See artikkel räägib teemast « kaugus punktist jooneni », kauguse määratlusi punktist sirgeni vaadeldakse illustreeritud näidetega koordinaatide meetodil. Iga teooriaplokk lõpus on näidanud näiteid sarnaste probleemide lahendamisest.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaugus punktist sirgeni leitakse punktist punkti vahelise kauguse määramisega. Vaatleme üksikasjalikumalt.

Olgu antud sirgele mittekuuluv sirge a ja punkt M 1. Tõmmake selle läbi joon, mis on risti joonega a. Võtke sirgete lõikepunktiks H 1. Saame, et M 1 H 1 on risti, mis langetati punktist M 1 sirgele a.

Definitsioon 1

Kaugus punktist M 1 sirgjooneni a nimetatakse punktide M 1 ja H 1 vaheliseks kauguseks.

Määratluse kohta on kirjed koos risti pikkuse kujundiga.

2. definitsioon

Kaugus punktist jooneni on antud punktist antud sirgele tõmmatud risti pikkus.

Definitsioonid on samaväärsed. Mõelge allolevale joonisele.

On teada, et kaugus punktist sirgeni on väikseim võimalikest. Vaatame seda näitega.

Kui võtta punkt Q, mis asub sirgel a, mis ei lange kokku punktiga M 1, siis saame, et lõiku M 1 Q nimetatakse kaldus, langetatud M 1-lt sirgele a. On vaja näidata, et ristnurk punktist M 1 on väiksem kui mis tahes muu punktist sirgele tõmmatud kaldus.

Selle tõestamiseks vaatleme kolmnurka M 1 Q 1 H 1 , kus M 1 Q 1 on hüpotenuus. On teada, et selle pikkus on alati suurem kui mõne jala pikkus. Seega on meil M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Punktist sirgele leidmise lähteandmed võimaldavad kasutada mitmeid lahendusviise: Pythagorase teoreemi kaudu siinuse, koosinuse, nurga puutuja jm määratlusi. Enamik seda tüüpi ülesandeid lahendatakse koolis geomeetria tundides.

Kui punktist sirgeni kauguse leidmisel on võimalik sisestada ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis kasutatakse koordinaatmeetodit. Selles lõigus käsitleme kahte peamist meetodit soovitud punktist soovitud kauguse leidmiseks.

Esimene meetod hõlmab kauguse leidmist risti M 1 ja sirge a vahel. Teine meetod kasutab vajaliku kauguse leidmiseks sirge a normaalvõrrandit.

Kui tasapinnal on punkt koordinaatidega M 1 (x 1, y 1), mis asub ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, sirge a ja peate leidma kauguse M 1 H 1, saate arvutada kahel viisil. Vaatleme neid.

Esimene viis

Kui punkti H 1 koordinaadid on võrdsed x 2, y 2, siis kaugus punktist sirgeni arvutatakse koordinaatide järgi valemist M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Liigume nüüd edasi punkti H 1 koordinaatide leidmise juurde.

On teada, et sirge O x y-s vastab tasapinna sirgjoone võrrandile. Vaatame sirge a määratlemise viisi, kirjutades sirge üldvõrrandi või kaldega võrrandi. Koostame võrrandi sirgest, mis läbib antud sirgega a risti olevat punkti M 1. Tähistame joont pöögiga b . H 1 on sirgete a ja b lõikepunkt, seega tuleb koordinaatide määramiseks kasutada artiklit, mis käsitleb kahe sirge lõikepunktide koordinaate.

On näha, et antud punktist M 1 (x 1, y 1) sirge a kauguse leidmise algoritm viiakse läbi punktide järgi:

3. määratlus

• sirge a üldvõrrandi leidmine, mille vorm on A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, või kaldekoefitsiendiga võrrand, mille vorm on y \u003d k 1 x + b 1;
• sirge b üldvõrrandi saamine, mille kuju on A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 või võrrand kaldega y \u003d k 2 x + b 2, kui sirge b lõikub punktiga M 1 ja on risti antud sirgega a;
• punkti a ja b lõikepunktiks oleva punkti H 1 koordinaatide x 2, y 2 määramine, selleks on süsteem lahendatud lineaarvõrrandid A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 või y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• vajaliku kauguse arvutamine punktist sirgjooneni, kasutades valemit M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Teine viis

Teoreem võib aidata vastata küsimusele, kuidas leida kaugus antud punktist tasapinna antud sirgeni.

Teoreem

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y on punkt M 1 (x 1, y 1), millest tõmmatakse tasapinnale sirge a, mis on antud tasapinna normaalvõrrandiga kujuga cos α x + cos β y - p \u003d 0, võrdne mooduliga, mis on saadud tavalise sirgjoone võrrandi vasakul küljel, arvutatuna x = x 1, y = y 1, tähendab, et M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Tõestus

Sirge a vastab tasapinna normaalvõrrandile, mille kuju on cos α x + cos β y - p = 0, siis n → = (cos α , cos β) loetakse sirge a normaalvektoriks punktis a kaugus lähtepunktist jooneni a p ühikuga . Joonisel on vaja kujutada kõiki andmeid, lisada punkt koordinaatidega M 1 (x 1, y 1) , kus punkti raadiuse vektor M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Punktist sirgele on vaja tõmmata sirgjoon, mida tähistame M 1 H 1 . Punktide M 1 ja H 2 projektsioonid M 2 ja H 2 on vaja näidata punkti O läbival sirgel suunavektoriga kujul n → = (cos α , cos β) , ning arvuprojektsioon vektorist tähistatakse kui O M 1 → = (x 1 , y 1) suunas n → = (cos α , cos β) kui n p n → O M 1 → .

Variatsioonid sõltuvad punkti M 1 enda asukohast. Mõelge allolevale joonisele.

Fikseerime tulemused valemiga M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Seejärel toome võrdsuse kujule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, et saada n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Vektorite skalaarkorrutis annab tulemuseks teisendatud valemi kujul n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , mis on korrutis koordinaatkujul vorm n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Seega saame, et n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Sellest järeldub, et M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teoreem on tõestatud.

Saame, et kauguse leidmiseks punktist M 1 (x 1, y 1) tasapinna sirgjooneni a tuleb teha mitu toimingut:

4. definitsioon

• sirge a normaalvõrrandi saamine cos α · x + cos β · y - p = 0, eeldusel, et seda ülesandes ei ole;
• avaldise cos α · x 1 + cos β · y 1 - p arvutamine, kus saadud väärtuseks on M 1 H 1 .

Rakendame neid meetodeid punkti ja tasapinna kauguse leidmise probleemide lahendamiseks.

Näide 1

Leidke kaugus punktist koordinaatidega M 1 (- 1 , 2) sirgeni 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Lahendus

Kasutame lahendamiseks esimest meetodit.

Selleks tuleb leida sirge b üldvõrrand, mis läbib antud punkti M 1 (- 1 , 2), mis on risti sirgega 4 x - 3 y + 35 = 0 . Tingimusest on näha, et sirge b on risti sirgega a, siis selle suunavektori koordinaadid on võrdsed (4, - 3) . Seega on meil võimalus kirjutada tasapinnale sirge b kanooniline võrrand, kuna on olemas punkti M 1, kuulub sirgele b koordinaadid. Määrame sirge b suunavektori koordinaadid. Saame, et x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Saadud kanooniline võrrand tuleb teisendada üldiseks võrrandiks. Siis me saame selle

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Leiame sirgete lõikepunktide koordinaadid, mida võtame tähiseks H 1. Teisendused näevad välja sellised:

4 x - 3 a + 35 = 0 3 x + 4 a - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 a - 35 4 3 x + 4 a - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 a - 35 4 3 3 4 a - 35 4 + 4 a - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 a - 35 4 a = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 a = 5 ⇔ x = - 5 a = 5

Ülaltoodust saame, et punkti H 1 koordinaadid on (- 5; 5) .

On vaja arvutada kaugus punktist M 1 sirgjooneni a. Meil on, et punktide M 1 (- 1, 2) ja H 1 (- 5, 5) koordinaadid, siis asendame kauguse leidmise valemiga ja saame selle

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Teine lahendus.

Teisel viisil lahendamiseks on vaja saada sirge normaalvõrrand. Arvutame normaliseeriva teguri väärtuse ja korrutame võrrandi mõlemad pooled 4 x - 3 y + 35 = 0 . Siit saame, et normaliseeriv tegur on - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 ja normaalvõrrand on kujul - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 a - 7 = 0 .

Arvutusalgoritmi kohaselt on vaja saada sirge normaalvõrrand ja arvutada see väärtustega x = - 1, y = 2. Siis me saame selle

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Siit saame, et kaugus punktist M 1 (- 1 , 2) antud sirgeni 4 x - 3 y + 35 = 0 on väärtusega - 5 = 5 .

Vastus: 5 .

On näha, et selle meetodi puhul on oluline kasutada sirge normaalvõrrandit, kuna see meetod on kõige lühem. Kuid esimene meetod on mugav selle poolest, et see on järjepidev ja loogiline, kuigi sellel on rohkem arvutuspunkte.

Näide 2

Tasapinnal on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y, mille punkt on M 1 (8, 0) ja sirge y = 1 2 x + 1. Leia kaugus antud punktist sirgjooneni.

Lahendus

Esimesel viisil lahendatud lahendus hõlmab antud võrrandi taandamist kaldeteguriga üldvõrrandiks. Lihtsustamise huvides saate seda teha teisiti.

Kui ristsirgete nõlvade korrutis on -1, siis antud y = 1 2 x + 1-ga risti oleva sirge kalle on 2. Nüüd saame võrrandi sirgjoonest, mis läbib punkti koordinaatidega M 1 (8, 0) . Meil on, et y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Jätkame punkti H 1 koordinaatide leidmisega, see tähendab lõikepunktide y \u003d - 2 x + 16 ja y \u003d 1 2 x + 1. Koostame võrrandisüsteemi ja saame:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Sellest järeldub, et kaugus punktist koordinaatidega M 1 (8 , 0) sirgeni y = 1 2 x + 1 on võrdne kaugusega alguspunktist ja lõpp-punktist koordinaatidega M 1 (8 , 0) ja H. 1 (6, 4) . Arvutame ja saame, et M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Teise võimaluse lahenduseks on koefitsiendiga võrrandilt üleminek selle normaalkujule. See tähendab, et saame y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, siis on normaliseerimisteguri väärtus - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Sellest järeldub, et sirge normaalvõrrand on kujul - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Arvutame punktist M 1 8, 0 sirge kujuga - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Saame:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Vastus: 2 5 .

Näide 3

Vaja on arvutada kaugus punktist koordinaatidega M 1 (- 2 , 4) sirgjoonteni 2 x - 3 = 0 ja y + 1 = 0 .

Lahendus

Saame sirge 2 x - 3 = 0 normaalkuju võrrandi:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Seejärel jätkame kauguse arvutamist punktist M 1 - 2, 4 sirgjooneni x - 3 2 = 0. Saame:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Sirgvõrrandil y + 1 = 0 on normaliseeriv tegur väärtusega -1. See tähendab, et võrrand on kujul -y-1 = 0. Jätkame kauguse arvutamisega punktist M 1 (- 2 , 4) sirgeni - y - 1 = 0 . Saame, et see võrdub - 4 - 1 = 5.

Vastus: 3 1 2 ja 5 .

Vaatame lähemalt kauguse leidmist tasapinna antud punktist kuni koordinaatteljed O x ja O y.

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on teljel O y sirgjoone võrrand, mis on mittetäielik ja mille vorm on x \u003d 0 ja O x - y \u003d 0. Võrrandid on koordinaatide telgede jaoks normaalsed, siis on vaja leida kaugus punktist koordinaatidega M 1 x 1 , y 1 sirgjoonteni. Seda tehakse valemite M 1 H 1 = x 1 ja M 1 H 1 = y 1 alusel. Mõelge allolevale joonisele.

Näide 4

Leidke kaugus punktist M 1 (6, - 7) O x y tasapinnal paiknevate koordinaatjoonteni.

Lahendus

Kuna võrrand y \u003d 0 viitab sirgele O x, saate valemi abil leida kauguse M 1-st antud koordinaatidega selle jooneni. Saame, et 6 = 6 .

Kuna võrrand x \u003d 0 viitab sirgele O y, saate valemi abil leida kauguse M 1 ja selle joone vahel. Siis saame, et - 7 = 7 .

Vastus: kaugus M 1-st O x-ni on 6 ja M 1-st O y-ni väärtus 7.

Kui kolmemõõtmelises ruumis on punkt koordinaatidega M 1 (x 1, y 1, z 1), on vaja leida kaugus punktist A jooneni a.

Mõelge kahele võimalusele, mis võimaldavad teil arvutada kaugust punktist ruumis asuva sirgjooneni a. Esimesel juhul võetakse arvesse kaugust punktist M 1 sirgeni, kus joonel olevat punkti nimetatakse H 1 ja see on punktist M 1 sirgele a tõmmatud risti alus. Teine juhtum viitab sellele, et rööpküliku kõrgusena tuleb otsida selle tasandi punkte.

Esimene viis

Definitsioonist saame, et kaugus sirgel a asuvast punktist M 1 on risti M 1 H 1 pikkus, siis saame selle punkti H 1 leitud koordinaatidega, siis leiame kauguse M 1 (x 1, y 1, z 1 ) ja H 1 (x 1, y 1, z 1) vahel valemi M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z vahel 2 - z 1 2 .

Saame, et kogu lahendus läheb M 1 sirgele a tõmmatud risti aluse koordinaatide leidmisele. Seda tehakse järgmiselt: H 1 on punkt, kus sirge a lõikub antud punkti läbiva tasapinnaga.

See tähendab, et punktist M 1 (x 1, y 1, z 1) ruumi sirgjooneni a kauguse määramise algoritm hõlmab mitut punkti:

Definitsioon 5

• tasapinna χ võrrandi koostamine joonega risti etteantud punkti läbiva tasandi võrrandina;
• sirge a ja tasandi χ lõikepunktiks olevale punktile H 1 kuuluvate koordinaatide (x 2 , y 2 , z 2 ) määramine;
• punktist sirgeni vahelise kauguse arvutamine valemiga M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Teine viis

Tingimusest on meil sirge a, siis saame määrata suunavektori a → = a x, a y, a z koordinaatidega x 3, y 3, z 3 ja kindla punktiga M 3, mis kuulub sirgele a. Arvestades punktide M 1 (x 1 , y 1) ja M 3 x 3 koordinaadid, y 3 , z 3 , M 3 M 1 → saab arvutada:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Vektorid a → \u003d a x, a y, a z ja M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 on vaja punktist M 3 edasi lükata, ühendada ja saada rööpkülikukuju. M 1 H 1 on rööpküliku kõrgus.

Mõelge allolevale joonisele.

Meil on, et kõrgus M 1 H 1 on soovitud kaugus, siis peate selle leidma valemi abil. See tähendab, et me otsime M 1 H 1 .

Rööpküliku pindala tähistatakse tähega S, see leitakse valemiga, kasutades vektorit a → = (a x , a y , a z) ja M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Pindalavalem on kujul S = a → × M 3 M 1 → . Samuti võrdub joonise pindala selle külgede pikkuste ja kõrguse korrutisega, saame, et S \u003d a → M 1 H 1 koos a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, mis on vektori a → \u003d (a x, a y, a z) pikkus, mis on võrdne rööpküliku küljega. Seega on M 1 H 1 kaugus punktist sirgeni. See leitakse valemiga M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Et leida kaugust punktist koordinaatidega M 1 (x 1, y 1, z 1) ruumi sirgjooneni a, peate täitma mitu algoritmi punkti:

Definitsioon 6

• sirge a - a → = (a x , a y , a z) suunavektori määramine ;
• suunavektori a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 pikkuse arvutamine;
• sirgel a asuvale punktile M 3 kuuluvate koordinaatide x 3 , y 3 , z 3 saamine;
• vektori M 3 M 1 → koordinaatide arvutamine;
• vektorite a → (a x, a y, a z) ja M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ristkorrutise leidmine a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pikkuse saamiseks valemiga a → × M 3 M 1 → ;
• kauguse arvutamine punktist sirgeni M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Ülesannete lahendamine antud punkti ja antud sirge kauguse leidmisel ruumis

Leidke kaugus punktist koordinaatidega M 1 2 , - 4 , - 1 sirgeni x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Lahendus

Esimene meetod algab M 1 läbiva ja antud punktiga risti oleva tasandi χ võrrandi kirjutamisega. Saame väljendi nagu:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Vaja on leida punkti H 1 koordinaadid, mis on tasandiga χ ja tingimusega antud sirge lõikepunkt. Kanoonilisest vormist tuleb üle minna ristuvale. Seejärel saame võrrandisüsteemi kujul:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 a + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 a + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

On vaja arvutada süsteem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Crameri meetodil, siis saame selle:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = 0 - ∆ 60 = 0

Seega on meil, et H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Teist meetodit tuleb alustada koordinaatide otsimisega kanoonilisest võrrandist. Selleks pöörake tähelepanu murdosa nimetajatele. Siis a → = 2, - 1, 5 on sirge x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 suunavektor. Pikkus on vaja arvutada valemiga a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

On selge, et sirge x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 lõikub punktiga M 3 (- 1 , 0 , - 5), seega on vektor, mille alguspunkt on M 3 (- 1 , 0 , - 5) ja selle ots punktis M 1 2 , - 4 , - 1 on M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Leiame vektorprodukt a → = (2, - 1, 5) ja M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Saame avaldise kujul a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

saame, et ristkorrutise pikkus on a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Meil on kõik andmed, et kasutada valemit sirgjoone punktist kauguse arvutamiseks, nii et rakendame seda ja saame:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Vastus: 11 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Võimalus leida erinevate geomeetriliste objektide vaheline kaugus on oluline kujundite pindala ja nende mahtude arvutamisel. Selles artiklis käsitleme küsimust, kuidas leida kaugust punktist sirgjooneni ruumis ja tasapinnal.

Sirge matemaatiline kirjeldus

Et mõista, kuidas leida kaugust punktist jooneni, peaksite tegelema nende geomeetriliste objektide matemaatilise spetsifikatsiooni küsimusega.

Punktiga on kõik lihtne, seda kirjeldab koordinaatide kogum, mille arv vastab ruumi mõõtmele. Näiteks tasapinnal on need kaks koordinaati, kolmemõõtmelises ruumis kolm.

Mis puudutab ühemõõtmelist objekti - sirgjoont, siis selle kirjeldamiseks kasutatakse mitut tüüpi võrrandeid. Vaatleme neist ainult kahte.

Esimest tüüpi nimetatakse vektorvõrrandiks. Allpool on avaldised joonte jaoks kolmemõõtmelises ja kahemõõtmelises ruumis:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + a × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Nendes avaldistes kirjeldavad nullindeksiga koordinaadid punkti, mida antud sirge läbib, koordinaatide hulk (a; b; c) ja (a; b) on vastava sirge nn suunavektorid, α on a parameeter, mis võib võtta mis tahes tegeliku väärtuse.

Vektorvõrrand on mugav selles mõttes, et see sisaldab sõnaselgelt sirge suunavektorit, mille koordinaate saab kasutada erinevate geomeetriliste objektide, näiteks kahe sirge paralleelsuse või perpendikulaarsuse probleemide lahendamisel.

Teist tüüpi võrrandit, mida sirgjoone jaoks käsitleme, nimetatakse üldiseks võrrandiks. Ruumis annavad selle vormi kahe tasandi üldvõrrandid. Lennukis on sellel järgmine vorm:

A × x + B × y + C = 0

Joonistamise ajal kirjutatakse see sageli sõltuvusena x / y-st, see tähendab:

y = -A / B × x + (-C / B)

Siin vastab vaba termin -C / B sirge ja y-telje lõikepunkti koordinaadile ja koefitsient -A / B on seotud sirge nurgaga x-telje suhtes.

Sirge ja punkti vahelise kauguse mõiste

Olles käsitlenud võrrandeid, saate otse jätkata vastusega küsimusele, kuidas leida kaugust punktist sirgjooneni. 7. klassis hakkavad koolid seda küsimust kaaluma, määrates kindlaks sobiva väärtuse.

Sirge ja punkti vaheline kaugus on selle sirgega risti oleva lõigu pikkus, mis jäetakse vaadeldavast punktist välja. Alloleval joonisel on kujutatud sirget r ja punkti A. Sinine joon näitab lõiku, mis on risti sirgega r. Selle pikkus on soovitud vahemaa.

Siin on aga 2D juhtum see määratlus kaugus kehtib ka kolmemõõtmelise ülesande puhul.

Nõutavad valemid

Sõltuvalt sellest, millises vormis on sirge võrrand kirjutatud ja millises ruumis ülesannet lahendatakse, saab anda kaks põhivalemit, mis vastavad küsimusele, kuidas leida sirge ja punkti vaheline kaugus.

Tähistame tuntud punkti sümboliga P 2 . Kui sirgjoone võrrand on antud vektorkujul, siis vaadeldavate objektide vahelise kauguse d puhul kehtib valem:

d = || / |v¯|

See tähendab, et d määramiseks tuleks arvutada otsevektori v¯ ja vektori P 1 P 2 ¯ vektorkorrutise moodul, mille algus asub sirge suvalises punktis P 1 ja lõpp on punktis P 2 jagage see moodul pikkusega v ¯. See valem on universaalne lameda ja kolmemõõtmelise ruumi jaoks.

Kui ülesannet vaadelda tasapinnal xy koordinaatsüsteemis ja sirge võrrand on antud üldine vaade, siis võimaldab järgmine valem sirgjoone ja punkti kauguse leidmiseks:

Sirge: A × x + B × y + C = 0;

Punkt: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Kaugus: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Ülaltoodud valem on üsna lihtne, kuid selle kasutamine on piiratud ülaltoodud tingimustega.

Punkti projektsiooni koordinaadid sirgele ja kaugusele

Küsimusele, kuidas leida kaugust punktist sirgeni, saab vastata ka muul viisil, mis ei eelda ülaltoodud valemite meeldejätmist. See meetod seisneb punkti määramises sirgel, mis on algpunkti projektsioon.

Oletame, et on olemas punkt M ja sirge r. Punkti M projektsioon r-le vastab mõnele punktile M 1 . Kaugus M-st r-ni on võrdne vektori MM 1 ¯ pikkusega.

Kuidas leida M 1 koordinaate? Väga lihtne. Piisab, kui meenutada, et joonvektor v¯ on risti MM 1 ¯-ga, see tähendab, et nende skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga. Lisades sellele tingimusele asjaolu, et koordinaadid M 1 peavad rahuldama sirge r võrrandit, saame lihtsate lineaarvõrrandite süsteemi. Selle lahendamise tulemusena saadakse punkti M projektsiooni koordinaadid punktile r.

Selles lõigus kirjeldatud meetodit sirge ja punkti kauguse leidmiseks võib kasutada nii tasapinna kui ka ruumi jaoks, kuid selle rakendamine eeldab sirge vektorvõrrandi tundmist.

Ülesanne lennukis

Nüüd on aeg näidata, kuidas kasutada esitatud matemaatilist aparaati reaalsete probleemide lahendamiseks. Oletame, et tasapinnal on antud punkt M(-4; 5). On vaja leida kaugus punktist M sirgjooneni, mida kirjeldab üldvõrrand:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

See tähendab, et M ei valeta joonel.

Kuna sirgjoone võrrand ei ole antud üldkujul, siis vastava valemi kasutamiseks taandame selle selliseks, saame:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Nüüd saate d valemis asendada teadaolevad arvud:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 + (-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Ülesanne kosmoses

Nüüd kaaluge juhtumit ruumis. Olgu sirgjoont kirjeldada järgmise võrrandiga:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Kui suur on kaugus sellest punktist M(0; 2; -3)?

Nii nagu eelmisel juhul, kontrollime, kas M kuulub antud reale. Selleks asendame võrrandis koordinaadid ja kirjutame selle selgesõnaliselt ümber:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Kuna saadakse erinevad parameetrid α, siis M sellel sirgel ei asu. Nüüd arvutame kauguse sellest sirgjooneni.

Valemi d kasutamiseks võtke joonel suvaline punkt, näiteks P(1; -1; 0), seejärel:

Arvutame ristkorrutise PM¯ ja sirge v¯ suunavektori vahel. Saame:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Nüüd asendame leitud vektori moodulid ja vektori v¯ valemis d, saame:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Selle vastuse võib saada ülalkirjeldatud meetodi abil, mis hõlmab lineaarvõrrandisüsteemi lahendamist. Selles ja eelmistes ülesannetes on joone ja punkti kauguse arvutatud väärtused esitatud vastava koordinaatsüsteemi ühikutes.

Oi-oi-oi-oi ... no on tina, nagu loed lause enda ette =) Küll aga aitab siis lõõgastus, seda enam, et ostsin täna sobivad aksessuaarid. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirgjoone vastastikune paigutus

Juhtum, kui saal laulab kooris kaasa. Kaks rida saab:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : palun pidage meeles matemaatikamärki ristmikud, juhtub seda väga sageli. Kirje tähendab, et joon lõikub punktis oleva sirgega.

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, see tähendab, et on olemas selline arv "lambda", et võrdsused

Vaatleme sirgeid ja koostame vastavatest kordajatest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage -1-ga (muutke märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid vähendades 2 võrra, saate sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujatel on võrdelised: , aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on selge, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed, see tähendab, et "lambda" väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks koostame süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , seega, süsteem on ebaühtlane (lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saab kasutada just vaadeldud lahendusskeemi. Muide, see on väga sarnane vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmiga, mida me õppetunnis käsitlesime. Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektori alus . Kuid on ka tsiviliseeritud pakett:

Näide 1

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, nii et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule osutitega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgnevad otse surmatu Kashchei juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on kas paralleelsed või samad. Siin pole determinant vajalik.

Ilmselt on tundmatute koefitsiendid proportsionaalsed, samas kui .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Sellel viisil,

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame determinandi, mis koosneb nende vektorite koordinaatidest:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või langevad kokku.

Proportsionaalsustegurit "lambda" on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Peagi õpite (või isegi olete juba õppinud) lahendama kaalutud probleemi sõna otseses mõttes mõne sekundiga. Sellega seoses ei näe ma põhjust midagi pakkuda sõltumatu otsus, on parem panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Kuidas tõmmata antud joonega paralleelset joont?

Selle teadmatuse pärast kõige lihtsam ülesanne karistab Röövli Ööbiku karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: tähistage tundmatut rida tähega . Mida seisund selle kohta ütleb? Joon läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmselge, et sirge "ce" suunav vektor sobib ka sirge "de" konstrueerimiseks.

Me võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Näite geomeetria näeb välja lihtne:

Analüütiline kontrollimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Analüütilist kontrollimist on enamikul juhtudel lihtne suuliselt läbi viia. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist saavad kiiresti aru, kuidas jooned on paralleelsed ilma jooniseta.

Tänased näited ise lahendamiseks on loomingulised. Sest Baba Yagaga tuleb ikka võistelda ja ta, teate, on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Lahenduseks on ratsionaalne ja mitte väga ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Tegime paralleeljoontega veidi tööd ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühttuvate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega kaaluge probleemi, mis on teile hästi teada kooli õppekava:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Siin on teile kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi geomeetriline tähendus on kaks tasapinnal lõikuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline viis on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida lõikepunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igasse sirge võrrandisse asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Tegelikult kaalusime graafilist lahendusviisi lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid sellel on märgatavaid puudusi. Ei, asi pole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise tegemine võtab aega. Lisaks pole mõnda joont nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib olla kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminipõhise liitmise meetodit. Vastavate oskuste arendamiseks külastage õppetundi Kuidas lahendada võrrandisüsteemi?

Vastus:

Kontrollimine on triviaalne – ristumispunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on tee-seda-ise näide. Ülesande saab mugavalt jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage sirge võrrand.
2) Kirjutage sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täielik lahendus ja vastus õpetuse lõpus:

Kingapaar pole veel kulunud, kuna jõudsime tunni teise osani:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Nurk ridade vahel

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime etteantud sirgega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas tõmmata joont, mis on antud joonega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva ristsirge jaoks.

Lahendus: Eeldusel on teada, et . Tore oleks leida sirge suunavektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame sirgjoone võrrandi punktist ja suunavektorist:

Vastus:

Avame geomeetrilise visandi:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Eraldage võrranditest suunavektorid ja abiga vektorite punktkorrutis järeldame, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Kontrollimist on jällegi lihtne suuliselt läbi viia.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja punkt.

See on tee-seda-ise näide. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on mugav lahendust punkt-punkti kaupa järjestada.

Meie põnev teekond jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikumine mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega "ro", näiteks: - kaugus punktist "em" sirgjooneni "de".

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leidke kaugus punktist jooneni

Lahendus: kõik, mida vajate, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teostame joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui teed ruudulisele paberile joonise mõõtkavas 1 ühikut. \u003d 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Mõelge teisele ülesandele sama joonise järgi:

Ülesandeks on leida punkti koordinaadid, mis on sirge suhtes sümmeetriline punktiga . Teen ettepaneku sooritada toimingud ise, kuid kirjeldan lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskkoha koordinaatide valemid leida .

Ei ole üleliigne kontrollida, kas kaugus on samuti võrdne 2,2 ühikuga.

Arvutamisel võib siin raskusi tekkida, kuid tornis aitab palju abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab lugeda harilikud murded. Olen korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide sõltumatust lahendusest. Väike vihje: lahendusviise on lõpmatult palju. Tunni lõpus ülevaade, kuid parem proovige ise arvata, arvan, et teil õnnestus oma leidlikkust hästi hajutada.

Nurk kahe joone vahel

Ükskõik milline nurk, siis lengi:


Geomeetrias võetakse VÄIKSEMAKS nurgaks kahe sirge vaheline nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka ristuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja selle "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud karmiinpunane nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on põhimõtteliselt oluline nurga "kerimise" suund. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma seda ütlesin? Tundub, et tavapärase nurga mõistega saab hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, on lihtne saada negatiivne tulemus ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Negatiivse nurga joonisel tuleb kindlasti noolega näidata selle suund (päripäeva).

Kuidas leida nurk kahe joone vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus ja Meetod üks

Vaatleme kahte sirget, mis on antud võrranditega üldkujul:

Kui sirge mitte risti, siis orienteeritud nendevahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörame hoolega tähelepanu nimetajale – see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavektorid:

Kui , siis valemi nimetaja kaob ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti reservatsioon sõnastuses olevate joonte mitteperpendikulaarsuse osas.

Eelneva põhjal vormistatakse lahendus mugavalt kahes etapis:

1) Arvutage sirgjoonte suunavektorite skalaarkorrutis:
nii et jooned ei ole risti.

2) Leiame joonte vahelise nurga valemiga:

Kasutades pöördfunktsioon nurga enda leidmine on lihtne. Sel juhul kasutame kaartangensi veidrust (vt joonis 1). Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused ):

Vastus:

Vastuses märkige täpne väärtus, samuti kalkulaatori abil arvutatud ligikaudne väärtus (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides).

Noh, miinus, nii miinus, see on okei. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesande seisukorras on esimene number sirge ja nurga “väänamine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate sirgjooned vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist ja võta koefitsiendid esimesest võrrandist . Lühidalt, peate alustama otsesest .

Punkti ja tasapinna sirge kauguse arvutamise valem

Kui on antud sirge võrrand Ax + By + C = 0, siis punkti M(M x , M y) ja sirge kauguse saab leida järgmise valemi abil

Näited ülesannetest punktist tasapinna sirgeni kauguse arvutamiseks

Näide 1

Leidke sirge 3x + 4y - 6 = 0 ja punkti M(-1, 3) vaheline kaugus.

Lahendus. Asendage valemis sirge koefitsiendid ja punkti koordinaadid

Vastus: kaugus punktist sirgeni on 0,6.

tasandi võrrand, mis läbib vektoriga risti olevaid punkte Tasapinna üldvõrrand

Nimetatakse nullist erinevat vektorit, mis on antud tasapinnaga risti normaalvektor (või lühidalt normaalne ) selle lennuki jaoks.

Sisestage koordinaatruum (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis):

a) punkt ;

b) nullist erinev vektor (joon. 4.8, a).

Punkti läbiva tasapinna jaoks on vaja kirjutada võrrand vektoriga risti Tõestuse lõpp.

Kaaluge nüüd erinevad tüübid tasapinna sirgjoone võrrandid.

1) Tasapinna üldvõrrandP .

Võrrandi tuletamisest järeldub, et samal ajal A, B ja C ei ole võrdne 0-ga (selgitage, miks).

Punkt kuulub lennukile P ainult siis, kui selle koordinaadid vastavad tasapinna võrrandile. Olenevalt koefitsientidest A, B, C ja D lennuk P on ühel või teisel positsioonil.

– tasapind läbib koordinaatsüsteemi alguspunkti, – tasapind ei läbi koordinaatsüsteemi alguspunkti,

- tasapind on teljega paralleelne X,

X,

- tasapind on teljega paralleelne Y,

- tasapind ei ole teljega paralleelne Y,

- tasapind on teljega paralleelne Z,

- tasapind ei ole teljega paralleelne Z.

Tõesta neid väiteid ise.

Võrrand (6) on kergesti tuletatav võrrandist (5). Tõepoolest, las asi on lennukis P. Siis rahuldavad selle koordinaadid võrrandit. Lahutades võrrandist (5) võrrandi (7) ja rühmitades liikmed, saame võrrandi (6). Vaatleme nüüd vastavalt kahte koordinaatidega vektorit. Valemist (6) järeldub, et nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga. Seetõttu on vektor vektoriga risti Viimase vektori algus ja lõpp on vastavalt punktides, mis kuuluvad tasapinnale P. Seetõttu on vektor tasapinnaga risti P. Kaugus punktist tasapinnani P, mille üldvõrrand on määratakse valemiga Selle valemi tõestus on täiesti sarnane punkti ja sirge vahelise kauguse valemi tõestusega (vt joonis 2).
Riis. 2. Tasapinna ja sirge vahelise kauguse valemi tuletamisele.

Tõepoolest, vahemaa d sirge ja tasapinna vahel on

kus on punkt, mis asub lennukis. Siit, nagu loengus nr 11, saadakse ülaltoodud valem. Kaks tasapinda on paralleelsed, kui nende normaalvektorid on paralleelsed. Siit saame kahe tasandi paralleelsuse tingimuse - tasandite üldvõrrandite koefitsiendid. Kaks tasapinda on risti, kui nende normaalvektorid on risti, seega saame kahe tasandi risti olemise tingimuse, kui nende üldvõrrandid on teada

Nurk f kahe lennuki vahel võrdne nurgaga nende normaalvektorite vahel (vt joonis 3) ja seetõttu saab neid arvutada valemi järgi
Tasapindadevahelise nurga määramine.

(11)

Kaugus punktist lennukini ja selle leidmine

Kaugus punktist lennuk on punktist sellele tasapinnale langenud risti pikkus. Punkti ja tasapinna kauguse leidmiseks on vähemalt kaks võimalust: geomeetriline ja algebraline.

Geomeetrilise meetodiga kõigepealt peate mõistma, kuidas risti asetseb punktist tasapinnani: võib-olla asub see mõnel sobival tasapinnal, see on mõne mugava (või mitte nii) kolmnurga kõrgus või võib-olla on see risti üldiselt mõne püramiidi kõrgus .

Pärast seda esimest ja kõige raskemat etappi jaguneb probleem mitmeks konkreetseks planimeetriliseks probleemiks (võib-olla erinevatel tasanditel).

Algebralisel teel punkti ja tasapinna kauguse leidmiseks tuleb sisestada koordinaatide süsteem, leida punkti koordinaadid ja tasandi võrrand ning seejärel rakendada punktist tasapinnani kauguse valemit.