Підготовка до ЄДІ. Розв'язання логарифмічних та показових нерівностей методом раціоналізації
Стаття присвячена розбору завдань 15 з профільного ЄДІз математики за 2017 рік. У цьому завданні школярам пропонують для вирішення нерівності, найчастіше логарифмічні. Хоча можуть бути показові. У цій статті наводиться аналіз прикладів логарифмічних нерівностей, у тому числі містять змінну на основі логарифму. Всі приклади взяті з відкритого банку завдань ЄДІ з математики (профіль), так що подібні нерівності з великою ймовірністюможуть потрапити вам на іспиті як завдання 15. Ідеально для тих, хто за короткий проміжок часу хоче навчитися вирішувати завдання 15 з другої частини профільного ЄДІ з математики, щоб отримати більше балів на іспиті.
Розбір завдань 15 із профільного ЄДІ з математики
| Приклад 1. Розв'яжіть нерівність: |
У завданнях 15 ЄДІ з математики (профіль) часто трапляються логарифмічні нерівності. Вирішення логарифмічних нерівностей починається з визначення області допустимих значень. У даному випадкуна підставі обох логарифмів немає змінної, є лише число 11, що спрощує завдання. Тому єдине обмеження, яке у нас тут є, полягає в тому, що обидва вирази, що стоять під знаком логарифму, є позитивними:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Перша нерівність у системі — це квадратна нерівність. Щоб його вирішити, нам дуже не завадило б розкласти ліву частину на множники. Я думаю, ви знаєте, що будь-хто квадратний тричленвиду 
розкладається на множники наступним чином:
де і - коріння рівняння. У разі коефіцієнт дорівнює 1 (це числовий коефіцієнт, що стоїть перед ). Коефіцієнт теж дорівнює 1, а коефіцієнт - це вільний член, він дорівнює -20. Коріння тричлена найпростіше визначити за теоремою Вієта. Рівняння у нас наведене, значить сума коренів і дорівнюватиме коефіцієнту з протилежним знаком, тобто -1, а добуток цього коріння буде дорівнює коефіцієнту , тобто -20. Легко здогадатися, що коріння буде -5 та 4.
Тепер ліву частину нерівності можна розкласти на множники: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} Xу точках -5 і 4. Значить, розв'язання нерівності — це проміжок . Для тих, кому не зрозуміло, що тут написано, подробиці можна подивитися у відеоролику, починаючи з цього моменту. Там же ви знайдете докладне пояснення, як вирішується друга нерівність системи. Воно вирішується. Причому відповідь виходить такою самою, як і для першої нерівності системи. Тобто записане вище безліч — це і є сфера допустимих значень нерівності.
Отже, з урахуванням розкладання на множники, вихідна нерівність набуває вигляду:
Використовуючи формулу , внесемо 11 у ступінь виразу, що стоїть під знаком першого логарифму, і перенесемо другий логарифм лівий бікнерівності, змінивши при цьому його знак на протилежний:
Після скорочення отримуємо:
Остання нерівність, через зростання функції , еквівалентна нерівності 
рішенням якого є проміжок 
. Залишилося перетнути його з областю допустимих значень нерівності, і це вийде відповідь до всього завдання.
Отже, шукана відповідь до завдання має вигляд:
З цим завданням ми розібралися, тепер переходимо до прикладу завдання 15 ЄДІ з математики (профіль).
| Приклад 2. Розв'яжіть нерівність:
|
Рішення починаємо з визначення області допустимих значень цієї нерівності. В основі кожного логарифму має знаходитися позитивне число, яке не дорівнює 1. Всі вирази, що стоять під знаком логарифму, повинні бути позитивними. У знаменнику дробу не повинно бути нуля. Остання умова еквівалентна тому, що , оскільки лише в іншому випадку обидва логарифми в знаменнику звертаються в нуль. Всі ці умови визначають область допустимих значень цієї нерівності, що задається наступною системоюнерівностей:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
У сфері допустимих значень ми можемо використовувати формули перетворення логарифмів у тому, щоб спростити ліву частину нерівності. За допомогою формули 
позбавляємося від знаменника:
Тепер у нас вийшли лише логарифми з основою. Це вже зручніше. Далі використовуємо формулу , також формулу для того, щоб привести вираз, що стоїть слава, до наступного виду:
При обчислення ми використовували те, що в області допустимих значень . Використовуючи заміну, приходимо до виразу:
Використовуємо ще одну заміну: . В результаті чого приходимо до наступного результату:
Отже, поступово повертаємось до вихідних змінних. Спершу до змінної:
ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ В ЄДІ
Сєчін Михайло Олександрович
Мала академія наук учнівської молоді РК «Шукач»
МБОУ «Радянська ЗОШ №1», 11 клас, смт. Радянський Радянського району
Гунько Людмила Дмитрівна, вчитель МБОУ «Радянська ЗОШ №1»
Радянського району
Мета роботи:дослідження механізму розв'язання логарифмічних нерівностей С3 за допомогою нестандартних методів, виявлення цікавих фактівлогарифму.
Предмет дослідження:
3) Навчитися вирішувати конкретні логарифмічні нерівності С3 з допомогою нестандартних методів.
Результати:
Зміст
Введение………………………………………………………………………….4
Глава 1. Історія питання……………………………………………………...5
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей ………………………… 7
2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів…………… 7
2.2. Метод раціоналізації ………………………………………………… 15
2.3. Нестандартна підстановка……………….......................................... ..... 22
2.4. Завдання з пастками…………………………………………………… 27
Заключение…………………………………………………………………… 30
Література……………………………………………………………………. 31
Вступ
Я навчаюсь в 11 класі і планую вступити до ВНЗ, де профільним предметом є математика. А тому багато працюю із завданнями частини С. У завданні С3 потрібно вирішити нестандартну нерівність або систему нерівностей, як правило, пов'язану з логарифмами. Під час підготовки до іспиту я зіткнувся з проблемою дефіциту методів і прийомів розв'язання екзаменаційних логарифмічних нерівностей, пропонованих С3. Методи, які вивчаються в шкільній програміна цю тему, не дають бази для вирішення завдань С3. Вчитель з математики запропонувала мені попрацювати із завданнями С3 самостійно під її керівництвом. Крім цього, мене зацікавило питання: а у житті нашому зустрічаються логарифми?
З огляду на це і була обрана тема:
«Логарифмічні нерівності в ЄДІ»
Мета роботи:дослідження механізму розв'язання задач С3 за допомогою нестандартних методів; виявлення цікавих фактів логарифму.
Предмет дослідження:
1) Знайти необхідні відомості про нестандартних методахрозв'язання логарифмічних нерівностей.
2) Знайти додаткові відомості про логарифми.
3) Навчитися вирішувати конкретні завданняС3 з допомогою нестандартних методів.
Результати:
Практична значимість полягає у розширенні апарату для вирішення задач С3. Цей матеріалможна буде використовувати на деяких уроках для проведення гуртків, факультативних занять з математики.
Проектним продуктом стане збірка "Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями".
Розділ 1. Історія питання
Протягом 16 століття швидко зростала кількість наближених обчислень насамперед в астрономії. Удосконалення інструментів, дослідження планетних рухів та інші роботи вимагали колосальних, іноді багаторічних розрахунків. Астрономії загрожувала реальна небезпека потонути у невиконаних розрахунках. Труднощі виникали і в інших областях, наприклад, у страховій справі потрібні були таблиці складних відсотків для різних значеньвідсотки. Головну складність становили множення, розподіл багатозначних чисел, особливо тригонометричних величин.
Відкриття логарифмів спиралося добре відомі до кінця 16 століття властивості прогресій. Про зв'язок між членами геометричної прогресії q, q2, q3, ... та арифметичною прогресією їх показників 1, 2, 3,... говорив ще в "Псалміті" Архімед. Іншою причиною було поширення поняття ступеня на негативні та дробові показники. Багато авторів вказували, що множення, поділу, зведення в ступінь і вилучення кореня в геометричній прогресії відповідають в арифметичній - в тому ж порядку - додавання, віднімання, множення та поділ.
Тут ховалася ідея логарифму як показника ступеня.
В історії розвитку вчення про логарифми пройшло кілька етапів.
1 етап
Логарифми були винайдені не пізніше 1594 незалежно один від одного шотландським бароном Непером (1550-1617) і через десять років швейцарським механіком Бюрги (1552-1632). Обидва хотіли дати новий зручний засіб арифметичних обчислень, хоча вони підійшли до цього завдання по-різному. Непер кінематично висловив логарифмічну функцію і тим самим вступив у нову область теорії функції. Бюргі залишився на ґрунті розгляду дискретних прогресій. Втім, визначення логарифму в обох не схоже на сучасне. Термін "логарифм" (logarithmus) належить Неперу. Він виник із поєднання грецьких слів: logos - "відношення" та ariqmo - "число", яке означало "число відносин". Спочатку Непер користувався іншим терміном: numeri artificiales- "штучні числа", на противагу numeri naturalts - "числам природним".
У 1615 році в бесіді з професором математики Грешем Коледжу в Лондоні Генрі Брігсом (1561-1631) Непер запропонував прийняти за логарифм одиниці нуль, а за логарифм десяти - 100, або, що зводиться до того ж, просто 1. Так з'явилися десяткові логарифи було надруковано перші логарифмічні таблиці. Пізніше таблиці Брігса доповнив голландський книготорговець та аматор математики Андріан Флакк (1600-1667). Непер і Брігс, хоча прийшли до логарифм раніше за всіх, опублікували свої таблиці пізніше за інших - в 1620 році. Знаки log та Log були введені у 1624 році І. Кеплером. Термін "натуральний логарифм" запровадили Менголі в 1659 р. і за ним М. Меркатор в 1668 р., а видав таблиці натуральних логарифмів чисел від 1 до 1000 під назвою "Нові логарифми" лондонський вчитель Джон Спейдел.
Російською мовою перші логарифмічні таблиці було видано 1703 року. Але у всіх логарифмічних таблицях були допущені помилки під час обчислення. Перші безпомилкові таблиці вийшли 1857 року у Берліні у обробці німецького математика До. Бремикера (1804-1877).
2 етап
Подальший розвиток теорії логарифмів пов'язаний з ширшим застосуванням аналітичної геометрії та обчислення нескінченно малих. На той час відноситься встановлення зв'язку між квадратурою рівносторонньої гіперболи та натуральним логарифмом. Теорія логарифмів цього періоду пов'язана з іменами цілого ряду математиків.
Німецький математик, астроном та інженер Ніколаус Меркатор у творі
"Логарифмотехніка" (1668) наводить ряд, що дає розкладання ln(x+1)
ступеням х:
Цей вираз точно відповідає ходу його думки, хоча він, звичайно, користувався не знаками d, ... , а більш громіздкою символікою. З відкриттям логарифмічного ряду змінилася техніка обчислення логарифмів: вони почали визначатися з допомогою нескінченних рядів. У своїх лекціях Елементарна математиказ вищої точкизору", прочитаних у 1907-1908 роках, Ф. Клейн запропонував використовувати формулу як вихідний пункт побудови теорії логарифмів.
3 етап
Визначення логарифмічної функції як зворотної функції
показовою, логарифма як показника ступеня даної основи
було сформульовано не відразу. Твір Леонарда Ейлера (1707-1783)
"Введення в аналіз нескінченно малих" (1748) послужило подальшому
розвитку теорії логарифмічної функції Таким чином,
пройшло 134 роки з того часу, як логарифми вперше були введені
(вважаючи з 1614 р.), перш ніж математики дійшли визначення
поняття логарифму, яке покладено тепер основою шкільного курсу.
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей
2.1. Рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів.
Рівносильні переходи
якщо а > 1
якщо 0 <
а <
1
Узагальнений метод інтервалів
Цей спосібнайбільш універсальний під час вирішення нерівностей практично будь-якого типу. Схема рішення виглядає так:
1. Привести нерівність до такого виду, де у лівій частині знаходиться функція 
, а правої 0.
2. Знайти область визначення функції .
3. Знайти нулі функції тобто вирішити рівняння 
(а розв'язувати рівняння зазвичай простіше, ніж розв'язувати нерівність).
4. Зобразити на числовій прямій область визначення та нулі функції.
5. Визначити знаки функції на одержаних інтервалах.
6. Вибрати інтервали, де функція набирає необхідних значень, і записати відповідь.
приклад 1.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
звідки
При цих значеннях усі вирази, що стоять під знаками логарифмів, є позитивними.
Відповідь:
приклад 2.
Рішення:
1-й спосіб . ОДЗ визначається нерівністю x> 3. Логарифмуючи за таких xна підставі 10, отримуємо
Остання нерівність можна було вирішувати, застосовуючи правила розкладання, тобто. порівнюючи з нулем співмножники. Однак у даному випадку легко визначити інтервали знаковості функції
тому можна застосувати метод інтервалів.
Функція f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ безперервна при x> 3 і звертається в нуль у точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким чином, визначаємо інтервали знаковості функції f(x):
Відповідь:
2-й спосіб . Застосуємо безпосередньо до нерівності ідеї методу інтервалів.
Для цього нагадаємо, що вирази a b - a c і ( a - 1)(b– 1) мають один знак. Тоді наша нерівність при x> 3 рівносильно нерівності
або
Остання нерівність вирішується методом інтервалів
Відповідь:
приклад 3.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
Відповідь:
приклад 4.
Рішення:
Так як 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 за всіх дійсних x, то
Для вирішення другої нерівності скористаємося методом інтервалів
У першій нерівності зробимо заміну
тоді приходимо до нерівності 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, які задовольняють нерівності -0,5< y < 1.
Звідки, оскільки
отримуємо нерівність
яке виконується за тих x, для яких 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Тепер з урахуванням вирішення другої нерівності системи остаточно отримуємо
Відповідь:
Приклад 5.
Рішення:
Нерівність рівносильна сукупності систем
або
Застосуємо метод інтервалів або
Відповідь:
Приклад 6.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі
Нехай
тоді y > 0,
і перша нерівність
системи набуває вигляду
або, розкладаючи
квадратний тричлен на множники,
Застосовуючи до останньої нерівності метод інтервалів,
бачимо, що його рішеннями, що задовольняють умову y> 0 будуть усі y > 4.
Таким чином вихідна нерівність еквівалентна системі:
Отже, рішеннями нерівності є всі
2.2. Метод раціоналізації.
Раніше методом раціоналізації нерівності не вирішували, її не знали. Це "новий сучасний ефективний методрозв'язання показових та логарифмічних нерівностей" (цитата з книжки Колесникової С.І.)
І навіть якщо педагог його знав, була побоювання - а чи знає його експерт ЄДІ, а чому в школі його не дають? Були ситуації, коли вчитель говорив учневі: "Де взяв? Сідай – 2."
Нині метод повсюдно просувається. І для експертів є методичні вказівки, пов'язані з цим методом, і в "Найповніших виданнях типових варіантів..." у рішенні С3 використовується цей метод.
МЕТОД ЧУДОВИЙ!
«Чарівна таблиця»
В інших джерелах
якщо a >1 і b >1, log a b >0 і (a -1)(b -1)>0;
якщо a >1 та 0 якщо 0<a<1 и b
>1, то log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
якщо 0<a<1 и 00 та (a -1)(b -1)>0. Проведені міркування нескладні, але помітно спрощують розв'язання логарифмічних нерівностей. приклад 4.
log x (x 2 -3)<0
Рішення:
Приклад 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Рішення: Приклад 6.
Для розв'язання цієї нерівності замість знаменника запишемо (х-1-1)(х-1), а замість чисельника - твір (х-1)(х-3-9+х). Приклад 7.
Приклад 8.
2.3. Нестандартне підстановлення. приклад 1.
приклад 2.
приклад 3.
приклад 4.
Приклад 5.
Приклад 6.
Приклад 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Зробимо заміну у = 3 х -1; тоді ця нерівність набуде вигляду Log 4 log 0,25 Так як log 0,25 Зробимо заміну t = log 4 y і отримаємо нерівність t 2 -2t +≥0, розв'язком якої є проміжки - Таким чином, для знаходження значень маємо сукупність двох найпростіших нерівностей Отже, вихідна нерівність рівносильна сукупності двох показових нерівностей, Рішенням першої нерівності цієї сукупності є проміжок 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Приклад 8.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі Рішенням другої нерівності, що визначає ОДЗ, буде безліч тих x,
для яких x > 0.
Для вирішення першої нерівності зробимо заміну Тоді отримуємо нерівність або Безліч рішень останньої нерівності перебуває методом інтервалів: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, отримуємо або Безліч тих x, які задовольняють останню нерівність належить ОДЗ ( x> 0), отже, є рішенням системи, отже, і вихідної нерівності. Відповідь: 2.4. Завдання з пастки. приклад 1.
Рішення.ОДЗ нерівності є всі х, які задовольняють умові 0 приклад 2.
log 2 (2 x +1-x 2)> log 2 (2 x-1 +1-x) +1.
Відповідь. (0; 0,5) U.
Відповідь :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , то перепишемо останню нерівність у вигляді 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Вирішення цієї сукупності є проміжками 0<у≤2 и 8≤у<+.
тобто сукупності 
. Таким чином, вихідна нерівність виконується для всіх значень х із проміжків 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Отже, всі х із проміжку 0
Висновок
Було непросто визначити з великої кількості різних навчальних джерел спеціальні способи вирішення завдань С3. У ході виконаної роботи мені вдалося вивчити нестандартні методи розв'язання складних логарифмічних нерівностей. Це: рівносильні переходи та узагальнений метод інтервалів, метод раціоналізації , нестандартна підстановка , завдання з пастками на ОДЗ. У шкільній програмі ці методи відсутні.
Різними методами вирішив 27 нерівностей, пропонованих на ЄДІ у частині З, саме С3. Ці нерівності з рішеннями за методами стали основою збірки «Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями», яка стала проектним продуктом моєї діяльності. Гіпотеза, поставлена мною на початку проекту, підтвердилася: завдання С3 можна ефективно вирішувати, знаючи ці методи.
Крім того, я виявив цікаві факти логарифмів. Мені це було цікаво робити. Мої проектні продукти будуть корисними як для учнів, так і для вчителів.
Висновки:
Таким чином, поставленої мети проекту досягнуто, проблему вирішено. А я отримав найбільш повний та різнобічний досвід проектної діяльності на всіх етапах роботи. У ході роботи над проектом у мене основний вплив, що розвивається, було надано на розумову компетентність, діяльність, пов'язану з логічними розумовими операціями, розвиток творчої компетентності, особистої ініціативи, відповідальності, наполегливості, активності.
Гарантією успіху при створенні дослідницького проекту для мене стали: значний шкільний досвід, вміння здобувати інформацію з різних джерел, перевіряти її достовірність, ранжувати її за значимістю.
Окрім безпосередньо предметних знань з математики, розширив свої практичні навички в галузі інформатики, отримав нові знання та досвід у галузі психології, налагодив контакти з однокласниками, навчився співпрацювати з дорослими людьми. У ході проектної діяльності розвивалися організаційні, інтелектуальні та комунікативні загальнонавчальні вміння та навички.
Література
1. Корянов А. Г., Прокоф'єв А. А. Системи нерівностей з однією змінною (типові завдання С3).
2. Малкова А. Г. Підготовка до ЄДІ з математики.
3. Самарова С. С. Вирішення логарифмічних нерівностей.
4. Математика. Збірник тренувальних робіт за редакцією А.Л. Семенова та І.В. Ященко. -М: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
Часто, при розв'язанні логарифмічних нерівностей зустрічаються завдання зі змінною основою логарифму. Так, нерівність виду
є стандартною шкільною нерівністю. Як правило, для його вирішення застосовується перехід до рівносильної сукупності систем:
Недоліком цього є необхідність вирішення семи нерівностей, крім двох систем і однієї сукупності. Вже при цих квадратичних функціях рішення сукупності може зажадати багато часу.
Можна запропонувати альтернативний, менш трудомісткий спосіб розв'язання цієї стандартної нерівності. Для цього врахуємо таку теорему.
Теорема 1. Нехай безперервна зростаюча функція на множині X. Тоді цьому множині знак збільшення функції збігатися зі знаком збільшення аргументу, тобто. , де 
.
Примітка: якщо безперервна спадна функція на множині X, то .
Повернемося до нерівності. Перейдемо до десяткового логарифму (можна переходити до будь-якого з постійною основою більше одиниці).
Тепер можна скористатися теоремою, помітивши в чисельнику збільшення функцій 
і в знаменнику. Таким чином, вірно
В результаті кількість обчислень, що призводять до відповіді, зменшується приблизно вдвічі, що економить не тільки час, а й дозволяє потенційно зробити менше арифметичних помилок та помилок “по неуважності”.
приклад 1.
Порівнюючи з (1) знаходимо 
, 
, .
Переходячи до (2) матимемо:
приклад 2.
Порівнюючи з (1) знаходимо , , .
Переходячи до (2) матимемо:
приклад 3.
Оскільки ліва частина нерівності – зростаюча функція при і 
, то відповіддю буде безліч.
Безліч прикладів, в яких можна застосовувати терему 1, може бути легко розширено, якщо врахувати терему 2.
Нехай на безлічі Xвизначено функції , , , і цьому безлічі знаки і збігаються, тобто. тоді буде справедливо.
приклад 4.
Приклад 5.
При стандартному підході приклад вирішується за схемою: твір менший за нуль, коли співмножники різних знаків. Тобто. розглядається сукупність двох систем нерівностей, у яких, як було зазначено на початку, кожна нерівність розпадається ще на сім.
Якщо ж врахувати терему 2, то кожен із співмножників, враховуючи (2), можна замінити іншою функцією, що має той же знак на даному прикладом О.Д.З.
Метод заміни збільшення функції збільшенням аргументу з урахуванням теореми 2 виявляється дуже зручним при вирішенні типових завдань С3 ЄДІ.
Приклад 6.
Приклад 7.
. Позначимо. Отримаємо
. Зауважимо, що з заміни випливає: . Повертаючись до рівняння, отримаємо
.
Приклад 8.
У теоремах, які ми використовуємо, немає обмеження на класи функцій. У цій статті, наприклад, теореми були застосовані до вирішення логарифмічних нерівностей. Декілька наступних прикладів продемонструють перспективність методу при вирішенні інших видів нерівностей.
Читайте також...
- Освіта ссср: передумови, етапи, значення Коли створили ссср рік
- Освіта ссср: коротко про все До чого призвела освіта ссср
- Партія есерів: хто вони? Їх цілі та програма. Політичні партії на початку XX століття Есери програма партії таблиця коротко
- Ректальні свічки Вітапрост: як правильно користуватися препаратом Можна приймати вітамін без призначення лікаря
