Definitsioon. Taandusvalemeid nimetatakse valemiteks, mis võimaldavad liikuda vormi trigonomeetrilistelt funktsioonidelt argumentfunktsioonidele. Nende abil saab suvalise nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi taandada nurga 0 kuni 90 kraadi (0-st radiaanini) siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensiks. Seega võimaldavad redutseerimisvalemid liikuda edasi 90-kraadise nurga all töötamise juurde, mis on kahtlemata väga mugav.

Valemid:

Valemite kasutamisel on kaks reeglit.

1. Kui nurka saab esitada kui (π/2 ±a) või (3*π/2 ±a), siis funktsiooni nimi muutub sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Kui nurka saab esitada kui (π ±a) või (2*π ±a), siis funktsiooni nimi jääb muutumatuks.

Vaadake allolevat joonist, see näitab skemaatiliselt, millal tuleks märki muuta ja millal mitte.

2. Vähendatud funktsiooni märk jääb samaks. Kui algsel funktsioonil oli plussmärk, siis ka vähendatud funktsioonil on plussmärk. Kui algsel funktsioonil oli miinusmärk, siis vähendatud funktsioonil on ka miinusmärk.

Alloleval joonisel on näidatud peamiste trigonomeetriliste funktsioonide märgid sõltuvalt kvartalist.

Näide:

Arvutama

Kasutame redutseerimisvalemeid:

Sin(150˚) on teises veerandis, jooniselt näeme, et patu märk selles kvartalis on võrdne "+". See tähendab, et ülaltoodud funktsioonil on ka "+" märk. Oleme rakendanud teist reeglit.

Nüüd 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ on π/2. See tähendab, et tegemist on juhtumiga π / 2 + 60, seetõttu muudame esimese reegli kohaselt funktsiooni sin asemel cos. Selle tulemusena saame Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Redutseerimisvalemid on suhted, mis võimaldavad teil minna siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensilt nurkadega \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` nurga `\alpha' samadele funktsioonidele, mis on ühikuringi esimeses veerandis. Seega "viivad" redutseerimisvalemid meid töötama nurkadega vahemikus 0 kuni 90 kraadi, mis on väga mugav.

Kokku on 32 redutseerimisvalemit. Need tulevad kahtlemata kasuks eksamitel, eksamitel, testidel. Kuid hoiatame kohe, et neid pole vaja pähe õppida! Peate kulutama veidi aega ja mõistma nende rakendamise algoritmi, siis pole teil keeruline õigel ajal vajalikku võrdsust tuletada.

Kõigepealt kirjutame üles kõik redutseerimisvalemid:

Nurga (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) või (`90^\circ \pm \alpha`) puhul:

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Nurga (`\pi \pm \alpha`) või (`180^\circ \pm \alpha`) jaoks:

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Nurga (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) või (`270^\circ \pm \alpha`) puhul:

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Nurga (`2\pi \pm \alpha`) või (`360^\circ \pm \alpha`) puhul:

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha

Tihti leiate redutseerimisvalemeid tabeli kujul, kus nurgad on kirjutatud radiaanides:

Selle kasutamiseks peate valima vajaliku funktsiooniga rea ​​ja soovitud argumendiga veeru. Näiteks selleks, et tabeli abil teada saada, mis on ` sin(\pi + \alpha)`, piisab vastuse leidmisest rea ` sin \beta` ja veeru ` \pi + \ ristumiskohast. alfa`. Saame ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Ja teine, sarnane tabel, kus nurgad on kirjutatud kraadides:

Valemite valamise mnemooniline reegel või kuidas neid meeles pidada

Nagu me juba mainisime, ei ole vaja kõiki ülaltoodud suhteid meelde jätta. Kui vaatasite neid tähelepanelikult, märkasite ilmselt mõningaid mustreid. Need võimaldavad meil sõnastada mnemoonilise reegli (mnemooniline - meeldejätmine), mille abil saate hõlpsalt hankida mis tahes redutseerimisvalemi.

Märgime kohe, et selle reegli rakendamiseks peab oskama hästi määrata (või meeles pidada) trigonomeetriliste funktsioonide märke ühikringi erinevates veerandkondades.
Transplantaadil on 3 etappi:

1. 1. Funktsiooni argument peab olema kujul \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, kus \alfa on alati teravnurk (0 kuni 90 kraadi).
   2. Argumentide jaoks \frac (\pi)2 \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha trigonomeetriline funktsioon teisendatud avaldis muutub kaasfunktsiooniks, st vastupidiseks (siinus koosinusseks, puutuja kotangensiks ja vastupidi). Argumentide \pi \pm \alpha, 2\pi \pm \alpha funktsioon ei muutu.
   3. Määratakse algfunktsiooni märk. Paremal küljel oleval funktsioonil on sama märk.

Et näha, kuidas seda reeglit praktikas rakendada, teisendame mõnda väljendit:

1. "cos(\pi + \alpha)".

Funktsiooni ei pöörata ümber. Nurk `\pi + \alpha` on kolmandas kvadrandis, selle kvadrandi koosinusel on märk "-", seega on teisendatud funktsioonil ka märk "-".

Vastus: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.

Mnemoonilise reegli kohaselt pööratakse funktsioon ümber. Nurk `\frac (3\pi)2 - \alpha` on kolmandas kvadrandis, siinusel on märk "-", nii et tulemus on samuti "-" märgiga.

Vastus: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha

3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Esitagem "3\pi" kui "2\pi+\pi". "2\pi" on funktsiooni periood.

Tähtis. Funktsioonide "cos \alpha" ja "sin \alpha" periood on "2\pi" või "360^\circ", nende väärtused ei muutu, kui argumenti nende väärtuste võrra suurendatakse või vähendatakse.

Sellest lähtuvalt saab meie avaldise kirjutada järgmiselt: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Rakendades mnemoreeglit kaks korda, saame: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Vastus: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.

hobuse reegel

Ülaltoodud mnemoonilise reegli teist punkti nimetatakse ka redutseerimisvalemite hobusereegliks. Huvitav, miks just hobused?

Seega on meil funktsioonid argumentidega \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, punktid \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi on põhipunktid, need asuvad koordinaatide telgedel. „\pi” ja „2\pi” on horisontaalsel x-teljel ning „\frac (\pi)2” ja „\frac (3\pi)2” on vertikaalsel y-teljel.

Esitame endale küsimuse: "Kas funktsioon muutub kaasfunktsiooniks?". Sellele küsimusele vastamiseks peate liigutama oma pead mööda telge, millel võtmepunkt asub.

See tähendab, et argumentide puhul, mille põhipunktid asuvad horisontaalteljel, vastame “ei”, raputades pead külgedele. Ja nurkade puhul, mille põhipunktid asuvad vertikaalteljel, vastame "jah", noogutades pead ülalt alla nagu hobune 🙂

Soovitame vaadata videoõpetust, milles autor selgitab üksikasjalikult, kuidas reduktsioonivalemeid pähe õppida ilma neid meelde jätmata.

Praktilised näited valamise valemite kasutamisest

Taandusvalemite kasutamine algab 9. ja 10. klassis. Eksamile esitatakse palju ülesandeid nende kasutamisega. Siin on mõned ülesanded, mille puhul peate neid valemeid rakendama:

• ülesanded täisnurkse kolmnurga lahendamiseks;
• numbriliste ja tähestikuliste trigonomeetriliste avaldiste teisendamine, nende väärtuste arvutamine;
• stereomeetrilised probleemid.

Näide 1. Kasutage redutseerimisvalemeid, et arvutada a) "sin 600^\circ", b) "tg 480^\circ", c) "cos 330^\circ", d) "sin 240^\circ".

Lahendus: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3;

c) "cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2";

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Näide 2. Olles väljendanud koosinust läbi siinuse redutseerimisvalemite abil, võrrelge numbreid: 1) "sin \frac (9\pi)8" ja "cos \frac (9\pi)8"; 2) "sin \frac (\pi)8" ja "cos \frac (3\pi)10".

Lahendus: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8

"-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8".

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Esmalt tõestame kaks valemit argumendi `\frac (\pi)2 + \alpha siinuse ja koosinuse jaoks: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ja ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Ülejäänud on neist tuletatud.

Võtke ühikring ja sellel punkt A koordinaatidega (1,0). Laske pärast sisselülitamist nurk "\alpha" läheb see punkti "A_1(x, y)" ja pärast nurga "\frac (\pi)2 + \alpha" pööramist punkti "A_2(-y,x)" . Kui langetada ristid nendest punktidest sirgele OX, näeme, et kolmnurgad OA_1H_1 ja OA_2H_2 on võrdsed, kuna nende hüpotenuusid ja külgnevad nurgad on võrdsed. Seejärel saame siinuse ja koosinuse definitsioonide põhjal kirjutada `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kuidas saab kirjutada, et ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ja ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, mis tõestab redutseerimist nurga \frac (\pi)2 + \alpha siinuse ja koosinuse valemid.

Tangensi ja kotangensi definitsioonist saame ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ja ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, mis tõestab redutseerimist nurga \frac (\pi)2 + \alpha puutuja ja kotangensi valemid.

Valemite tõestamiseks argumendiga \frac (\pi)2 - \alpha, piisab, kui esitada see kujul \frac (\pi)2 + (-\alpha) ja järgida sama teed nagu ülal. Näiteks „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)”.

Nurki \pi + \alpha ja \pi - \alpha saab esitada kui \frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha) ja \frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` vastavalt.

Ja "\frac (3\pi)2 + \alpha" ja "\frac (3\pi)2 - \alpha" kui "\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)" ja "\pi" +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Ja veel üks ülesanne B11 samal teemal – reaalsest KASUTAMIST matemaatikas.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Sellest lühikesest videoõpetusest õpime, kuidas kandideerida redutseerimisvalemid reaalülesannete lahendamiseks B11 matemaatika eksamilt. Nagu näete, on meie ees kaks trigonomeetrilist avaldist, millest igaüks sisaldab siinusi ja koosinust, aga ka üsna jõhkraid arvuargumente.

Enne nende probleemide lahendamist tuletagem meelde, mis on redutseerimisvalemid. Niisiis, kui meil on sellised väljendid nagu:

Siis saame erireeglite järgi vabaneda esimesest liikmest (kujul k · π/2). Joonistame trigonomeetrilise ringi, märgime sellele põhipunktid: 0, π/2; π; 3π/2 ja 2π. Seejärel vaatame esimest liiget trigonomeetrilise funktsiooni märgi all. Meil on:

1. Kui meile huvipakkuv liige asub trigonomeetrilise ringi vertikaalteljel (näiteks: 3π / 2; π / 2 jne), siis asendatakse algfunktsioon kaasfunktsiooniga: siinus asendatakse a koosinus ja koosinus asendatakse siinusega.
2. Kui meie termin asub horisontaalteljel, siis algfunktsioon ei muutu. Lihtsalt eemaldage väljendist esimene termin – ja ongi kõik.

Seega saame trigonomeetrilise funktsiooni, mis ei sisalda termineid kujul k · π/2. Töö reduktsioonivalemitega ei lõpe aga sellega. Fakt on see, et enne meie uut funktsiooni, mis saadakse pärast esimese liikme "tagasilükkamist", võib olla pluss- või miinusmärk. Kuidas seda märki ära tunda? Nüüd saame teada.

Kujutage ette, et nurgal α, mis jääb pärast teisendusi trigonomeetrilise funktsiooni sisse, on väga väike aste. Aga mida tähendab "väike mõõt"? Oletame, et α ∈ (0; 30°) – see on täiesti piisav. Võtame näitena funktsiooni:

Seejärel, järgides meie eeldusi, et α ∈ (0; 30°), järeldame, et nurk 3π/2 − α asub kolmandas koordinaatkvadrandis, st. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Tuletame meelde algfunktsiooni märki, s.o. y = sin x sellel intervallil. Ilmselgelt on siinus kolmandas koordinaatveerandis negatiivne, sest definitsiooni järgi on siinus liikumisraadiuse lõpu ordinaat (lühidalt, siinus on y-koordinaat). Noh, y-koordinaat alumises pooltasandis võtab alati negatiivseid väärtusi. Seega on y kolmandas kvartalis samuti negatiivne.

Nende kaalutluste põhjal saame kirjutada lõpliku avaldise:

Ülesanne B11 – 1 variant

Need samad tehnikad sobivad üsna hästi matemaatika ühtse riigieksami ülesande B11 lahendamiseks. Ainus erinevus seisneb selles, et paljudes reaalsetes B11 ülesannetes kasutatakse radiaani (st arvude π, π/2, 2π jne) asemel kraadimõõtu (st 90°, 180°, 270° ja jne.). Vaatame esimest ülesannet:

Kõigepealt tegeleme lugejaga. cos 41° on mittetabeliväärtus, seega ei saa me sellega midagi peale hakata. Praegu jätame selle nii.

Vaata nüüd nimetajat:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Ilmselgelt on meie ees reduktsioonivalem, nii et siinus on asendatud koosinusega. Lisaks jääb segmendile nurk 41° (0°; 90°), st. esimeses koordinaatveerandis – täpselt nii, nagu on vaja redutseerimisvalemite rakendamiseks. Aga siis 90° + 41° on teine ​​koordinaatveerand. Algfunktsioon y = sin x on seal positiivne, mistõttu panime viimases sammus koosinuse ette plussmärgi (ehk siis me ei pannud midagi).

Jääb tegeleda viimase elemendiga:

cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5

Siin näeme, et 180° on horisontaaltelg. Järelikult funktsioon ise ei muutu: oli koosinus - ja koosinus jääb ka alles. Kuid taas tekib küsimus: kas pluss või miinus on tulemuseks oleva avaldise cos 60 ° ees? Pange tähele, et 180° on kolmas koordinaatkvadrant. Koosinus on seal negatiivne, seetõttu saab koosinus miinusmärgiga. Kokku saame konstruktsiooni -cos 60 ° = -0,5 - see on tabeli väärtus, nii et kõike on lihtne arvutada.

Nüüd asendame saadud arvud algse valemiga ja saame:

Nagu näete, on arvu cos 41 ° murdosa lugejas ja nimetajas kergesti vähendatav ning jääb tavapärane avaldis, mis võrdub -10. Sel juhul saab miinuse kas välja võtta ja panna murdosa märgi ette või “hoida” teise kordaja kõrval kuni arvutuste viimase sammuni. Mõlemal juhul on vastus -10. See on kõik, probleem B11 on lahendatud!

Probleem B14 – 2. variant

Liigume edasi teise ülesande juurde. Meie ees on jälle murdosa:

Noh, meil on esimeses koordinaatkvadrandis 27°, nii et me ei muuda siin midagi. Kuid sin 117 ° tuleb värvida (seni ilma ruuduta):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Ilmselgelt jälle meie ees redutseerimisvalem: 90° on vertikaaltelg, seega muutub siinus koosinusseks. Lisaks asub nurk α = 117° = 90° + 27° teises koordinaatkvadrandis. Algfunktsioon y = sin x on seal positiivne, seetõttu jääb enne koosinust peale kõiki teisendusi alles plussmärk. Teisisõnu, sinna ei lisata midagi - jätame selle nii: cos 27 °.

Pöördume tagasi algse avaldise juurde, mida tuleb hinnata:

Nagu näha, ilmnes pärast teisendusi nimetajas peamine trigonomeetriline identsus: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Kokku -4: 1 = -4 - seega leidsime vastuse teisele ülesandele B11.

Nagu näete, lahendatakse sellised matemaatika ühtse riigieksami ülesanded reduktsioonivalemite abil vaid paari reaga. Summa siinusid ja vahe koosinused puuduvad. Kõik, mida peame meeles pidama, on trigonomeetriline ring.

See artikkel on pühendatud trigonomeetriliste redutseerimisvalemite üksikasjalikule uurimisele. Antakse täielik loetelu redutseerimisvalemitest, on toodud nende kasutamise näited ja tõend valemite õigsuse kohta. Artiklis on toodud ka mnemooniline reegel, mis võimaldab tuletada redutseerimisvalemeid iga valemit meelde jätmata.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Valemite valamine. Nimekiri

Redutseerimisvalemid võimaldavad taandada suvalise suurusega nurkade trigonomeetrilised põhifunktsioonid nurkade funktsioonideks, mis jäävad vahemikku 0 kuni 90 kraadi (0 kuni π 2 radiaani). Nurkadega 0 kuni 90 kraadi töötamine on palju mugavam kui suvaliselt suurte väärtustega töötamine, seetõttu kasutatakse trigonomeetriaülesannete lahendamisel laialdaselt reduktsioonivalemeid.

Enne valemite enda üleskirjutamist teeme selgeks mõned mõistmiseks olulised punktid.

• Trigonomeetriliste funktsioonide argumendid redutseerimisvalemites on nurgad kujul ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Siin z on suvaline täisarv ja α on suvaline pöördenurk.
• Pole vaja õppida kõiki redutseerimisvalemeid, mille arv on üsna muljetavaldav. On olemas mnemooniline reegel, mis muudab soovitud valemi tuletamise lihtsaks. Mnemoreeglist tuleb juttu hiljem.

Nüüd läheme otse redutseerimisvalemite juurde.

Valamisvalemid võimaldavad teil liikuda suvaliste ja meelevaldselt suurte nurkadega töötamiselt 0–90 kraadise nurga all töötamisele. Kirjutame kõik valemid tabeli kujul.

Valatud valemid

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π α z =, cos π z . π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s π z , π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z , = α s α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 π z + 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Sel juhul kirjutatakse valemid radiaanides. Kuid võite neid kirjutada ka kraadide abil. Piisab radiaanide teisendamiseks kraadideks, asendades π 180 kraadiga.

Näiteid valatud valemite kasutamisest

Näitame, kuidas kasutada redutseerimisvalemeid ja kuidas neid valemeid kasutatakse praktiliste näidete lahendamisel.

Trigonomeetrilise funktsiooni märgi all olevat nurka saab esitada mitte ühel, vaid mitmel viisil. Näiteks võib trigonomeetrilise funktsiooni argumendi esitada ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Näitame seda.

Võtame nurga α = 16 π 3 . Selle nurga saab kirjutada järgmiselt:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Sõltuvalt nurga esitusest kasutatakse vastavat redutseerimisvalemit.

Võtame sama nurga α = 16 π 3 ja arvutame selle puutuja

Näide 1: Valamisvalemite kasutamine

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d?

Esitagem nurka α = 16 π 3 kui α = π + π 3 + 2 π 2

See nurga esitus vastab vähendamise valemile

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Tabeli abil näitame puutuja väärtuse

Nüüd kasutame teist nurga α = 16 π 3 esitust.

Näide 2: Valamisvalemite kasutamine

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3 d) \u003d

Lõpuks kirjutame nurga kolmanda esituse jaoks

Näide 3: Valamisvalemite kasutamine

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g 3 π )

Toome nüüd näite keerulisemate redutseerimisvalemite kasutamisest

Näide 4: Valamisvalemite kasutamine

Esitame patu 197 ° teravnurga siinuse ja koosinusena.

Redutseerimisvalemite rakendamiseks on vaja nurka α = 197 ° esitada ühel vormidest

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Vastavalt probleemi seisundile peab nurk olema terav. Sellest lähtuvalt on meil selle esitamiseks kaks võimalust:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Saame

sin 197° = patt(180° + 17°) patt 197° = patt(270° - 73°)

Nüüd vaatame siinuste vähendamise valemeid ja valime välja sobivad.

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73°

Mnemooniline reegel

Valamise valemeid on palju ja õnneks pole vaja neid pähe õppida. On mustreid, mille abil saate tuletada erinevate nurkade ja trigonomeetriliste funktsioonide redutseerimisvalemeid. Neid mustreid nimetatakse mnemoreegliteks. Mnemoonika on meeldejätmise kunst. Mnemooniline reegel koosneb kolmest osast või kolmest etapist.

Mnemooniline reegel

1. Algfunktsiooni argument esitatakse ühel vormidest

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Nurk α peab olema vahemikus 0 kuni 90 kraadi.

2. Määratakse algse trigonomeetrilise funktsiooni märk. Valemi paremale küljele kirjutatud funktsioonil on sama märk.

3. Nurkade ± α + 2 πz ja π ± α + 2 πz puhul jääb algfunktsiooni nimi muutumatuks ning vastavalt nurkade π 2 ± α + 2 πz ja 3 π 2 ± α + 2 πz korral muutub see. "koostoimima". Siinus koosinuseni. Puutuja kotangensile.

Reduktsioonivalemite mnemoonikareegli kasutamiseks peate suutma määrata trigonomeetriliste funktsioonide märke piki ühikuringi neljandikku. Vaatame näiteid mnemoreegli rakendamisest.

Näide 1: Mnemoreegli kasutamine

Kirjutame üles taandamise valemid cos π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz jaoks . α - esimese kvartali nurk.

1. Kuna tingimuse järgi on α esimese kvartali logi, jätame reegli esimese lõigu vahele.

2. Määrame funktsioonide cos π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz märgid. Nurk π 2 - α + 2 πz on ühtlasi esimese veerandi nurk ja nurk π - α + 2 πz on teises kvartalis. Esimesel veerandil on koosinusfunktsioon positiivne ja teise kvartali puutuja on miinusmärgiga. Kirjutame üles, kuidas soovitud valemid selles etapis välja näevad.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Vastavalt kolmandale punktile muutub nurga π 2 - α + 2 π puhul funktsiooni nimi Konfutsiuseks ja nurga π - α + 2 πz puhul jääb samaks. Kirjutame:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Nüüd vaatame ülaltoodud valemeid ja veendume, et mnemoonireegel töötab.

Vaatleme näidet konkreetse nurgaga α = 777°. Toome siinuse alfa teravnurga trigonomeetrilisse funktsiooni.

Näide 2: Mnemoreegli kasutamine

1. Esitame nurga α = 777 ° nõutud kujul

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Algnurk - esimese kvartali nurk. Seega on nurga siinusel positiivne märk. Selle tulemusena on meil:

3. sin 777° = sin(57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin(90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Vaatame nüüd näidet, mis näitab, kui oluline on mnemoonilise reegli kasutamisel õigesti määrata trigonomeetrilise funktsiooni märk ja esitada õigesti nurka. Kordame uuesti.

Tähtis!

Nurk α peab olema terav!

Arvutame nurga 5 π 3 puutuja. Peamiste trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist saate kohe võtta väärtuse t g 5 π 3 = - 3, kuid me rakendame mnemoreeglit.

Näide 3: Mnemoreegli kasutamine

Esitame nurga α = 5 π 3 vajalikul kujul ja kasutame reeglit

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Kui esitame nurga alfa kujul 5 π 3 = π + 2 π 3, siis on mnemoreegli rakendamise tulemus vale.

t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Vale tulemus on tingitud sellest, et nurk 2 π 3 ei ole terav.

Taandusvalemite tõestus põhineb trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse ja sümmeetria omadustel, samuti nurkade π 2 ja 3 π 2 võrra nihutamise omadusel. Kõigi redutseerimisvalemite kehtivuse tõendamist saab läbi viia ilma terminit 2 πz arvesse võtmata, kuna see tähistab nurga muutust täisarvu täispöörete võrra ja peegeldab lihtsalt perioodilisuse omadust.

Esimesed 16 valemit tulenevad otseselt trigonomeetriliste põhifunktsioonide omadustest: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.

Esitame siinuse ja koosinuse redutseerimisvalemite tõestuse

sin π 2 + α = cos α ja cos π 2 + α = - sin α

Vaatame ühikringi, mille algpunkt pärast nurga α läbimist on läinud punkti A 1 x , y ja pärast nurga π 2 + α - pööramist punkti A 2 . Mõlemast punktist tõmbame risti x-teljega.

Kaks täisnurkset kolmnurka O A 1 H 1 ja O A 2 H 2 on hüpotenuusi ja sellega külgnevate nurkade poolest võrdsed. Ringjoone punktide asukohast ja kolmnurkade võrdsusest võime järeldada, et punktil A 2 on koordinaadid A 2 - y, x. Kasutades siinuse ja koosinuse definitsioone, kirjutame:

sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y

sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α

Võttes arvesse trigonomeetria põhiidentiteete ja äsja tõestatut, saame kirjutada

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos tgα

Taandusvalemite tõestamiseks argumendiga π 2 - α tuleb see esitada kujul π 2 + (- α) . Näiteks:

cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - sin (- α) \u003d sin α

Tõestus kasutab trigonomeetriliste funktsioonide omadusi argumentidega, mis on vastasmärgiga.

Kõiki teisi redutseerimisvalemeid saab tõestada ülalkirjeldatu põhjal.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter