Sellelt lehelt leiate:

1. Tegelikult antiderivaatide tabel – selle saab alla laadida PDF-vormingus ja printida;

2. Video selle tabeli kasutamise kohta;

3. Hunnik näiteid antiderivaadi arvutamisest erinevatest õpikutest ja testidest.

Videos endas analüüsime paljusid ülesandeid, kus on vaja arvutada tuletisvastaseid funktsioone, mis on sageli üsna keerulised, kuid mis kõige tähtsam, need ei ole võimuseadused. Kõik ülaltoodud tabelis kokku võetud funktsioonid peavad olema peast teada, nagu tuletised. Ilma nendeta on integraalide edasine uurimine ja nende rakendamine praktiliste probleemide lahendamisel võimatu.

Täna jätkame primitiivide käsitlemist ja liigume veidi keerulisema teema juurde. Kui eelmine kord käsitlesime antiderivaate ainult võimsusfunktsioonidest ja veidi keerulisematest struktuuridest, siis täna analüüsime trigonomeetriat ja palju muud.

Nagu ma eelmises õppetükis ütlesin, ei lahendata antiderivaate erinevalt tuletistest kunagi "tühjalt" standardreeglite abil. Pealegi on halb uudis see, et erinevalt tuletisest ei pruugita antiderivaati üldse arvesse võtta. Kui kirjutame täiesti juhusliku funktsiooni ja proovime leida selle tuletist, siis see on väga suure tõenäosusega meil õnnestub, kuid primitiivne ei lähe sel juhul peaaegu kunagi arvesse. Kuid on ka häid uudiseid: on olemas üsna suur funktsioonide klass, mida nimetatakse elementaarfunktsioonideks, mille antiderivaate on väga lihtne arvutada. Ja kõik teised on rohkem keerulised struktuurid, mis antakse igasugustel kontrollidel, sõltumatutel ja eksamitel, koosnevad tegelikult nendest elementaarsetest funktsioonidest liitmise, lahutamise ja muude lihtsate toimingute kaudu. Selliste funktsioonide antiderivaadid on pikka aega arvutatud ja kokku võetud spetsiaalsetes tabelites. Just selliste funktsioonide ja tabelitega me täna töötame.

Kuid alustame, nagu alati, kordusega: pidage meeles, mis on antiderivaat, miks neid on lõpmatult palju ja kuidas neid määrata. üldine vorm. Selleks valisin kaks lihtsat ülesannet.

Lihtsate näidete lahendamine

Näide nr 1

Pange kohe tähele, et $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ja $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ vihjab meile kohe, et funktsiooni nõutav antiderivatiiv on seotud trigonomeetriaga. Ja tõepoolest, kui vaatame tabelit, leiame, et $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ pole midagi muud kui $\text(arctg)x$. Nii et kirjutame:

Leidmiseks peate kirjutama järgmise:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Näide nr 2

Siin räägime ka sellest trigonomeetrilised funktsioonid. Kui vaatame tabelit, selgub see tõepoolest nii:

Peame kogu antiderivaatide komplekti hulgast leidma selle, mis läbib määratud punkti:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Paneme selle lõpuks kirja:

Nii lihtne see ongi. Ainus probleem on primitiivide kokkulugemine lihtsad funktsioonid, peate õppima antiderivaatide tabelit. Kuid pärast tuletiste tabeli õppimist arvan, et see pole probleem.

Eksponentfunktsiooni sisaldavate ülesannete lahendamine

Alustame järgmiste valemite kirjutamisega:

\[((e)^(x))\kuni ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Vaatame, kuidas see kõik praktikas toimib.

Näide nr 1

Kui vaatame sulgude sisu, siis märkame, et antiderivaatide tabelis pole sellist avaldist, et $((e)^(x))$ on ruudus, seega tuleb see ruut avada. Selleks kasutame lühendatud korrutusvalemeid:

Leiame iga termini jaoks antiderivaadi:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \parem))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \parem))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Ja nüüd kogume kõik terminid ühte avaldisse ja saame ühise antiderivaadi:

Näide nr 2

Seekord on eksponent juba suurem, nii et lühendatud korrutusvalem on üsna keeruline. Laiendame sulgusid:

Proovime nüüd sellest konstruktsioonist võtta meie valemi antiderivaadi:

Nagu näete, pole eksponentsiaalfunktsiooni antiderivaatides midagi keerulist ja üleloomulikku. Kõik üks on arvutatud tabelite kaudu, kuid tähelepanelikud õpilased märkavad kindlasti, et antiderivatiiv $((e)^(2x))$ on palju lähemal vaid $((e)^(x))$ kui $((a )^(x ))$. Ehk on mõni erilisem reegel, mis lubab antideriviivi $((e)^(x))$ teades leida $((e)^(2x))$? Jah, selline reegel on olemas. Ja pealegi on see antiderivaatide tabeliga töötamise lahutamatu osa. Nüüd analüüsime seda samade väljendite abil, millega äsja näitena töötasime.

Antiderivaatide tabeliga töötamise reeglid

Kirjutame oma funktsiooni ümber:

Eelmisel juhul kasutasime lahendamiseks järgmist valemit:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operaatorinimi(lna))\]

Aga nüüd teeme midagi teisiti: pidage meeles, mis alusel $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Nagu juba öeldud, kuna $((e)^(x))$ tuletis pole midagi muud kui $((e)^(x))$, siis on selle antiderivaat võrdne samaga $((e) ^( x))$. Kuid probleem on selles, et meil on $((e)^(2x))$ ja $((e)^(-2x))$. Nüüd proovime leida tuletist $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \parem))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Kirjutame oma konstruktsiooni uuesti ümber:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Ja see tähendab, et antiderivaadi $((e)^(2x))$ leidmisel saame järgmise:

\[((e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]

Nagu näete, saime sama tulemuse, mis varem, kuid me ei kasutanud $((a)^(x))$ leidmiseks valemit. Nüüd võib see tunduda rumal: miks teha arvutusi keeruliseks, kui on olemas standardvalem? Kuid veidi keerulisemates väljendites näete, et see tehnika on väga tõhus, st. derivaatide kasutamine antiderivaatide leidmiseks.

Leiame soojenduseks sarnaselt $((e)^(2x))$ antiderivaadi:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Arvutamisel kirjutatakse meie konstruktsioon järgmiselt:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Saime täpselt sama tulemuse, aga läksime teistpidi. Just see viis, mis praegu tundub meile veidi keerulisem, on tulevikus tõhusam keerukamate antiderivaatide arvutamisel ja tabelite kasutamisel.

Märge! See on väga oluline punkt: antiderivaate ja ka derivaate saab lugeda komplektina erinevaid viise. Kui aga kõik arvutused ja arvutused on võrdsed, on vastus sama. Me nägime seda äsja $((e)^(-2x))$ näites - ühelt poolt oleme selle antiderivaadi arvutanud "läbi", kasutades definitsiooni ja arvutades selle teisenduste abil, teisest küljest tuli meelde, et $ ((e)^(-2x))$ saab esitada kui $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ ja siis kasutage funktsiooni $( (a)^(x))$ jaoks antiderivatiivi. Pärast kõiki ümberkujundamisi on aga tulemus ootuspärane.

Ja nüüd, kui me seda kõike mõistame, on aeg liikuda millegi sisulisema juurde. Nüüd analüüsime kahte lihtsat konstruktsiooni, kuid nende lahendusse kaasatav tehnika on võimsam ja kasulik tööriist kui lihtne "jooksmine" naaberprimitiivide vahel tabelist.

Probleemi lahendamine: funktsiooni antituletise leidmine

Näide nr 1

Andke lugejates olev summa, jagage see kolmeks eraldi murduks:

See on üsna loomulik ja arusaadav üleminek – enamikul õpilastest pole sellega probleeme. Kirjutame oma väljendi ümber järgmiselt:

Nüüd meenutagem seda valemit:

Meie puhul saame järgmise:

Kõigist nendest kolmekorruselistest murdudest vabanemiseks soovitan teha järgmist:

Näide nr 2

Erinevalt eelmisest murrust ei ole nimetaja korrutis, vaid summa. Sel juhul ei saa me enam jagada oma murdosa mitme lihtmurru summaga, vaid peame kuidagi püüdma veenduda, et lugeja sisaldab ligikaudu sama avaldist kui nimetaja. IN sel juhul seda on üsna lihtne teha:

Selline märge, mida matemaatika keeles nimetatakse "nulli lisamiseks", võimaldab meil murdosa uuesti jagada kaheks osaks:

Nüüd leiame selle, mida otsisime:

See on kõik arvutused. Vaatamata näilisele suuremale keerukusele kui eelmises ülesandes, osutus arvutuste maht veelgi väiksemaks.

Lahenduse nüansid

Ja siin peitub tabeliprimitiividega töötamise peamine raskus, see on eriti märgatav teises ülesandes. Fakt on see, et mõne elemendi valimiseks, mida tabeli kaudu hõlpsasti loetakse, peame teadma, mida täpselt otsime, ja kogu antiderivatiivide arvutus koosneb nende elementide otsimisest.

Teisisõnu ei piisa ainult antiderivaatide tabeli päheõppimisest – tuleb osata näha midagi, mida veel pole, vaid mida selle probleemi autor ja koostaja mõtles. Seetõttu vaidlevad paljud matemaatikud, õpetajad ja professorid pidevalt: "Mis on antiderivaatide võtmine või integreerimine - kas see on lihtsalt tööriist või on see tõeline kunst?" Tegelikult ei ole lõimumine minu isikliku arvamuse kohaselt üldse kunst – selles pole midagi ülevat, on vaid harjutamine ja veelkord harjutamine. Ja harjutamiseks lahendame kolm tõsisemat näidet.

Harjutage integreerimist praktikas

Ülesanne nr 1

Kirjutame järgmised valemid:

\[((x)^(n))\ kuni \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Kirjutame järgmise:

Ülesanne nr 2

Kirjutame selle ümber järgmiselt:

Antiderivatiivi kogusumma on võrdne:

Ülesanne nr 3

Selle ülesande keerukus seisneb selles, et erinevalt eelmistest funktsioonidest ei ole kohal muutujat $x$, s.t. meile pole selge, mida lisada, lahutada, et saada vähemalt midagi sarnast allpool kirjeldatule. Kuid tegelikult peetakse seda avaldist veelgi lihtsamaks kui mis tahes avaldist eelmistest konstruktsioonidest, sest seda funktsiooni saab ümber kirjutada nii:

Nüüd võite küsida: miks need funktsioonid on võrdsed? Kontrollime:

Kirjutame uuesti:

Muudame veidi oma väljendit:

Ja kui ma seda kõike oma õpilastele seletan, tekib peaaegu alati sama probleem: esimese funktsiooniga on kõik enam-vähem selge, teisega saab ka õnne või praktikaga selgeks, aga mis alternatiivteadvusega. kolmanda näite lahendamiseks peab teil olema? Tegelikult ärge kartke. Meetodit, mida kasutasime viimase antiderivaadi arvutamisel, nimetatakse "funktsiooni lammutamiseks lihtsaimaks" ja see on väga tõsine tehnika ning sellele pühendatakse eraldi videotund.

Seniks teen ettepaneku naasta äsja uuritu juurde, nimelt eksponentsiaalfunktsioonide juurde ja muuta ülesanded nende sisuga mõnevõrra keerulisemaks.

Keerulisemad ülesanded antiderivatiivsete eksponentsiaalfunktsioonide lahendamiseks

Ülesanne nr 1

Pange tähele järgmist.

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Selle avaldise antiderivaadi leidmiseks kasutage lihtsalt standardvalemit $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Meie puhul on primitiiv järgmine:

Muidugi, meie äsja lahendatud ehituse taustal tundub see lihtsam.

Ülesanne nr 2

Jällegi on lihtne näha, et seda funktsiooni on lihtne jagada kaheks eraldi terminiks – kaheks eraldi murduks. Kirjutame ümber:

Jääb üle leida kõigi nende terminite antiderivaadid ülaltoodud valemi järgi:

Vaatamata eksponentsiaalfunktsioonide näilisele suuremale keerukusele võrreldes võimsusfunktsioonidega, osutus arvutuste ja arvutuste kogumaht palju lihtsamaks.

Teadlikele õpilastele võib äsja käsitletu (eriti varem käsitletu taustal) tunduda muidugi elementaarsete väljenditena. Kuid valides need kaks ülesannet tänaseks videoõpetuseks, ei seadnud ma endale eesmärgiks rääkida teile veel üks keeruline ja keeruline nipp – tahtsin teile näidata ainult seda, et te ei tohiks karta kasutada algebraliste funktsioonide muutmiseks standardseid algebra nippe. .

"Salajase" tehnika kasutamine

Kokkuvõtteks tahaksin analüüsida veel üht huvitavat tehnikat, mis ühest küljest läheb kaugemale sellest, mida oleme täna põhiliselt analüüsinud, kuid teisalt pole see esiteks sugugi keeruline, s.t. isegi algajad õpilased oskavad seda valdada ja teiseks leidub seda üsna sageli igasugustel juhtseadmetel ja iseseisev töö, st. selle teadmine on lisaks antiderivaatide tabeli tundmisele väga kasulik.

Ülesanne nr 1

Ilmselgelt on meil midagi väga sarnast võimsusfunktsiooniga. Kuidas peaksime sel juhul toimima? Mõelgem sellele: $x-5 $ ei erine $x$-st mitte nii palju - lihtsalt lisatud $-5 $. Kirjutame selle nii:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Proovime leida $((\left(x-5 \right))^(5))$ tuletist:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

See tähendab:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ paremal))^(\peamine ))\]

Tabelis sellist väärtust pole, seega oleme nüüd selle valemi ise tuletanud, kasutades standardset tuletisvastast valemit toitefunktsioon. Kirjutame vastuse nii:

Ülesanne nr 2

Paljudele õpilastele, kes esimest lahendust vaatavad, võib tunduda, et kõik on väga lihtne: piisab, kui asendada võimsusfunktsioonis $x$ lineaaravaldisega ja kõik loksub paika. Kahjuks pole kõik nii lihtne ja nüüd näeme seda.

Analoogiliselt esimese avaldisega kirjutame järgmise:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Tulles tagasi tuletise juurde, võime kirjutada:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \parem))^(\prime ))\]

Siit järeldub kohe:

Lahenduse nüansid

Pange tähele: kui eelmisel korral midagi sisuliselt ei muutunud, siis teisel juhul ilmus $-10 $ asemel -30 $. Mis vahe on -10 $ ja -30 $ vahel? Ilmselgelt -3 dollari võrra. Küsimus: kust see tuli? Tähelepanelikult vaadates on näha, et see võeti tuletise arvutamise tulemusena keeruline funktsioon- koefitsient, mis oli $x$, kuvatakse allolevas antiderivatiivis. See on väga oluline reegel, mida ma esialgu tänases videoõpetuses üldse analüüsida ei plaaninud, kuid ilma selleta jääks tabeliliste antiderivaatide esitlemine poolikuks.

Nii et teeme seda uuesti. Olgu siin meie peamine jõufunktsioon:

\[((x)^(n))\ kuni \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ja nüüd asendame $x$ asemel avaldisega $kx+b$. Mis siis saab? Peame leidma järgmise:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \right)\cdot k)\]

Mille alusel me seda väidame? Väga lihtne. Leiame ülal kirjutatud konstruktsiooni tuletise:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

See on sama väljend, mis algselt oli. Seega on ka see valem õige ja seda saab kasutada antiderivaatide tabeli täiendamiseks, kuid parem on kogu tabel lihtsalt meeles pidada.

Järeldused "saladusest: vastuvõtt:

• Mõlemad funktsioonid, mida just vaatlesime, saab astmeid avades taandada tegelikult tabelis näidatud antiderivaatideks, aga kui neljanda astmega enam-vähem kuidagi hakkama saame, siis üheksandat kraadi ma üldse ei teeks. julges paljastada.
• Kui peaksime kraadid lahti tegema, siis saaksime sellise arvutusmahu, et lihtne ülesanne võtaks meid ebapiisavalt suur hulk aega.
• Seetõttu ei pea selliseid ülesandeid, mille sees on lineaarsed avaldised, lahendama "tühjaks". Niipea kui kohtate antiderivaati, mis erineb tabelis olevast ainult selle poolest, et sees on avaldis $kx+b$, pidage kohe meeles ülal kirjutatud valem, asendage see oma tabelina antiderivaatiga ja kõik selgub palju. kiiremini ja lihtsamalt.

Loomulikult pöördume selle tehnika keerukuse ja tõsiduse tõttu tulevastes videoõpetustes selle käsitlemise juurde korduvalt tagasi, kuid tänaseks on mul kõik olemas. Loodan, et see õppetund aitab tõesti neid õpilasi, kes soovivad mõista antiderivaate ja integratsiooni.

Integreerimise põhivalemid ja meetodid. Summa või vahe integreerimise reegel. Konstandi väljavõtmine integraalmärgist. Muutuv asendusmeetod. Osade kaupa integreerimise valem. Näide probleemi lahendamisest.

Allpool on loetletud neli peamist integreerimismeetodit.

1) Summa või vahe integreerimise reegel.
.
Siin ja allpool on u, v, w integratsioonimuutuja x funktsioonid.

2) Konstandi väljavõtmine integraalmärgist.
Olgu c x-st sõltumatu konstant. Siis saab selle integraalmärgist välja võtta.

3) Muutuv asendusmeetod.
Vaatleme määramatut integraali.
Kui on võimalik valida selline funktsioon φ (x) alates x , nii
,
siis pärast muutuja t = φ(x) muutmist on meil
.

4) Osade kaupa integreerimise valem.
,
kus u ja v on integratsioonimuutuja funktsioonid.

Lõplik eesmärk määramatute integraalide arvutamine on teisenduste kaudu viia antud integraal kõige lihtsamate integraalideni, mida nimetatakse tabeliteks. Tabeliintegraale väljendatakse elementaarfunktsioonidena, kasutades üldtuntud valemeid.
Vaata integraalide tabelit >>>

Näide

Arvuta määramata integraal

Lahendus

Pange tähele, et integrand on kolme liikme summa ja erinevus:
, Ja .
Me rakendame meetodit 1 .

Lisaks märgime, et uute integraalide integrandid korrutatakse konstantidega 5, 4, Ja 2 , vastavalt. Me rakendame meetodit 2 .

Integraalide tabelist leiame valemi
.
Säte n = 2 , leiame esimese integraali.

Kirjutame teise integraali vormi ümber
.
Märkame seda. Siis

Kasutame kolmandat meetodit. Teeme muutuja t = φ muutuse (x) = log x.
.
Integraalide tabelist leiame valemi

Kuna integratsioonimuutuja võib siis tähistada mis tahes tähega

Kirjutame vormis ümber kolmanda integraali
.
Rakendame osade kaupa integreerimise valemit.
Laske .
Siis
;
;

;
;
.

Koolis ei suuda paljud integraalid lahendada või on nendega probleeme. See artikkel aitab teil selle välja mõelda, kuna leiate sellest kõik. integraalide tabelid.

Integraalne on üks peamisi arvutusi ja kontseptsioone matemaatiline analüüs. Tema välimus tekkis kahel eesmärgil:
Esimene sihtmärk- taastage funktsioon selle tuletise abil.
Teine värav- graafikust funktsiooni f (x) kaugusel asuva pindala arvutamine sirgel, kus a on suurem või võrdne x on suurem või võrdne b ja abstsisstelljega.

Need eesmärgid viivad meid kindlate ja määramatute integraalideni. Nende integraalide vaheline seos seisneb omaduste otsimises ja arvutamises. Kuid kõik voolab ja kõik muutub ajaga, leiti uusi lahendusi, ilmnes täiendusi, tuues seeläbi kindlaid ja ebamääraseid integraale teistesse integratsioonivormidesse.

Mis on juhtunud määramatu integraal te küsite. See on ühe muutuja x antiderivatiivne funktsioon F(x) vahemikus a, mis on suurem kui x suurem kui b. nimetatakse mis tahes funktsiooniks F(x), antud intervallis mis tahes tähise x korral on tuletis võrdne F(x). On selge, et F(x) on f(x) antiderivaat vahemikus a, mis on suurem kui x suurem kui b. Seega F1(x) = F(x) + C. C - on f(x) mis tahes konstant ja antituletis antud intervallis. See väide on pöörduv, funktsiooni f(x) - 2 puhul erinevad antiderivaadid ainult konstandi poolest. Integraalarvutuse teoreemi põhjal selgub, et iga pidev intervallis a

Kindel integraal mõistetakse limiidina integraalsummades või antud funktsiooni f(x) olukorras, mis on defineeritud mõnel real (a, b), millel on antituletis F, mis tähendab selle avaldiste erinevust selle rea otstes F(b) - F(a).

Selguse huvides soovitan selle teema uurimisel videot vaadata. See selgitab üksikasjalikult ja näitab, kuidas leida integraale.

Iga integraalitabel on iseenesest väga kasulik, kuna aitab lahendada teatud tüüpi integraali.

Kõik võimalikud tüübid kirjatarbed ja palju muud. Saate osta veebipoe v-kant.ru kaudu. Või järgige lihtsalt linki Kirjatarvete Samara (http://v-kant.ru) kvaliteet ja hinnad üllatavad teid meeldivalt.

Varasemas materjalis käsitleti tuletise leidmise küsimust ja selle erinevaid rakendusi: graafiku puutuja kalde arvutamine, optimeerimisülesannete lahendamine, funktsioonide uurimine monotoonsuse ja ekstreemsuste jaoks. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nlimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nlimits)$

1. pilt.

Arvesse võeti ka hetkkiiruse $v(t)$ leidmise probleemi, kasutades tuletist varem teadaoleva läbitud vahemaa suhtes, mida väljendatakse funktsiooniga $s(t)$.

Joonis 2.

Väga levinud on ka pöördülesanne, kui on vaja leida tee $s(t)$, mille läbib ajahetk $t$, teades punkti $v(t)$ kiirust. Kui mäletate, leitakse hetkekiirus $v(t)$ teefunktsiooni $s(t)$ tuletis: $v(t)=s’(t)$. See tähendab, et pöördülesande lahendamiseks ehk teekonna arvutamiseks tuleb leida funktsioon, mille tuletis on võrdne kiirusfunktsiooniga. Kuid me teame, et tee tuletis on kiirus, st $s'(t) = v(t)$. Kiirus võrdub kiirenduse ja aja korrutisega: $v=at$. On lihtne kindlaks teha, et soovitud teefunktsioon on kujul: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Kuid see pole päris täielik lahendus. Täielik lahendus näeb välja selline: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, kus $C$ on mingi konstant. Miks see nii on, sellest räägitakse hiljem. Seniks kontrollime leitud lahenduse õigsust: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.

Väärib märkimist, et tee leidmine kiiruse mõttes on füüsiline tähendus primitiivne.

Saadud funktsiooni $s(t)$ nimetatakse funktsiooni $v(t)$ antituletiseks. Päris huvitav ja ebatavaline nimi, kas pole. Selles on palju tähendust, mis selgitab olemuse see kontseptsioon ja viib mõistmiseni. Näete, et see sisaldab kahte sõna "esimene" ja "pilt". Nad räägivad enda eest. See tähendab, et see on funktsioon, mis on meie tuletise originaal. Ja selle tuletise järgi otsime funktsiooni, mis oli alguses, oli "esimene", "esimene pilt", see tähendab antiderivaat. Mõnikord nimetatakse seda ka primitiivseks funktsiooniks või antiderivatiiviks.

Nagu me juba teame, nimetatakse tuletise leidmise protsessi diferentseerimiseks. Ja antiderivaadi leidmise protsessi nimetatakse integreerimiseks. Integreerimisoperatsioon on diferentseerimisoperatsiooni pöördtehing. Ka vastupidine on tõsi.

Definitsioon. Funktsiooni $f(x)$ antituletiseks mingil intervallil on funktsioon $F(x)$, mille tuletis on võrdne selle funktsiooniga $f(x)$ kõigi määratud intervalli $x$ jaoks: $F'( x)=f (x)$.

Kellelgi võib tekkida küsimus: kust tulid definitsioonis $F(x)$ ja $f(x)$, kui algselt oli jutt $s(t)$ ja $v(t)$ kohta. Fakt on see, et $s(t)$ ja $v(t)$ on funktsioonide määramise erijuhud, millel on antud juhul konkreetne tähendus, st need on vastavalt aja ja kiiruse funktsioon. Sama kehtib ka muutuja $t$ kohta – see tähistab aega. Ja $f$ ja $x$ on vastavalt funktsiooni ja muutuja üldnimetuse traditsiooniline variant. Tasub maksta Erilist tähelepanu antiderivatiivsele tähistusele $F(x)$. Esiteks on $ F $ kapital. Primitiivid on tähistatud suurte tähtedega. Teiseks on tähed samad: $F$ ja $f$. See tähendab, et funktsiooni $g(x)$ puhul tähistatakse antiderivaatit $G(x)$, $z(x)$ puhul - $Z(x)$. Sõltumata tähistusest on antiderivatiivse funktsiooni leidmise reeglid alati samad.

Vaatame mõnda näidet.

Näide 1 Tõesta, et funktsioon $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ on funktsiooni $f(x)=\cos5x$ antituletis.

Selle tõestamiseks kasutame definitsiooni ja täpsemalt need asjaolu, et $F'(x)=f(x)$, ja leidke funktsiooni $F(x)$ tuletis: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)' =\frac (1) (5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Seega $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ on $f(x)=\cos5x$ antiderivaat. Q.E.D.

Näide 2 Leia, millistele funktsioonidele vastavad järgmised antiderivaadid: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Soovitud funktsioonide leidmiseks arvutame nende tuletised:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Näide 3 Mis on $f(x)=0$ antiderivaat?
Kasutame määratlust. Mõelgem, millise funktsiooni tuletis võib olla $0$. Tuletiste tabelit meenutades saame, et igal konstandil on selline tuletis. Saame, et otsitav antiderivaat: $F(x)= C$.

Saadud lahendust saab seletada geomeetriliselt ja füüsikaliselt. Geomeetriliselt tähendab see, et graafiku $y=F(x)$ puutuja on selle graafiku igas punktis horisontaalne ja langeb seetõttu kokku teljega $Ox$. Füüsiliselt seletatav sellega, et punkt, mille kiirus on võrdne nulliga, jääb paigale, see tähendab, et tema läbitav teekond on muutumatu. Selle põhjal saame sõnastada järgmise teoreemi.

Teoreem. (Funktsiooni püsivuse märk). Kui $F'(x) = 0$ mingil intervallil, siis funktsioon $F(x)$ on sellel intervallil konstantne.

Näide 4 Määrake, milliste funktsioonide antiderivaadid on funktsioonid a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, kus $a$ on mingi arv.
Kasutades antiderivaati definitsiooni, järeldame, et selle ülesande lahendamiseks peame välja arvutama meile antud antiderivatiivi funktsioonide tuletised. Arvutamisel pidage meeles, et konstandi tuletis, see tähendab mis tahes arvu, on võrdne nulliga.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Mida me näeme? Mitmed erinevad funktsioonid on sama funktsiooni antiderivaadid. See tähendab, et igal funktsioonil on lõpmatult palju antiderivaate ja need on kujul $F(x) + C$, kus $C$ on suvaline konstant. See tähendab, et integratsiooni toimimine on erinevalt diferentseerimise toimimisest mitme väärtusega. Sellest lähtuvalt sõnastame teoreemi, mis kirjeldab antiderivaatide põhiomadust.

Teoreem. (Primitiivide peamine omadus). Olgu funktsioonid $F_1$ ja $F_2$ antiderivatiivsed funktsioonid$f(x)$ mingil intervallil. Siis kehtib kõigi selle intervalli väärtuste puhul järgmine võrdsus: $F_2=F_1+C$, kus $C$ on mingi konstant.

Lõpmatu hulga antiderivaatide olemasolu fakti saab tõlgendada geomeetriliselt. Paralleeltõlke abil piki telge $Oy$ saab üksteisest saada graafikud mis tahes kahe antiderivaadi kohta $f(x)$ jaoks. See on antiderivaadi geomeetriline tähendus.

Väga oluline on pöörata tähelepanu sellele, et valides konstandi $C$ on võimalik panna antiderivaadi graafik läbima teatud punkti.

Joonis 3

Näide 5 Leia antituletis funktsioonile $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, mille graafik läbib punkti $(3; 1)$.
Leiame esmalt kõik $f(x)$ antiderivaadid: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Järgmiseks leiame arvu C, mille puhul graafik $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ läbib punkti $(3; 1)$. Selleks asendame punkti koordinaadid graafiku võrrandis ja lahendame selle $C$ suhtes:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Saime graafiku $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, mis vastab antituletisele $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Antiderivaatide tabel

Antiderivaatide leidmise valemite tabeli saab koostada derivaatide leidmise valemite abil.

Tabeli õigsust saate kontrollida järgmiselt: iga parempoolses veerus asuva antiderivaatide komplekti jaoks leidke tuletis, mille tulemusena saadakse vasakpoolses veerus vastavad funktsioonid.

Mõned reeglid antiderivaatide leidmiseks

Nagu teate, on paljudel funktsioonidel rohkem keeruline vaade kui need, mis on näidatud antiderivaatide tabelis, ja see võib olla mis tahes suvaline kombinatsioon summadest ja funktsioonide korrutistest sellest tabelist. Ja siin tekib küsimus, kuidas arvutada sarnaste funktsioonide antiderivaate. Näiteks tabelist teame, kuidas arvutada antiderivaadid $x^3$, $\sin x$ ja $10$. Kuidas aga arvutada näiteks antiderivatiiv $x^3-10\sin x$? Tulevikku vaadates tasub märkida, et see võrdub $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Kui $F(x)$ on $f(x)$ antiderivaat, $G(x)$ on $g(x)$, siis $f(x)+g(x)$ puhul on antiderivaat on võrdne $ F(x)+G(x)$.
2. Kui $F(x)$ on $f(x)$ antiderivaat ja $a$ on konstant, siis $af(x)$ puhul on antiderivaat $aF(x)$.
3. Kui $f(x)$ puhul on antiderivaat $F(x)$, $a$ ja $b$ on konstandid, siis $\frac(1)(a) F(ax+b)$ on antiderivaat $f (kirves+b)$.
Saadud reeglite abil saame antiderivaatide tabelit laiendada.

Näide 5 Leia antiderivaadid:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Loetleme elementaarfunktsioonide integraalid, mida mõnikord nimetatakse tabeliteks:

Mistahes ülaltoodud valemit saab tõestada, võttes parempoolse külje tuletise (selle tulemusena saadakse integrand).

Integratsioonimeetodid

Vaatleme mõningaid integreerimise põhimeetodeid. Need sisaldavad:

1. Lagundamise meetod(otsene integratsioon).

See meetod põhineb tabelintegraalide otsesel rakendamisel, aga ka määramatu integraali omaduste 4 ja 5 rakendamisel (st konstantse teguri väljavõtmine sulust ja/või integrandi esitamine funktsioonide summana - laiendades integrandi terminiteks).

Näide 1 Näiteks (dx/x 4) leidmiseks saate otse kasutada tabeliintegraali x n dx jaoks. Tõepoolest, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Vaatame veel paar näidet.

Näide 2 Leidmiseks kasutame sama integraali:

Näide 3 Leidmiseks peate võtma

Näide 4 Leidmiseks esindame integrandi kujul ja kasutada tabeli integraal eksponentsiaalfunktsiooni jaoks:

Kaaluge konstantse teguri sulgude kasutamist.

Näide 5Leiame näiteks . Seda arvestades saame

Näide 6 Otsime üles. Kuna , kasutame tabeli integraali Hangi

Sulgusid ja tabeliintegraale saate kasutada ka kahes järgmises näites.

Näide 7

(kasutame ja );

Näide 8

(me kasutame Ja ).

Vaatame keerukamaid näiteid, mis kasutavad summaintegraali.

Näide 9 Näiteks leiame
. Laiendusmeetodi rakendamiseks lugejas kasutame summa-kuubi valemit  ja jagame saadud polünoomiliikmete kaupa nimetajaga.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Tuleb märkida, et lahenduse lõppu kirjutatakse üks ühine konstant C (ja mitte iga termini integreerimisel eraldi). Edaspidi tehakse ka ettepanek konstandid üksikute terminite integreerimisest lahendusprotsessis välja jätta seni, kuni avaldis sisaldab vähemalt ühte määramatut integraali (ühe konstandi kirjutame lahenduse lõppu).

Näide 10 Otsime üles . Selle ülesande lahendamiseks faktoriseerime lugeja (pärast seda saame nimetajat vähendada).

Näide 11. Otsime üles. Siin saab kasutada trigonomeetrilisi identiteete.

Mõnikord tuleb avaldise terminiteks lagundamiseks kasutada keerukamaid tehnikaid.

Näide 12. Otsime üles . Integrandis valime murdosa täisarvulise osa . Siis

Näide 13 Otsime üles

2. Muutuv asendusmeetod (asendusmeetod)

Meetod põhineb järgmisel valemil: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kus x =(t) on vaadeldaval intervallil diferentseeruv funktsioon.

Tõestus. Leiame valemi vasakust ja paremast osast tuletised muutuja t suhtes.

Pange tähele, et vasakul pool on kompleksfunktsioon, mille vaheargument on x = (t). Seetõttu eristamaks seda t suhtes, eristame esmalt integraali x suhtes ja seejärel võtame vaheargumendi tuletise t suhtes.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Parema külje tuletis:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Kuna need tuletised on võrdsed, siis Lagrange'i teoreemi järelduvalt erinevad tõestatava valemi vasak ja parem osa mingi konstandi võrra. Kuna määramata integraalid ise on defineeritud kuni määramata konstandiliikmeni, võib selle konstandi lõplikus tähistuses välja jätta. Tõestatud.

Muutuja edukas muutmine võimaldab algset integraali lihtsustada ja kõige lihtsamal juhul taandada tabeliks. Selle meetodi rakendamisel eristatakse lineaarse ja mittelineaarse asendamise meetodeid.

a) Lineaarne asendusmeetod vaatame näidet.

Näide 1
. Lett = 1 – 2x, siis

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

Tuleb märkida, et uut muutujat ei pea selgesõnaliselt välja kirjutama. Sellistel juhtudel räägitakse funktsiooni teisendamisest diferentsiaali märgi all või konstantide ja muutujate sisseviimisest diferentsiaali märgi alla, s.t. O kaudne muutuja asendus.

Näide 2 Leiame näiteks cos(3x + 2)dx. Diferentsiaali omaduste järgi dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), siiscos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Mõlemas vaadeldavas näites kasutati integraalide leidmiseks lineaarset asendust t=kx+b(k0).

Üldjuhul kehtib järgmine teoreem.

Lineaarne asendusteoreem. Olgu F(x) funktsiooni f(x) antituletis. Siisf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kus k ja b on mingid konstandid,k0.

Tõestus.

Integraali f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definitsiooni järgi. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Integraalimärgi jaoks võtame välja konstantteguri k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nüüd saame jagada võrduse vasaku ja parema osa k-ga ja saada tõestatava väite kuni konstantse liikme tähistuseni.

See teoreem väidab, et kui integraali f(x)dx= F(x) + C definitsioonis asendada avaldis (kx+b), siis see toob kaasa lisateguri 1/k ilmumise ees. antiderivaadist.

Tõestatud teoreemi abil lahendame järgmised näited.

Näide 3

Otsime üles . Siin kx+b= 3 –x, st k= -1,b= 3. Siis

Näide 4

Otsime üles. Siin kx+b= 4x+ 3, st k= 4,b= 3. Siis

Näide 5

Otsime üles . Siin kx+b= -2x+ 7, st k= -2,b= 7. Siis

.

Näide 6 Otsime üles
. Siin kx+b= 2x+ 0, st k= 2,b= 0.

.

Võrdleme saadud tulemust näitega 8, mis oli lahendatud dekomponeerimismeetodil. Lahendades sama probleemi mõne muu meetodiga, saime vastuse
. Võrdleme tulemusi: Seega erinevad need avaldised üksteisest konstantse liikme võrra , st. saadud vastused ei ole vastuolus.

Näide 7 Otsime üles
. Valime nimetajasse täisruudu.

Mõnel juhul ei taanda muutuja muutmine integraali otse tabeliks, kuid see võib lahendust lihtsustada, võimaldades järgmises etapis rakendada dekomponeerimismeetodit.

Näide 8 Näiteks leiame . Asenda t=x+ 2, siis dt=d(x+ 2) =dx. Siis

,

kus C \u003d C 1 - 6 (kui asendada t asemel avaldis (x + 2), saame kahe esimese liikme asemel ½x 2 -2x - 6).

Näide 9 Otsime üles
. Olgu t= 2x+ 1, siis dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Asendame t asemel avaldise (2x + 1), avame sulud ja anname sarnased.

Pange tähele, et teisenduste käigus läksime üle teisele konstantsele terminile, sest konstantsete terminite rühma teisenduste protsessis võiks ära jätta.

b) Mittelineaarse asendamise meetod vaatame näidet.

Näide 1
. Olgu t= -x 2 . Lisaks võib x-i väljendada t-ga, seejärel leida avaldise dx jaoks ja rakendada muutuja muudatust nõutavas integraalis. Aga sel juhul on lihtsam teisiti teha. Leidke dt=d(-x 2) = -2xdx. Pange tähele, et avaldis xdx on nõutava integraali integrandi tegur. Avaldame selle saadud võrrandist xdx= - ½dt. Siis