Kolmnurk, mille hüpotenuus on võrdne jalgade summaga. Erinevad viisid Pythagorase teoreemi tõestamiseks: näited, kirjeldus ja ülevaated

21.09.2019 Radiaatorid

Ühes asjas võite olla sada protsenti kindel, et kui küsida, mis on hüpotenuusi ruut, vastab iga täiskasvanu julgelt: "Jalgade ruutude summa." See teoreem on kindlalt iga haritud inimese teadvuses, kuid piisab, kui paluda kellelgi see tõestada, ja siis võivad tekkida raskused. Seetõttu pidagem meeles ja kaalugem erinevaid Pythagorase teoreemi tõestamise viise.

Lühiülevaade eluloost

Pythagorase teoreem on tuttav peaaegu kõigile, kuid millegipärast pole selle koostaja elulugu nii populaarne. Teeme selle korda. Seetõttu peate enne Pythagorase teoreemi erinevate tõestamisviiside uurimist põgusalt tutvuma tema isiksusega.

Pythagoras - filosoof, matemaatik, mõtleja, kes on pärit tänapäevast, on tema elulugu väga raske eristada legendidest, mis on selle suurmehe mälestuseks välja töötatud. Kuid nagu tema järgijate kirjutistest järeldub, sündis Samose saarel Pythagoras Samose saarel. Tema isa oli tavaline kiviraidur, ema aga pärines aadlisuguvõsast.

Legendi järgi ennustas Pythagorase sündi Pythia-nimeline naine, kelle auks poisile nimi pandi. Tema ennustuse kohaselt pidi sündinud poiss tooma inimkonnale palju kasu ja head. Mida ta tegelikult ka tegi.

Teoreemi sünd

Nooruses kolis Pythagoras Egiptusesse, et kohtuda sealsete kuulsate Egiptuse tarkadega. Pärast nendega kohtumist lubati ta õppima, kus ta õppis ära kõik Egiptuse filosoofia, matemaatika ja meditsiini suured saavutused.

Tõenäoliselt sai Pythagoras püramiidide majesteetlikkusest ja ilust inspiratsiooni Egiptuses ning lõi oma suurepärase teooria. See võib lugejaid šokeerida, kuid kaasaegsed ajaloolased usuvad, et Pythagoras ei tõestanud oma teooriat. Kuid ta andis oma teadmised edasi ainult oma järgijatele, kes tegid hiljem kõik vajalikud matemaatilised arvutused.

Olgu kuidas on, tänapäeval pole selle teoreemi tõestamiseks teada mitte üht tehnikat, vaid mitut korraga. Täna võime vaid oletada, kuidas täpselt iidsed kreeklased oma arvutused tegid, seega vaatleme siin erinevaid Pythagorase teoreemi tõestamise viise.

Pythagorase teoreem

Enne arvutuste alustamist peate välja mõtlema, millist teooriat tõestada. Pythagorase teoreem kõlab järgmiselt: "Kolmnurgas, mille üks nurkadest on 90 o, võrdub jalgade ruutude summa hüpotenuusi ruuduga."

Kokku on Pythagorase teoreemi tõestamiseks 15 erinevat viisi. See on üsna suur arv, nii et pöörame tähelepanu kõige populaarsematele neist.

Meetod üks

Kõigepealt määratleme, mis meil on. Need andmed kehtivad ka muude Pythagorase teoreemi tõestamise viiside puhul, nii et peaksite kohe meeles pidama kõiki saadaolevaid tähistusi.

Oletame, et on antud täisnurkne kolmnurk, mille jalad a, b ja hüpotenuus on võrdsed c-ga. Esimene tõestusmeetod põhineb sellel, et täisnurksest kolmnurgast tuleb tõmmata ruut.

Selleks peate joonestama jala pikkusega lõigu a ja vastupidi. Seega peaks välja tulema ruudu kaks võrdset külge. Jääb vaid tõmmata kaks paralleelset joont ja ruut on valmis.

Saadud joonise sees peate joonistama teise ruudu, mille külg on võrdne algse kolmnurga hüpotenuusiga. Selleks peate ac ja s tippudest joonistama kaks paralleelne segment võrdne. Seega saame ruudu kolm külge, millest üks on algse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Jääb vaid joonistada neljas segment.

Saadud joonise põhjal võime järeldada, et välimise ruudu pindala on (a + b) 2. Kui vaatate joonise sisse, näete, et lisaks sisemisele ruudule on sellel neli täisnurkset kolmnurka. Iga pindala on 0,5 keskm.

Seetõttu on pindala: 4 * 0,5 av + s 2 \u003d 2 av + s 2

Seega (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Ja seetõttu 2 \u003d a 2 + in 2

Teoreem on tõestatud.

Teine meetod: sarnased kolmnurgad

See Pythagorase teoreemi tõestuse valem tuletati geomeetria lõigu väite põhjal sarnaste kolmnurkade kohta. See ütleb, et täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine, mis on võrdeline selle hüpotenuusi ja hüpotenuusi segmendiga, mis väljub 90 o nurga tipust.

Algandmed jäävad samaks, nii et alustame kohe tõestusega. Joonistame lõigu CD risti küljega AB. Ülaltoodud väite põhjal on kolmnurkade jalad võrdsed:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Et vastata küsimusele, kuidas tõestada Pythagorase teoreemi, tuleb tõestuseks panna mõlemad võrratused ruutudeks.

AC 2 \u003d AB * HELL ja SV 2 \u003d AB * DV

Nüüd peame lisama saadud ebavõrdsused.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kus AD + DV \u003d AB

Selgub, et:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Ning seetõttu:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pythagorase teoreemi tõestus ja erinevaid viise selle lahendused nõuavad sellele probleemile mitmekülgset lähenemist. See valik on aga üks lihtsamaid.

Teine arvutusmeetod

Pythagorase teoreemi erinevate tõestamisviiside kirjeldus ei pruugi midagi öelda, kuni hakkate iseseisvalt harjutama. Paljud meetodid hõlmavad mitte ainult matemaatilisi arvutusi, vaid ka uute kujundite koostamist algsest kolmnurgast.

IN sel juhul lennuki jalast on vaja täita veel üks täisnurkne kolmnurk VSD. Seega on nüüd kaks kolmnurka ühise jalaga BC.

Teades, et sarnaste kujundite pindaladel on nende sarnaste lineaarsete mõõtmete ruutude suhe, siis:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2 kuni 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2 kuni 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Kuna see valik 8. klassi Pythagorase teoreemi erinevatest tõestamismeetoditest ei sobi, võite kasutada järgmist tehnikat.

Lihtsaim viis Pythagorase teoreemi tõestamiseks. Arvustused

Ajaloolased usuvad, et seda meetodit kasutati esmakordselt teoreemi tõestamiseks Vana-Kreeka. See on kõige lihtsam, kuna see ei nõua absoluutselt mingeid arvutusi. Kui joonistate pildi õigesti, on selgelt nähtav tõend väite kohta, et 2 + b 2 \u003d c 2.

Tingimused seda meetodit erineb veidi eelmisest. Teoreemi tõestamiseks oletame, et täisnurkne kolmnurk ABC on võrdhaarne.

Võtame hüpotenuusi AC ruudu küljeks ja joonistame selle kolm külge. Lisaks on vaja saadud ruudule tõmmata kaks diagonaaljoont. Nii et selle sees saate neli võrdkülgset kolmnurka.

Jalgade AB ja CB külge tuleb samuti joonistada ruut ja tõmmata igasse neist üks diagonaaljoon. Esimese joone tõmbame tipust A, teise - C.

Nüüd peate saadud pilti hoolikalt vaatama. Kuna hüpotenuusil AC on neli kolmnurka, mis on võrdsed algse kolmnurgaga, ja jalgadel kaks, näitab see selle teoreemi õigsust.

Muide, tänu sellele Pythagorase teoreemi tõestamise meetodile on kuulus lause: "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed."

Tõestus J. Garfieldi poolt

James Garfield on Ameerika Ühendriikide 20. president. Lisaks sellele, et ta jättis oma jälje ajalukku USA valitsejana, oli ta ka andekas iseõppija.

Oma karjääri alguses oli ta rahvakoolis tavaline õpetaja, kuid peagi sai temast ühe kõrgkooli direktor. Enesearengu soov ja võimaldas tal pakkuda uus teooria Pythagorase teoreemi tõestus. Teoreem ja selle lahenduse näide on järgmised.

Kõigepealt peate paberile joonistama kaks täisnurkset kolmnurka, nii et ühe jalg oleks teise jätk. Nende kolmnurkade tipud tuleb ühendada, et saada trapets.

Nagu teate, on trapetsi pindala võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega.

S=a+b/2 * (a+b)

Kui vaadelda saadud trapetsi kolmest kolmnurgast koosneva joonisena, võib selle pindala leida järgmiselt:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Nüüd peame kaks algset väljendit võrdsustama

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Pythagorase teoreemi ja selle tõestamise kohta saab kirjutada rohkem kui ühe köite õppejuhend. Kuid kas sellel on mõtet, kui neid teadmisi ei saa ellu rakendada?

Pythagorase teoreemi praktiline rakendamine

Kahjuks tänapäevases kooliprogrammid selle teoreemi kasutamine on ette nähtud ainult geomeetriliste ülesannete puhul. Lõpetajad lahkuvad peagi kooliseinte vahelt, teadmata, kuidas nad saavad oma teadmisi ja oskusi praktikas rakendada.

Tegelikult kasutage Pythagorase teoreemi Igapäevane elu igaüks saab. Ja mitte ainult sees ametialane tegevus aga ka tavalistes majapidamistöödes. Vaatleme mitmeid juhtumeid, mil Pythagorase teoreem ja selle tõestamise meetodid võivad olla äärmiselt vajalikud.

Teoreemi ja astronoomia seos

Näib, kuidas saab paberil ühendada tähti ja kolmnurki. Tegelikult on astronoomia teadusvaldkond, milles Pythagorase teoreemi kasutatakse laialdaselt.

Mõelge näiteks valguskiire liikumisele ruumis. Teame, et valgus liigub mõlemas suunas sama kiirusega. Nimetame trajektoori AB, mida mööda valguskiir liigub l. Ja pool ajast, mis kulub valguse jõudmiseks punktist A punkti B, helistame t. Ja kiire kiirus - c. Selgub, et: c*t=l

Kui vaadata seda sama kiirt teiselt tasapinnalt, näiteks kosmosevoodrilt, mis liigub kiirusega v, siis sellise kehade vaatlemise korral nende kiirus muutub. Sel juhul liiguvad isegi statsionaarsed elemendid kiirusega v vastassuunas.

Oletame, et koomiline lainer sõidab paremale. Seejärel liiguvad punktid A ja B, mille vahel kiir tormab, vasakule. Veelgi enam, kui kiir liigub punktist A punkti B, on punktil A aega liikuda ja vastavalt sellele saabub valgus juba uus punkt C. Et leida poole vahemaast, mille võrra punkt A on liikunud, peate korrutama vooderdise kiiruse poole kiire liikumisajaga (t ").

Ja selleks, et teada saada, kui kaugele valguskiir selle aja jooksul liikuda võib, tuleb määrata pool uue pöögi teest ja saada järgmine avaldis:

Kui kujutame ette, et valguse punktid C ja B ning ka ruumivooder on võrdhaarse kolmnurga tipud, siis punktist A vooderduseni kulgev lõik jagab selle kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Seetõttu saate tänu Pythagorase teoreemile leida vahemaa, mille valguskiir võiks läbida.

See näide pole muidugi kõige edukam, sest ainult vähestel võib olla õnn seda praktikas proovida. Seetõttu kaalume selle teoreemi igapäevasemaid rakendusi.

Mobiilse signaali edastusulatus

Tänapäeva elu ei kujuta enam ette ilma nutitelefonide olemasoluta. Aga kui palju oleks neist kasu, kui nad ei saaks mobiilside kaudu abonente ühendada?!

Mobiilside kvaliteet sõltub otseselt antenni kõrgusest. mobiilioperaator. Selleks, et arvutada, kui kaugel mobiiltelefonitornist saab telefon signaali vastu võtta, saate rakendada Pythagorase teoreemi.

Oletame, et peate leidma seisva torni ligikaudse kõrguse, et see saaks signaali levitada 200 kilomeetri raadiuses.

AB (torni kõrgus) = x;

BC (signaali edastamise raadius) = 200 km;

OS (raadius gloobus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Rakendades Pythagorase teoreemi, leiame, et minimaalne kõrgus tornid peaksid olema 2,3 kilomeetrit.

Pythagorase teoreem igapäevaelus

Kummalisel kombel võib Pythagorase teoreem olla kasulik isegi igapäevastes asjades, näiteks kapi kõrguse määramisel. Esmapilgul pole vaja selliseid keerulisi arvutusi kasutada, sest saate lihtsalt mõõta mõõdulindiga. Kuid paljud on üllatunud, miks monteerimisprotsessi käigus tekivad teatud probleemid, kui kõik mõõtmised tehti enam kui täpselt.

Fakt on see, et riidekapp on kokku pandud horisontaalasendis ja alles siis tõuseb ja paigaldatakse vastu seina. Seetõttu peab kapi külgsein konstruktsiooni tõstmise ajal vabalt läbima nii ruumi kõrguselt kui ka diagonaalselt.

Oletame, et seal on 800 mm sügavusega riidekapp. Kaugus põrandast laeni - 2600 mm. Kogenud mööblimeister ütleb, et kapi kõrgus peaks olema 126 mm väiksem kui ruumi kõrgus. Aga miks just 126 mm? Vaatame näidet.

Kapi ideaalsete mõõtmetega kontrollime Pythagorase teoreemi toimimist:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - kõik läheneb.

Oletame, et kapi kõrgus ei ole 2474 mm, vaid 2505 mm. Seejärel:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Seetõttu ei sobi see kapp sellesse ruumi paigaldamiseks. Kuna vertikaalasendisse tõstmisel võib selle keha kahjustada.

Võib-olla, olles kaalunud erinevate teadlaste erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestamiseks, võime järeldada, et see on enam kui tõsi. Nüüd saate saadud teavet oma igapäevaelus kasutada ja olla täiesti kindel, et kõik arvutused pole mitte ainult kasulikud, vaid ka õiged.

Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose

täisnurkse kolmnurga külgede vahele.

Arvatakse, et selle tõestas Kreeka matemaatik Pythagoras, kelle järgi see ka oma nime sai.

Pythagorase teoreemi geomeetriline sõnastus.

Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne ruutude pindalade summaga,

ehitatud kateetritele.

Pythagorase teoreemi algebraline sõnastus.

Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi pikkuse ruut on võrdne summaga jalgade pikkuse ruudud.

See tähendab, et tähistab läbiva kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a Ja b:

Mõlemad koostised Pythagorase teoreemid on samaväärsed, kuid teine sõnastus on elementaarsem, aga mitte

nõuab pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida ilma piirkonnast midagi teadmata ja

mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.

Pythagorase pöördteoreem.

Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis

kolmnurk on ristkülikukujuline.

Või teisisõnu:

Mis tahes positiivsete arvude kolmiku korral a, b Ja c, selline, et

on täisnurkne kolmnurk jalgadega a Ja b ja hüpotenuus c.

Pythagorase teoreem võrdhaarse kolmnurga kohta.

Pythagorase teoreem võrdkülgse kolmnurga jaoks.

Pythagorase teoreemi tõestused.

Peal Sel hetkel Selle teoreemi tõestust on teaduskirjanduses registreeritud 367. Ilmselt teoreem

Pythagoras on ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Selline mitmekesisus

saab seletada ainult teoreemi fundamentaalse tähtsusega geomeetria jaoks.

Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Neist kuulsaimad:

tõend pindala meetod, aksiomaatiline Ja eksootilised tõendid(Näiteks,

kasutades diferentsiaalvõrrandid).

1. Pythagorase teoreemi tõestus sarnaste kolmnurkade järgi.

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on konstrueeritud tõestustest kõige lihtsam

otse aksioomidest. Eelkõige ei kasuta see figuuri pindala mõistet.

Lase ABC on täisnurkne kolmnurk C. Joonistame kõrguse C ja tähistada

selle vundament läbi H.

Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga AB C kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC.

Märkuse sisseviimisega:

saame:

mis sobib -

Olles voltinud a 2 ja b 2, saame:

või , mida tuli tõestada.

2. Pythagorase teoreemi tõestamine pindalameetodil.

Vaatamata näilisele lihtsusele ei ole järgmised tõestused sugugi nii lihtsad. Kõik nemad

kasutada ala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

Tõestus võrdustäiendamise kaudu.

Korraldage neli võrdset ristkülikukujulist

kolmnurk, nagu pildil näidatud

paremal.

Nelinurk külgedega c- ruut,

alates summast kaks teravad nurgad 90°, a

arendatud nurk on 180°.

Kogu figuuri pindala on ühelt poolt

küljega ruudu pindala ( a+b) ja teisest küljest nelja kolmnurga pindalade summa ja

Q.E.D.

3. Pythagorase teoreemi tõestamine lõpmatuarvu meetodil.

Arvestades joonisel näidatud joonist ja

jälgides, kuidas pool muutuba, me saame

kirjuta lõpmatu jaoks järgmine seos

väike külgmised juurdekasvudKoos Ja a(kasutades sarnasust

kolmnurgad):

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame:

Üldisem väljend hüpotenuusi muutmiseks mõlema jala juurdekasvu korral:

Integreerides selle võrrandi ja kasutades algtingimusi, saame:

Seega jõuame soovitud vastuseni:

Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus lineaarsuse tõttu

proportsionaalsus kolmnurga külgede ja juurdekasvu vahel, samas kui summa on seotud sõltumatuga

panused erinevate jalgade juurdekasvust.

Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei koge juurdekasvu

(antud juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks:

Ärge kunagi unustage Pythagorase teoreemi. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne selle jalgade ruutude summaga. Teisisõnu, täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne selle jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga.

Tähistab kolmnurga hüpotenuusi pikkust läbi c ja jalgade pikkusi läbi a ja b:

Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga üks külgedest. Ka selles kolmnurgas on kaks jalg.

Sel juhul on hüpotenuus vastaskülg täisnurk. Ja jalad on küljed, mis moodustavad etteantud nurga.

Pythagorase teoreemi järgi hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

See tähendab, et AB = AC + BC.

Tõsi on ka vastupidi – kui see võrdsus kehtib kolmnurgas, siis on see kolmnurk täisnurkne.

See omadus aitab lahendada paljusid geomeetrilisi probleeme.

Sellel teoreemil on veidi erinev sõnastus: hüpotenuusile rajatud ruudu pindala on võrdne jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga.

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga ... koolist peast. See on üks neist reeglitest, mis jääb igaveseks meelde.)))

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga

See on õige, hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. Seda meile muidugi õpetati ja et see Pythagorase teoreem kahtlust ei jäta, on nii tore meenutada, mida ammu õpetati tavapärase rutiini vahel.

See sõltub selle hüpotenuusi pikkusest. Kui see on võrdne ühe meetriga, siis e ruut on üks ruutmeeter. Ja kui see võrdub näiteks 39,37 tolliga, siis e ruut võrdub 1550 ruuttolliga, ei saa sellega midagi teha.

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga - Pythagorase teoreem (muide, geomeetriaõpiku kõige lihtsam lõik)

Jah, hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. Meile on nagu koolis õpetatud. Kui palju aastaid on möödas ja me mäletame seda meie poolt armastatud teoreemi endiselt. Tõenäoliselt pingutage ja tõestage, et suudan, nagu kooli õppekavas.

Nad ütlesid ka loendusriimi Pythagorase püksid, mis on igas suunas võrdsed

Õpetaja ütles meile, et kui te magate ja äkki on tulekahju - peate teadma Pythagorase teoreemi))) See võrdub jalgade ruutude summaga

Hüpotenuusi ruut võrdub kolmnurga kahe teise külje (jalgade) ruutude summaga.

Võite seda meeles pidada või saate lõplikult aru, miks see nii on.

Alustuseks kaaluge identsete jalgadega täisnurkset kolmnurka ja asetage see ruudu sisse, mille külg on võrdne hüpotenuusiga.

Suure ruudu pindala võrdub selle sees oleva nelja identse kolmnurga pindalaga.

Arvutame kõik kiiresti välja ja saame vajaliku tulemuse.

Kui jalad ei ole samad, on kõik samuti üsna lihtne:

suure ruudu pindala on võrdne nelja identse kolmnurga pindalade summaga pluss keskel oleva ruudu pindala.

Mida iganes võib öelda, me saavutame alati võrdsuse

jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga.

Üks kuulsamaid geomeetrias, Pythagorase teoreem ütleb:

See teoreem puudutab täisnurkset kolmnurka, st sellist, mille nurk on 90 kraadi. Täisnurga külgi nimetatakse jalgadeks ja kaldus külgi hüpotenuusiks. Seega, kui joonistate kolmnurga mõlemale küljele kolm alusega ruutu, on kahe jala lähedal asuva ruudu pindala võrdne hüpotenuusi lähedal asuva ruudu pindalaga.

Pythagorase teoreem

Teiste teoreemide ja probleemide saatus on omapärane... Kuidas seletada näiteks matemaatikute ja matemaatikute sellist erakordset tähelepanu Pythagorase teoreemile? Miks paljud neist ei rahuldunud juba teadaolevate tõestustega, vaid leidsid oma, viies kahekümne viie võrdlemisi vaadeldava sajandi jooksul tõestuste arvu mitmesajani?
Kui rääkida Pythagorase teoreemist, siis ebatavaline algab selle nimega. Arvatakse, et see polnud sugugi Pythagoras, kes selle esimest korda sõnastas. Samuti on kaheldav, et ta andis talle tõendi. Kui Pythagoras on tõeline inimene (mõned isegi kahtlevad selles!), siis elas ta suure tõenäosusega 6.-5. eKr e. Ise ta midagi ei kirjutanud, nimetas end filosoofiks, mis tema mõistes tähendas “tarkuse poole püüdlemist”, asutas Pythagorase Liidu, mille liikmed tegelesid muusika, võimlemise, matemaatika, füüsika ja astronoomiaga. Ilmselt oli ta ka suurepärane kõnemees, millest annab tunnistust järgmine legend, mis puudutas tema viibimist Crotoni linnas: kirjeldas noorte meeste ülesandeid, et linnavanemad palusid neid mitte õpetamata jätta. Selles teises kõnes osutas ta moraali seaduslikkusele ja puhtusele kui perekonna alustaladele; kahes järgmises pöördus ta laste ja naiste poole. Tagajärg viimane kõne milles ta mõistis eriti hukka luksuse, seisnes selles, et Hera templisse toimetati tuhandeid hinnalisi kleite, sest mitte ükski naine ei julgenud end enam tänaval näidata ... ”Siiski, meie ajastu teisel sajandil, st 700 aasta pärast elasid ja töötasid nad täielikult tõelised inimesed, silmapaistvad teadlased, keda Pythagorase liit selgelt mõjutas ja kes olid suure austusega selle vastu, mida Pythagoras legendi järgi lõi.
Samuti on vaieldamatu, et huvi teoreemi vastu põhjustab nii asjaolu, et see on matemaatikas üks keskseid kohti, kui ka raskustest üle saanud tõestuste autorite rahulolu, mille kohta Rooma luuletaja Quintus Horace Flaccus , kes elas enne meie ajastut, ütles hästi: “Tuntud fakte on raske väljendada” .
Algselt määras teoreem seose hüpotenuusile ehitatud ruutude pindalade ja täisnurkse kolmnurga jalgade vahel:
.
Algebraline formuleering:
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi pikkuse ruut võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga.
See tähendab, et tähistab kolmnurga hüpotenuusi pikkust läbi c ja jalgade pikkust läbi a ja b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Teoreemi mõlemad sõnastused on samaväärsed, kuid teine formuleering on elementaarsem, see ei nõua pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida pindala kohta midagi teadmata ja mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.
Pythagorase pöördteoreem. Positiivsete arvude a, b ja c mis tahes kolmiku puhul, nii et
a 2 + b 2 = c 2, on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ning hüpotenuus c.

Tõestus

Hetkel on teaduskirjanduses kirja pandud 367 selle teoreemi tõestust. Tõenäoliselt on Pythagorase teoreem ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Sellist mitmekesisust saab seletada ainult teoreemi põhimõttelise tähtsusega geomeetria jaoks.
Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Tuntuimad neist: tõestused pindalameetodil, aksiomaatilised ja eksootilised tõestused (näiteks diferentsiaalvõrrandite abil).

Läbi sarnaste kolmnurkade

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on otse aksioomidest koostatud tõestustest lihtsaim. Eelkõige ei kasuta see figuuri pindala mõistet.
Olgu ABC täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C. Joonistage C-st kõrgus ja tähistage selle alust H-ga. Kolmnurk ACH on kahe nurga poolest sarnane kolmnurgaga ABC.
Samamoodi on kolmnurk CBH sarnane ABC-ga. Tutvustame noodikirja

saame

Mis on samaväärne

Lisades saame

või

Piirkonna tõendid

Vaatamata näilisele lihtsusele ei ole järgmised tõestused sugugi nii lihtsad. Kõik need kasutavad ala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

Tõestus samaväärsuse kaudu

1. Paigutage neli võrdset täisnurkset kolmnurka, nagu on näidatud joonisel.
2. Nelinurk külgedega c on ruut, kuna kahe teravnurga summa on 90° ja sirgnurk on 180°.
3. Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on (a + b), ja teiselt poolt nelja kolmnurga pindalade summaga ja sisemine väljak.

Q.E.D.

Tõendid samaväärsuse kaudu

Ühe sellise tõestuse näide on näidatud parempoolsel joonisel, kus hüpotenuusile ehitatud ruut muudetakse permutatsiooni teel kaheks jalgadele ehitatud ruuduks.

Eukleidese tõestus

Eukleidese tõestuse idee on järgmine: proovime tõestada, et pool hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast võrdub jalgadele ehitatud ruutude poolte pindalade summaga ja seejärel suur ja kaks väikest ruutu on võrdsed. Mõelge vasakpoolsele joonisele. Ehitasime sellele täisnurkse kolmnurga külgedele ruudud ja joonistasime täisnurga C tipust täisnurga C tipust AB kiire, mis lõikab hüpotenuusile ehitatud ruudu ABIK kaheks ristkülikuks - BHJI ja HAKJ , vastavalt. Selgub, et nende ristkülikute pindalad on täpselt võrdsed vastavatele jalgadele ehitatud ruutude pindaladega. Proovime tõestada, et ruudu DECA pindala on võrdne ristküliku pindalaga AHJK Selleks kasutame abivaatlust: antud kolmnurga pindala, mille kõrgus ja alus on sama kui antud. ristkülik on võrdne poolega antud ristküliku pindalast. See tuleneb sellest, et kolmnurga pindala on pool aluse ja kõrguse korrutisest. Sellest tähelepanekust järeldub, et kolmnurga ACK pindala on võrdne kolmnurga AHK pindalaga (pole näidatud), mis omakorda on võrdne poolega ristküliku AHJK pindalast. Tõestame nüüd, et kolmnurga ACK pindala on samuti võrdne poolega DECA ruudu pindalast. Ainus asi, mida selleks teha tuleb, on tõestada kolmnurkade ACK ja BDA võrdsust (kuna kolmnurga BDA pindala on ülaltoodud omaduse võrra võrdne poole ruudu pindalaga). See võrdsus on ilmne, kolmnurgad on kahes küljes ja nendevahelises nurgas võrdsed. Nimelt - AB=AK,AD=AC - nurkade CAK ja BAD võrdsust on lihtne tõestada liikumismeetodiga: pöörame kolmnurka CAK 90° vastupäeva, siis on ilmne, et kahe vaadeldava kolmnurga vastavad küljed langevad kokku (tänu asjaolule, et nurga ruudu tipus on 90°). Argument ruudu BCFG ja ristküliku BHJI pindalade võrdsuse kohta on täiesti analoogne. Seega oleme tõestanud, et hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala on jalgadele ehitatud ruutude pindalade summa.

Leonardo da Vinci tõend

Tõestuse põhielemendid on sümmeetria ja liikumine.

Vaatleme joonist, nagu sümmeetriast näha, lõikab segment CI ruudu ABHJ kaheks identseks osaks (kuna kolmnurgad ABC ja JHI on ehituselt võrdsed). Kasutades 90-kraadist vastupäeva pööramist, näeme varjutatud jooniste CAJI ja GDAB võrdsust. Nüüd on selge, et meie poolt varjutatud kujundi pindala on võrdne jalgadele ehitatud ruutude poole pindala ja algse kolmnurga pindala summaga. Teisest küljest on see võrdne poolega hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast, millele lisandub algse kolmnurga pindala. Tõestuse viimane samm jääb lugeja teha.

Pythagorase teoreem: jalgadele toetatud ruutude pindalade summa ( a Ja b), võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga ( c).

Geomeetriline koostis:

Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:

Algebraline formuleering:

See tähendab, et tähistab läbiva kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a Ja b :

a 2 + b 2 = c 2

Teoreemi mõlemad sõnastused on samaväärsed, kuid teine formuleering on elementaarsem, see ei nõua pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida pindala kohta midagi teadmata ja mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.

Pythagorase pöördteoreem:

Tõestus

Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Tuntuimad neist: tõestused pindalameetodil, aksiomaatilised ja eksootilised tõestused (näiteks diferentsiaalvõrrandite abil).

Läbi sarnaste kolmnurkade

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on otse aksioomidest koostatud tõestustest lihtsaim. Eelkõige ei kasuta see figuuriala mõistet.

Lase ABC on täisnurkne kolmnurk C. Joonistame kõrguse C ja tähistage selle alust H. Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga ABC kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC. Tutvustame noodikirja

saame

Mis on samaväärne

Lisades saame

Piirkonna tõendid

Vaatamata näilisele lihtsusele ei ole järgmised tõestused sugugi nii lihtsad. Kõik need kasutavad ala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

Tõestus samaväärsuse kaudu

Asetage neli võrdset täisnurkset kolmnurka, nagu on näidatud joonisel 1.
Nelinurk külgedega c on ruut, sest kahe teravnurga summa on 90° ja sirge nurk on 180°.
Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on (a + b) ja teiselt poolt nelja kolmnurga ja kahe sisemise kolmnurga pindalade summaga. ruudud.

Q.E.D.

Tõendid samaväärsuse kaudu

Elegantne permutatsioonitõend

Ühe sellise tõestuse näide on näidatud parempoolsel joonisel, kus hüpotenuusile ehitatud ruut muudetakse permutatsiooni teel kaheks jalgadele ehitatud ruuduks.

Eukleidese tõestus

Joonis Eukleidese tõestuseks

Illustratsioon Eukleidese tõestuseks

Mõelge vasakpoolsele joonisele. Ehitasime sellele täisnurkse kolmnurga külgedele ruudud ja joonistasime täisnurga C tipust täisnurga C tipust AB kiire, mis lõikab hüpotenuusile ehitatud ruudu ABIK kaheks ristkülikuks - BHJI ja HAKJ , vastavalt. Selgub, et nende ristkülikute pindalad on täpselt võrdsed vastavatele jalgadele ehitatud ruutude pindaladega.

Proovime tõestada, et ruudu DECA pindala on võrdne ristküliku pindalaga AHJK Selleks kasutame abivaatlust: antud kolmnurga pindala, mille kõrgus ja alus on sama kui antud. ristkülik on võrdne poolega antud ristküliku pindalast. See tuleneb sellest, et kolmnurga pindala on pool aluse ja kõrguse korrutisest. Sellest tähelepanekust järeldub, et kolmnurga ACK pindala on võrdne kolmnurga AHK pindalaga (pole näidatud), mis omakorda on võrdne poolega ristküliku AHJK pindalast.

Tõestame nüüd, et kolmnurga ACK pindala on samuti võrdne poolega DECA ruudu pindalast. Ainus asi, mida selleks teha tuleb, on tõestada kolmnurkade ACK ja BDA võrdsust (kuna kolmnurga BDA pindala on ülaltoodud omaduse võrra võrdne poole ruudu pindalaga). See võrdsus on ilmne, kolmnurgad on kahes küljes ja nendevahelises nurgas võrdsed. Nimelt - AB=AK,AD=AC - nurkade CAK ja BAD võrdsust on lihtne tõestada liikumismeetodiga: pöörame kolmnurka CAK 90° vastupäeva, siis on ilmne, et kahe vaadeldava kolmnurga vastavad küljed langevad kokku (tänu asjaolule, et nurga ruudu tipus on 90°).

Argument ruudu BCFG ja ristküliku BHJI pindalade võrdsuse kohta on täiesti analoogne.

Seega oleme tõestanud, et hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala on jalgadele ehitatud ruutude pindalade summa. Selle tõestuse idee on veelgi illustreeritud ülaltoodud animatsiooniga.

Leonardo da Vinci tõend

Tõestuse põhielemendid on sümmeetria ja liikumine.

Mõelge joonisele, nagu on näha sümmeetriast, segmendist CI lahkab väljakut ABHJ kaheks identseks osaks (kuna kolmnurgad ABC Ja JHI on ehituselt võrdsed). Kasutades 90 kraadi vastupäeva pööramist, näeme varjutatud kujundite võrdsust CAJI Ja GDAB . Nüüd on selge, et meie poolt varjutatud kujundi pindala on võrdne jalgadele ehitatud ruutude poole pindala ja algse kolmnurga pindala summaga. Teisest küljest on see võrdne poolega hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast, millele lisandub algse kolmnurga pindala. Tõestuse viimane samm jääb lugeja teha.

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Järgnev diferentsiaalvõrrandeid kasutav tõestus on sageli omistatud kuulsale inglise matemaatikule Hardyle, kes elas 20. sajandi esimesel poolel.

Arvestades joonisel näidatud joonist ja jälgides külje muutust a, saame kirjutada järgmise seose lõpmatute külgmiste juurdekasvude jaoks Koos Ja a(kasutades sarnaseid kolmnurki):

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame

Üldisem väljend hüpotenuusi muutmiseks mõlema jala juurdekasvu korral

Integreerides selle võrrandi ja kasutades algtingimusi, saame

c 2 = a 2 + b 2 + konstant.

Seega jõuame soovitud vastuseni

c 2 = a 2 + b 2 .

Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus kolmnurga külgede ja sammude vahelise lineaarse proportsionaalsuse tõttu, samas kui summa on tingitud erinevate jalgade juurdekasvu sõltumatust panusest.

Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei koge juurdekasvu (antud juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks

Variatsioonid ja üldistused

Kui ruutude asemel konstrueeritakse jalgadele muid sarnaseid kujundeid, on Pythagorase teoreemi järgmine üldistus tõene: Täisnurkses kolmnurgas võrdub jalgadele ehitatud sarnaste kujundite pindalade summa hüpotenuusile ehitatud kujundi pindalaga. Eriti:
- Jalgadele ehitatud korrapäraste kolmnurkade pindalade summa on võrdne pindalaga täisnurkne kolmnurk ehitatud hüpotenuusile.
- Jalgadele ehitatud poolringide pindalade summa (nagu läbimõõdul) on võrdne hüpotenuusile ehitatud poolringi pindalaga. Seda näidet kasutatakse kahe ringikaarega piiratud ja hippokraatliku lunula nime kandvate kujundite omaduste tõestamiseks.

Lugu

Chu-pei 500–200 eKr. Vasakul on kiri: kõrguse ja aluse pikkuste ruutude summa on hüpotenuusi pikkuse ruut.

Vana-Hiina raamat Chu-pei räägib Pythagorase kolmnurgast, mille küljed on 3, 4 ja 5: samas raamatus on välja pakutud joonis, mis langeb kokku ühe Baskhara hinduistliku geomeetria joonisega.

Kantor (suurim Saksa matemaatikaajaloolane) usub, et võrdsus 3 ² + 4 ² = 5² oli egiptlastele teada juba umbes 2300 eKr. e., kuningas Amenemhet I ajal (Berliini muuseumi papüüruse 6619 järgi). Cantori sõnul ehitasid harpedonaptid ehk "stringerid" täisnurki, kasutades täisnurkseid kolmnurki külgedega 3, 4 ja 5.

Nende ehitusmeetodit on väga lihtne reprodutseerida. Võtke 12 m pikkune köis ja siduge see 3 m kaugusel mööda värvilist riba selle külge. ühest otsast ja 4 meetri kaugusel teisest. 3–4 meetri pikkuste külgede vahele jääb täisnurk. Harpedonaptidele võib vastu vaielda, et nende ehitusviis muutub üleliigseks, kui kasutada näiteks kõigi puuseppade kasutatavat puidust väljakut. Tõepoolest, on teada Egiptuse joonised, millelt selline tööriist on leitud, näiteks puusepatöökoda kujutavad joonised.

Babüloonlaste seas on Pythagorase teoreemi kohta mõnevõrra rohkem teada. Ühes tekstis, mis pärineb Hammurapi ajast, s.o. aastast 2000 eKr. st on antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ligikaudne arvutus. Sellest võime järeldada, et Mesopotaamias suutsid nad vähemalt mõnel juhul teha arvutusi täisnurksete kolmnurkadega. Tuginedes ühelt poolt Egiptuse ja Babüloonia matemaatika teadmiste praegusele tasemele ning teiselt poolt Kreeka allikate kriitilisele uurimisele, järeldas Van der Waerden (Hollandi matemaatik) järgmise:

Kirjandus

Vene keeles

Skopets Z. A. Geomeetrilised miniatuurid. M., 1990
Jelena Sh. Pythagorase jälgedes. M., 1961
Van der Waerden B.L.Äratusteadus. Matemaatika iidne Egiptus, Babüloonia ja Kreeka. M., 1959
Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. M., 1982
W. Litzman, "Pythagorase teoreem", M., 1960.
- Pythagorase teoreemi käsitlev sait suure hulga tõestustega, materjal on võetud W. Litzmani raamatust, suur hulk jooniseid on esitatud eraldi graafiliste failidena.
Pythagorase teoreem ja Pythagorase kolmikute peatükk D. V. Anosovi raamatust “Pilk matemaatikasse ja midagi sellest”
Pythagorase teoreemist ja selle tõestamise meetoditest G. Glaser, Venemaa Haridusakadeemia akadeemik, Moskva