Õpilased, kes valmistuvad eksami sooritamine matemaatikas peaksite kindlasti õppima lahendama ülesandeid sirge ala leidmisel ja parem prisma. Paljude aastate praktika kinnitab tõsiasja, et paljud õpilased peavad selliseid geomeetria ülesandeid üsna raskeks.

Samas peaksid mistahes ettevalmistustasemega gümnasistid suutma leida tavalise ja otsese prisma pindala ja mahu. Ainult sel juhul saavad nad eksami sooritamise tulemuste põhjal loota võistluspunktide saamisele.

Peamised punktid, mida meeles pidada

• Kui prisma külgmised servad on alusega risti, nimetatakse seda sirgeks. Kõik selle joonise külgpinnad on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus langeb kokku selle servaga.
• Õige on prisma, mille külgmised servad on risti alusega, milles see asub. korrapärane hulknurk. Selle joonise külgpinnad on võrdsed ristkülikud. Õige prisma on alati sirge.

Ettevalmistus ühtseks riigieksamiks koos Shkolkovoga on teie edu võti!

Et tunnid oleksid lihtsad ja võimalikult tõhusad, valige meie matemaatikaportaal. Siin on esitatud kogu vajalik materjal et aidata teil sertifitseerimistestiks valmistuda.

Haridusprojekti "Shkolkovo" spetsialistid pakuvad võimalust minna lihtsast keeruliseks: esiteks anname teooria, põhivalemid, teoreemid ja elementaarsed probleemid koos lahendustega ning seejärel liigume järk-järgult edasi eksperditaseme ülesannete juurde.

Põhiteave on süstematiseeritud ja selgelt esitatud jaotises "Teoreetiline viide". Kui olete juba jõudnud vajaliku materjali üle korrata, soovitame harjutada ülesannete lahendamist sirge prisma pindala ja ruumala leidmisel. Jaotises "Kataloog" on esitatud suur valik erineva raskusastmega harjutused.

Proovige arvutada sirge ja korrapärase prisma pindala või kohe. Võtke mis tahes ülesanne lahti. Kui see raskusi ei valmistanud, võite julgelt edasi liikuda eksperttaseme harjutuste juurde. Ja kui teatud raskused siiski ilmnevad, soovitame teil regulaarselt eksamiks valmistuda veebis koos Shkolkovo matemaatikaportaaliga ja ülesanded teemal "Otsene ja tavaline prisma" on teile lihtsad.

Füüsikas kasutatakse spektri uurimiseks sageli klaasist kolmnurkset prismat valge valgus, sest see on võimeline selle eraldi komponentideks lagundama. Selles artiklis käsitleme mahu valemit

Mis on kolmnurkne prisma?

Enne mahuvalemi andmist kaaluge selle joonise omadusi.

Selle saamiseks peate võtma suvalise kujuga kolmnurga ja nihutama seda teatud kaugusel endaga paralleelselt. Kolmnurga tipud alg- ja lõppasendis peaksid olema ühendatud sirgete segmentidega. Saadud kolmemõõtmelist kujundit nimetatakse kolmnurkseks prismaks. Sellel on viis külge. Kahte neist nimetatakse alusteks: need on paralleelsed ja üksteisega võrdsed. Vaadeldava prisma alusteks on kolmnurgad. Ülejäänud kolm külge on rööpkülikukujulised.

Vaadeldavat prismat iseloomustavad lisaks külgedele kuus tippu (iga aluse kohta kolm) ja üheksa serva (6 serva asetsevad aluste tasapindades ja 3 serva moodustuvad külgede lõikumisel). Kui külgservad on alustega risti, siis nimetatakse sellist prismat ristkülikukujuliseks.

erinevus kolmnurkne prisma kõigist teistest selle klassi kujunditest seisneb selles, et ta on alati kumer (nelja, viie, ..., n-nurga prismad võivad olla ka nõgusad).

See on ristkülikukujuline kuju, mille põhjas asub Võrdkülgne kolmnurk.

Üldtüüpi kolmnurkse prisma ruumala

Kuidas leida kolmnurkse prisma ruumala? valem sisse üldine vaade sarnane mis tahes tüüpi prisma omaga. Sellel on järgmine matemaatiline tähistus:

Siin h on joonise kõrgus, see tähendab selle aluste vaheline kaugus, S o on kolmnurga pindala.

S o väärtuse saab leida, kui kolmnurga jaoks on teada mõned parameetrid, näiteks üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja üks nurk. Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kõrgusest ja selle külje pikkusest, millele see kõrgus on langetatud.

Mis puutub joonise kõrgusesse h, siis seda on kõige lihtsam leida ristkülikukujulise prisma puhul. Viimasel juhul langeb h kokku külgserva pikkusega.

Korrapärase kolmnurkse prisma ruumala

Üldvalem kolmnurkse prisma ruumala, mis on antud sisse eelmine jaotis artiklit saab kasutada tavalise kolmnurkse prisma vastava väärtuse arvutamiseks. Kuna selle alus on võrdkülgne kolmnurk, on selle pindala:

Selle valemi saab igaüks, kui ta mäletab, et võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on üksteisega võrdsed ja moodustavad 60 o. Siin on sümbol a kolmnurga külje pikkus.

Kõrgus h on serva pikkus. Sellel pole midagi pistmist tavalise prisma alusega ja see võib võtta suvalisi väärtusi. Selle tulemusena on kolmnurkse prisma ruumala valem õige tüüp näeb välja selline:

Pärast juure arvutamist saame selle valemi ümber kirjutada järgmiselt:

Seega on kolmnurkse alusega tavalise prisma ruumala leidmiseks vaja aluse külg ruudukujuliseks muuta, see väärtus korrutada kõrgusega ja saadud väärtus korrutada 0,433-ga.

OTSEPRISM. OTSEPRISMA PIND JA ruumala.

§ 68. OTSEPRISMA MAHT.

1. Sirge kolmnurkse prisma ruumala.

Olgu nõutud täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala leidmine, mille põhipind on võrdne S ja kõrgus on võrdne h= AA" = = BB" = SS" (joonis 306).

Joonestame eraldi prisma aluse ehk kolmnurga ABC (joon. 307, a) ja lõpetame selle ristkülikuks, mille jaoks tõmbame läbi tipu B sirge KM || AC ning punktidest A ja C langetame sellele sirgele ristid AF ja CE. Saame ACEF-i ristküliku. Joonistades kolmnurga ABC kõrguse BD, näeme, et ristkülik ACEF on jagatud 4-ks täisnurkne kolmnurk. Ja /\ KÕIK = /\ BCD ja /\ BAF = /\ HALB. See tähendab, et ristküliku ACEF pindala on kaks korda suurem kui kolmnurga ABC pindala, see tähendab, et see on võrdne 2S-ga.

Sellele prismale alusega ABC lisame prismad alustega ALL ja BAF ning kõrgusega h(Joonis 307, b). Saame alusega ristkülikukujulise rööptahuka
ACEF.

Kui lõikame seda rööptahukat tasapinnaga, mis läbib sirgeid BD ja BB", siis näeme, et ristkülikukujuline rööptahukas koosneb neljast alusega prismast
BCD, ALL, BAD ja BAF.

BCD ja ALL alustega prismasid saab kombineerida, kuna nende alused on võrdsed ( /\ BCD = /\ BCE) ja võrdsed ka nende külgmiste servadega, mis on ühe tasapinnaga risti. Seega on nende prismade mahud võrdsed. Samuti on võrdsed prismade mahud alustega BAD ja BAF.

Seega selgub, et antud kolmnurkse prisma ruumala koos alusega
ABC on pool ristkülikukujulise rööptahuka mahust, mille alus on ACEF.

Teame, et ristkülikukujulise rööptahuka ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega, st. sel juhul võrdub 2S-ga h. Seega on selle täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala võrdne S-ga h.

Täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

2. Helitugevus otse hulknurkne prisma.

Sirge hulknurkse, näiteks viisnurkse prisma ruumala leidmiseks aluspinnaga S ja kõrgusega h, murrame selle kolmnurkseteks prismadeks (joonis 308).

Tähistades kolmnurksete prismade aluspinda läbi S 1, S 2 ja S 3 ning selle hulknurkse prisma ruumala läbi V, saame:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, või
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Ja lõpuks: V = S h.

Samamoodi tuletatakse sirge prisma ruumala valem, mille põhjas on mis tahes hulknurk.

Tähendab, Mis tahes sirge prisma maht võrdub selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

Harjutused.

1. Arvutage sirge prisma ruumala, mille aluses on rööpkülik, kasutades järgmisi andmeid:

2. Arvutage sirge prisma ruumala, mille põhjas on kolmnurk, kasutades järgmisi andmeid:

3. Arvutage sirge prisma ruumala, mille põhjas on võrdkülgne kolmnurk, mille külg on 12 cm (32 cm, 40 cm). Prisma kõrgus 60 cm.

4. Arvutage sirge prisma ruumala, mille põhjas on täisnurkne kolmnurk, mille jalad on 12 cm ja 8 cm (16 cm ja 7 cm; 9 m ja 6 m). Prisma kõrgus on 0,3 m.

5. Arvutage sirge prisma ruumala, mille põhjas on trapets, mille paralleelsed küljed on 18 cm ja 14 cm ning kõrgus 7,5 cm. Prisma kõrgus on 40 cm.

6. Arvutage oma klassiruumi (võimla, oma ruumi) maht.

7. Kuubi üldpind on 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Arvutage selle kuubi maht.

8. Pikkus ehitustellised- 25,0 cm, laius - 12,0 cm, paksus - 6,5 cm a) Arvutage selle maht, b) Määrake selle kaal, kui 1 kuupsentimeetrit tellist kaalub 1,6 g.

9. Mitu tükki ehitustellistest on vaja tahke materjali ehitamiseks telliskivisein, millel on ristkülikukujuline rööptahukas, pikkusega 12 m, laiusega 0,6 m ja kõrgusega 10 m? (Telli mõõtmed harjutusest 8.)

10. Puhtalt lõigatud laua pikkus on 4,5 m, laius 35 cm, paksus 6 cm a) Arvuta maht b) Määrata selle kaal, kui plaadi kuupdetsimeeter kaalub 0,6 kg.

11. Mitu tonni heina võib panna kaetud heinaaeda viilkatus(joon. 309), kui heinaaluse pikkus on 12 m, laius 8 m, kõrgus 3,5 m ja katuseharja kõrgus 1,5 m? ( Erikaal võta heina kui 0,2.)

12. Nõutav on kaevata 0,8 km pikkune kraav; lõigus peaks kraav olema trapetsikujuline, mille alused on 0,9 m ja 0,4 m ning kraavi sügavus 0,5 m (joonis 310). Mitu kuupmeetrit maad tuleb välja võtta?

Eraldi joonistame prisma aluse ehk kolmnurga ABC (joon. 307, a) ja lõpetame selle ristkülikuks, mille jaoks tõmbame läbi tipu B sirge KM || AC ning punktidest A ja C langetame sellele sirgele ristid AF ja CE. Saame ACEF-i ristküliku. Olles tõmmanud kolmnurga ABC kõrguse BD, näeme, et ACEF ristkülik on jagatud 4 täisnurkseks kolmnurgaks. Veelgi enam, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD ja \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. See tähendab, et ristküliku ACEF pindala on kaks korda suurem kui kolmnurga ABC pindala, see tähendab, et see on võrdne 2S-ga.

Sellele prismale alusega ABC lisame prismad alustega ALL ja BAF ning kõrgusega h(joonis 307, b). Saame ristkülikukujulise rööptahuka ACEF alusega.

Kui lõikame seda rööptahukat tasandiga, mis läbib sirgeid BD ja BB', siis näeme, et ristkülikukujuline rööptahukas koosneb 4 prismast, mille alused on BCD, ALL, BAD ja BAF.

Alustega BCD ja ALL prismasid saab kombineerida, kuna nende alused on võrdsed (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) ja võrdsed on ka nende külgservad, mis on risti ühe tasapinnaga. Seega on nende prismade mahud võrdsed. Samuti on võrdsed prismade mahud alustega BAD ja BAF.

Seega selgub, et antud kolmnurkse prisma ruumala, millel on alus ABC, on pool ristkülikukujulise rööptahuka ruumala, millel on alus ACEF.

Teame, et ristkülikukujulise rööptahuka ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega, st antud juhul on see võrdne 2S h. Seega on selle täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala võrdne S-ga h.

Täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

2. Sirge hulknurkse prisma ruumala.

Tähistades kolmnurksete prismade aluspinda läbi S 1, S 2 ja S 3 ning selle hulknurkse prisma ruumala läbi V, saame:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, või

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Ja lõpuks: V = S h.

Samamoodi tuletatakse sirge prisma ruumala valem, mille põhjas on mis tahes hulknurk.

Tähendab, Mis tahes sirge prisma maht võrdub selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

Prisma maht

Teoreem. Prisma ruumala võrdub aluse pindala ja kõrgusega.

Esmalt tõestame selle teoreemi kolmnurkse prisma ja seejärel hulknurkse prisma jaoks.

1) Joonistage (joonis 95) läbi kolmnurkse prisma ABCA 1 B 1 C 1 serva AA 1 küljega BB 1 C 1 C paralleelne tasapind ja läbi serva CC 1 - küljega AA 1 paralleelne tasapind. B1B; siis jätkame prisma mõlema aluse tasapinda, kuni need lõikuvad joonestatud tasanditega.

Siis saame rööptahuka BD 1, mis on jagatud diagonaaltasandiga AA 1 C 1 C kaheks kolmnurkseks prismaks (üks neist on antud). Tõestame, et need prismad on võrdsed. Selleks joonistame risti lõigu abcd. Lõikus saate rööpküliku, mis on diagonaal äss jagatud kaheks võrdne kolmnurk. See prisma on võrdne sellise sirge prismaga, mille alus on \(\Delta\) abc ja kõrgus on serv AA 1 . Teine kolmnurkne prisma on pindalalt võrdne sirgega, mille alus on \(\Delta\) adc ja kõrgus on serv AA 1 . Kuid kaks võrdse põhja ja võrdse kõrgusega sirget prismat on võrdsed (sest need on põimimisel kombineeritud), mis tähendab, et prismad ABCA 1 B 1 C 1 ja ADCA 1 D 1 C 1 on võrdsed. Sellest järeldub, et selle prisma ruumala on pool rööptahuka BD 1 mahust; seega, tähistades prisma kõrgust läbi H, saame:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Joonistage läbi hulknurkse prisma serva AA 1 (joonis 96) diagonaaltasandid AA 1 C 1 C ja AA 1 D 1 D.

Seejärel lõigatakse see prisma mitmeks kolmnurkseks prismaks. Nende prismade ruumalade summa on soovitud ruumala. Kui tähistame nende aluste pindalasid b 1 , b 2 , b 3 ja kogukõrgus läbi H, saame:

hulknurkse prisma ruumala = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (piirkond ABCDE) H.

Tagajärg. Kui V, B ja H on arvud, mis väljendavad vastavates ühikutes prisma mahtu, aluspinda ja kõrgust, siis vastavalt tõestatule võime kirjutada: