Kui konstrueerida ühikuline ring, mille keskpunkt on lähtepunktis, ja määrata argumendi suvaline väärtus x0 ja loendage teljest Ox nurk x 0, siis see nurk ühikringil vastab mingile punktile A(Joonis 1) ja selle projektsioon teljele Oh tuleb punkt M. Lõika pikkus OM võrdne punkti abstsissi absoluutväärtusega A. antud argumendi väärtus x0 kaardistatud funktsiooni väärtus y= cos x 0 kui punkti abstsiss AGA. Vastavalt sellele punkt AT(x 0 ;juures 0) kuulub funktsioonigraafikusse juures= cos X(Joonis 2). Kui punkt AGA asub teljest paremal OU, tokosiin on positiivne, kui vasakul, siis negatiivne. Aga igal juhul point AGA ei saa ringist lahkuda. Seetõttu on koosinus vahemikus -1 kuni 1:

-1 = cos x = 1.

Täiendav pööramine mis tahes nurga all, kordne 2 lk, tagastab punkti A samasse kohta. Seetõttu funktsioon y= cos xlk:

cos ( x+ 2lk) = cos x.

Kui võtame argumendi kaks väärtust, mis on absoluutväärtuses võrdsed, kuid märgilt vastupidised, x ja - x, leida ringilt vastavad punktid A x ja A-x. Nagu näha joonisel fig. 3 nende projektsioon teljele Oh on sama punkt M. Sellepärast

cos (- x) = cos( x),

need. koosinus - ühtlane funktsioon, f(–x) = f(x).

Seega saame uurida funktsiooni omadusi y= cos X segmendil , ning seejärel võta arvesse selle pariteeti ja perioodilisust.

Kell X= 0 punkti AGA asub teljel Oh, selle abstsiss on 1 ja seetõttu cos 0 = 1. Kasvamisega X punkt AGA liigub ümber ringi üles ja vasakule, selle projektsioon muidugi ainult vasakule ja x = korral lk/2 koosinus muutub 0-ks. Punkt A sel hetkel tõuseb maksimaalne kõrgus, ja jätkab seejärel liikumist vasakule, kuid juba väheneb. Selle abstsiss väheneb, kuni see saavutab väikseima väärtuse, mis on võrdne -1 at X= lk. Seega segmendil funktsioon juures= cos X väheneb monotoonselt 1-lt –1-le (joon. 4, 5).

Koosinuse paarsusest järeldub, et intervallil [– lk, 0], suureneb funktsioon monotoonselt –1-lt 1-le, saades nulli väärtuse x =–lk/2. Kui võtate mitu perioodi, tekib laineline kõver (joonis 6).

Seega funktsioon y= cos x võtab punktides nullväärtusi X= lk/2 + kp, kus k- mis tahes täisarv. Punktides saavutatakse maksimumid 1-ga X= 2kp, st. sammuga 2 lk, ja miinimumid on punktides –1 X= lk + 2kp.

Funktsioon y \u003d sin x.

Üksuse ringil x 0 vastab punktile AGA(joonis 7), ja selle projektsioon teljele OU tuleb punkt N.W funktsiooni väärtus y 0 = patt x0 defineeritud kui punkti ordinaat AGA. Punkt AT(nurk x 0 ,juures 0) kuulub funktsioonigraafikusse y= patt x(joonis 8). On selge, et funktsioon y= patt x perioodiline, selle periood on 2 lk:

patt ( x+ 2lk) = patt ( x).

Kahe argumendi väärtuse korral X ja - , nende vastavate punktide projektsioonid A x ja A-x telje kohta OU paikneb sümmeetriliselt punkti ümber O. Sellepärast

patt (- x) = –patt ( x),

need. siinus on paaritu funktsioon, f(– x) = –f( x) (joonis 9).

Kui punkt A punkti ümber pöörata O nurga peal lk/2 vastupäeva (teisisõnu, kui nurk X võrra suurendada lk/2), siis on selle ordinaat uues asendis võrdne abstsissiga vanas. Mis tähendab

patt ( x+ lk/2) = cos x.

Vastasel juhul on siinus koosinus, mille võrra "hilineb". lk/2, kuna iga koosinusväärtus "kordub" siinuses, kui argument suureneb lk/2. Ja siinusgraafiku koostamiseks piisab koosinusgraafiku võrra nihutamisest lk/2 paremale (joon. 10). Siinuse üliolulist omadust väljendab võrdsus

Võrdsuse geomeetriline tähendus on näha jooniselt fig. 11. Siin X - see on pool kaarest AB, ja patt X - pool vastavast akordist. Ilmselgelt punktide lähenedes AGA ja AT akordi pikkus läheneb järjest lähemale kaare pikkusele. Samalt jooniselt on ebavõrdsust lihtne välja tuua

|patt x| x|, kehtib mis tahes X.

Valemit (*) nimetavad matemaatikud imeliseks piiriks. Eelkõige sellest järeldub, et patt X» X väikesel X.

Funktsioonid juures=tg x, y=ctg X. Veel kahte trigonomeetrilist funktsiooni – puutujat ja kotangenti on kõige lihtsam defineerida meile juba tuntud siinuse ja koosinuse suhetena:

Nagu siinus ja koosinus, on ka puutuja ja kotangens perioodilised funktsioonid, kuid nende perioodid on võrdsed lk, st. need on siinuse ja koosinuse omast poole väiksemad. Selle põhjus on selge: kui siinus ja koosinus muudavad märke, siis nende suhe ei muutu.

Kuna puutuja nimetajas on koosinus, pole puutujat määratletud nendes punktides, kus koosinus on 0 - kui X= lk/2 +kp. Kõigil muudel punktidel suureneb see monotoonselt. Otsene X= lk/2 + kp puutuja jaoks on vertikaalsed asümptoodid. Punktides kp puutuja ja kalle on vastavalt 0 ja 1 (joonis 12).

Kootangens ei ole määratletud, kui siinus on 0 (millal x = kp). Teistes punktides väheneb see monotoonselt ja jooned x = kp – selle vertikaalsed asümptoosid. Punktides x = p/2 +kp kotangens muutub 0-ks ja nende punktide kalle on -1 (joonis 13).

Pariteet ja perioodilisus.

Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui f(–x) = f(x). Koosinus- ja sekantfunktsioonid on paaris ning siinus-, puutuja-, kootangens- ja koossekantsfunktsioonid on paaritud:

Paarsuse omadused tulenevad punktide sümmeetriast P a ja R-a (joon. 14) ümber telje X. Sellise sümmeetria korral muudab punkti ordinaat märki (( X;juures) läheb ( X; -y)). Kõik funktsioonid – perioodiline, siinus, koosinus, sekant ja koossekant – on perioodiga 2 lk, ja puutuja ja kotangent - lk:

Siinuse ja koosinuse perioodilisus tuleneb sellest, et kõik punktid P a + 2 kp, kus k= 0, ±1, ±2,…, langevad kokku ning puutuja ja kotangensi perioodilisus tuleneb asjaolust, et punktid P a + kp vaheldumisi langevad kahte diametraalselt vastupidisesse ringi punkti, andes sama punkti puutujate teljel.

Põhiomadused trigonomeetrilised funktsioonid saab tabelisse panna:

Valemite valamine.

Nende valemite järgi argumendi a trigonomeetrilise funktsiooni väärtus, kus lk/2 a p , saab taandada argumendi a funktsiooni väärtuseks, kus 0 a p /2, nii sama kui ka sellele lisanduv.

Argument b	– a	+ a	lk– a	lk+ a	+ a	+ a	2lk– a
sinb	cos a	cos a	sin a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a
cosb	sin a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a	sin a	cos a

Seetõttu on trigonomeetriliste funktsioonide tabelites väärtused antud ainult teravnurkade jaoks ja piisab, kui piirduda näiteks siinuse ja puutujaga. Tabel sisaldab ainult siinuse ja koosinuse kõige sagedamini kasutatavaid valemeid. Nendest on lihtne saada puutuja ja kotangensi valemeid. Funktsiooni valamisel vormi argumendist kp/2 ± a , kus k on täisarv funktsiooniks argumendist a :

1) funktsiooni nimi salvestatakse, kui k isegi ja muutub "täiendavaks", kui k kummaline;

2) parempoolne märk langeb kokku punktis taandatava funktsiooni märgiga kp/2 ± a, kui nurk a on teravnurk.

Näiteks ctg (a - lk/2) veenduge, et a - lk/2 juures 0 a p /2 asub neljandas kvadrandis, kus kootangens on negatiivne ja reegli 1 kohaselt muudame funktsiooni nime: ctg (a - lk/2) = –tg a .

Lisamise valemid.

Mitme nurga valemid.

Need valemid tuletatakse otse liitmisvalemitest:

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

Cos 3a valemit kasutas Francois Viet kuupvõrrandi lahendamisel. Ta oli esimene, kes leidis väljendid cos n a ja patt n a , mis hiljem saadi lihtsamal viisil De Moivre’i valemist.

Kui asendate topeltargumendi valemites a /2-ga, saab need teisendada poolnurga valemiteks:

Universaalsed asendusvalemid.

Neid valemeid kasutades saab ühest argumendist erinevaid trigonomeetrilisi funktsioone hõlmava avaldise ümber kirjutada ühest funktsioonist tg (a / 2) lähtuva ratsionaalse avaldisena. See on kasulik mõne võrrandi lahendamisel:

Valemid summade toodeteks ja toodete summadeks teisendamiseks.

Enne arvutite tulekut kasutati neid valemeid arvutuste lihtsustamiseks. Arvutused tehti logaritmiliste tabelite ja hiljem - slaidireegli abil, sest. Arvude korrutamiseks sobivad kõige paremini logaritmid, mistõttu kõik algsed avaldised taandati logaritmidele sobivale kujule, s.t. selliste tööde jaoks nagu:

2 patt a sin b = cos( a-b) – cos ( a+b);

2 cos a cos b= cos( a-b) + cos( a+b);

2 patt a cos b= patt ( a-b) + patt ( a+b).

Tangensi ja kotangensi funktsioonide valemid saab ülaltoodust.

Kraadide vähendamise valemid.

Mitme argumendi valemitest tuletatakse valemid:

Nende valemitega trigonomeetrilised võrrandid saab taandada madalama astme võrranditeks. Samamoodi saab tuletada siinuse ja koosinuse suuremate astmete redutseerimisvalemeid.

Iga trigonomeetriline funktsioon oma määratluspiirkonna igas punktis on pidev ja lõpmatult diferentseeritav. Veelgi enam, trigonomeetriliste funktsioonide tuletisteks on trigonomeetrilised funktsioonid ja integreerimisel saadakse ka trigonomeetrilised funktsioonid või nende logaritmid. Trigonomeetriliste funktsioonide ratsionaalsete kombinatsioonide integraalid on alati elementaarfunktsioonid.

Trigonomeetriliste funktsioonide esitamine astmeridade ja lõpmatute korrutite kujul.

Kõiki trigonomeetrilisi funktsioone saab laiendada astmeridadeks. Sel juhul funktsioonid pattuvad x b cos x ilmuvad ridadena. koonduv kõigi väärtuste jaoks x:

Neid seeriaid saab kasutada patu ligikaudsete avaldiste saamiseks x ja cos x väikeste väärtuste jaoks x:

aadressil | x| p/2;

kell 0x| lk

(B n on Bernoulli arvud).

patufunktsioonid x ja cos x võib esitada lõpmatute toodetena:

Trigonomeetriline süsteem 1, cos x, patt x, cos 2 x, patt 2 x, ¼, cos nx, patt nx, ¼, moodustab intervalli [– lk, lk] ortogonaalne funktsioonide süsteem, mis võimaldab esitada funktsioone trigonomeetriliste ridadena.

on määratletud kui reaalse argumendi vastavate trigonomeetriliste funktsioonide analüütilised jätkud komplekstasandile. Jah, patt z ja cos z saab defineerida kasutades seeriaid patu jaoks x ja cos x, kui selle asemel x pane z:

Need seeriad koonduvad üle kogu tasapinna, nii et patt z ja cos z on terved funktsioonid.

Tangens ja kotangent määratakse valemitega:

tg funktsioonid z ja ctg z on meromorfsed funktsioonid. poolakad tg z ja sek z on lihtsad (1. järku) ja asuvad punktides z=p/2 + pn, ctg postid z ja cosec z on samuti lihtsad ja asuvad punktides z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Kõik valemid, mis kehtivad reaalse argumendi trigonomeetriliste funktsioonide jaoks, kehtivad ka komplekssete funktsioonide jaoks. Eriti,

patt (- z) = -patt z,

cos (- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

need. paaris ja paaritu paarsus säilivad. Samuti salvestatakse valemid

patt ( z + 2lk) = patt z, (z + 2lk) = cos z, (z + lk) = tg z, (z + lk) = ctg z,

need. säilib ka perioodilisus ja perioodid on samad, mis reaalse argumendi funktsioonide puhul.

Trigonomeetrilisi funktsioone saab väljendada puhtalt imaginaarse argumendi eksponentsiaalse funktsioonina:

Tagasi, e iz väljendatuna cos z ja patt z valemi järgi:

e iz= cos z + i patt z

Neid valemeid nimetatakse Euleri valemiteks. Leonhard Euler tutvustas neid 1743. aastal.

Trigonomeetrilisi funktsioone saab väljendada ka hüperboolsete funktsioonidena:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

kus sh, ch ja th on hüperboolne siinus, koosinus ja puutuja.

Kompleksargumendi trigonomeetrilised funktsioonid z = x + iy, kus x ja y- reaalarvud, mida saab väljendada reaalargumentide trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonidena, näiteks:

patt ( x+iy) = patt x ptk y + i cos x sh y;

cos ( x+iy) = cos x ptk y + i patt x sh y.

Kompleksse argumendi siinus ja koosinus võivad absoluutväärtuses võtta reaalväärtusi, mis on suuremad kui 1. Näiteks:

Kui trigonomeetriliste funktsioonide argumendina sisestatakse võrrandisse tundmatu nurk, nimetatakse võrrandit trigonomeetriliseks. Sellised võrrandid on nii levinud, et nende meetodid lahendused on väga detailsed ja hoolikalt kavandatud. FROM abi erinevaid trikke ja valemid, trigonomeetrilised võrrandid taandatakse vormi võrranditeks f(x)= a, kus f- mis tahes lihtsamaid trigonomeetrilisi funktsioone: siinus, koosinus, puutuja või kotangens. Seejärel väljendage argumenti x seda funktsiooni teadaoleva väärtuse kaudu a.

Kuna trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, siis sama a väärtuste vahemikust on argumendi väärtusi lõputult palju ja võrrandi lahendust ei saa kirjutada ühe funktsioonina a. Seetõttu valitakse iga peamise trigonomeetrilise funktsiooni määratluspiirkonnas jaotis, milles see võtab kõik väärtused, igaüks ainult ühe korra, ja leitakse funktsioon, mis on selles jaotises selle pöördvõrdeline. Selliseid funktsioone tähistatakse, omistades esialgse funktsiooni nimele eesliite kaar (kaar) ja neid nimetatakse pöördtrigonomeetrilisteks. funktsioonid või lihtsalt kaarefunktsioonid.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid.

Patu eest X, cos X, tg X ja ctg X pöördfunktsioone saab defineerida. Neid tähistatakse vastavalt arcsiniga X(loe "arxine x"), arcos x, arctg x ja arcctg x. Definitsiooni järgi arcsin X on selline number y, mida

patt juures = X.

Sama kehtib ka teiste pöördtrigonomeetriliste funktsioonide kohta. Kuid see määratlus kannatab teatud ebatäpsuse tõttu.

Kui peegeldame pattu X, cos X, tg X ja ctg X esimese ja kolmanda kvadrandi poolitaja suhtes koordinaattasand, siis muutuvad funktsioonid oma perioodilisuse tõttu mitmetähenduslikeks: samale siinusele (koosinus, puutuja, kotangens) vastab lõpmatu arv nurki.

Ebaselgusest vabanemiseks kõvera osa laiusega lk, samas on vajalik, et argumendi ja funktsiooni väärtuse vahel oleks üks-ühele vastavus. Valitakse lähtekoha lähedal olevad alad. Siinuse jaoks kui "üks-ühele intervall" võetakse lõigu [- lk/2, lk/2], millel siinus suureneb monotoonselt –1-lt 1-ni, koosinuse puhul - segment , puutuja ja kotangensi puhul vastavalt intervallid (– lk/2, lk/2) ja (0, lk). Intervalli iga kõver kajastub poolitaja ümber ja nüüd saate defineerida pöördtrigonomeetrilisi funktsioone. Näiteks olgu argumendi väärtus antud x 0, nii, et 0 J x 0 Ј 1. Seejärel funktsiooni väärtus y 0 = arcsin x 0 saab üks tähendus juures 0 , selline, et - lk/2 J juures 0 Ј lk/2 ja x 0 = patt y 0 .

Seega on arsiinus arcsini funktsioon a, defineeritud intervallil [–1, 1] ja võrdsed igaühe jaoks a selline väärtus a , – lk/2 a p /2 et sin a = a. Seda on väga mugav kujutada ühikringi abil (joonis 15). Millal | a| 1 on ordinaadiga ringil kaks punkti a, sümmeetriline telje suhtes y.Üks neist on nurk a= arcsin a, ja teine ​​on nurk p - a. FROM siinuse perioodilisust arvesse võttes võrrandi sin lahend x= a on kirjutatud järgmiselt:

x =(–1)n kaar patt a + 2p n,

kus n= 0, ±1, ±2,...

Lahendatakse ka teisi lihtsaid trigonomeetrilisi võrrandeid:

cos x = a, –1 =a= 1;

x=±arcos a + 2p n,

kus P= 0, ±1, ±2,... (joonis 16);

tg X = a;

x= arctg a + lk n,

kus n = 0, ±1, ±2,... (joonis 17);

ctg X= a;

X= arcctg a + lk n,

kus n = 0, ±1, ±2,... (joonis 18).

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide peamised omadused:

kaar patt X(joonis 19): määratluspiirkond on segment [–1, 1]; vahemik - [- lk/2, lk/2], monotoonselt kasvav funktsioon;

arccos X(joonis 20): määratluspiirkond on segment [–1, 1]; väärtuste vahemik - ; monotoonselt vähenev funktsioon;

arctg X(joonis 21): määratluspiirkond – kõik reaalarvud; väärtuste vahemik – intervall (– lk/2, lk/2); monotoonselt suurenev funktsioon; sirge juures= –lk/2 ja y \u003d p / 2 - horisontaalsed asümptoodid;

arcctg X(joonis 22): määratluspiirkond – kõik reaalarvud; väärtuste vahemik - intervall (0, lk); monotoonselt vähenev funktsioon; sirge y= 0 ja y = p on horisontaalsed asümptoodid.

Kellelegi z = x+iy, kus x ja y on reaalarvud, on ebavõrdsusi

½| e\ey–e-y| ≤|patt z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y + e -y),

millest y® Ґ järgnevad asümptootilised valemid (ühtlaselt x)

|patt z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Trigonomeetrilised funktsioonid tekkisid esimest korda seoses astronoomia ja geomeetria uurimisega. Kolmnurga ja ringi lõikude suhted, mis on sisuliselt trigonomeetrilised funktsioonid, on leitud juba 3. sajandil. eKr e. Vana-Kreeka matemaatikute töödes – Euclid, Archimedes, Apollonius Pergast jt, aga need suhted ei olnud iseseisev uurimisobjekt, mistõttu nad ei uurinud trigonomeetrilisi funktsioone kui selliseid. Algselt peeti neid segmentideks ja sellisel kujul kasutasid neid Aristarchos (4. sajandi lõpp – 3. sajandi 2. pool eKr), Hipparkhos (2. sajand eKr), Menelaus (1. sajand eKr). ) ja Ptolemaios (2. sajand pKr). kerakujuliste kolmnurkade lahendamine. Ptolemaios koostas esimese akordide tabeli teravnurkade kohta 30" täpsusega 10–6. See oli esimene siinuste tabel. Suhtarvuna patu funktsioon a leidub juba Aryabhatas (5. sajandi lõpp). Funktsioonid tg a ja ctg a leidub al-Battanis (9. sajandi 2. pool - 10. sajandi algus) ja Abul-Vefis (10. saj), kes kasutab ka sec a ja cosec a. Aryabhata teadis juba valemit (sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, samuti sin ja cos poolnurga valemeid, mille abil ta koostas siinuste tabeleid nurkade jaoks läbi 3 ° 45 "; põhineb trigonomeetriliste funktsioonide teadaolevad väärtused kõige lihtsamate argumentide jaoks. Bhaskara (12. sajand) andis meetodi tabelite koostamiseks kuni 1, kasutades liitmisvalemeid. Valemid erinevate argumentide trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse korrutiseks teisendamiseks. tuletatud Regiomontanuse (15. sajand) ja J. Napieri poolt seoses viimaste logaritmide leiutamisega (1614). siinusväärtuste tabel​​läbi 1 ". Trigonomeetriliste funktsioonide laiendamise astmeridadeks sai I. Newton (1669). AT kaasaegne vorm trigonomeetriliste funktsioonide teooria tutvustas L. Euler (18. sajand). Talle kuulub nende tegelike ja keeruliste argumentide määratlus, praegu aktsepteeritud sümboolika, seose loomine eksponentsiaalfunktsiooniga ning siinuste ja koosinuste süsteemi ortogonaalsus.

Trigonomeetrilised funktsioonid on elementaarfunktsioonid, mille argument on nurk. Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad külgede ja teravnurkade vahelisi seoseid täisnurkne kolmnurk. Trigonomeetriliste funktsioonide kasutusvaldkonnad on äärmiselt mitmekesised. Näiteks võib mis tahes perioodilisi protsesse esitada trigonomeetriliste funktsioonide () summana. Need funktsioonid ilmnevad sageli funktsionaalvõrrandite lahendamisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid hõlmavad 6 järgmist funktsiooni: sinus , koosinus , puutuja , kotangent , sekant ja kosekant. Igaühe jaoks määratud funktsioonid on olemas pöördvõrdeline trigonomeetriline funktsioon .

Trigonomeetriliste funktsioonide geomeetrilist määratlust tutvustatakse mugavalt kasutades üksuse ring . Alloleval joonisel on kujutatud ring raadiusega \(r = 1\). Ringjoonele on märgitud punkt \(M\left((x,y) \right)\). Raadiusvektori \(OM\) ja \(Ox\) telje positiivse suuna vaheline nurk on võrdne \(\alpha\).

sinus nurk \(\alpha\) on punkti \(M\left((x,y) \right)\) ordinaadi \(y\) ja raadiuse \(r\) suhe:
\(\sin \alpha = y/r\).
Kuna \(r = 1\), on siinus võrdne punkti \(M\left((x,y) \right)\ ordinaadiga.

koosinus nurk \(\alpha\) on punkti \(M\left((x,y) \right)\) abstsissi \(x\) ja raadiuse \(r\) suhe:
\(\cos \alpha = x/r\)


puutuja nurk \(\alpha\) on punkti \(M\left((x,y) \right)\) ordinaadi \(y\) ja selle abstsissi \(x\) suhe:
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)


Kotangent nurk \(\alpha\) on punkti \(M\left((x,y) \right)\) abstsissi \(x\) ja selle ordinaadi \(y\) suhe:
\(\voodi \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)


Sekant nurk \(\alpha\) on punkti \(M\left((x,y) \right)\ raadiuse \(r\) ja abstsissi \(x\) suhe:
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)


Kosekant nurk \(\alpha\) on punkti \(M\left((x,y) \right)\ raadiuse \(r\) ja ordinaadi \(y\) suhe:
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)


Projektsiooniühiku ringis \(x\), \(y\) moodustavad punktid \(M\left((x,y) \right)\) ja raadius \(r\) täisnurkse kolmnurga, milles \( x,y \) on jalad ja \(r\) on hüpotenuus. Seetõttu on ülaltoodud trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid täisnurksele kolmnurgale sõnastatud järgmiselt:
sinus nurk \(\alpha\) on vastasjala ja hüpotenuusi suhe.
koosinus nurka \(\alpha\) nimetatakse suhteks külgnev jalg hüpotenuusile.
puutuja nurka \(\alpha\) nimetatakse külgneva jala vastasküljeks.
Kotangent Nurka \(\alpha\) nimetatakse vastassuunalise jalaga külgnevaks jalaks.
Sekant nurk \(\alpha\) on hüpotenuusi ja külgneva jala suhe.
Kosekant nurk \(\alpha\) on hüpotenuusi ja vastasjala suhe.


siinusfunktsiooni graafik
\(y = \sin x\), domeen: \(x \in \mathbb(R)\), domeen: \(-1 \le \sin x \le 1\)




Koosinusfunktsiooni graafik
\(y = \cos x\), domeen: \(x \in \mathbb(R)\), domeen: \(-1 \le \cos x \le 1\)

Definitsioonid

Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid on antud trigonomeetrilise ringi abil, mille all mõistetakse ühikulise raadiusega ringi, mille keskpunkt on alguspunktis.

Vaatleme selle ringi kahte raadiust: fikseeritud (kus on punkt) ja liikuvat (kus on punkt). Laske liigutataval raadiusel moodustada fikseeritud raadiusega nurk.

Nimetatakse arvu, mis on võrdne fikseeritud raadiusega nurga moodustava ühiku raadiuse lõpu ordinaadiga nurga siinus : .

Arvu, mis on võrdne fikseeritud raadiusega nurga moodustava ühiku raadiuse otsa abstsissiga, nimetatakse nurga koosinus : .

Seega on punktil, mis on nurga moodustava liigutatava raadiuse lõpp, koordinaadid.

Nurga puutuja on selle nurga siinuse ja koosinuse suhe: , .

nurga kotangents on selle nurga koosinuse ja siinuse suhe: , .

Trigonomeetriliste funktsioonide geomeetriline tähendus

Siinuse ja koosinuse geomeetriline tähendus trigonomeetrilisel ringil selgub definitsioonist: see on liikuva raadiuse, mis moodustab fikseeritud raadiusega nurga, ja trigonomeetrilise ringi lõikepunkti abstsiss ja ordinaadid. See on, .

Mõelge nüüd puutuja ja kotangensi geomeetrilisele tähendusele. Kolmnurgad on kolmes nurgas sarnased (,), siis seos kehtib. Teisalt sisse, seega.

Sarnane ka kolmes nurgas (,), siis seos kehtib. Teisalt sisse, seega.

Võttes arvesse puutuja ja kotangensi geomeetrilist tähendust, võetakse kasutusele puutujate telje ja kotangentide telje mõiste.

Puutujate telgi nimetatakse telgedeks, millest üks puudutab punktis trigonomeetrilist ringjoont ja on suunatud ülespoole, teine ​​puudutab ringjoont punktis ja on suunatud alla.

Kootangentstelgedeks nimetatakse telgedeks, millest üks puudutab trigonomeetrilist ringi mingis punktis ja on suunatud paremale, teine ​​puudutab ringjoont punktis ja on suunatud vasakule.

Trigonomeetriliste funktsioonide omadused

Vaatleme mõningaid trigonomeetriliste funktsioonide põhiomadusi. Teisi omadusi käsitletakse trigonomeetriliste funktsioonide graafikute osas.

Väärtuste ulatus ja vahemik

Nagu varem mainitud, eksisteerivad siinus ja koosinus mis tahes nurkade korral, st. nende funktsioonide määratluspiirkond on reaalarvude hulk. Definitsiooni järgi ei eksisteeri nurkade puhul puutujat, vaid nurkade kotangenti, .

Kuna siinus ja koosinus on trigonomeetrilise ringi punkti ordinaat ja abstsiss, jäävad nende väärtused nende vahele. Puutuja ja kotangensi vahemik on reaalarvude hulk (seda on lihtne näha, kui vaadata puutujate ja kotangentide telgi).

Isegi veider

Vaatleme kahe nurga (mis vastab liigutatavale raadiusele) ja (mis vastab liigutatavale raadiusele) trigonomeetrilisi funktsioone. Sellest ajast alates on punktil koordinaadid. Seetõttu, st. siinus - paaritu funktsioon; , st. koosinus on paarisfunktsioon; , st. puutuja on paaritu; , st. ka kotangent on paaritu.

Püsivuse intervallid

Nende funktsioonide definitsioonist tulenevad trigonomeetriliste funktsioonide märgid erinevatele koordinaatveeranditele. Tuleb märkida, et kuna puutuja ja kootangens on siinuse ja koosinuse suhted, on need positiivsed, kui nurga siinusel ja koosinusel on sama märk, ja negatiivsed, kui need on erinevad.

Perioodilisus

Siinuse ja koosinuse perioodilisus põhineb asjaolul, et nurgad, mis erinevad täisarvu täispöörete võrra, vastavad samale suhteline positsioon liikuvad ja fikseeritud talad. Sellest lähtuvalt on liikuva kiire ja trigonomeetrilise ringi lõikepunkti koordinaadid nurkade puhul, mis erinevad täisarvu täispöörete võrra, samad. Nii et siinuse ja koosinuse periood on ja kus.

Ilmselgelt on see ka puutuja ja kotangensi periood. Kuid kas nende funktsioonide jaoks on lühem periood? Tõestame seda lühim periood puutuja ja kotangent on.

Vaatleme kahte nurka ja. Tangensi ja kotangensi geomeetrilisest tähendusest,. Kolmnurgad on piki külge ja sellega külgnevaid nurki võrdsed ning seetõttu on ka nende küljed võrdsed, mis tähendab ja. Samamoodi saab tõestada, kus. Seega puutuja ja kotangensi periood on.

Põhinurkade trigonomeetrilised funktsioonid

Trigonomeetria valemid

Trigonomeetriliste ülesannete edukaks lahendamiseks on vaja omandada palju trigonomeetrilised valemid. Siiski pole vaja kõiki valemeid pähe õppida. Peast peab teadma ainult kõige elementaarsemaid ja ülejäänud valemeid tuleb osata vajadusel tuletada.

Põhiline trigonomeetriline identiteet ja tagajärjed sellest

Kõik suvalise nurga trigonomeetrilised funktsioonid on omavahel seotud, s.t. teades ühte funktsiooni, leiate alati ka ülejäänud. See seos on antud selles jaotises käsitletud valemitega.

Teoreem 1 (Põhiline trigonomeetriline identsus). Igatahes identiteet

Tõestus seisneb Pythagorase teoreemi rakendamises jalgadega täisnurkse kolmnurga ja hüpotenuusi kohta.

Tõsi on ka üldisem teoreem.

2. teoreem. Selleks, et kahte arvu saaks võtta sama reaalnurga koosinus ja siinus, on vajalik ja piisav, et nende ruutude summa oleks võrdne ühega:

Mõelge peamise trigonomeetrilise identiteedi tagajärgedele.

Avaldame siinust koosinuse järgi ja koosinust siinuse järgi:

Nendes valemites valitakse juure ees olev pluss- või miinusmärk sõltuvalt veerandist, milles nurk asub.

Asendades ülaltoodud valemid puutuja ja kotangensi määravate valemitega, saame:

Jagades trigonomeetrilise identiteedi põhitermini terminiga või saame vastavalt:

Neid suhteid saab ümber kirjutada järgmiselt:

Järgmised valemid annavad seose puutuja ja kotangensi vahel. Mis ajast ja millal toimub võrdsus:

Valatud valemid

Reduktsioonivalemite abil saab suvaliste nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi väljendada teravnurga funktsioonide väärtuste kaudu. Kõiki redutseerimisvalemeid saab üldistada järgmise reegli abil.

Iga nurga trigonomeetriline funktsioon absoluutväärtuses on võrdne nurga sama funktsiooniga, kui arv on paaris, ja nurga kaasfunktsiooniga, kui arv on paaritu. Veelgi enam, kui nurga funktsioon on positiivne, millal on terav positiivne nurk, siis on mõlema funktsiooni märgid samad, kui negatiivsed, siis erinevad.

Nurkade summa ja erinevuse valemid

3. teoreem . Iga reaalse kohta kehtivad järgmised valemid:

Ülejäänud valemite tõestus põhineb trigonomeetriliste funktsioonide redutseerimise ja paaris/paaritu valemitel.

Q.E.D.

4. teoreem. Igasuguse tõelise ja muu sellise jaoks

1. , kehtivad järgmised valemid

2. , kehtivad järgmised valemid

Tõestus. Tangensi definitsiooni järgi

Viimane teisendus saadakse selle murru lugeja ja nimetaja jagamisel.

Samamoodi ka kotangensi puhul (lugeja ja nimetaja jagatakse sel juhul järgmisega):

Q.E.D.

Tähelepanu tuleb pöörata asjaolule, et viimaste võrduste parem- ja vasakpoolsel osal on erinevad lubatud väärtuste vahemikud. Seetõttu võib nende valemite kasutamine ilma nurkade võimalike väärtuste piiranguteta põhjustada valesid tulemusi.

Topelt- ja poolnurga valemid

Valemid kahekordne nurk võimaldab meil väljendada suvalise nurga trigonomeetrilisi funktsioone nurga, mis on poole algsest, funktsioonide kaudu. Need valemid on kahe nurga summa valemite tagajärjed, kui paneme nendes olevad nurgad üksteisega võrdseks.

Viimast valemit saab teisendada trigonomeetrilise põhiidentiteedi abil:

Seega on topeltnurga koosinuse jaoks kolm valemit:

Tuleb märkida, et see valem kehtib ainult

Viimane valem kehtib, .

Sarnaselt topeltnurga funktsioonidele on võimalik saada ka kolmiknurga funktsioone. Siin on need valemid antud ilma tõestuseta:

Poolnurga valemid on topeltnurga valemite tagajärjed ja võimaldavad väljendada teatud nurga trigonomeetrilisi funktsioone algsest kaks korda suurema nurga funktsioonidena.

Selles artiklis näitame, kuidas nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused trigonomeetrias. Siin räägime noodikirjast, toome kirjete näiteid, toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.

Leheküljel navigeerimine.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon

Jälgime, kuidas kujuneb kooli matemaatikakursusel mõiste siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Geomeetria tundides teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlus täisnurkne kolmnurk. Ja hiljem uuritakse trigonomeetriat, mis viitab pöördenurga ja arvu siinusele, koosinusele, puutujale ja kotangensile. Anname kõik need määratlused, toome näiteid ja anname vajalikud kommentaarid.

Täisnurkse kolmnurga teravnurk

Geomeetria käigust on teada täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Tutvustame nende koostisi.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastasjala ja külgneva jala suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens on külgneva jala ja vastasjala suhe.

Seal võetakse kasutusele ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistus - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.

Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastasjala BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.

Need määratlused võimaldavad arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal, samuti teadaolevad väärtused siinus, koosinus, puutuja, kotangens ja ühe külje pikkus, et leida teiste külgede pikkusi. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC 3 ja hüpotenuus AB on 7 , siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Pöörlemisnurk

Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurka, erinevalt teravnurgast, ei piira raamid vahemikus 0 kuni 90 kraadi, pöördenurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.

Selles valguses ei ole siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid enam teravnurk, vaid suvalise suurusega nurk – pöördenurk. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, millesse läheb nn algpunkt A(1, 0) pärast selle pöörlemist läbi nurga α ümber punkti O - ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y .

Definitsioon.

pöördenurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x .

Definitsioon.

Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tgα=y/x .

Definitsioon.

Pöörlemisnurga kotangensα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y .

Siinus ja koosinus on defineeritud mis tahes nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel läbi nurga α . Ja puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta selliste nurkade α puhul, mille juures algpunkt läheb null-abstsisspunkti (0, 1) või (0, −1) , ja see toimub nurkade 90°+180° k , k∈Z korral. (π /2+π k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis seda ei ole defineeritud selliste nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaat (1, 0) või (−1, 0) punkti, ja see kehtib nurkade 180° k puhul, k ∈Z (π k rad).

Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ja kotangens on kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Meile juba tuntud tähised esinevad definitsioonides sin, cos, tg ja ctg, nendega tähistatakse ka pöördenurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti (mõnikord võib leida tangensile ja kotangendile vastava tähise tan ja cot). kotangent). Seega võib 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletame meelde, et nurga radiaanimõõtu kirjutades jäetakse sageli välja märge "rad". Näiteks kolme pi rad pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3 π .

Selle lõigu kokkuvõtteks väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas "pöördenurk" või sõna "pööramine". See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt fraasi "alfa nurga siinus" või veelgi lühemat - "alfa siinus". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.

Oletame ka, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0–90 pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. kraadid. Me põhjendame seda.

Numbrid

Definitsioon.

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis võrdub vastavalt pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga t radiaanides.

Näiteks arvu 8 koosinus π on definitsiooni järgi arv koosinus nurk 8 π rad. Ja nurga koosinus 8 π rad on võrdne ühega, seetõttu on arvu 8 π koosinus võrdne 1-ga.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi defineerimisel on veel üks lähenemine. See seisneb selles, et igale reaalarvule t määratakse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktis tsentreeritud ühikuringi punkt ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide järgi. Peatume sellel üksikasjalikumalt.

Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:

• arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0) ;
• positiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume ümber ringi alguspunktist vastupäeva ja läbime tee pikkusega t;
• negatiivne arv t vastab ühikringi punktile, milleni jõuame, kui liigume ümber ringi alguspunktist päripäeva ja läbime tee pikkusega |t| .

Liigume nüüd edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab ringi punktile A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1) ).

Definitsioon.

Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringipunkti ordinaat, st sint=y .

Definitsioon.

Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks ehk kulu=x .

Definitsioon.

Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringkonna punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, see tähendab tgt=sint/kulu .

Definitsioon.

Arvu kotangents t on abstsissi ja arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe : ctgt=kulu/sint .

Siinkohal märgime, et just antud definitsioonid ühtivad selle alajao alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel läbi t radiaani nurga.

Samuti tasub seda punkti selgitada. Oletame, et meil on sin3 kirje. Kuidas aru saada, kas kõne all on arvu 3 siinus või 3 radiaani pöördenurga siinus? Tavaliselt selgub see kontekstist, muidu pole sellel ilmselt tähtsust.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Eelmises lõigus toodud definitsioonide kohaselt vastab iga pöördenurk α täpselt määratletud väärtusele sin α, samuti väärtusele cos α. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) väärtustele tgα ja peale 180° k , k∈Z (π k rad ) on ctgα väärtused. Seetõttu on sinα, cosα, tgα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.

Samamoodi saame rääkida arvulise argumendi funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab täpselt määratletud sinti väärtusele ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k , k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k , k∈Z väärtustele ctgt .

Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt on kontekstist selgelt näha, et tegemist on nurkargumendi või arvargumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime pidada sõltumatut muutujat nii nurga mõõduks (nurga argument) kui ka arvuliseks argumendiks.

Põhiliselt uuritakse koolis aga arvfunktsioone ehk funktsioone, mille argumendid ja ka neile vastavad funktsiooniväärtused on arvud. Seega, kui me räägime funktsioonidest, siis on soovitatav käsitleda trigonomeetrilisi funktsioone kui numbriliste argumentide funktsioone.

Definitsioonide ühendamine geomeetriast ja trigonomeetriast

Kui arvestada pöördenurka α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooni andmed trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse määratlustega. , täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja ja kotangens, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.

Joonista ristkülik Descartes'i süsteem Hapnikkoordinaatide ühikuring. Pange tähele alguspunkti A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y) . Kukkume risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.

On lihtne näha, et täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 OH võrdne nurgaga pööre α , selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdub punkti A 1 abstsissiga, see tähendab |OH|=x , nurga A 1 H vastas oleva jala pikkus võrdub ordinaadiga punktist A 1, st |A 1 H|=y , ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga A 1 OH teravnurga α siinus võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse definitsioon on samaväärne pöördenurga α siinuse määratlusega α 0 kuni 90 kraadi korral.

Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.

Bibliograafia.

1. Geomeetria. 7-9 klassid: õpingud. üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jt]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geomeetria: Proc. 7-9 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Valgustus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ja elementaarfunktsioonid: Õpetus 9. klassi õpilastele Keskkool/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. Moskva: Haridus, 1969.
4. Algebra: Proc. 9 raku jaoks. keskm. kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski.- M.: Valgustus, 1990.- 272 lk.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. tr.- M.: Valgustus, 2004.- 384 lk.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. Kell 14 1. peatükk: õpetus õppeasutused (profiili tase)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ja alusta matemaatiline analüüs. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I .: Haridus, 2010. - 368 lk.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.