Lk 3/6

41. Võnkeahel koosneb mähist induktiivsusega L = 0,1 H ja kondensaatorist, mille mahtuvus on C = 39,5 mikrofaradi. Kondensaatori laeng Q m \u003d 3 μC. Jättes tähelepanuta vooluahela takistuse, kirjutage üles võrrand: 1) voolutugevuse muutused ahelas sõltuvalt ajast; 2) kondensaatori pinge muutused olenevalt ajast.

42. Voolutugevus võnkeahelas, mis sisaldab induktiivsust L = 0,1 H ja kondensaatorit, muutub ajas vastavalt võrrandile I = - 0,1 sin 200πt, A. Määrake: 1) võnkeperiood; 2) kondensaatori mahtuvus; 3) maksimaalne pinge kondensaatori plaatidel; 4) maksimaalne energia magnetväli; 5) elektrivälja maksimaalne energia.

43. Võnkeahelas toimuvate vabade summutamata võnkumiste energia on 0,2 mJ. Kondensaatoriplaatide aeglasel paisumisel suurenes võnkesagedus n = 2 korda. Määrake elektrivälja jõudude vastu tehtud töö.

44. Kondensaator mahuga C laeti pingele U m ja suleti induktiivsusega L poolile. Jättes tähelepanuta ahela takistuse, määrake voolutugevuse amplituudi väärtus selles võnkeahelas.

45. Võnkeahel sisaldab mähist koos koguarv pöördeid N = 100 induktiivsusega L = 10 μH ja kondensaatorit mahtuvusega C = 1 nF. Maksimaalne pinge U m kondensaatoriplaatidel on 100 V. Määrake mähisesse tungiv maksimaalne magnetvoog.

46. ​​Kahel identselt suunatud sama perioodi harmoonilisel võnkumisel amplituudidega A 1 \u003d 4 cm ja A 2 \u003d 8 cm on faaside erinevus φ \u003d 45 °. Määrake tekkiva võnke amplituud.

47. Kahe võrdselt suunatud võnke liitmisel tekkiva võnke amplituud harmoonilised vibratsioonid sama sagedus, mille faaside erinevus on 60 °, on võrdne A \u003d 6 cm. Määrake teise võnke amplituud A 2, kui A 1 \u003d 5 cm.

48. Määrake kahe identse suunatud sama sageduse ja amplituudiga harmoonilise võnke faaside erinevus, kui nende tekkiva võnke amplituud on võrdne lisandunud võnkumiste amplituudidega.

49. Kahe sama perioodi T \u003d 4 s ja sama amplituudiga A \u003d 5 cm identselt suunatud harmoonilise võnkumise faaside erinevus on π / 4. Kirjutage nende võnkumiste liitmisel tulenev liikumisvõrrand, kui neist ühe algfaas on võrdne nulliga.

50. Lisatakse kaks samasuunalist harmoonilist võnkumist, mida kirjeldavad võrrandid x 1 \u003d 3 cos 2πt, cm ja x 2 \u003d 3 cos (2πt + π / 4), cm. Määrake tekkiv võnkumine: 1) amplituud; 2) algfaas. Kirjutage üles tekkinud võnkumise võrrand ja esitage amplituudide liitmise vektorskeem.

51. Punkt osaleb samaaegselt n identselt suunatud sama sagedusega harmoonilises võnkes: A 1 cos (ωt + φ 1), A 2 cos (ωt + φ 2), A n cos (ωt) / + φ n). Pöörleva amplituudvektori meetodil määrake saadud võnkumiseks: 1) amplituud; 2) algfaas.

52. Kahe samaaegselt heliseva häälehargi vibratsioonisagedused on häälestatud 560 ja 560,5 Hz peale. Määrake löömise periood.

53. Kahe võnke liitmise tulemusena, millest ühe periood on T 1 \u003d 0,02 s. saada lööke perioodiga T 6 = 0,2 s. Määrake teise summeeritud võnkumise periood T 2.

54. Lisatakse kaks samasuunalist harmoonilist võnkumist, millel on samad amplituudid ja samad algfaasid, perioodidega T 1 \u003d 2 s ja T 2 \u003d 2,05 s. Määrake: 1) tekkiva kõikumise periood; 2) löögiperiood.

55. Saadud võnkumist, mis saadakse kahe samasuunalise harmoonilise võnku liitmisel, kirjeldatakse võrrandiga kujul x = A kulu cos45t (t - sekundites). Määrake: 1) lisatud võnkumiste tsüklilised sagedused; 2) tekkiva võnkumise löögiperiood.

56. Punkt osaleb samaaegselt kahes üksteisega risti aset leidvas harmoonilises võnkes, mida kirjeldatakse võrranditega x = 3 cos ωt, cm ja y = 4 cos ωt, cm. Määrake punkti trajektoori võrrand ja joonestage see a. kaal.

57. Punkt osaleb samaaegselt kahes harmoonilises võnkes, mis toimuvad üksteisega risti ja mida kirjeldavad võrrandid x \u003d 3 cos 2ωt, cm ja y \u003d 4 cos (2ωt + p), cm Määrake punkti trajektoori võrrand ja joonistage see skaalaga.

58. Punkt osaleb samaaegselt kahes harmoonilises võnkes, mis toimuvad üksteisega risti ja mida kirjeldavad võrrandid x \u003d A sin ωt ja y \u003d B cos ωt, kus A, B ja ω on positiivsed konstandid. Määrake punkti trajektoori võrrand, joonistage see skaalaga, näidates selle liikumise suunda mööda seda trajektoori.

59. Punkt osaleb samaaegselt kahes sama sagedusega harmoonilises võnkes, mis toimuvad üksteisega risti ja mida kirjeldavad võrrandid x = A sin(ωt + π/2) ja y = A sin πt. Määrake punkti trajektoori võrrand ja joonistage see skaalaga, näidates selle liikumise suunda mööda seda trajektoori.

60. Punkt osaleb kahes harmoonilises võnkes, mis toimuvad üksteisega risti ja mida kirjeldavad võrrandid x = cos 2π/ ja y = cos πt. Määrake punkti trajektoori võrrand ja joonistage see skaalaga.

Sama keha võib samaaegselt osaleda kahes või enamas liigutuses. Lihtne näide on horisontaaltasapinnaga nurga all visatud palli liikumine. Võib eeldada, et pall osaleb kahes sõltumatus üksteisega risti asetsevas liikumises: ühtlane horisontaalselt ja võrdselt muutuv vertikaalselt. Sama keha materiaalne punkt) saab osaleda kahes (või enamas) võnkuva tüüpi liikumises.

Under vibratsiooni lisamine aru saama tekkiva võnke seaduse definitsioonist, kui võnkesüsteem osaleb samaaegselt mitmes võnkeprotsessis. Piiravaid juhtumeid on kaks – ühesuunaliste võnkumiste liitmine ja vastastikku risti asetsevate võnkumiste liitmine.

2.1. Ühesuunaliste harmooniliste võnkumiste liitmine

1. Kahe samasuunalise võnke liitmine(kaassuunalised vibratsioonid)

saab teha vektordiagrammi meetodil (joonis 9) kahe võrrandi liitmise asemel.

Joonisel 2.1 on näidatud amplituudivektorid A 1(t) ja A 2 (t) summeeritud võnkumised suvalisel ajal t, kui nende võnkumiste faasid on vastavalt võrdsed Ja . Võnkumiste lisamine taandatakse määratlusele . Kasutame seda, et vektordiagrammis on liidetud vektorite projektsioonide summa võrdne nende vektorite vektorsumma projektsiooniga.

Tekkiv võnkumine vastab vektordiagrammil amplituudivektorile ja faasile .

Joonis 2.1 – Kaassuunaliste võnkumiste liitmine.

Vektori suurusjärk A(t) võib leida koosinusteoreemi abil:

Saadud võnkumise faas saadakse järgmise valemiga:

.

Kui liidetud võnkumiste ω 1 ja ω 2 sagedused ei ole võrdsed, siis nii faas φ(t) kui ka amplituud A(t) Sellest tulenev kõikumine muutub aja jooksul. Lisatud vibratsioone nimetatakse ebaühtlane sel juhul.

2. Nimetatakse kaks harmoonilist võnkumist x 1 ja x 2 sidus, kui nende faaside erinevus ei sõltu ajast:

Kuid kuna , siis nende kahe võnkumise koherentsuse tingimuse täitmiseks peavad nende tsüklilised sagedused olema võrdsed.

Võrdse sagedusega kaassuunaliste võnkumiste (koherentsed võnkumised) liitmisel saadud võnke amplituud on võrdne:

Tekkinud võnke algfaasi saab vektoreid projitseerides kergesti leida A 1 ja A 2 sisse koordinaatteljed OC ja OC (vt joonis 9):

.

Niisiis, tekkiv võnkumine, mis saadakse kahe võrdse sagedusega harmoonilise kaassuunalise võnkumise liitmisel, on samuti harmooniline võnkumine.

3. Uurime tekkiva võnkeamplituudi sõltuvust lisandunud võnkumiste algfaaside erinevusest.

Kui , kus n on mis tahes mittenegatiivne täisarv

(n = 0, 1, 2…), siis miinimum. Lisamise hetkel lisatud vibratsioonid olid sees faasist väljas. Kell , on saadud amplituud null.

Kui , See , st. saadud amplituud on maksimaalselt. Lisamise hetkel lisandunud võnkumised olid ühes faasis, st. olid faasis. Kui lisandunud võnkumiste amplituudid on samad , See.

4. Kaassuunaliste vibratsioonide lisamine ebavõrdsete, kuid lähedaste sagedustega.

Lisatud võnkumiste sagedused ei ole võrdsed, vaid sageduste erinevus nii ω 1 kui ka ω 2 on palju väiksemad. Lisatud sageduste läheduse tingimuse kirjutavad seosed .

Lähedaste sagedustega kaassuunaliste võnkumiste liitmise näide on horisontaalse vedrupendli liikumine, mille vedru jäikus on veidi erinev k 1 ja k 2 .

Olgu lisatud võnkumiste amplituudid samad , ja algfaasid on võrdsed nulliga. Siis on lisatud võnkumiste võrrandid kujul:

, .

Saadud võnkumist kirjeldatakse võrrandiga:

Saadud võnkevõrrand sõltub kahe harmoonilise funktsiooni korrutisest: üks sagedusega , teine ​​- sagedusega , kus ω on lähedane lisatud võnkumiste sagedustele (ω 1 või ω 2). Tekkivat võnkumist võib vaadelda kui harmooniline võnkumine muutuva harmooniline seadus amplituud. Seda võnkeprotsessi nimetatakse lööb. Rangelt võttes ei ole tekkiv võnkumine üldjuhul harmooniline võnkumine.

Koosinuse absoluutväärtus on võetud, kuna amplituud on positiivne väärtus. Sõltuvuse olemus x res. löökide jaoks on näidatud joonisel 2.2.

Joonis 2.2 – nihke sõltuvus ajast löökide ajal.

Löögi amplituud muutub sagedusega aeglaselt. Koosinuse absoluutväärtus kordub, kui selle argument muutub π võrra, siis kordub saadud amplituudi väärtus pärast ajavahemikku τ b, nn. löömise periood(Vt joonis 12). Löökperioodi väärtuse saab määrata järgmise seose abil:

Väärtus on löögiperiood.

Väärtus on tekkiva võnke periood (joonis 2.4).

2.2. Vastastikku risti asetsevate võnkumiste liitmine

1. Mudel, mis suudab demonstreerida vastastikku risti asetsevate vibratsioonide lisandumist, on näidatud joonisel 2.3. Pendel (materjali massipunkt m) võib kahe vastastikku risti suunatud elastsusjõu mõjul võnkuda piki OX ja OY telge.

Joonis 2.3

Summeeritud võnkumised on järgmisel kujul:

Võnkesagedused on määratletud kui , , kus , on vedru jäikuse koefitsiendid.

2. Mõelge kahe lisamise juhtumile vastastikku risti asetsevad samade sagedustega vibratsioonid , mis vastab tingimusele (samad vedrud). Siis on lisatud võnkumiste võrrandid järgmisel kujul:

Kui punkt osaleb korraga kahes liikumises, võib selle trajektoor olla erinev ja üsna keeruline. Kahe võrdse sagedusega vastastikku risti oleva võnkumise trajektoori võrrandi OXY tasapinnal saab määrata, jättes x ja y algvõrranditest välja aja t:

Trajektoori tüübi määrab lisatud võnkumiste algfaaside erinevus, mis sõltuvad algtingimustest (vt § 1.1.2). Kaaluge võimalikke valikuid.

ja kui , kus n = 0, 1, 2…, st. summeeritud võnkumised on faasis, siis saab trajektoori võrrand järgmise kuju:

(Joonis 2.3 a).

b) Kui (n = 0, 1, 2…), st. summeeritud võnkumised on antifaasis, siis trajektoori võrrand kirjutatakse järgmiselt:

(Joonis 2.3b).

Mõlemal juhul (a, b) hakkab punkti liikumine võnkuma mööda sirget, mis läbib punkti O. Tekkiva võnke sagedus on võrdne kombineeritud võnkumiste sagedusega ω 0, amplituud määratakse suhe.

Osalegu punkt samaaegselt kahes sama perioodi harmoonilises võnkes, mis on suunatud mööda üht sirget.

Võnkumiste liitmine toimub vektordiagrammide meetodil (joonis 2.2). Olgu võnkumised antud võrranditega

Ja

(2.2.1)

Pange punktist kõrvale KOHTA vektor, mis on võrdlusjoonega nurga φ 1 ja nurga φ 2 vektor. Mõlemad vektorid pöörlevad vastupäeva sama nurkkiirusega ω, mistõttu nende faaside erinevus ei sõltu ajast (). Selliseid vibratsioone nimetatakse koherentseks.

Teame, et vektori koguprojektsioon on võrdne sama telje projektsioonide summaga. Seetõttu saab tekkivat võnkumist kujutada ümber punkti pöörleva amplituudivektoriga KOHTA sama nurkkiirusega ω kui , ja . Samuti peab tekkiv võnkumine olema harmooniline sagedusega ω:

.

Vektorite liitmise reegli järgi leiame koguamplituudi:

Saadud amplituud leitakse valemiga

Seega keha, osaledes kahes samasuunalises ja sama sagedusega harmoonilises võnkes, teostab ka harmoonilist võnkumist samas suunas ja sama sagedusega kui summeeritud võnkumised.

Punktist (2.2.2) järeldub, et amplituud A tekkiv võnkumine sõltub algfaaside erinevusest . Võimalikud väärtused A asuvad vahemikus (amplituud ei saa olla negatiivne).

Vaatleme mõnda lihtsat juhtumit.

1. Faasivahe on null või paarisarvπ, see tähendab, kus . Siis ja

aastast, s.o. tekkiv võnkeamplituud A on võrdne lisatud võnkumiste (võnkumiste) amplituudide summaga faasis) (joonis 2.3).

2. Faasivahe on paaritu arvπ , see on , Kus. Siis . Siit

Joonisel fig. 2.4 näitab tekkiva võnke amplituudi A, mis on võrdne lisatud võnkumiste amplituudide erinevusega (võnkumised sisse faasist väljas).

3. Faasierinevus muutub ajas suvaliselt:

(2.2.6)

Võrrandist (2.2.6) järeldub, et ja muutub vastavalt väärtusele . Seetõttu ei ole koherentsete võnkumiste lisamisel mõtet rääkida amplituudide liitmisest, vaid mõnel juhul täheldatakse üsna kindlaid mustreid. Praktika jaoks on eriti huvitav juhtum, kui kaks samasuunalist võnkumist erinevad sageduselt vähe. Nende võnkumiste liitmise tulemusena saadakse perioodiliselt muutuva amplituudiga võnkumised.

Perioodilised muutused võnke amplituudis, mis tulenevad kahe harmoonilise võnkumise liitmisest lähedase sagedusega, kutsutakse lööb . Rangelt võttes pole need enam harmoonilised võnkumised.

Olgu lisatud võnkumiste amplituudid võrdsed A, ja sagedused on võrdsed ω ja , ja . Valime võrdluspunkti nii, et mõlema võnke algfaasid on võrdsed nulliga:

Lisame need väljendid, jättes tähelepanuta , kuna .

Sõltuvuse olemus (2.2.8) on näidatud joonisel fig. 2.5, kus pidevad jämedad jooned annavad tekkiva võnkumise graafiku ja nende mähisjooned - aeglaselt muutuva amplituudi graafiku võrrandi (2.2.7) järgi.

Löökide toonisageduse (teatud kõrgusega heli) määramine võrdlus- ja mõõdetud võnkumiste vahel on praktikas enim kasutatav meetod mõõdetud väärtuse võrdlemiseks etaloniga. Häälestamiseks kasutatakse löömismeetodit Muusikariistad, kuulmisanalüüs jne.

Üldiselt nimetatakse liigi võnkumisi moduleeritud . Erijuhtumid: amplituudmodulatsioon ja faasi- või sagedusmodulatsioon. rütm – lihtsaim vorm moduleeritud vibratsioonid.

Mis tahes keerulisi perioodilisi võnkumisi saab kujutada samaaegselt toimuvate harmooniliste võnkumiste superpositsioonina, millel on erinevad amplituudid, algfaasid ja ka sagedused, mis on tsüklilise sageduse ω kordsed:

.

Perioodilise funktsiooni esitus sellisel kujul on seotud mõistega kompleksse perioodilise võnkumise harmooniline analüüs ehk Fourier' paisumine(st komplekssete moduleeritud võnkumiste kujutamine lihtsate harmooniliste võnkumiste jadana (summana). Fourier' rea termineid, mis määravad harmoonilised võnkumised sagedustega ω, 2ω, 3ω, ..., nimetatakse nn. esiteks(või peamine), teiseks, kolmandaks jne. harmoonilised kompleksne perioodiline võnkumine.

Vibratsiooni lisamine

Kahe sama amplituudi ja sagedusega harmoonilise võnke liitmine

Kaaluge näidet helilained, kui kaks allikat loovad sama amplituudi ja sagedusega laineid?. Paigaldage tundlik membraan allikatest kaugele. Kui laine "läbib" kauguse allikast membraanini, hakkab membraan võnkuma. Iga laine mõju membraanile saab kirjeldada järgmiste seostega, kasutades võnkefunktsioone:

x1(t) = Acos(?t + ?1),

x2(t) = Acos(t + 2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1,27)

Sulgudes oleva avaldise saab kirjutada erinevalt kasutades trigonomeetriline funktsioon koosinuste summad:

Funktsiooni (1.28) lihtsustamiseks võtame kasutusele uued suurused A0 ja?0, mis vastavad tingimusele:

A0 = ?0 = (1,29)

Asendame avaldised (1.29) funktsiooniga (1.28), saame

Seega, samade sagedustega harmooniliste vibratsioonide summa? on sama sagedusega harmooniline võnkumine?. Sel juhul on koguvõnke A0 amplituud ja algfaas?0 määratud seostega (1.29).

Kahe sama sagedusega, kuid erineva amplituudi ja algfaasiga harmoonilise võnke liitmine

Vaatleme nüüd sama olukorda, muutes funktsioonis (1.26) võnkeamplituudid. Funktsiooni x1 (t) puhul asendame amplituudi A-ga A1 ja funktsiooni x2 (t) A-ga A2. Siis saab funktsioonid (1.26) kirjutada järgmisel kujul

x1 (t) = A1 cos (a t + a 1), x2 (t) = A2 cos (a t + a 2); (1,31)

Leiame harmooniliste funktsioonide summa (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1,32)

Avaldist (1.32) saab kirjutada erinevalt, kasutades summa koosinuse trigonomeetrilist funktsiooni:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1,33)

Funktsiooni (1.33) lihtsustamiseks võtame kasutusele uued suurused A0 ja?0, mis vastavad tingimusele:

Paneme süsteemi (1.34) iga võrrandi ruudu ruutu ja liidame saadud võrrandid. Siis saame arvule A0 järgmise seose:

Vaatleme avaldist (1.35). Tõestame, et juure all olev väärtus ei saa olla negatiivne. Kuna cos(?1 - ?2) ? -1, seega on see ainus väärtus, mis võib mõjutada juure all oleva arvu märki (A12 > 0, A22 > 0 ja 2A1A2 > 0 (amplituudi definitsioonist)). Mõelge kriitilisele juhtumile (koosinus võrdub miinus ühega). Juure all on erinevuse ruudu valem, mis on alati positiivne. Kui hakkame koosinust järk-järgult suurendama, siis hakkab kasvama ka koosinust sisaldav termin, siis juure all olev väärtus oma märki ei muuda.

Nüüd arvutame väärtuse 0 suhte, jagades süsteemi teise võrrandi (1.34) esimesega ja arvutades arktangensi:

Ja nüüd asendame funktsiooni (1.33) väärtused süsteemist (1.34)

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1,37)

Teisendades sulgudes oleva avaldise koosinussumma valemi järgi, saame:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1,38)

Ja jälle selgus, et vormi (1.31) kahe harmoonilise funktsiooni summa on samuti sama tüüpi harmooniline funktsioon. Täpsemalt kahe sama sagedusega harmoonilise võnkumise liitmine? on ka sama sagedusega harmooniline võnkumine?. Sel juhul määratakse tekkiva võnke amplituud suhtega (1,35) ja algfaas - suhtega (1,36).

A) Keha osaleb kahes sama ringsagedusega harmoonilises võnkesw , kuid erineva amplituudi ja algfaasiga.

Nende võnkumiste võrrand kirjutatakse järgmiselt:

x 1 \u003d a 1 cos (wt + j 1)

x 2 \u003d a 2 cos (wt + j 2),

Kus x 1 Ja x 2- tasaarvestused; a 1 Ja a 2- amplituudid; w- mõlema võnke ringsagedus; j1 Ja j2- võnkumiste algfaasid.

Lisame need kõikumised vektordiagrammi abil. Esitagem mõlemad võnkumised amplituudvektoritena. Selleks suvalisest punktist O, mis asub teljel X, jätame nurkade all kõrvale vastavalt kaks vektorit 1 ja 2 j1 Ja j2 sellele teljele (joonis 2).

Nende vektorite projektsioonid teljele X on võrdne nihketega x 1 Ja x 2 avaldise (2) järgi. Kui mõlemad vektorid pöörlevad nurkkiirusega vastupäeva w nende otste projektsioonid teljele X tekitab harmoonilisi vibratsioone. Kuna mõlemad vektorid pöörlevad sama nurkkiirusega w, siis nendevaheline nurk j = j 1 - j 2 jääb konstantseks. Lisades rööpkülikureegli järgi mõlemad vektorid 1 ja 2, saame tulemuseks vektori . Nagu on näha jooniselt 2, on selle vektori projektsioon teljele X on võrdne vektorite liikmete projektsioonide summaga x \u003d x 1 + x 2. Teisel pool: x \u003d a cos (wt + j o).

Järelikult vektor pöörleb sama nurkkiirusega nagu vektorid 1 ja 2 ning teostab harmoonilist võnkumist, mis toimub võnkumiste osadega samal sirgel ja sagedusega, mis on võrdne algsete võnkumiste sagedusega. Siin j o - tekkiva võnkumise algfaas.

Nagu on näha jooniselt 2, saate tekkiva võnke amplituudi määramiseks kasutada koosinusteoreemi, mille kohaselt on meil:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

Avaldisest (3) on näha, et tekkiva võnke amplituud sõltub algfaaside erinevusest ( j 2 - j 1) võnkumiste terminid. Kui algfaasid on võrdsed ( j 2 = j 1), siis valem (3) näitab, et amplituud A on võrdne summaga a 1 Ja a 2. Kui faaside erinevus ( j 2 - j 1) on võrdne ±180 o (st mõlemad võnked on antifaasis), siis on tekkiva võnke amplituud võrdne võnkeliikmete amplituudide erinevuse absoluutväärtusega : a = |a 1 - a 2 |.

b) Keha osaleb kahes sama amplituudiga võnkes, mille algfaasid on võrdsed nulliga ja erineva sagedusega.

Nende võnkumiste võrrandid näevad välja järgmised:

x 1 \u003d a sinw 1 t,

x 2 \u003d a sinw 2 t.

Seda tehes eeldatakse, et w 1 suuruselt veidi erinev w 2. Lisades need väljendid, saame:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w 1 - w 2)/2]t+sin[(w 1 + w 2)/2]t=

=2а cos[(w 1 - w 2)/2]t sin wt (4)

Saadud liikumine on keeruline võnkumine, mida nimetatakse lööb(Joon. 3) Kuna väärtus w1-w2 suurusega võrreldes väike w1+w2, siis võib seda liikumist pidada harmooniliseks võnkumiseks, mille sagedus on võrdne poolega lisandunud võnkumiste sageduste summast w=(w1+w2)/2, ja muutuv amplituud.

(4) järeldub, et tekkiva võnke amplituud muutub vastavalt perioodilise koosinusseadusele. Koosinusfunktsiooni väärtuste muutmise täistsükkel toimub siis, kui argument muutub 360 0 võrra, samal ajal kui funktsioon edastab väärtused vahemikus +1 kuni -1. Süsteemi olek, mis lööb valemis (4) koosinusfunktsiooni määratud väärtustele vastavatel ajahetkedel, ei erine kuidagi. Teisisõnu esinevad löögitsüklid sagedusega, mis vastab valemis (4) koosinusargumendi muutumisele 180 0 võrra. Seega periood T a amplituudi muutused löökide ajal (löögiperiood) määratakse tingimuse järgi:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Arvestades seda w=2pn, saame:

T a \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

Saadud võnkumise amplituudi muutumise sagedus on võrdne lisatud võnkumiste sageduste erinevusega:

n=1/TA=n1-n2.