Selles artiklis loome seose nurga mõõtmise põhiühikute – kraadide ja radiaanide – vahel. See ühendus võimaldab meil lõpuks teostada kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi. Et need protsessid raskusi ei tekitaks, saame kraadide radiaanideks teisendamise valemi ja radiaanidest kraadideks teisendamise valemi, misjärel analüüsime üksikasjalikult näidete lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Seos kraadide ja radiaanide vahel

Seos kraadide ja radiaanide vahel tekib siis, kui on teada nii nurga kraad kui radiaanmõõt (nurga kraad ja radiaanmõõt leiate jaotisest).

Võtke kesknurk, mis põhineb ringi läbimõõdul raadiusega r. Selle nurga mõõtme saame arvutada radiaanides: selleks peame kaare pikkuse jagama ringi raadiuse pikkusega. See nurk vastab kaare pikkusele, mis on võrdne poolega ümbermõõt, see on, . Jagades selle pikkuse raadiuse r pikkusega, saame võetud nurga radiaanimõõdu. Nii et meie nurk on rad. Teisest küljest on see nurk laienenud, see on 180 kraadi. Seetõttu on pi radiaan 180 kraadi.

Niisiis, seda väljendatakse valemiga π radiaanid = 180 kraadi, see on, .

Valemid kraadide radiaanideks ja radiaanide kraadideks teisendamiseks

Vormi võrdsusest, mille saime eelmises lõigus, on seda lihtne tuletada valemid radiaanide kraadideks ja kraadide radiaanideks teisendamiseks.

Jagades võrrandi mõlemad pooled pi-ga, saame ühe radiaani kraadides väljendava valemi: . See valem tähendab, et ühe radiaani nurga mõõt on 180/π. Kui vahetame võrdsuse vasaku ja parema osa, jagame mõlemad osad 180-ga, saame vormi valemi . See väljendab ühte kraadi radiaanides.

Oma uudishimu rahuldamiseks arvutame ühe radiaani nurga ligikaudse väärtuse kraadides ja ühe kraadise nurga väärtuse radiaanides. Selleks võtke arvu pi väärtus kümne tuhandiku täpsusega, asendage see valemitega ja ja tehke arvutused. Meil on ja . Seega on üks radiaan ligikaudu 57 kraadi ja üks kraad on 0,0175 radiaani.

Lõpuks saadud suhetest ja liigume edasi radiaanide kraadideks ja vastupidi teisendamise valemite juurde ning vaatleme ka näiteid nende valemite rakendamisest.

Radiaanide kraadideks teisendamise valem tundub, et: . Seega, kui nurga väärtus radiaanides on teada, siis korrutades selle 180-ga ja jagades pi-ga, saame selle nurga väärtuse kraadides.

Näide.

Antud nurk on 3,2 radiaani. Mis on selle nurga mõõt kraadides?

Lahendus.

Radiaanidest kraadideks teisendamiseks kasutame valemit, meil on

Vastus:

.

Valem kraadide teisendamiseks radiaanideks on vorm . See tähendab, et kui nurga väärtus kraadides on teada, siis korrutades selle pi-ga ja jagades 180-ga, saame selle nurga väärtuse radiaanides. Vaatleme näidislahendust.

Vaatame pilti. Vektor \(AB \) "pöördus" punkti \(A \) suhtes teatud summa võrra. Seega on selle pöörde mõõt algpositsiooni suhtes nurk \(\alpha \).

Mida veel peate nurga mõiste kohta teadma? Noh, muidugi nurgaühikud!

Nurka, nii geomeetrias kui ka trigonomeetrias, saab mõõta kraadides ja radiaanides.

Nurk \(1()^\circ \) (üks kraad) on ringjoone kesknurk, mis põhineb ringkaarel, mis võrdub ringi \(\dfrac(1)(360) \) osaga.

Seega koosneb kogu ring \(360 \) ringikaare "tükist" või ringiga kirjeldatud nurk on \(360()^\circ \) .

See tähendab, et ülaltoodud joonisel on nurk \(\beta \) võrdne \(50()^\circ \) , see tähendab, et see nurk põhineb ringkaarel suurusega \(\dfrac(50)(360) ) \) ümbermõõdust.

Nurk \(1 \) radiaanides on ringjoone kesknurk, mis põhineb ringkaarel, mille pikkus võrdub ringi raadiusega.

Seega on joonisel nurk \(\gamma \) võrdne \(1 \) radiaaniga, see tähendab, et see nurk põhineb ringkaarel, mille pikkus võrdub ringi raadiusega (pikkus \ (AB \) on võrdne pikkusega \(BB" \) või raadiusega \(r\) pikkusega võrdne kaared \(l \) ). Seega arvutatakse kaare pikkus järgmise valemiga:

\(l=\theta \cdot r \) , kus \(\theta \) on kesknurk radiaanides.

Noh, kas saate seda teades vastata, mitu radiaani sisaldab ringiga kirjeldatud nurka? Jah, selleks peate meeles pidama ringi ümbermõõdu valemit. Seal ta on:

\(L=2\pi \cdot r\)

Noh, nüüd korreleerime need kaks valemit ja saame, et ringiga kirjeldatud nurk on \(2\pi \) . See tähendab, et korreleerides väärtust kraadides ja radiaanides, saame, et \(2\pi =360()^\circ \) . Vastavalt sellele \(\pi =180()^\circ \) . Nagu näete, on erinevalt "kraadidest" sõna "radiaan" välja jäetud, kuna mõõtühik on tavaliselt kontekstist selge.

Nurki mõõdetakse kraadides või radiaanides. Oluline on mõista nende mõõtühikute vahelist seost. Selle seose mõistmine võimaldab teil opereerida nurkadega ja teha üleminekut kraadidelt radiaanidele ja vastupidi. Selles artiklis tuletame valemi kraadide radiaanideks ja radiaanide kraadideks teisendamiseks, samuti analüüsime mõnda praktikast saadud näidet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Seos kraadide ja radiaanide vahel

Kraadide ja radiaanide vahelise seose loomiseks peate teadma nurga kraadi ja radiaani mõõtu. Näiteks võtame kesknurga, mis tugineb ringi läbimõõdule raadiusega r. Selle nurga radiaani mõõtmiseks peate jagama kaare pikkuse ringi raadiuse pikkusega. Vaadeldav nurk vastab kaare pikkusele, mis võrdub poolega ringi pikkusest π · r . Jagage kaare pikkus raadiusega ja saage nurga radiaanmõõt: π · r r = π rad.

Seega on kõnealune nurk π radiaani. Teisest küljest on see sirge nurk, mis on võrdne 180 °. Seega 180° = π rad.

Kraadide suhe radiaanidesse

Radiaanide ja kraadide suhet väljendatakse valemiga

π radiaanid = 180°

Valemid radiaanide teisendamiseks kraadideks ja vastupidi

Ülaltoodud valemist saab tuletada teisi valemeid nurkade teisendamiseks radiaanidest kraadideks ja kraadidest radiaanideks.

Avaldage üks radiaan kraadides. Selleks jagame raadiuse vasaku ja parema osa pi-ga.

1 rad \u003d 180 π ° - nurga aste 1 radiaanis on 180 π.

Üht kraadi saab väljendada ka radiaanides.

1 ° = π 180 r a d

Saate teha ligikaudseid arvutusi nurga väärtustest radiaanides ja vastupidi. Selleks võtame arvu π väärtused kuni kümne tuhandikuni ja asendame need saadud valemitega.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Seega on ühes radiaanis umbes 57 kraadi.

1 ° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

Üks kraad sisaldab 0,0175 radiaani.

Radiaanide kraadideks teisendamise valem

x ra d = x 180 π °

Nurga radiaanidest kraadideks teisendamiseks korrutage nurk radiaanides 180-ga ja jagage pi-ga.

Näited kraadide teisendamiseks radiaanideks ja radiaanide kraadideks teisendamiseks

Kaaluge näidet.

Näide 1: Radiaanidest kraadideks teisendamine

Olgu α = 3 , 2 rad. Peate teadma selle nurga kraadimõõtu.

Nurga kraadimõõt. Nurga radiaanmõõt. Teisendage kraadid radiaanideks ja vastupidi.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Eelmises tunnis õppisime trigonomeetrilisel ringil nurkade lugemist. Õppis positiivseid ja negatiivseid nurki lugema. Sai aru, kuidas joonistada nurka, mis on suurem kui 360 kraadi. On aeg tegeleda nurkade mõõtmisega. Eriti numbriga "Pi", mis püüab meid keerulistes ülesannetes segadusse ajada, jah ...

Trigonomeetria standardülesanded numbriga "Pi" lahendatakse üsna hästi. Visuaalne mälu aitab. Kuid iga kõrvalekaldumine mallist - lööb kohapeal maha! Et mitte kukkuda - aru saada vajalik. Mida me nüüd edukalt teeme. Mõnes mõttes – me saame kõigest aru!

Niisiis, mida kas nurgad loevad? Trigonomeetria koolikursuses kasutatakse kahte mõõdikut: nurga mõõt ja nurga radiaanmõõt. Vaatame neid meetmeid. Ilma selleta pole trigonomeetrias mitte kusagil.

Nurga kraadimõõt.

Oleme kraadidega kuidagi harjunud. Geomeetria läbis vähemalt ... Jah, ja elus kohtame sageli näiteks fraasi "pööratud 180 kraadi". Kraad, lühidalt, lihtne asi ...

Jah? Vasta mulle siis mis on kraad? Mis kohe ei tööta? Midagi...

Kraadid leiutati iidses Babülonis. See oli kaua aega tagasi ... 40 sajandit tagasi ... Ja nad lihtsalt mõtlesid selle välja. Nad võtsid ja murdsid ringi 360-ks võrdsetes osades. 1 kraad on 1/360 ringist. Ja see ongi kõik. Saab jagada 100 tükiks. Või 1000 võrra. Aga nad murdsid selle 360 ​​peale. Muide, miks just 360 võrra? Miks on 360 parem kui 100? 100 tundub kuidagi ühtlasem olevat... Proovi sellele küsimusele vastata. Või nõrk Vana-Babüloni vastu?

Kuskil samal ajal Iidne Egiptus piinab teine ​​probleem. Mitu korda on ringi ümbermõõt suurem selle läbimõõdu pikkusest? Ja nii nad mõõtsid, ja nii ... Kõik osutus natuke rohkem kui kolm. Kuid kuidagi sai see karvas, ebaühtlane ... Aga nemad, egiptlased, pole selles süüdi. Pärast neid kannatasid nad veel 35 sajandit. Kuni nad lõpuks tõestasid, et ükskõik kui peeneks lõigatud ring võrdseteks tükkideks, sellistest tükkidest teha sile läbimõõdu pikkus on võimatu ... Põhimõtteliselt on see võimatu. Noh, mitu korda on ümbermõõt muidugi suurem kui läbimõõt. Umbes. 3,1415926... korda.

See on number "Pi". See on karvas, nii karvas. Pärast koma – lõpmatu arv numbreid ilma igasuguse järjekorrata... Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks. See, muide, tähendab, et ringi võrdsetest tükkidest läbimõõt sileära voldi. Mitte kunagi.

Sest praktilise rakendamise Tavapäraselt jäetakse meelde ainult kaks kohta pärast koma. Pidage meeles:

Kuna oleme aru saanud, et ringi ümbermõõt on "Pi" korda suurem kui läbimõõt, on mõttekas meeles pidada ringi ümbermõõdu valem:

Kus L on ümbermõõt ja d on selle läbimõõt.

Kasulik geomeetrias.

Sest Üldharidus Lisan, et arv "Pi" ei istu mitte ainult geomeetrias ... Matemaatika kõige erinevamates osades ja eriti tõenäosusteoorias ilmub see arv pidevalt! Iseenesest. Väljaspool meie soove. Nagu nii.

Aga tagasi kraadide juurde. Kas olete aru saanud, miks muistses Babülonis jagati ring 360 võrdseks osaks? Aga mitte näiteks 100? Mitte? OKEI. Ma annan teile versiooni. Vanababüloonlaste käest ei saa ju küsida... Ehituse või, ütleme, astronoomia jaoks on mugav ring jagada võrdseteks osadeks. Nüüd mõelge välja, milliste arvudega jaguvad täielikult 100 ja millised - 360? Ja millises versioonis need jagajad täielikult- rohkem? See jaotus on inimestele väga mugav. Aga...

Nagu selgus palju hiljem kui Vana-Babülonis, ei meeldi kõigile kraadid. Kõrgemale matemaatikale need ei meeldi... Kõrgem matemaatika on tõsine daam, loodusseaduste järgi korraldatud. Ja see daam teatab: "Täna lõhkusite ringi 360 osaks, homme jagate selle 100 osaks, ülehomme 245 osaks ... Ja mida ma peaksin tegema? Ei tõesti ..." Ma pidin kuuletuma. Loodust lollitada ei saa...

Pidin kasutusele võtma nurga mõõtmise, mis ei sõltu inimeste arusaamadest. Saage tuttavaks - radiaan!

Nurga radiaanmõõt.

Mis on radiaan? Radiaani definitsioon põhineb nagunii ringil. 1 radiaani nurk on nurk, mis lõikab kaare ringist, mille pikkus on ( L) on võrdne raadiuse pikkusega ( R). Vaatame pilte.

Nii väike nurk, seda pole peaaegu üldse ... Liigutame kursori pildi kohale (või puudutame tahvelarvutis pilti) ja näeme umbes ühte radiaan. L=R

Kas tunnete erinevust?

Üks radiaan on palju suurem kui üks kraad. Kui mitu korda?

Vaatame järgmist pilti. Millele joonistasin poolringi. Laiendatud nurk on loomulikult 180 ° suurune.

Ja nüüd lõikan selle poolringi radiaanideks! Hõljutame kursorit pildi kohal ja näeme, et 3 radiaani koos sabaga mahub 180 °.

Kes oskab arvata, mis see hobusesaba on!?

Jah! See saba on 0,1415926... Tere Pi, me pole sind veel unustanud!

Tõepoolest, 180 kraadis on 3,1415926 ... radiaani. Nagu võite ette kujutada, on kogu aeg 3.1415926 kirjutamine... ebamugav. Seetõttu kirjutavad nad selle lõpmatu arvu asemel alati lihtsalt:

Ja siin on number Internetis

on ebamugav kirjutada ... Seetõttu kirjutan tekstis selle nime järgi - "Pi". Ärge sattuge segadusse...

Nüüd on üsna mõttekas kirjutada ligikaudne võrdsus:

Või täpne võrdsus:

Määrake, mitu kraadi on ühes radiaanis. Kuidas? Lihtsalt! Kui 3,14 radiaanis on 180 kraadi, siis 1 radiaan on 3,14 korda vähem! See tähendab, et jagame esimese võrrandi (valem on ka võrrand!) 3,14-ga:

Seda suhet on kasulik meeles pidada. Ühes radiaanis on ligikaudu 60°. Trigonomeetrias tuleb sageli välja mõelda, olukorda hinnata. Siin aitavad teadmised palju.

Kuid selle teema põhioskus on kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi.

Kui nurk on antud radiaanides numbriga "pi", on kõik väga lihtne. Teame, et "pi" radiaanid = 180°. Seega asendame "Pi" radiaanid - 180 °. Me saame nurga kraadides. Vähendame vähendatut ja vastus ongi valmis. Näiteks peame välja selgitama, kui palju kraadid nurgas "Pi"/2 radiaan? Siin me kirjutame:

Või eksootilisem väljend:

Lihtne, eks?

Pöördtõlge on veidi keerulisem. Aga mitte palju. Kui nurk on antud kraadides, peame välja selgitama, milline on üks kraad radiaanides, ja korrutama selle arvu kraadide arvuga. Mis on 1° radiaanides?

Vaatame valemit ja mõistame, et kui 180° = "Pi" radiaanid, siis 1° on 180 korda väiksem. Ehk siis jagame võrrandi (valem on ka võrrand!) 180-ga. "Pi" pole vaja esitada kui 3,14, see kirjutatakse niikuinii alati tähega. Saame, et üks kraad on võrdne:

See on kõik. Nurga radiaanides saamiseks korrutage kraadide arv selle väärtusega. Näiteks:

Või sarnaselt:

Nagu näete, selgus rahulikus vestluses lüüriliste kõrvalekalletega, et radiaanid on väga lihtsad. Jah, ja tõlge on probleemideta ... Ja "Pi" on täiesti talutav asi ... Kust siis segadus !?

Ma avaldan saladuse. Fakt on see, et trigonomeetrilistes funktsioonides kirjutatakse kraadide ikoon. On alati. Näiteks sin35°. See on siinus 35 kraadid . Ja radiaaniikoon ( rõõmus) pole kirjutatud! Ta on vihjatud. Kas haaras matemaatikute laiskus või midagi muud ... Kuid nad otsustasid mitte kirjutada. Kui siinuse sees pole ikoone - kotangent, siis nurk - radiaanides ! Näiteks cos3 on kolme koosinus radiaanid .

See toob kaasa arusaamatusi ... Inimene näeb "Pi" ja usub, et see on 180 °. Igal ajal ja igal pool. Muide, see töötab. Esialgu, samas kui näited on standardsed. Aga Pi on number! Arv 3,14 ei ole kraadid! See on "Pi" radiaanid = 180°!

Veel kord: "Pi" on arv! 3.14. Irratsionaalne, aga arv. Sama nagu 5 või 8. Näiteks võite teha umbes "Pi" samme. Kolm sammu ja natuke rohkem. Või osta "Pi" kilogrammi maiustusi. Kui haritud müüja vahele jääb...

"Pi" on arv! Mis, ma sain sulle selle fraasiga aru? Kas olete juba kõigest aru saanud? OKEI. Kontrollime. Kas oskate öelda, milline number on suurem?

Või mis on vähem?

See on veidi seeriast mittestandardsed küsimused, mis võib stuuporisse sõita ...

Kui ka sina jäid stuuporisse, pidage meeles loitsu: "Pi" on arv! 3.14. Esimeses siinuses on selgelt näidatud, et nurk - kraadides! Seetõttu on võimatu "Pi" asendada 180 ° võrra! "Pi" kraadi on umbes 3,14 kraadi. Seetõttu võime kirjutada:

Teises siinuses pole sümboleid. Nii et seal - radiaanid! Siin töötab "Pi" asendamine 180 ° -ga üsna hästi. Teisendades radiaanid kraadideks, nagu ülalpool kirjutatud, saame:

Jääb üle neid kahte siinust võrrelda. Mida. unustasid kuidas? Muidugi trigonomeetrilise ringi abil! Joonistame ringi, joonistame ligikaudsed nurgad 60° ja 1,05°. Vaatame nende nurkade siinusi. Ühesõnaga, kõik, nagu trigonomeetrilise ringi teema lõpus, on maalitud. Ringil (isegi kõveral!) on see selgelt näha sin60° oluliselt rohkem kui sin1,05°.

Täpselt sama teeme koosinustega. Ringile joonistame nurgad umbes 4 kraadid ja 4 radiaan(pidage meeles, mis on ligikaudu 1 radiaan?). Ring ütleb kõik! Muidugi on cos4 väiksem kui cos4°.

Harjutame nurgamõõtmiste käsitsemist.

Teisendage need nurgad kraadidest radiaanideks:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Need väärtused peaksid olema radiaanides (teises järjekorras!)

Muide, vastused olen spetsiaalselt kahele reale välja märkinud. Noh, mõtleme välja, millised nurgad on esimesel real? Kas kraadides või radiaanides?

Jah! Need on koordinaatsüsteemi teljed! Kui vaadata trigonomeetrilist ringi, siis nende väärtuste juures nurga liikuvat külge sobib otse teljele. Neid väärtusi tuleb irooniliselt teada. Ja ma märkisin nurga 0 kraadi (0 radiaani) mitte asjata. Ja siis mõned ei leia seda nurka ringil kuidagi üles ... Ja vastavalt sellele lähevad nad segadusse nulli trigonomeetrilistes funktsioonides ... Teine asi on see, et liikuva külje asukoht null kraadi juures ühtib positsiooniga 360 °, nii et kokkusattumused ringil on kogu aeg kõrval.

Teisel real on ka erinurgad... Need on 30°, 45° ja 60°. Ja mis on neis nii erilist? Ei midagi erilist. Ainus erinevus nende nurkade ja kõigi teiste vahel on see, et peaksite nende nurkade kohta teadma. kõik. Ja kus nad asuvad ja mis need nurgad on trigonomeetrilised funktsioonid. Ütleme väärtus sin100° sa ei pea teadma. AGA sin45°- palun olge lahke! Need on kohustuslikud teadmised, ilma milleta pole trigonomeetrias midagi peale hakata... Aga sellest lähemalt järgmises tunnis.

Seni jätkame harjutamist. Teisendage need nurgad radiaanidest kraadideks:

Peaksite saama sellised tulemused (segaduses):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Juhtus? Siis võime seda eeldada kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi- pole enam teie probleem.) Kuid nurkade tõlkimine on esimene samm trigonomeetria mõistmiseks. Samas kohas tuleb veel töötada siinuste-koosinustega. Jah, ja puutujatega, ka kotangentidega ...

Teine võimas samm on võime määrata mis tahes nurga asukohta trigonomeetrilisel ringil. Nii kraadides kui radiaanides. Selle oskuse kohta vihjan teile igavalt kogu trigonomeetrias, jah ...) Kui teate kõike (või arvate, et teate kõike) trigonomeetrilisest ringist ja nurkade loendamisest trigonomeetrilisel ringil, saate seda kontrollida välja. Lahendage need lihtsad ülesanded:

1. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Kergesti? Jätkame:

2. Millisesse veerandisse langevad nurgad:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Samuti pole probleemi? No vaata...)

3. Võite paigutada nurgad neljandikku:

Kas sa suutsid? Noh, sa annad ..)

4. Millistele telgedele nurk langeb:

ja nurk:

Kas see on ka lihtne? Hm...)

5. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

Ja see töötas!? No siis ma tõesti ei tea...)

6. Määrake, millisesse veerandisse nurgad langevad:

1, 2, 3 ja 20 radiaani.

Annan vastuse ainult viimase ülesande viimasele küsimusele (see on veidi keeruline). Esimesse kvartalisse langeb nurk 20 radiaani.

Ülejäänud vastuseid ma ahnusest ei anna.) Lihtsalt kui sa ei otsustanud midagi kahtlema selle tulemusena või kulutatud ülesandele nr 4 rohkem kui 10 sekundit oled ringis halvasti orienteeritud. See on teie probleem kogu trigonomeetrias. Parem on sellest (probleemist, mitte trigonomeetriast!) kohe lahti saada. Seda saab teha teemas: Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga lõigus 555.

See räägib, kuidas selliseid ülesandeid lihtsalt ja õigesti lahendada. No need ülesanded on muidugi lahendatud. Ja neljas ülesanne lahendati 10 sekundiga. Jah, nii otsustasin, et igaüks saab!

Kui olete oma vastustes täiesti kindel ja teid ei huvita lihtsad ja tõrgeteta radiaaniga töötamise viisid, ei saa te külastada numbrit 555. Ma ei nõua.)

Hea arusaam on piisavalt hea põhjus edasi liikuda!)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.