Geomeetria tund 10. klassis

Ühes eelmises õppetükis tutvusite punkti projektsiooni kontseptsiooniga antud lennuk paralleelselt selle joonega.

Selles õppetükis jätkate sirgete ja tasapindade õppimist; Siit saate teada, kuidas leida nurka sirge ja tasapinna vahel. Te saate kontseptsiooniga tuttavaks ortogonaalne projektsioon lennukis ja kaaluge selle omadusi. Tunnis antakse definitsioonid kauguse kohta punktist tasapinnani ja punktist sirgeni, nurga ja tasandi vahel. Tõestatakse kuulus teoreem kolme perpendikulaari kohta.

ortogonaalne projektsioon

Punkti ja kujundi ortogonaalne projektsioon.

Detaili ortogonaalne projektsioon.

Punkti A ortogonaalne projektsioon antud tasapinnal nimetatakse sellel tasapinnal oleva punkti projektsiooniks paralleelselt

sirgjoon, mis on selle tasapinnaga risti. ortogonaalne projektsioon

joonis antud tasapinnal p koosneb selle joonise kõigi punktide ristprojektsioonidest tasapinnale p. Tihti kasutatakse ristprojektsiooni ruumikehade kujutamiseks tasapinnal, eriti tehnilistel joonistel. See annab realistlikuma pildi kui suvaline paralleelprojektsioon, eriti ümarate kehade puhul.

Risti ja kaldu

Läbi punkti A, mis ei kuulu tasapinnale p, tõmmatakse joon, mis on selle tasapinnaga risti ja lõikub sellega punktis B.

nimetatakse segmenti AB

risti, punktist alla lastud

Ja sellel tasapinnal ja punkt B ise on selle risti alus. Mis tahes segment AC, kus C -

tasandi p suvalist punkti, mis ei ole B, nimetatakse kalduks

see lennuk.

Pange tähele, et selle definitsiooni punkt B on ortogonaalne

punkti A ja lõigu AC projektsioon - Risti ja kaldu. kaldus AB ortogonaalprojektsioon.

Ortograafilistel projektsioonidel on kõik tavaliste paralleelprojektsioonide omadused, kuid neil on ka mitmeid uusi omadusi.

Olgu ühest punktist tasapinnale tõmmatud risti ja mitu kaldjoont. Siis on järgmised väited tõesed.

1. Iga kaldus on pikem kui nii kaldnurga rist- kui ka ortogonaalprojektsioon sellele tasapinnale.

2. Võrdsetel kaldudel on võrdsed ristprojektsioonid ja vastupidi, võrdse projektsiooniga kaldustel on samuti võrdsed.

3. Üks kaldus on teisest pikem siis ja ainult siis, kui esimese kaldnurga ristprojektsioon on pikem kui teise kaldprojektsioon.

Ortogonaalprojektsiooni omadused

Tõestus.

Punktist A tasapinnale p tõmmake risti AB ja kaks kaldjoont AC ja AD; siis lõigud BC ja BD on nende lõikude ortogonaalsed projektsioonid tasapinnale p.

Tõestame esimest väidet: iga kaldus on pikem kui nii kaldnurga rist- kui ka ortogonaalprojektsioon sellele tasapinnale. Vaatleme näiteks kaldu AC ja kolmnurka ABC, mille moodustavad risti AB, see kaldus AC ja selle ristprojektsioon BC. See kolmnurk on täisnurkne täisnurgaga tipus B ja hüpotenuusis AC, mis, nagu me planimeetriast teame, on pikem kui mõlemad jalad, st. ja risti AB ning projektsiooni BC.

Punktist A tasapinnale pi tõmmatakse risti AB ja kaks kaldu AC ja AD.

Ortogonaalprojektsiooni omadused

kolmnurgad

ABC ja ABD

võrdne pikkuse ja hüpotenuusiga.

Tõestame nüüd teist väidet, nimelt: võrdsetel kaldudel on võrdsed ristprojektsioonid ja vastupidi, võrdse projektsiooniga kaldustel on samuti võrdsed.

Vaatleme täisnurkseid kolmnurki ABC ja ABD. Nad

on ühine jalg AB. Kui kaldus AC ja AD on võrdsed, siis on täisnurksed kolmnurgad ABC ja ABD jalal ja hüpotenuusil võrdsed ning siis BC=BD. Ja vastupidi, kui projektsioonid BC ja BD on võrdsed, siis on samad kolmnurgad võrdsed kahes harus ja siis on võrdsed ka nende hüpotenuusid AC ja AD. päike< BD, как мы только что доказали,АС < AD, что опять противоречит условию.

Jääb kolmas võimalus: BC > BD. Teoreem on tõestatud.

Kui BC on suurem kui BD,

siis AC on suurem kui külg

AE on võrdne AD-ga.

KOLMNURGAD.

§ 31. RISTI JA KALDU SIRG.

1. Lõigu projektsioon sirgele.

Kui läbi mõne punkti, mis on võetud väljaspool joont, tõmmata joon, mis on sellega risti, nimetatakse lõiku sellest punktist joonele lühiduse huvides üheks sõnaks risti.

Lõik CO on joonega AB risti. Punkti O nimetatakse risti alus CO (dev. 168).

Kui läbi antud punkti tõmmatud sirge lõikab teist sirget, kuid ei ole sellega risti, siis nimetatakse selle lõiku antud punktist lõikepunktini teise sirgega. kaldus sellele reale.

Lõik BC on kallutatud sirgjoonele AO. Punkti C nimetatakse alus kaldu (joonis 169).

Kui mingi lõigu otstest suvalisele sirgele perpendikulaarid langetada, siis ristlõike aluste vahele jäävat lõiku nn. segmendi projektsioon sellele reale.

Segment A"B" – lõigu AB projektsioon EC-le. Segment OM" – seda nimetatakse ka segmendi OM projektsiooniks EL-ile.

Lõigu KR projektsioon, mis on risti EL-iga, on punkt K "(joonis 170).

2. Risti ja kaldu omadused.

1. teoreem. Mingist punktist sirgele tõmmatud risti on väiksem kui mis tahes samast punktist sellele sirgele tõmmatud kaldus.

Lõik AC (joonis 171) on risti sirgjoonega OB ja AM on üks kaldjoontest, mis on tõmmatud punktist A sirgele OB. On vaja tõestada, et AM > AC.

IN /\ MAC segment AM on hüpotenuus ja hüpotenuus on suurem kui selle kolmnurga kõik jalad (§ 30). Seetõttu AM > AC. Kuna võtsime kald-AM-i meelevaldselt, võib väita, et iga sirge kaldjoon on suurem kui selle sirge rist (ja rist on lühem kui mis tahes kaldjoon), kui need tõmmatakse sellele samast punktist.

Õige on ka vastupidine väide, nimelt: kui lõik AC (joonis 171) on väiksem kui ükski teine ​​lõik, mis ühendab punkti AC sirge OB mis tahes punktiga, siis on see OB-ga risti. Tõepoolest, lõiku AC ei saa kallutada OB suunas, kuna siis ei oleks see punkti A ja sirge OB punktidega ühendavatest lõikudest lühim. See tähendab, et see saab olla ainult OB-ga risti.

Antud punktist sirgele langetatud risti pikkus loetakse kauguseks antud punktist selle sirgeni.

2. teoreem. Kui kaks samast punktist sirgele tõmmatud kaldjoont on võrdsed, siis on ka nende projektsioonid võrdsed.

Olgu BA ja BC kaldjooned, mis on tõmmatud punktist B sirgele AC (joonis 172), pealegi AB = BC. Peame tõestama, et ka nende prognoosid on võrdsed.

Selle tõestamiseks langetagem punktist B risti BO punktiga AC. Siis on AO ja OS kaldus AB ja BC projektsioonid sirgele AC. Kolmnurk ABC on teoreemi hüpoteesi kohaselt võrdhaarne. VO on selle kolmnurga kõrgus. Kuid kõrgus võrdhaarses kolmnurgas, mis on tõmmatud alusele, on samal ajal selle kolmnurga mediaan (§ 18).

Seetõttu AO = OS.

3. teoreem(tagurpidi). Kui kahel samast punktist sirgele tõmmatud kaldjoonel on võrdsed projektsioonid, siis on need üksteisega võrdsed.

Olgu AC ja CB kallutatud sirgele AB (joonis 173). CO_|_ AB ja AO = OB.

Peame tõestama, et AC = BC.

Täisnurksetes kolmnurkades AOC ja BOS on AO ja OB jalad võrdsed. CO on nende kolmnurkade ühine jalg. Seega /\ AOC = /\ WOS. Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et AC = BC.

4. teoreem. Kui samast punktist sirgele tõmmata kaks kaldjoont, siis on suurem see, millel on suurim projektsioon sellele sirgele.

Olgu AB ja BC sirge AO suhtes kaldu; VO_|_AO ja AO>CO. On vaja tõestada, et AB > BC.

1) Kaldus asuvad risti ühel küljel.

Nurk ACE on täisnurkse kolmnurga COB suhtes väline (joonis 174) ja seetõttu / DIA > / ÖÖKULL, st ta on loll. Sellest järeldub, et AB > CB.

2) Kaldus asuvad mõlemal pool risti. Selle tõestamiseks jätame punktist O kõrvale lõigu OK = OS AO-l ja ühendame punkt K punktiga B (joonis 175). Siis saame teoreemi 3 järgi: VC = BC, aga AB > VC, seega AB > BC, st teoreem kehtib ka sel juhul.

5. teoreem(tagurpidi). Kui samast punktist sirgele tõmmata kaks kaldjoont, siis on ka suurel kaldjoonel sellele sirgele suur projektsioon.

Olgu KS ja BC sirgele kaldu KV (joonis 176), CO_|_KV ja KS > BC. On vaja tõestada, et KO > OB.

Segmentide KO ja OB vahel võib olla ainult üks kolmest suhtest:

1) KO< ОВ,
2) KO \u003d OV,
3) KO > OV.

KO ei saa olla väiksem kui OB, kuna siis oleks 4. teoreemi kohaselt kaldus CS väiksem kui kaldus BC ja see on vastuolus teoreemi tingimusega.

Samamoodi ei saa KO võrduda OB-ga, kuna antud juhul on teoreemi 3 järgi KS = BC, mis on samuti vastuolus teoreemi tingimusega.

Seetõttu jääb tõeseks ainult viimane seos, nimelt see
KO > OV.

Ühest punktist väljuvate kaldjoonte omadused. 1. Perpendikulaar on alati lühem kui kaldu, kui need on tõmmatud samast punktist. 2. Kui kalded on võrdsed, siis on nende projektsioonid võrdsed ja vastupidi. 3. Suurem kalle vastab suuremale projektsioonile ja vastupidi.

Geomeetria 10. klass

"Rööpküliku ülesanded" - geomeetria. Täpid. Rööpküliku kõrgus. Ruut. Tõestus. Ringi puutuja. Rööpküliku tunnused. Rööpküliku ümbermõõt. Ring. osa. Keskmine joon. Ringikeskused. Nurgad. Parallelogramm. Leidke rööpküliku pindala. Kaks ringi. Parallelogrammi omadused. Terav nurk. Rööpküliku pindala. Paralleelogrammi diagonaalid. Diagonaal. Nelinurk. Kolmnurgad.

"Lõigete ehitamise meetodid" - Lõikude ehitamise oskuste ja vilumuste kujundamine. Vaatleme nelja rööptahuka lõikude konstrueerimise juhtumit. Koostage tetraeedri lõigud. Sisekujunduse meetod. Töötage ketastega. Rööptahukal on kuus tahku. lõiketasand. Mitmetahuliste sektsioonide ehitamine. Jälg on lõiketasandi ja hulktahuka mis tahes tahu tasapinna lõikejoon. jälitusmeetod. Memo.

""Tavalised hulktahukad" 10. klass" - ennustatud tulemus. Tetraeeder, mis on ümbritsetud Marsi orbiidi sfääri lähedal. Keskpunkt O, telg a ja tasapind. Hulktahuka servad. Radiolaaria. Sisu. Regulaarne hulktahukas. Regulaarsed hulktahukad Platoni filosoofilises maailmapildis. Feodariya. Looduses leidub korrapäraseid hulktahukaid. Tundide ajal. Punkti (joont, tasapinda) nimetatakse keskpunktiks (teljeks, tasapinnaks). Milline järgmistest geomeetrilistest kehadest ei ole tavaline hulktahukas.

"Dihedraalnurkade määramine" - punkt K eemaldatakse mõlemalt küljelt. Punktid M ja K asuvad erinevatel nägudel. kraadi mõõt nurk. kolmnurkse nurga omadus. Märkused probleemide lahendamise kohta. Punkt M asub 30-ga võrdse kahetahulise nurga ühes tahkes. Lineaarnurga konstrueerimine. Joonistage risti. Antud tasapinnal tõmmatud sirge. Püramiidide kahetahulised nurgad. Probleemi lahendamine. Punkt K. See püramiid. Punkt serval võib olla suvaline.

"Meetodid hulktahukate lõikude konstrueerimiseks" - mis tahes tasapind. Kunstnikud. Geomeetria seadused. Blitzi küsitlus. Tasapinna ja hulktahuka vastastikune paigutus. Konstrueerige hulktahukas lõik. Hulknurgad. aksiomaatiline meetod. Ülesanded. Laev. Ülesanne. Aksioomid. Polüheedri sektsioonide ehitamine. Läbilõiked erinevate tasandite järgi. Vana-Hiina vanasõna. Iseseisev töö. Diagonaalsed lõigud. Omandatud teadmiste kinnistamine. lõiketasand.

"Võrdkülgsed hulknurgad" – kuuseeder (kuubik) Kuubik koosneb kuuest ruudust. Oktaeedr Oktaeedr koosneb kaheksast võrdkülgsed kolmnurgad. Tetraeedril on 4 tahku, 4 tippu ja 6 serva. Tavalisi hulktahukaid on 5 tüüpi. Regulaarsed hulknurgad. Dodekaeedril on 12 tahku, 20 tippu ja 30 serva. Ikosaeedril on 20 tahku, 12 tippu ja 30 serva. Seega on kuubil 6 tahku, 8 tippu ja 12 serva. Tetraeeder Tetraeeder koosneb neljast võrdkülgsest kolmnurgast.

Teoreem . Kui ühest punktist väljaspool tasapinda tõmmatakse risti ja kaldjoon, siis:

1) kaldus, millel on võrdsed projektsioonid, on võrdsed;

2) kahest kaldest on suurem see, mille projektsioon on suurem;

3) võrdsetel kaldudel on võrdsed projektsioonid;

4) kahest projektsioonist on suuremale kaldele vastav suurem.

Kolme risti teoreem . Selleks, et tasapinnal asetsev sirge oleks kaldjoonega risti, on vajalik ja piisav, et see sirge oleks risti kaldjoone projektsiooniga (joon. 12.3).

Teoreem hulknurga tasapinnale ortogonaalprojektsiooni ala kohta. Hulknurga ristprojektsiooni pindala tasapinnale on võrdne hulknurga pindala ja hulknurga tasapinna ja projektsioonitasandi vahelise nurga koosinuse korrutisega.

Näide 1. Läbi antud punkti tõmmake antud tasapinnaga paralleelne sirge.

Lahendus. Analüüs. Oletame, et joon on konstrueeritud (joon. 12.4). Sirg on paralleelne tasapinnaga, kui ta on paralleelne mõne tasapinnas asuva sirgega (sirge ja tasandi paralleelsuse kriteeriumi järgi). Kaks paralleelset sirget asuvad samal tasapinnal. See tähendab, et konstrueerides antud punkti läbiva tasapinna ja antud tasapinnal suvalise sirge, on võimalik konstrueerida paralleeljoon.

Ehitus.

1. Lennukis  tõmmake sirgjoon A.

3. Tasapinnas  läbi punkti A tõmbame sirge b, paralleelselt joonega A.

4. Ehitas sirge b, tasapinnaga paralleelne  .

Tõestus. Sirge ja tasapinna paralleelsuse alusel sirge b paralleelselt tasapinnaga  , kuna see on joonega paralleelne A lennukile kuuluv  .

Uuring. Probleemil on alates joonest lõpmatu arv lahendusi A lennukis  valitakse meelevaldselt.

Näide 2 Määrake, kui kaugel on punkt tasapinnast A kui sirge AB lõikub tasapinnaga 45º nurga all, kaugus punktist A asja juurde IN, mis kuulub tasapinnale, on võrdne
cm.

Lahendus. Teeme joonise (joonis 12.5):

AC- tasapinnaga risti  , AB- kaldus, nurk ABC- nurk joone vahel AB ja lennuk  . Kolmnurk ABC- ristkülikukujuline,
sest AC- risti. Soovitud kaugus punktist A lennukisse - see on jalg AC täisnurkne kolmnurk. Nurka tundmine
ja hüpotenuus
leida jalg AC:

Vastuseks saame :ac= 3 cm

Näide 3 Määrake, kui kaugel võrdhaarse kolmnurga tasapinnast on kolmnurga igast tipust 13 cm kaugusel asuv punkt, kui kolmnurga alus ja kõrgus on kumbki 8 cm.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 12.6). Punkt S punktidest eemal A, IN Ja KOOS samale kaugusele. Nii kaldu SA, SB Ja SC võrdne, NII- nende kalde ühisristi. Kald- ja projektsiooniteoreemi järgi AO = BO = CO.

Punkt KOHTA- kolmnurka ümbritseva ringi keskpunkt ABC. Leiame selle raadiuse:

Kus päike- alus; AD on antud võrdhaarse kolmnurga kõrgus.

Kolmnurga külgede leidmine ABC täisnurksest kolmnurgast ABD Pythagorase teoreemi järgi:

Nüüd leiame OV:

Kaaluge kolmnurka SOB:
SB= 13 cm, OV\u003d 5 cm Leidke risti pikkus NII Pythagorase teoreemi järgi:

Vastuseks saame: NII= 12 cm.

Näide 4 On antud paralleelsed tasapinnad  Ja  . Läbi punkti M, mis ei kuulu ühegi neist, tõmmatakse sirgjooned A Ja b mis ristuvad tasapinnaga  punktides A 1 ja IN 1 ja lennuk  - punktides A 2 ja IN 2. Otsi A 1 IN 1, kui see on teada MA 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 IN 2 = 25 cm.

Lahendus. Kuna tingimus ei ütle, kuidas punkt mõlema tasandi suhtes asub M, siis on võimalikud kaks võimalust: (joon. 12.7, a, b). Vaatleme igaüks neist. Kaks ristuvat joont A Ja b määratleda tasapind. See tasand lõikab kahte paralleelset tasandit  Ja  mööda paralleelseid jooni A 1 IN 1 ja A 2 IN 2 teoreemi 5 järgi paralleelsetel sirgel ja paralleeltasandil.

kolmnurgad MA 1 IN 1 ja MA 2 IN 2 on sarnased (nurgad A 2 MV 2 ja A 1 MV 1 - vertikaalne, nurgad MA 1 IN 1 ja MA 2 IN 2 - sisemine rist, mis asub paralleelsete joontega A 1 IN 1 ja A 2 IN 2 ja sekant A 1 A 2). Kolmnurkade sarnasusest tuleneb külgede proportsionaalsus:

Siit

Valik a):

Variant b):

Saame vastuse: 10 cm ja 50 cm.

Näide 5 Läbi punkti A lennuk  otsene AB moodustades tasapinnaga nurga  . Läbi sirgjoone AB lennuk joonistatud  , moodustades tasapinnaga  nurk  . Leidke sirge projektsiooni vaheline nurk AB lennukile  ja lennuk  .

Lahendus. Teeme joonise (joon. 12.8). Ühest punktist IN kukutage tasapinnaga risti  .
Tasapindadevaheline lineaarne kahetahuline nurk  Ja  on nurk
Otse ADDBC, sirge ja tasandi risti olemise alusel, kuna
Ja
Tasapindade perpendikulaarsuse alusel tasapind  risti kolmnurga tasapinnaga DBC, kuna see läbib joont AD. Ehitame soovitud nurga, kukutades risti punktist KOOS lennukile  , tähistame seda
Leidke täisnurkse kolmnurga selle nurga siinus MINA ISE. Tutvustame abisegmenti päike = a. Kolmnurgast ABC:
Kolmnurgast Merevägi (


) leida.

Risti ja kaldu

Teoreem. Kui ühest punktist väljaspool tasapinda tõmmatakse risti ja kaldjoon, siis:

1) kaldus, millel on võrdsed projektsioonid, on võrdsed;

2) kahest kaldest on suurem see, mille projektsioon on suurem;

3) võrdsetel kaldudel on võrdsed projektsioonid;

4) kahest projektsioonist on suuremale kaldele vastav suurem.

Kolme risti teoreem. Selleks, et tasapinnal asetsev sirge oleks kaldjoonega risti, on vajalik ja piisav, et see sirge oleks risti kaldjoone projektsiooniga (joonis 3).

Teoreem hulknurga tasapinnale ortogonaalprojektsiooni ala kohta. Hulknurga ristprojektsiooni pindala tasapinnale on võrdne hulknurga pindala ja hulknurga tasapinna ja projektsioonitasandi vahelise nurga koosinuse korrutisega.

Ehitus.

1. Lennukis a tõmmake sirgjoon A.

3. Tasapinnas b läbi punkti A tõmbame sirge b, paralleelselt joonega A.

4. Ehitas sirge b paralleelselt tasapinnaga a.

Tõestus. Sirge ja tasapinna paralleelsuse alusel sirge b paralleelselt tasapinnaga a, kuna see on joonega paralleelne A lennukile kuuluv a.

Uuring. Probleemil on alates joonest lõpmatu arv lahendusi A lennukis a valitakse meelevaldselt.

Näide 2 Määrake, kui kaugel on punkt tasapinnast A kui sirge AB lõikub tasapinnaga 45º nurga all, kaugus punktist A asja juurde IN, mis kuulub tasapinnale, on võrdne cm?

Lahendus. Teeme joonise (joon. 5):

AC- tasapinnaga risti a, AB- kaldus, nurk ABC- nurk joone vahel AB ja lennuk a. Kolmnurk ABC- ristkülikukujuline as AC- risti. Soovitud kaugus punktist A lennukisse - see on jalg AC täisnurkne kolmnurk. Teades nurka ja hüpotenuusi cm, leiame jala AC:

Vastus: 3 cm

Näide 3 Määrake, kui kaugel võrdhaarse kolmnurga tasapinnast on kolmnurga igast tipust 13 cm kaugusel asuv punkt, kui kolmnurga alus ja kõrgus on kumbki 8 cm?

Lahendus. Teeme joonise (joon. 6). Punkt S punktidest eemal A, IN Ja KOOS samale kaugusele. Nii kaldu SA, SB Ja SC võrdne, NII- nende kalde ühisristi. Kald- ja projektsiooniteoreemi järgi AO = BO = CO.

Punkt KOHTA- kolmnurga ümber piiratud ringi keskpunkt ABC. Leiame selle raadiuse:

Kus päike- alus;

AD on antud võrdhaarse kolmnurga kõrgus.

Kolmnurga külgede leidmine ABC täisnurksest kolmnurgast ABD Pythagorase teoreemi järgi:

Nüüd leiame OV:

Kaaluge kolmnurka SOB: SB= 13 cm, OV= = 5 cm Leia risti pikkus NII Pythagorase teoreemi järgi:

Vastus: 12 cm

Näide 4 Antud paralleelsed tasapinnad a Ja b. Läbi punkti M, mis ei kuulu ühegi neist, tõmmatakse sirgjooned A Ja b, mis rist a punktides A 1 ja IN 1 ja lennuk b- punktides A 2 ja IN 2. Otsi A 1 IN 1, kui see on teada MA 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 IN 2 = 25 cm.

Lahendus. Kuna tingimus ei ütle, kuidas punkt mõlema tasandi suhtes asub M, siis on võimalikud kaks võimalust: (joon. 7, a) ja (joon. 7, b). Vaatleme igaüks neist. Kaks ristuvat joont A Ja b määratleda tasapind. See tasand lõikab kahte paralleelset tasandit a Ja b mööda paralleelseid jooni A 1 IN 1 ja A 2 IN 2 teoreemi 5 järgi paralleelsetel sirgel ja paralleeltasandil.

kolmnurgad MA 1 IN 1 ja MA 2 IN 2 on sarnased (nurgad A 2 MV 2 ja A 1 MV 1 - vertikaalne, nurgad MA 1 IN 1 ja MA 2 IN 2 - sisemine rist, mis asub paralleelsete joontega A 1 IN 1 ja A 2 IN 2 ja sekant A 1 A 2). Kolmnurkade sarnasusest tuleneb külgede proportsionaalsus:

Siit

Valik a):

Variant b):

Vastus: 10 cm ja 50 cm.

Näide 5 Läbi punkti A lennuk g otsene AB moodustades tasapinnaga nurga a. Läbi sirgjoone AB lennuk joonistatud r, moodustades tasapinnaga g nurk b. Leidke sirge projektsiooni vaheline nurk AB lennukile g ja lennuk r.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 8). Ühest punktist IN kukutage tasapinnaga risti g. Tasapindadevaheline lineaarne kahetahuline nurk g Ja r on nurk AD DBC, sirge ja tasandi ristuvuse alusel, kuna ja Tasapindade perpendikulaarsuse alusel tasapind r risti kolmnurga tasapinnaga DBC, kuna see läbib joont AD. Ehitame soovitud nurga, kukutades risti punktist KOOS lennukile r, tähistage seda Leia täisnurkse kolmnurga selle nurga siinus MINA ISE. Tutvustame abisegmenti a = päike. Kolmnurgast ABC: Kolmnurgast Merevägi leida