Polünoom on avaldis, mis koosneb monomialide summast. Viimased on konstandi (arvu) ja avaldise juure (või juurte) korrutis astmega k. Sel juhul räägitakse k-astme polünoomist. Polünoomi dekomponeerimine hõlmab avaldise teisendamist, milles terminid asendatakse teguritega. Vaatleme selle ümberkujundamise peamisi viise.

Meetod polünoomi laiendamiseks ühisteguri eraldamise teel

See meetod põhineb jaotusseaduse seadustel. Niisiis, mn + mk = m * (n + k).

• Näide: laiendada 7a 2 + 2uy ja 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7 a 2 + 2 u = y * (7 a + 2 u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l).

Seetõttu ei pruugita alati leida tegurit, mis on tingimata olemas igas polünoomides nii ei ole universaalne.

Polünoomi laiendamise meetod, mis põhineb lühendatud korrutusvalemitel

Lühendatud korrutusvalemid kehtivad mis tahes astme polünoomile. AT üldine vaade teisendusavaldis näeb välja selline:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kus k on naturaalarvud.

Kõige sagedamini kasutatakse praktikas teise ja kolmanda järgu polünoomide valemeid:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Näide: laiendada 25p 2 - 144b 2 ja 64m 3 - 8l 3 .

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64 m 3 - 8 l 3 = (4 m) 3 - (2 l) 3 = (4 m - 2 l) ((4 m) 2 + 4 m * 2 l + (2 l) 2) = (4 m - 2 l) (16 m 2 + 8 ml + 4 l 2 ).

Polünoomdekompositsiooni meetod - avaldise terminite rühmitamine

See meetod on mõnevõrra sarnane tuletustehnikaga. ühine kordaja, kuid sellel on mõningaid erinevusi. Eelkõige tuleks enne ühise teguri eraldamist monoomiid rühmitada. Rühmitamine põhineb assotsiatiivsete ja kommutatiivsete seaduste reeglitel.

Kõik avaldises esitatud monomiaalid on jagatud rühmadesse, millest igaühes üldine tähendus nii, et teine ​​tegur on kõigis rühmades sama. Üldiselt võib sellist lagunemismeetodit esitada avaldisena:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• Näide: laiendada 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14 min + 16 ln - 49 m - 56 l = (14 min - 49 m) + (16 ln - 56 l) = 7 m * (2n - 7) + 8 l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7).

Polünoomide lagunemise meetod – täisruudu moodustumine

See meetod on polünoomide lagunemise käigus üks tõhusamaid. Algstaadiumis on vaja kindlaks määrata monoomid, mida saab "voldida" erinevuse või summa ruutu. Selleks kasutatakse ühte järgmistest seostest:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Näide: laiendage avaldist u 4 + 4u 2 – 1.

Toome selle monomialide hulgast välja terminid, mis moodustavad täisruut: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Lõpetage teisendus, kasutades lühendatud korrutamise reegleid: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

See. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Väga sageli on murdosa lugejaks ja nimetajaks algebralised avaldised, mis tuleb esmalt teguriteks lagundada ja seejärel, olles nende hulgast sama leidnud, jagada neisse nii lugeja kui ka nimetaja, see tähendab murdosa vähendada. Terve peatükk 7. klassi algebra õpikust on pühendatud ülesannetele polünoomi faktoriseerimiseks. Faktooringut saab teha 3 viisi, samuti nende meetodite kombinatsioon.

1. Lühendatud korrutusvalemite rakendamine

Nagu teada polünoomi korrutamine polünoomiga, peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega ja liitma saadud korrutised. Kontseptsioonis sisaldub vähemalt 7 (seitse) tavalist polünoomide korrutamise juhtumit. Näiteks,

Tabel 1. Faktoriseerimine 1. viisil

2. Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

See meetod põhineb korrutamise jaotusseaduse rakendamisel. Näiteks,

Jagame algse avaldise iga liikme teguriga, mille me välja võtame, ja samal ajal saame avaldise sulgudes (st sulgudesse jääb tulemus, kui jagame selle, mis oli väljavõetud). Esiteks on vaja kordaja õigesti määrama, mis peab olema sulgudes.

Sulgudes olev polünoom võib olla ka tavaline tegur:

„Faktoorika“ ülesande täitmisel tuleb ühisteguri sulgudest välja võtmisel olla märkidega eriti ettevaatlik. Iga termini märgi muutmiseks sulgudes (b–a), võtame välja ühisteguri -1 , samas kui iga sulgudes olev termin on jagatud -1-ga: (b - a) = - (a - b) .

Kui sulgudes olev avaldis on ruudus (või mõne paarisastmega), siis sulgudes olevaid numbreid saab vahetada täiesti tasuta, kuna sulgudest välja võetud miinused muutuvad korrutamisel ikkagi plussiks: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 ja nii edasi…

3. Rühmitamise meetod

Mõnikord ei ole kõigil avaldise terminitel ühist tegurit, vaid ainult mõnel. Siis saab proovida rühma terminid sulgudes, et igaühest saaks mõne teguri välja võtta. Rühmitamise meetod on ühiste tegurite topeltsulgumine.

4. Mitme meetodi kasutamine korraga

Mõnikord peate polünoomi teguriteks korraga faktoriseerimiseks kasutama mitte ühte, vaid mitut võimalust.

See on teema kokkuvõte. "faktoriseerimine". Valige järgmised sammud:

• Minge järgmise kokkuvõtte juurde:

Mõisted "polünoom" ja "polünoomi faktoriseerimine" on algebras väga levinud, sest suurte mitmeväärtuslike arvudega arvutuste hõlpsaks tegemiseks peate neid teadma. Selles artiklis kirjeldatakse mitmeid lagunemismeetodeid. Kõiki neid on üsna lihtne kasutada, iga juhtumi puhul tuleb lihtsalt valida õige.

Polünoomi mõiste

Polünoom on monomialide summa, st avaldised, mis sisaldavad ainult korrutustehet.

Näiteks 2 * x * y on monoom, aga 2 * x * y + 25 on polünoom, mis koosneb 2 monoomist: 2 * x * y ja 25. Selliseid polünoome nimetatakse binoomideks.

Mõnikord tuleb mitmeväärtuslike väärtustega näidete lahendamise mugavuse huvides avaldis teisendada, näiteks lagundada teatud arvuks teguriteks, see tähendab arvudeks või avaldisteks, mille vahel korrutustehte tehakse. Polünoomi faktoriseerimiseks on mitmeid viise. Neid tasub kaaluda alates kõige primitiivsemast, mida kasutatakse isegi algklassides.

Rühmitamine (üldkirje)

Valem polünoomi teguriteks faktoriteks rühmitusmeetodi abil üldiselt näeb välja järgmine:

ac + bd + bc + reklaam = (ac + bc) + (reklaam + bd)

Monoomid on vaja rühmitada nii, et igas rühmas ilmneks ühine tegur. Esimeses sulus on see tegur c ja teises - d. Seda tuleb teha selleks, et see seejärel klambrist välja võtta, lihtsustades sellega arvutusi.

Dekomponeerimisalgoritm konkreetsel näitel

Allpool on toodud lihtsaim näide polünoomi faktoriteks rühmitamise meetodil faktooreerimiseks:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Esimeses sulus peate võtma terminid teguriga a, mis on tavaline, ja teises - teguriga b. Valmis avaldises pöörake tähelepanu märkidele + ja -. Panime monomiaali ette märgi, mis oli alglauses. See tähendab, et peate töötama mitte avaldisega 25a, vaid avaldisega -25. Miinusmärk on justkui "liimitud" selle taga oleva avaldise külge ja arvestage seda alati arvutustes.

Järgmises etapis peate teguri, mis on tavaline, sulgudest välja võtma. Selleks ongi rühmitamine. Sulust välja võtmine tähendab, et sulgu ette kirjutatakse välja (korrutusmärk ära jättes) kõik need tegurid, mis korduvad täpselt kõigis sulgudes olevates terminites. Kui sulgudes pole mitte 2, vaid 3 või enam terminit, peab ühistegur sisalduma neist igaühes, vastasel juhul ei saa seda sulust välja võtta.

Meie puhul ainult 2 terminit sulgudes. Üldine kordaja on kohe näha. Esimene sulg on a, teine ​​on b. Siin peate pöörama tähelepanu digitaalsetele koefitsientidele. Esimeses sulus on mõlemad koefitsiendid (10 ja 25) 5-kordsed. See tähendab, et sulgudesse saab panna mitte ainult a, vaid ka 5a. Enne sulgu kirjutage välja 5a ja seejärel jagage kõik sulgudes olevad liikmed väljavõetud ühisteguriga ning kirjutage ka jagatis sulgudesse, unustamata + ja - märke. Tehke sama ka teise suuga , võtke 7b välja, kuna 14 ja 35 on 7 kordne.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Selgus 2 terminit: 5a (2c - 5) ja 7b (2c - 5). Igaüks neist sisaldab ühist tegurit (kogu sulgudes olev avaldis on siin sama, mis tähendab, et see on ühine tegur): 2c - 5. Samuti tuleb see sulust välja võtta, st terminid 5a ja 7b jääb teise sulgu:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Seega on täielik väljend:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Seega polünoom 10ac + 14bc - 25a - 35b laguneb 2 teguriks: (2c - 5) ja (5a + 7b). Nende vahel oleva korrutusmärgi võib kirjutamisel ära jätta

Mõnikord on seda tüüpi väljendeid: 5a 2 + 50a 3, siin saate sulgudes mitte ainult a või 5a, vaid isegi 5a 2. Peaksite alati püüdma sulgudest välja võtta võimalikult suure ühisteguri. Meie puhul, kui jagame iga termini ühise teguriga, saame:

5a 2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(mitme võrdse alusega astme jagatise arvutamisel alus säilib ja astendaja lahutatakse). Seega jääb sulgudesse üks (ärge mingil juhul unustage seda kirjutada, kui võtate ühe termini sulust täielikult välja) ja jagamise jagatis: 10a. Selgub, et:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Ruuduvalemid

Arvutuste mugavuse huvides on tuletatud mitu valemit. Neid nimetatakse vähendatud korrutusvalemiteks ja neid kasutatakse üsna sageli. Need valemid aitavad astmeid sisaldavaid polünome faktoreerida. See on teine tõhus viis faktorisatsioonid. Nii et siin nad on:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - valem, mida nimetatakse "summa ruuduks", kuna ruuduks laiendamise tulemusena võetakse sulgudes olevate arvude summa, see tähendab, et selle summa väärtus korrutatakse iseendaga 2 korda, mis tähendab, et see on tegur.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - erinevuse ruudu valem, see on sarnane eelmisele. Tulemuseks on sulgudes olev erinevus, mis sisaldub ruudukujulises võimsuses.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- see on ruutude erinevuse valem, kuna algselt koosneb polünoom 2 arvude või avaldiste ruudust, mille vahel tehakse lahutamine. Võib-olla on see neist kolmest kõige sagedamini kasutatav.

Näited ruutude valemite järgi arvutamiseks

Nende arvutused tehakse üsna lihtsalt. Näiteks:

1. 25x2 + 20xy + 4 a 2 - kasutage valemit "summa ruut".
2. 25x2 on 5x ruut. 20xy on 2*(5x*2y) kahekordne korrutis ja 4y 2 on 2y ruut.
3. Seega 25x 2 + 20xy + 4a 2 = (5x + 2a) 2 = (5x + 2a)(5x + 2a). See polünoom on jaotatud 2 teguriks (tegurid on samad, seetõttu kirjutatakse see ruutvõimsusega avaldisena).

Tehted erinevuse ruudu valemi järgi sooritatakse sarnaselt nendele. Alles jääb ruutude erinevus. Selle valemi näiteid on teiste väljendite hulgast väga lihtne tuvastada ja leida. Näiteks:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Alates 25a 2 \u003d (5a) 2 ja 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25 a 2 \u003d (6x - 5 a) (6x + 5 a). Alates 36x 2 \u003d (6x) 2 ja 25 a 2 \u003d (5 a 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Kuna 169b 2 = (13b) 2

On oluline, et iga termin oleks mõne avaldise ruut. Siis tuleb see polünoom arvestada ruutude erinevuse valemiga. Selleks ei ole vaja, et teine ​​aste oleks arvust suurem. On polünoomid, mis sisaldavad suuri astmeid, kuid sobivad siiski nende valemite jaoks.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

AT see näide ja 8 võib esitada kui (a 4) 2, st teatud avaldise ruuduna. 25 on 5 2 ja 10a on 4 - see on terminite 2*a 4 *5 topeltkorrutis. See tähendab, et selle avaldise saab, hoolimata suurte eksponentitega kraadide olemasolust, lagundada kaheks teguriks, et nendega hiljem töötada.

Kuubiku valemid

Kuubikuid sisaldavate polünoomide faktoriseerimiseks on olemas samad valemid. Need on veidi keerulisemad kui ruutudega:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- seda valemit nimetatakse kuubikute summaks, kuna selle algkujul on polünoom kahe kuubi sisse pandud avaldise või arvu summa.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - eelmisega identset valemit tähistatakse kuubikute erinevusena.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - summa kuup, arvutuste tulemusena saadakse numbrite või avaldiste summa, mis on sulgudes ja korrutatakse iseendaga 3 korda, see tähendab, et see asub kuubis
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - valemit, mis on koostatud analoogia põhjal eelmisega, muutes ainult mõningaid matemaatiliste tehte tunnuseid (pluss ja miinus), nimetatakse "erinevuskuubiks".

Viimaseid kahte valemit polünoomi faktoriseerimiseks praktiliselt ei kasutata, kuna need on keerulised ja üsna harva leidub polünoome, mis vastavad täielikult just sellisele struktuurile, et neid saaks nende valemite järgi lagundada. Kuid peate neid siiski teadma, kuna neid on vaja vastupidises suunas toimimiseks - sulgude avamisel.

Kuubiku valemite näited

Kaaluge näidet: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Oleme siin võtnud üsna algarvud, nii et näete kohe, et 64a 3 on (4a) 3 ja 8b 3 on (2b) 3 . Seega laiendatakse see polünoomi kuubikute valemi erinevus kaheks teguriks. Kuubikute summa valemiga seotud toimingud tehakse analoogia põhjal.

Oluline on mõista, et kõiki polünoome ei saa vähemalt ühel viisil lagundada. Kuid on selliseid avaldisi, mis sisaldavad suuremaid võimsusi kui ruut või kuup, kuid neid saab laiendada ka lühendatud korrutusvormideks. Näiteks: x 12 + 125 a 3 =(x 4) 3 +(5 a) 3 =(x 4 +5 a)*((x 4) 2 − x 4 *5 a+(5 a) 2)=(x 4 + 5 a) (x 8 − 5x 4 a + 25 a 2).

See näide sisaldab kuni 12 kraadi. Kuid isegi seda saab arvestada kuubikute summa valemiga. Selleks tuleb x 12 esitada kui (x 4) 3, st mingi avaldise kuubikuna. Nüüd peate selle asemel valemis asendama selle. Noh, avaldis 125y 3 on 5a kuup. Järgmine samm on valemi kirjutamine ja arvutuste tegemine.

Alguses või kahtluse korral saate alati kontrollida pöördkorrutise abil. Peate avama saadud avaldises ainult sulud ja sooritama toiminguid sarnaste terminitega. See meetod kehtib kõigile loetletud viise lühendid: nii ühise teguri ja grupeerimisega töötamiseks kui ka kuubikute ja ruuduastmete valemite tehtetele.

Osaliselt oskame kasutada astmete erinevuse faktoriseerimist - teemasid “Ruutide erinevus” ja “Kuupide erinevus” õppides õppisime korrutisena esitama avaldiste erinevust, mida saab esitada ruutudena või kui mõne avaldise või arvu kuubikud.

Lühendatud korrutusvalemid

Vastavalt lühendatud korrutamise valemitele:

ruutude erinevust saab esitada kahe arvu või avaldise erinevuse korrutisena nende summaga

Kuubikute erinevust saab esitada kahe arvu erinevuse korrutisena summa mittetäieliku ruuduga

Üleminek avaldiste erinevusele 4 astmes

Tuginedes ruutude valemile, proovime avaldist $a^4-b^4$ faktoriseerida

Tuletage meelde, kuidas aste tõstetakse astmeks - selleks jääb alus samaks ja astendajad korrutatakse, st $((a^n))^m=a^(n*m)$

Siis võite ette kujutada:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

Nii et meie avaldist saab esitada kujul $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$

Nüüd saime esimesse sulgu jälle arvude erinevuse, mis tähendab, et saame jälle faktoriseerida kahe arvu või avaldise erinevuse korrutisena nende summaga: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (a+b)$.

Nüüd arvutame teise ja kolmanda sulu korrutise polünoomide korrutise reegli abil - korrutame esimese polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega ja liidame tulemuse. Selleks korrutame esmalt esimese polünoomi esimese liikme - $a$ - teise liikme esimese ja teise liikmega ($a^2$ ja $b^2$), s.o. saame $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, siis korrutame esimese polünoomi -$b$- teise liikme teise polünoomi esimese ja teise liikmega (arvuga $a^2$ ja $b^2$), need. hankige $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ ja liidage saadud avaldised

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Kirjutame 4. astme monomialide erinevuse, võttes arvesse arvutatud korrutist:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

Üleminek avaldiste erinevusele 6. astmes

Tuginedes ruutude valemile, proovime avaldist $a^6-b^6$ faktoriseerida

Tuletage meelde, kuidas aste tõstetakse astmeks - selleks jääb alus samaks ja astendajad korrutatakse, st $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

Siis võite ette kujutada:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

Nii et meie avaldist saab esitada kujul $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$

Esimesse sulgu saime monomiaalide kuubikute erinevuse, teises monomiaalide kuubikute summa, nüüd saame jällegi monomiaalide kuubikute erinevuse faktoriseerida kahe arvu erinevuse korrutisena summa mittetäieliku ruuduga $a^3-b^3=\left(a-b\right)( a^2+ab+b^2)$

Algne väljend võtab kuju

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

Teise ja kolmanda sulu korrutise arvutame polünoomide korrutise reegli abil - korrutame esimese polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega ja liidame tulemuse.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

Kirjutame 6. astme monomialide erinevuse, võttes arvesse arvutatud korrutist:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

Võimsuse erinevuse arvestamine

Analüüsime kuubikute erinevuse, $4$ kraadi erinevuse, $6$ kraadi erinevuse valemeid

Näeme, et kõigis nendes laiendustes on mingi analoogia, mille üldistamisel saame:

Näide 1

Tegutseda $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

Lahendus: Esiteks esitame iga monoomi mõne monoomina astmega 5:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

Kasutame võimsuse erinevuse valemit

Pilt 1.

Polünoomide faktoriseerimine on identne teisendus, mille tulemusena polünoom muudetakse mitme teguri korrutiseks - polünoomideks või monomideks.

Polünoomide faktoriseerimiseks on mitu võimalust.

Meetod 1. Ühisteguri sulgudesse lisamine.

See teisendus põhineb korrutamise jaotusseadusel: ac + bc = c(a + b). Teisenduse olemus seisneb kahe vaadeldava komponendi ühise teguri väljatoomises ja sulgudes “välja panemises”.

Teguristame polünoomi 28x 3 - 35x 4.

Lahendus.

1. Leiame ühise jagaja elementidele 28x3 ja 35x4. 28 ja 35 puhul on see 7; x 3 ja x 4 - x 3 jaoks. Teisisõnu, meie ühine tegur on 7x3.

2. Esitame iga elementi tegurite korrutisena, millest üks
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Ühisteguri sulgudes
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

2. meetod. Lühendatud korrutamisvalemite kasutamine. Selle meetodi valdamise "meisterlikkus" seisneb väljendis ühe lühendatud korrutamise valemi märkamises.

Teguristame polünoomi x 6 - 1.

Lahendus.

1. Sellele avaldisele saame rakendada ruutude erinevuse valemit. Selleks esitame x 6 kui (x 3) 2 ja 1 kui 1 2, st. 1. Väljend on järgmisel kujul:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Saadud avaldisele saame rakendada kuubikute summa ja erinevuse valemit:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Niisiis,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Meetod 3. Rühmitamine. Rühmitamise meetod seisneb polünoomi komponentide kombineerimises nii, et nendega on lihtne tehteid teha (liitmine, lahutamine, ühisteguri väljavõtmine).

Teguristame polünoomi x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Lahendus.

1. Rühmitage komponendid järgmiselt: 1. koos 2. ja 3. koos 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Saadud avaldises võtame sulgudest välja ühised tegurid: esimesel juhul x 2 ja teisel juhul 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Võtame välja ühisteguri x - 3 ja saame:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Niisiis,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x) 2 + 5).

Parandame materjali.

Korrutage polünoom a 2 - 7ab + 12b 2 .

Lahendus.

1. Esitame monoomi 7ab summana 3ab + 4ab. Väljend on järgmisel kujul:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Avame sulgud ja saame:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Rühmitage polünoomi komponendid nii: 1. 2. ja 3. 4. komponendiga. Saame:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Toome välja tavalised tegurid:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Võtame välja ühisteguri (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Niisiis,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a-3b)-4b(a-3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.