. Kochetkova; Bewerkt door doctor in de fysische en wiskundige wetenschappen O. N. Golovin - 4e druk. Moskou: Onderwijs, 1969.
4. Algebra: Proc. voor 9 cellen. gem. school / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S.A. Telyakovsky.- M.: Verlichting, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra en het begin van de analyse: Proc. voor 10-11 cellen. algemene educatie instellingen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn en anderen; Ed. A.N. Kolmogorova.- 14e druk.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovitsj A.G. Algebra en het begin van analyse. Graad 10. Om 14.00 uur Hoofdstuk 1: een tutorial voor onderwijsinstellingen (profielniveau)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 4e druk, toegevoegd. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: afb. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra en begin wiskundige analyse. Graad 10: leerboek. voor algemeen onderwijs instellingen: basis en profiel. niveaus /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; red. A.B. Zhizhchenko. - 3e druk. - I .: Onderwijs, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Basjmakov M.I. Algebra en het begin van de analyse: Proc. voor 10-11 cellen. gem. school - 3e druk. - M.: Verlichting, 1993. - 351 p.: afb. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor kandidaten voor technische scholen): Proc. toeslag.- M.; Hoger school, 1984.-351 p., ziek.