ja teljele või mõnele muule vektorile on olemas selle geomeetrilise projektsiooni ja arvulise (või algebralise) projektsiooni mõisted. Geomeetrilise projektsiooni tulemus on vektor ja algebralise projektsiooni tulemus on mittenegatiivne reaalarv. Kuid enne nende mõistete juurde asumist tuletame meelde vajalikku teavet.

Eelinfo

Põhimõiste on otseselt vektori mõiste. Geomeetrilise vektori definitsiooni tutvustamiseks tuletagem meelde, mis on segment. Tutvustame järgmist määratlust.

Definitsioon 1

Lõik on sirge osa, millel on punktide kujul kaks piiri.

Segmendil võib olla 2 suunda. Suuna märkimiseks nimetame segmendi ühte piiri selle alguseks ja teist piiriks selle lõppu. Suund näidatakse segmendi algusest lõpuni.

2. definitsioon

Vektor ehk suunatud lõik on lõik, mille puhul on teada, millist lõigu piiridest loetakse alguseks ja millist lõppu.

Tähistus: Kaks tähte: $\overline(AB)$ – (kus $A$ on selle algus ja $B$ on selle lõpp).

Ühe väikese tähega: $\overline(a)$ (joonis 1).

Tutvustame veel mõnda vektori mõistega seotud mõistet.

3. definitsioon

Kahte nullist erinevat vektorit nimetatakse kollineaarseks, kui nad asuvad samal sirgel või üksteisega paralleelsel sirgel (joonis 2).

4. definitsioon

Kahte nullist erinevat vektorit nimetatakse kaassuunaliseks, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need vektorid on kollineaarsed.
2. Kui need on suunatud ühes suunas (joon. 3).

Nimetus: $\overline(a)\overline(b)$

Definitsioon 5

Kahte nullist erinevat vektorit nimetatakse vastassuunaliseks, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need vektorid on kollineaarsed.
2. Kui need on suunatud eri suundades (joon. 4).

Nimetus: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definitsioon 6

Vektori $\overline(a)$ pikkus on lõigu $a$ pikkus.

Märkus: $|\overline(a)|$

Liigume edasi kahe vektori võrdsuse definitsiooni juurde

Definitsioon 7

Kaht vektorit nimetatakse võrdseks, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need on joondatud;
2. Nende pikkused on võrdsed (joon. 5).

geomeetriline projektsioon

Nagu me varem ütlesime, on geomeetrilise projektsiooni tulemuseks vektor.

Definitsioon 8

Vektori $\overline(AB)$ geomeetrilise projektsiooni all teljel peame silmas sellist vektorit, mis saadakse järgmiselt: Antud teljele projitseeritakse vektori $A$ alguspunkt. Saame punkti $A"$ - soovitud vektori algus. Vektori $B$ lõpp-punkt projitseeritakse sellele teljele. Saame punkti $B"$ - soovitud vektori lõpp. Vektor $\overline(A"B")$ on soovitud vektor.

Mõelge probleemile:

Näide 1

Koostage geomeetriline projektsioon $\overline(AB)$ joonisel 6 näidatud teljele $l$.

Joonistage punktist $A$ teljega $l$ risti, saage sellele punkt $A"$. Järgmiseks tõmmake punktist $B$ rist teljega $l$, saage punkt $B" $ peal (joon. 7).

Sissejuhatus………………………………………………………………………………3

1. Vektori ja skalaari väärtus………………………………………………….4

2. Punkti projektsiooni, telje ja koordinaadi määratlus……………………5

3. Vektorprojektsioon teljele…………………………………………………………6

4. Vektoralgebra põhivalem………………………………..8

5. Vektori mooduli arvutamine selle projektsioonidest………………………9

Järeldus…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Kirjandus…………………………………………………………………………12

Sissejuhatus:

Füüsika on matemaatikaga lahutamatult seotud. Matemaatika annab füüsikale vahendid ja võtted omavaheliste seoste üldiseks ja täpseks väljendamiseks füüsikalised kogused, mis avastatakse eksperimendi või teoreetilise uurimistöö tulemusena.Põhiline uurimismeetod füüsikas on ju eksperimentaalne. See tähendab, et teadlane paljastab arvutused mõõtmiste abil. Tähistab seost erinevate füüsikaliste suuruste vahel. Seejärel tõlgitakse kõik matemaatika keelde. Moodustatud matemaatiline mudel. Füüsika on teadus, mis uurib kõige lihtsamat ja samas ka kõige rohkem üldised mustrid. Füüsika ülesanne on luua meie mõtetes selline pilt füüsilisest maailmast, mis peegeldab kõige täielikumalt selle omadusi ja pakub selliseid suhteid mudeli elementide vahel, mis eksisteerivad elementide vahel.

Niisiis, füüsika loob meid ümbritseva maailma mudeli ja uurib selle omadusi. Kuid kõik mudelid on piiratud. Konkreetse nähtuse mudelite loomisel võetakse arvesse ainult neid omadusi ja seoseid, mis on antud nähtuste ringi jaoks hädavajalikud. See on teadlase kunst - kõige erinevamate hulgast valida peamine.

Füüsilised mudelid on matemaatilised, kuid matemaatika ei ole nende aluseks. Füüsikaliste suuruste vahelised kvantitatiivsed seosed selguvad mõõtmiste, vaatluste ja eksperimentaalsete uuringute tulemusena ning väljenduvad vaid matemaatika keeles. Füüsikaliste teooriate konstrueerimiseks pole aga teist keelt.

1. Vektori ja skalaari väärtus.

Füüsikas ja matemaatikas on vektor suurus, mida iseloomustab selle arvväärtus ja suund. Füüsikas on palju olulisi suurusi, mis on vektorid, nagu jõud, asend, kiirus, kiirendus, pöördemoment, impulss, elektri- ja magnetväljad. Neid saab vastandada muude suurustega, nagu mass, maht, rõhk, temperatuur ja tihedus, mida saab kirjeldada tavalise numbriga, ja neid nimetatakse " skalaarid" .

Need on kirjutatud kas tavalise fondi tähtedega või numbritega (a, b, t, G, 5, -7 ....). Skalaarid võivad olla positiivsed või negatiivsed. Samal ajal võivad mõnedel uurimisobjektidel olla sellised omadused täielik kirjeldus mille vaid numbrilise mõõdu tundmine osutub ebapiisavaks, on vaja ka neid omadusi iseloomustada suunaga ruumis. Selliseid omadusi iseloomustavad vektorkogused (vektorid). Erinevalt skalaaridest on vektorid tähistatud paksude tähtedega: a, b, g, F, C ....
Sageli tähistatakse vektorit tavalise (mittepaksu) tähega, kuid selle kohal on nool:

Lisaks tähistatakse vektorit sageli tähepaariga (tavaliselt suurtähtedega), kusjuures esimene täht tähistab vektori algust ja teine ​​täht selle lõppu.

Vektori moodulit ehk suunatud sirgjoone lõigu pikkust tähistatakse samade tähtedega kui vektorit ennast, kuid tavalises (mittepaksus) kirjas ja ilma nende kohal oleva nooleta või nii nagu vektor (st paksus või tavalises kirjas, kuid noolega), kuid siis on vektori tähis ümbritsetud vertikaalsete kriipsudega.
Vektor on keeruline objekt, mida iseloomustavad korraga nii suurus kui suund.

Samuti puuduvad positiivsed ja negatiivsed vektorid. Kuid vektorid võivad olla üksteisega võrdsed. See on siis, kui näiteks a-l ja b-l on samad moodulid ja need on suunatud samas suunas. Sel juhul rekord a= b. Samuti tuleb meeles pidada, et vektori sümbolile võib eelneda miinusmärk, näiteks -c, kuid see märk näitab sümboolselt, et vektoril -c on sama moodul kui vektoril c, kuid see on suunatud vastassuunas.

Vektorit -c nimetatakse vektori c vastandiks (või pöördvõrdeliseks).
Füüsikas on aga iga vektor täidetud kindla sisuga ning sama tüüpi vektorite (näiteks jõudude) võrdlemisel võivad olulise tähtsusega olla ka nende rakenduspunktid.

2.Punkti projektsiooni, telje ja koordinaadi määramine.

Telg on sirgjoon, millele on antud suund.
Telge tähistatakse suvalise tähega: X, Y, Z, s, t ... Tavaliselt valitakse teljel (suvaliselt) punkt, mida nimetatakse alguspunktiks ja reeglina tähistatakse tähega O. Sellest punktist mõõdetakse kaugusi teiste meile huvipakkuvate punktideni.

punktprojektsioon teljel nimetatakse sellest punktist etteantud teljele langenud risti alust. See tähendab, et punkti projektsioon teljele on punkt.

punkti koordinaat antud teljel nimetatakse arvu, mille absoluutväärtus on võrdne telje lõigu pikkusega (valitud mõõtkavas), mis jääb telje alguse ja punkti projektsiooni vahele sellele teljele. See arv võetakse plussmärgiga, kui punkti projektsioon asub telje suunas selle algusest ja miinusmärgiga, kui see on vastupidises suunas.

3. Vektori projekteerimine teljele.

Vektori projektsioon teljele on vektor, mis saadakse vektori skalaarprojektsiooni korrutamisel selle teljega ja ühikvektor see telg. Näiteks kui x on vektori a skalaarprojektsioon X-teljele, siis a x i on selle vektorprojektsioon sellele teljele.

Tähistame vektori projektsiooni samamoodi nagu vektorit ennast, kuid selle telje indeksiga, millele vektor projitseeritakse. Niisiis, vektori a vektorprojektsioon X-teljel tähistatakse x-ga (paks täht, mis tähistab vektorit ja telje nime alamindeksit) või

(mittepaks täht, mis tähistab vektorit, kuid ülaosas on nool (!) ja telje nime alamindeks).

Skalaarne projektsioon nimetatakse vektorit telje kohta number, mille absoluutväärtus on võrdne vektori alguspunkti ja lõpp-punkti projektsioonide vahele jääva telje lõigu pikkusega (valitud skaalal). Tavaliselt väljendi asemel skalaarprojektsioon lihtsalt ütle - projektsioon. Projektsioon on tähistatud sama tähega kui projitseeritud vektor (tavalises, mittepaksus kirjas) koos selle telje nime alaindeksiga (tavaliselt), millele see vektor projitseeritakse. Näiteks kui vektor projitseeritakse x-teljele a, siis selle projektsioon on tähistatud x . Sama vektori projekteerimisel teisele teljele, kui telg on Y , tähistatakse selle projektsiooni kui y .

Projektsiooni arvutamiseks vektor teljel (näiteks X-teljel) on vaja lahutada alguspunkti koordinaat selle lõpp-punkti koordinaadist, st.

ja x \u003d x k - x n.

Vektori projektsioon teljele on arv. Lisaks võib projektsioon olla positiivne, kui x k väärtus on suurem kui x n,

negatiivne, kui x k väärtus on väiksem kui x n väärtus

ja võrdne nulliga, kui x k on võrdne x n-ga.

Vektori projektsiooni teljele saab leida ka teades vektori moodulit ja nurka, mille see selle teljega moodustab.

Jooniselt on näha, et a x = a Cos α

See tähendab, et vektori projektsioon teljele on võrdne vektori mooduli ja telje suuna ja vahelise nurga koosinuse korrutisega. vektori suund. Kui nurk on terav, siis
Cos α > 0 ja a x > 0 ning kui nüri, siis koosinus nürinurk on negatiivne ja vektori projektsioon teljele on samuti negatiivne.

Teljest vastupäeva arvestatud nurki loetakse positiivseks ja suunas negatiivseks. Kuna aga koosinus on paarisfunktsioon ehk Cos α = Cos (− α), siis projektsioonide arvutamisel saab nurki lugeda nii päri- kui ka vastupäeva.

Vektori projektsiooni leidmiseks teljele tuleb selle vektori moodul korrutada telje suuna ja vektori suuna vahelise nurga koosinusega.

4. Vektoralgebra põhivalem.

Projekteerime vektori a ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi X- ja Y-teljele. Leidke vektori a vektorprojektsioonid nendel telgedel:

ja x = a x i ja y = a y j.

Aga vektori liitmise reegli järgi

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Seega oleme vektorit väljendanud ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi projektsioonide ja ortidena (või vektorprojektsioonide kaudu).

Vektorprojektsioone a x ja a y nimetatakse vektori a komponentideks või komponentideks. Operatsiooni, mille oleme sooritanud, nimetatakse vektori lagunemiseks piki ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi telge.

Kui vektor on antud ruumis, siis

a = a x i + a y j + a z k.

Seda valemit nimetatakse vektoralgebra põhivalemiks. Muidugi võib ka niimoodi kirjutada.

Algebraline vektorprojektsioon mis tahes teljel on võrdne vektori pikkuse ja telje ja vektori vahelise nurga koosinuse korrutisega:

Parempoolne a b = |b|cos(a,b) või

Kus a b on vektorite skalaarkorrutis, |a| - vektori a moodul .

Juhend. Et leida vektori Пp a b projektsioon sisse võrgurežiim tuleb määrata vektorite a ja b koordinaadid. Sel juhul saab vektori anda tasapinnal (kaks koordinaati) ja ruumis (kolm koordinaati). Saadud lahust hoitakse Wordi fail. Kui vektorid on antud punktide koordinaatide kaudu, siis tuleb kasutada seda kalkulaatorit.

Antud:
kaks vektori koordinaati
kolme koordinaadi vektor
a: ; ;
b: ; ;

Vektorprojektsiooni klassifikatsioon

Projektsioonide tüübid definitsioonivektori projektsiooni järgi

Projektsioonide tüübid koordinaatsüsteemi järgi

Vektorprojektsiooni omadused

1. Vektori geomeetriline projektsioon on vektor (sellel on suund).
2. Vektori algebraline projektsioon on arv.

Vektorprojektsiooni teoreemid

1. teoreem. Vektorite summa projektsioon mis tahes teljel on võrdne sama telje vektorite liikmete projektsiooniga.

2. teoreem. Vektori algebraline projektsioon mis tahes teljele on võrdne vektori pikkuse ja telje ja vektori vahelise nurga koosinuse korrutisega:

Parempoolne a b = |b|cos(a,b)

Vektorprojektsioonide tüübid

1. projektsioon OX-teljele.
2. projektsioon OY teljele.
3. projektsioon vektorile.

Projektsioon OX-teljele	Projektsioon OY teljele	Projektsioon vektorisse
Kui vektori A'B' suund langeb kokku OX-telje suunaga, siis on vektori A'B' projektsioon positiivse märgiga.	Kui vektori A'B' suund langeb kokku OY telje suunaga, siis on vektori A'B' projektsioon positiivse märgiga.	Kui vektori A'B' suund langeb kokku vektori NM suunaga, siis on vektori A'B' projektsioon positiivse märgiga.
Kui vektori suund on vastupidine OX-telje suunale, siis on vektori A’B projektsioon negatiivne märk.	Kui vektori A'B' suund on vastupidine OY telje suunale, siis on vektori A'B' projektsioon negatiivse märgiga.	Kui vektori A'B' suund on vastupidine vektori NM suunale, siis on vektori A'B' projektsioon negatiivse märgiga.
Kui vektor AB on paralleelne teljega OX, siis on vektori A'B' projektsioon võrdne vektori AB mooduliga.	Kui vektor AB on paralleelne OY-teljega, siis on vektori A'B' projektsioon võrdne vektori AB mooduliga.	Kui vektor AB on paralleelne vektoriga NM, siis on vektori A'B' projektsioon võrdne vektori AB mooduliga.
Kui vektor AB on risti teljega OX, siis A'B' projektsioon on võrdne nulliga (nullvektor).	Kui vektor AB on risti OY-teljega, siis A'B' projektsioon on võrdne nulliga (nullvektor).	Kui vektor AB on risti vektoriga NM, siis on A'B' projektsioon võrdne nulliga (nullvektor).

1. Küsimus: kas vektori projektsioonil võib olla negatiivne märk. Vastus: Jah, vektorprojektsioonid võivad olla negatiivsed. Sel juhul on vektoril vastupidine suund (vaadake, kuidas OX-telg ja AB vektor on suunatud)
2. Küsimus: kas vektori projektsioon võib ühtida vektori mooduliga. Vastus: Jah, saab. Sel juhul on vektorid paralleelsed (või asuvad samal sirgel).
3. Küsimus: kas vektori projektsioon võib olla võrdne nulliga (nullvektor). Vastus: Jah, saab. Sel juhul on vektor vastava teljega (vektoriga) risti.

Näide 1. Vektor (joonis 1) moodustab OX-teljega 60 o nurga (selle annab vektor a). Kui OE on skaalaühik, siis |b|=4, seega .

Tõepoolest, vektori pikkus (geomeetriline projektsioon b) on võrdne 2-ga ja suund langeb kokku OX-telje suunaga.

Näide 2 . Vektor (joonis 2) moodustab nurga OX-teljega (vektoriga a) (a,b) = 120 o . Pikkus |b| vektor b on võrdne 4-ga, seega pr a b=4 cos120 o = -2.

Tõepoolest, vektori pikkus on 2 ja suund on vastupidine telje suunale.