Kaks sellest väljuvat kiirt moodustavad nurga. Selle väärtust saab määrata nii radiaanides kui kraadides. Nüüd, mõnel kaugusel keskpunktist, joonistame mõtteliselt ringi. Radiaanides väljendatud nurga mõõt on antud juhul kahe kiirega eraldatud kaare L pikkuse matemaatiline suhe vahelise kauguse väärtusesse. keskne punkt ja ringjoon (R), st:

Kui kujutada kirjeldatud süsteemi nüüd ette materjalina, siis saab sellele rakendada mitte ainult nurga ja raadiuse mõisteid, vaid ka tsentripetaalset kiirendust, pöörlemist jne. Enamik neist kirjeldab punkti käitumist pöörleval ringil. Muide, tahket ketast saab kujutada ka ringide komplektiga, mille erinevus on ainult kauguses keskpunktist.

Sellise pöörleva süsteemi üheks tunnuseks on pöördeperiood. See näitab aega, mis kulub suvalisel ringil oleva punkti algsesse asukohta naasmiseks või, mis on samuti tõsi, 360 kraadi ümber pööramiseks. Konstantsel pöörlemiskiirusel on vastavus T = (2 * 3,1416) / Ug (edaspidi Ug on nurk).

Pöörlemiskiirus näitab 1 sekundi jooksul sooritatud täielike pöörete arvu. Konstantsel kiirusel saame v = 1 / T.

Oleneb ajast ja nn pöördenurgast. See tähendab, et kui võtta alguspunktiks ringjoone suvaline punkt A, siis süsteemi pöörlemise ajal nihkub see punkt ajas t punkti A1, moodustades nurga raadiuste A-keskpunkti ja A1-keskme vahel. Teades aega ja nurka, saate arvutada nurkkiiruse.

Ja kuna on ring, liikumine ja kiirus, siis on ka tsentripetaalne kiirendus. See on üks liikumist kirjeldavatest komponentidest kõverjoonelise liikumise korral. Mõisted "tavaline" ja "tsentripetaalne kiirendus" on identsed. Erinevus seisneb selles, et teist kasutatakse ringjoonel liikumise kirjeldamiseks, kui kiirendusvektor on suunatud süsteemi keskpunkti poole. Seetõttu on alati vaja täpselt teada, kuidas keha (punkt) liigub ja selle tsentripetaalne kiirendus. Selle definitsioon on järgmine: see on kiiruse muutumise kiirus, mille vektor on suunatud vektori suunaga risti ja muudab viimase suunda. Entsüklopeedia näitab, et Huygens tegeles selle probleemi uurimisega. Tema pakutud tsentripetaalse kiirenduse valem näeb välja selline:

Acs = (v*v) / r,

kus r on läbitud tee kõverusraadius; v - liikumiskiirus.

Valem, mille järgi tsentripetaalset kiirendust arvutatakse, on entusiastide seas endiselt tulised vaidlused. Näiteks kõlas hiljuti uudishimulik teooria.

Huygens lähtus süsteemi arvestades asjaolust, et keha liigub ringjoonel raadiusega R kiirusega v, mõõdetuna alguspunktis A. Kuna inertsvektor on suunatud mööda, siis on sirge AB kujuline trajektoor. saadud. Tsentripetaaljõud aga hoiab keha ringjoonel punktis C. Kui tähistame keskpunktiks O ja tõmbame sirged AB, BO (BS ja CO summa), aga ka AO, saame kolmnurga. Pythagorase seaduse järgi:

BS=(a*(t*t)) / 2, kus a on kiirendus; t - aeg (a * t * t - see on kiirus).

Kui nüüd kasutada Pythagorase valemit, siis:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, kus R on raadius ja tähtnumbriline kirjapilt ilma korrutamismärgita on aste.

Huygens tunnistas, et kuna aeg t on väike, võib seda arvutustes ignoreerida. Pärast eelmise valemi teisendamist jõudis ta tuntud Acs = (v * v) / r juurde.

Kuna aga aeg on ruudus, toimub progresseerumine: mida suurem t, seda suurem on viga. Näiteks 0,9 puhul ei võeta arvesse peaaegu koguväärtust 20%.

Tsentripetaalse kiirenduse mõiste on oluline kaasaegne teadus, kuid ilmselgelt on veel vara sellele teemale lõppu teha.

Objekt, mis liigub raadiusega ringikujulisel orbiidil rühtlase tangentsiaalse kiirusega u on kiiruse vektor v, mille suurus on konstantne, kuid mille suund muutub pidevalt. Sellest järeldub, et objektil peab olema kiirendus, kuna (vektor) on (vektori) kiiruse muutumise kiirus ja (vektori) kiirused on ajaliselt erinevad.

Oletame, et objekt liigub punktist P asja juurde K aja vahel t ja, t + δ t nagu on näidatud ülaloleval pildil. Oletame veel, et objekti pööratakse võrra δθ radiaanid selle aja jooksul. Vektor , nagu on näidatud diagrammil, on identne vektoriga . Samuti nurk vektorite ja selle vahel δθ . Vektor tähistab kiirusvektori muutust, δ v, aja vahel t ja t + δ t. Sellest on selge, et see vektor on suunatud ringi keskpunkti poole. Standardsest trigonomeetriast, vektori pikkus:

Küll aga väikeste nurkade all patt θ ≃ θ , tingimusel, et θ mõõdetuna radiaanides. Järelikult

δv ≃ v δθ.

kus on objekti nurkkiirus radiaanides sekundis. Seega raadiusega ringikujulisel orbiidil liikuv objekt r, ühtlase tangentsiaalse kiirusega v, ja ühtlane nurkkiirus , on kiirendusega, mis on suunatud ringi keskpunkti poole, st tsentripetaalne kiirendus- väärtus:

Oletame, et keha, mass m, kinnitatud kaabli otsa, pikkus r, ja pöörleb nii, et keha kirjeldab raadiusega horisontaalset ringi r, ühtlase tangentsiaalse kiirusega v. Nagu me just õppisime, on kehal tsentripetaalne kiirendus suurusjärgus . Seetõttu kogeb keha tsentripetaalset jõudu

Mis annab sellele jõu? Olgu, edasi see näide, jõu annab kaabli pinge. Järelikult .

Oletame, et kaabel on selline, mis puruneb, kui pinge selles ületab mingi kriitilise väärtuse. Sellest järeldub, et on olemas maksimaalne kiirus, millega keha saab liikuda, nimelt:

Kui a vületab vmax, läheb kaabel katki. Niipea, kui kaabel puruneb, ei koge keha enam tsentripetaalset jõudu, seega liigub see suure kiirusega vmax sirgjoonel, mis puutub juba olemasoleva ringorbiidiga.

Liikudes mööda ringjoont konstantse lineaarkiirusega υ on kehal konstantne tsentripetaalkiirendus, mis on suunatud ringi keskpunkti poole

a c \u003d υ 2 / R, (18)

kus R on ringi raadius.

Tsentripetaalse kiirenduse valemi tuletamine

Definitsiooni järgi.

Joonis 6 Tsentripetaalse kiirenduse valemi tuletamine

Joonisel on nihkete ja kiiruste vektoritest moodustatud kolmnurgad sarnased. Arvestades seda == R ja == υ, kolmnurkade sarnasusest leiame:

(20)

(21)

Asetame alguspunkti ringi keskele ja valime tasapinnaks (x, y) tasapinna, milles ring asub. Ringjoone punkti asukoht igal ajal määratakse üheselt polaarnurga φ abil, mõõdetuna radiaanides (rad) ja

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

kus φ 0 defineerib algfaasi (ringipunkti lähteasend nullajal).

Ühtlase pöörlemise korral kasvab radiaanides mõõdetud nurk φ aja jooksul lineaarselt:

φ = ωt, (23)

kus ω nimetatakse tsükliliseks (ringikujuliseks) sageduseks. Tsüklilise sageduse mõõde: [ω] = c –1 = Hz.

Tsükliline sagedus on võrdne pöördenurgaga (mõõdetuna rad) ajaühiku kohta, seega nimetatakse seda ka nurkkiiruseks.

Ringjoone punkti koordinaatide sõltuvuse ajast kindla sagedusega ühtlase pöörlemise korral saab kirjutada järgmiselt:

x = R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Ühe pöörde sooritamiseks kuluvat aega nimetatakse perioodiks T.

Sagedus ν = 1/T. (25)

Sagedusühik: [ν] = s –1 = Hz.

Tsüklilise sageduse seos perioodi ja sagedusega: 2π = ωT, kust

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Lineaarkiiruse ja nurkkiiruse vaheline seos leitakse võrrandist:

2πR = υT, kust

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Tsentripetaalse kiirenduse avaldise saab kirjutada erinevatel viisidel, kasutades kiiruse, sageduse ja perioodi vahelisi seoseid:

a c \u003d υ 2 / R \u003d ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R / T 2. (28)

4.6 Translatsiooni- ja pöörlemisliigutuste vaheline seos

Konstantse kiirendusega sirgjoonelise liikumise peamised kinemaatilised omadused: nihe s, kiirus υ ja kiirendus a. Asjakohased omadused raadiusega R ringil liikumisel: nurknihe φ, nurkkiirus ω ja nurkkiirendus ε (kui keha pöörleb muutuva kiirusega).

Geomeetrilistel kaalutlustel on nende omaduste vahel järgmised seosed:

nihe s → nurknihe φ = s/R;

kiirus υ → nurkkiirus ω = υ /R;

kiirendus a→ nurkkiirendus ε = a/R.

Kõik piki sirgjoont ühtlaselt kiirendatud liikumise kinemaatika valemid saab teisendada piki ringjoont pöörlemise kinemaatika valemiteks, kui näidatud asendused on tehtud. Näiteks:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + a t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

Punkti lineaar- ja nurkkiiruste seose ümber ringi pöörlemisel saab kirjutada vektorkujul. Tõepoolest, olgu alguspunkti keskpunktiga ringjoon tasapinnal (x, y). Igal ajahetkel vektor , mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist ringi punktini, kus keha asub, on risti keha kiirusvektoriga suunatud selles punktis ringi puutuja. Defineerime vektori , mis on absoluutväärtuses võrdne nurkkiirusega ω ja on suunatud piki pöörlemistelge küljele, mille määrab parempoolse kruvi reegel: kui kruvi keerata nii, et selle pöörlemissuund langeb kokku punkti pöörlemise suund piki ringi, siis kruvi liikumise suund näitab vektori suunda . Siis kolme üksteisega risti asetseva vektori seos ,ja saab kirjutada vektorite ristkorrutise abil.

Varem käsitleti sirgjoonelise liikumise omadusi: liikumine, kiirus, kiirendus. Nende vastased pöörlevas liikumises on: nurknihe, nurkkiirus, nurkkiirendus.

• Nihke rolli pöörleval liikumisel mängib nurk;
• Pöörlemisnurk ajaühiku kohta on nurkkiirus;
• Nurkkiiruse muutus ajaühiku kohta on nurkkiirendus.

Ühtlase pöörleva liikumise ajal liigub keha ringis sama kiirusega, kuid muutuva suunaga. Näiteks sellise liigutuse teevad sihverplaadil olevad kellaosutid.

Oletame, et pall pöörleb ühtlaselt 1 meetri pikkusel niidil. Seda tehes kirjeldab see ringi raadiusega 1 meeter. Sellise ringi pikkus: C = 2πR = 6,28 m

Nimetatakse aega, mis kulub pallil ühe täieliku pöörde ümbermõõdu ümber pöörlemisperiood - T.

Kuuli joonkiiruse arvutamiseks on vaja jagada nihe ajaga, s.o. ümbermõõt pöörlemisperioodi kohta:

V = C/T = 2πR/T

Pöörlemisperiood:

T = 2πR/V

Kui meie kuul teeb ühe pöörde 1 sekundiga (pöörlemisperiood = 1 s), siis selle lineaarkiirus:
V = 6,28/1 = 6,28 m/s

2. Tsentrifugaalkiirendus

Kuuli pöörleva liikumise mis tahes punktis on selle lineaarkiiruse vektor suunatud raadiusega risti. Lihtne on arvata, et sellisel ringil pöörlemisel muudab kuuli lineaarkiiruse vektor pidevalt oma suunda. Sellist kiiruse muutust iseloomustavat kiirendust nimetatakse tsentrifugaalne (tsentripetaalne) kiirendus.

Ühtlase pöörleva liikumise ajal muutub ainult kiirusvektori suund, kuid mitte suurus! Seega lineaarne kiirendus = 0 . Lineaarkiiruse muutust toetab tsentrifugaalkiirendus, mis on suunatud kiirusvektoriga risti oleva pöörlemisringi keskpunkti - a c.

Tsentrifugaalkiirenduse saab arvutada järgmise valemi abil: a c \u003d V 2 / R

Mida suurem on keha lineaarkiirus ja väiksem on pöörlemisraadius, seda suurem on tsentrifugaalkiirendus.

3. Tsentrifugaaljõud

Sirgjoonelisest liikumisest teame, et jõud on võrdne keha massi ja selle kiirenduse korrutisega.

Ühtlase pöörleva liikumise korral mõjub pöörlevale kehale tsentrifugaaljõud:

F c \u003d ma c \u003d mV 2 / R

Kui meie pall kaalub 1 kg, siis selle ringjoonel hoidmiseks on vaja tsentrifugaaljõudu:

F c \u003d 1 6,28 2/1 \u003d 39,4 N

Me puutume sisse tsentrifugaaljõuga Igapäevane elu igal pöördel.

Hõõrdejõud peab tasakaalustama tsentrifugaaljõudu:

Fc \u003d mV2/R; F tr \u003d μmg

F c \u003d F tr; mV2/R = μmg

V = √μmgR/m = √μgR = √0,9 9,8 30 = 16,3 m/s = 58,5 km/h

Vastus: 58,5 km/h

Pange tähele, et kiirus kurvis ei sõltu kehakaalust!

Kindlasti olete märganud, et maanteel on mõnel pöördel pöördesse kaldumine. Sellised pöörded on "kergemini" läbitavad, õigemini saab läbida suurema kiirusega. Mõelge, millised jõud mõjutavad autot sellisel kaldega pöördel. Sel juhul me ei võta hõõrdejõudu arvesse ja tsentrifugaalkiirenduse kompenseerib ainult gravitatsioonijõu horisontaalne komponent:

F c \u003d mV 2 / R või F c \u003d F n sinα

Raskusjõud mõjub kehale vertikaalsuunas Fg = mg, mida tasakaalustab normaaljõu vertikaalne komponent F n cosα:

F n cosα \u003d mg, seega: F n \u003d mg / cos α

Asendame normaaljõu väärtuse algses valemis:

F c = F n sinα = (mg/cosα)sinα = mg sinα/cosα = mg tgα

Seega on sõidutee kaldenurk:

α \u003d arctg (F c /mg) \u003d arctg (mV 2 /mgR) \u003d arctg (V 2 /gR)

Jällegi pange tähele, et kehakaalu ei arvestata arvutustes!

Ülesanne nr 2: mõnel maanteelõigul on pööre raadiusega 100 meetrit. Seda teelõigu läbivate sõidukite keskmine kiirus on 108 km/h (30 m/s). Milline peaks olema sellel lõigul teepeenra ohutu kaldenurk, et auto ei tõuseks õhku (hõõrdumist eirataks)?

α \u003d arktaan (V 2 / gR) \u003d arktaan (30 2 / 9,8 100) \u003d 0,91 \u003d 42 ° Vastus: 42°. Päris korralik nurk. Kuid ärge unustage, et oma arvutustes ei võta me arvesse sõidutee hõõrdejõudu.

4. Kraadid ja radiaanid

Paljud on nurgaväärtuste mõistmisel segaduses.

Pöörleva liikumise korral on nurknihke põhimõõtühik radiaan.

• 2π radiaani = 360° – täisring
• π radiaanid = 180° – poolring
• π/2 radiaani = 90° – veerandring

Kraatide radiaanideks teisendamiseks jagage nurk 360°-ga ja korrutage 2π-ga. Näiteks:

• 45° = (45°/360°) 2π = π/4 radiaani
• 30° = (30°/360°) 2π = π/6 radiaani

Allolevas tabelis on näidatud sirgjoonelise ja pöörleva liikumise põhivalemid.

Võimaldab meil siin planeedil eksisteerida. Kuidas mõista, mis on tsentripetaalne kiirendus? Selle määratlus füüsiline kogus allpool esitatud.

Tähelepanekud

Lihtsaim näide ringis liikuva keha kiirendusest on vaadeldav kivi köiel pöörates. Tõmbad köit ja köis tõmbab kivi keskele. Igal ajahetkel annab köis kivile teatud liikumist ja iga kord uues suunas. Võite ette kujutada köie liikumist nõrkade tõmblustena. Tõmblus – ja köis muudab suunda, teine ​​jõnks – veel üks muutus ja nii edasi ringi. Kui lasete järsku trossi lahti, siis tõmblused peatuvad ja koos nendega peatub ka kiiruse suunamuutus. Kivi liigub ringi puutuja suunas. Tekib küsimus: "Millise kiirendusega keha sel hetkel liigub?"

tsentripetaalse kiirenduse valem

Esiteks väärib märkimist, et keha liikumine ringis on keeruline. Kivi osaleb korraga kahte tüüpi liikumises: jõu mõjul liigub ta pöörlemiskeskme poole ja samal ajal, puutujalt ringiga, eemaldub sellest keskpunktist. Newtoni teise seaduse kohaselt on kivi nööril hoidev jõud suunatud seda nööri mööda pöörlemiskeskme poole. Sinna suunatakse ka kiirendusvektor.

Olgu mingi aeg t, et meie kivi, liikudes ühtlaselt kiirusega V, jõuab punktist A punkti B. Oletame, et hetkel, kui keha ületas punkti B, lakkas tsentripetaaljõud talle mõjumast. Siis tabab see teatud aja jooksul punkti K. See asub puutujal. Kui kehale mõjuksid samal ajahetkel ainult tsentripetaaljõud, siis ajas t jõuaks see sama kiirendusega liikudes punkti O, mis asub ringi läbimõõtu tähistaval sirgel. Mõlemad segmendid on vektorid ja järgivad vektorite liitmise reeglit. Nende kahe liikumise liitmisel ajavahemikuks t saame tulemuseks liikumise piki kaaret AB.

Kui ajavahemik t võtta tühiselt väikeseks, erineb kaar AB kõõlust AB vähe. Seega on võimalik kaarelt liikumine asendada liikumisega mööda akordi. Sel juhul järgib kivi liikumine piki kõõlu sirgjoonelise liikumise seadusi, see tähendab, et läbitud vahemaa AB võrdub kivi kiiruse ja selle liikumise aja korrutisega. AB = V x t.

Tähistame soovitud tsentripetaalkiirendust tähega a. Siis saab ainult tsentripetaalse kiirenduse mõjul läbitud tee arvutada ühtlaselt kiirendatud liikumise valemi abil:

Kaugus AB on võrdne kiiruse ja aja korrutisega, st AB = V x t,

AO - arvutatud varem ühtlaselt kiirendatud liikumisvalemi abil sirgjoonel liikumiseks: AO = 2/2 juures.

Asendades need andmed valemisse ja teisendades need, saame lihtsa ja elegantse tsentripetaalse kiirenduse valemi:

Sõnades võib seda väljendada järgmiselt: ringjoonel liikuva keha tsentripetaalne kiirendus võrdub joonkiiruse jagamisega ruudus ringjoone raadiusega, mida mööda keha pöörleb. Tsentripetaalne jõud näeb sel juhul välja nagu alloleval pildil.

Nurkkiirus

Nurkkiirus võrdub lineaarkiirusega, mis on jagatud ringi raadiusega. Tõsi on ka vastupidine: V = ωR, kus ω on nurkkiirus

Kui asendame selle väärtuse valemis, saame nurkkiiruse tsentrifugaalkiirenduse avaldise. See näeb välja selline:

Kiirendus ilma kiiruse muutmiseta

Ja veel, miks ei liigu tsentri poole suunatud kiirendusega keha kiiremini ja ei liigu pöörlemiskeskmele lähemale? Vastus peitub kiirenduse enda sõnastuses. Faktid näitavad, et ringliikumine on tõeline, kuid selle säilitamiseks on vaja kiirendada keskpunkti suunas. Sellest kiirendusest põhjustatud jõu mõjul toimub impulsi muutus, mille tulemusena on liikumistrajektoor pidevalt kõver, muutes kogu aeg kiirusvektori suunda, kuid muutmata selle absoluutväärtust. Ringis liikudes tormab meie kauakannatanud kivi sissepoole, vastasel juhul jätkaks see tangentsiaalset liikumist. Igal ajahetkel puutujalt lahkudes tõmbab kivi keskmesse, kuid ei kuku sellesse. Teine näide tsentripetaalsest kiirendusest oleks veesuusataja, kes teeb vee peal väikseid ringe. Sportlase figuur on kallutatud; tundub, et ta kukub, jätkab liikumist ja kallutab edasi.

Seega võime järeldada, et kiirendus ei suurenda keha kiirust, kuna kiirus- ja kiirendusvektorid on üksteisega risti. Kiirusevektorile lisandudes muudab kiirendus ainult liikumissuunda ja hoiab keha orbiidil.

Ohutusvaru on ületatud

Varasemas kogemuses oli meil tegemist ideaalse köiega, mis ei katkenud. Kuid oletame, et meie köis on kõige levinum ja võite isegi arvutada pingutuse, mille järel see lihtsalt puruneb. Selle jõu arvutamiseks piisab, kui võrrelda trossi ohutusvaru koormusega, mida see kivi pöörlemise ajal kogeb. Kivi suurema kiirusega pöörates annate sellele rohkem liikumist ja seega ka kiirendust.

Džuutköie läbimõõduga umbes 20 mm on selle tõmbetugevus umbes 26 kN. Tähelepanuväärne on see, et köie pikkus ei paista kusagilt. Pöörates 1 kg raskust koormat 1 m raadiusega trossil, saame arvutada, et selle katkemiseks vajalik joonkiirus on 26 x 10 3 = 1kg x V 2 / 1 m. Seega kiirus, mida on ohtlik ületada, on olema võrdne √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.

Gravitatsioon

Katse kaalumisel jätsime gravitatsiooni mõju tähelepanuta, kuna nii suurtel kiirustel on selle mõju tühine. Aga on näha, et pikka köit lahti kerides kirjeldab keha keerulisemat trajektoori ja läheneb tasapisi maapinnale.

taevakehad

Kui kanda ringliikumise seadused üle ruumi ja rakendada neid taevakehade liikumisele, võime taasavastada mitu ammu tuttavat valemit. Näiteks jõudu, millega keha Maa külge tõmbab, teatakse järgmise valemiga:

Meie puhul on tegur g väga tsentripetaalne kiirendus, mis tuletati eelmisest valemist. Ainult sel juhul mängib kivi rolli taevakeha, tõmbab Maa poole ja trossi rolliks on gravitatsioonijõud. Tegurit g väljendatakse meie planeedi raadiuses ja selle pöörlemiskiiruses.

Tulemused

Tsentripetaalse kiirenduse olemus seisneb raskes ja tänamatus töös liikuva keha orbiidil hoidmisel. Täheldatakse paradoksaalset juhtumit, kui pideva kiirenduse korral ei muuda keha oma kiirust. Treenimata mõistusele on selline väide üsna paradoksaalne. Sellegipoolest on tsentripetaalkiirendusel oluline roll nii elektroni liikumise arvutamisel ümber tuuma kui ka tähe pöörlemiskiiruse arvutamisel ümber musta augu.