З давніх часів людина виробила уявлення про красу. Красиві всі творіння природи. По-своєму прекрасні люди, чудові тварини та рослини. Тішить погляд видовище дорогоцінного каменю або кристала солі, складно не милуватися сніжинкою або метеликом. Але чому так відбувається? Нам здається правильним і завершеним вигляд об'єктів, права та ліва половина яких виглядає однаково, як у дзеркальному відображенні.

Мабуть, першими про суть краси замислювалися люди мистецтва. Стародавні скульптори, що вивчали будову людського тіла, ще в V столітті до н. стали застосовувати поняття «симетрія». Це слово має грецьке походження і означає гармонійність, пропорційність та схожість розташування складових частин. Платон стверджував, що прекрасним може лише те, що симетрично і пропорційно.

У геометрії та математиці розглядаються три види симетрії: осьова симетрія (щодо прямої), центральна (щодо точки) та дзеркальна (щодо площини).

Якщо кожна з точок об'єкта має в межах нього точне відображення щодо його центру - має місце центральна симетрія. Її прикладом є такі геометричні тіла, як циліндр, куля, правильна призма тощо.

Осьова симетрія точок щодо прямої передбачає, що ця пряма перетинає середину відрізка, що з'єднує точки, і перпендикулярна йому. Приклади бісектриса нерозгорнутого кута рівнобедреного трикутника, будь-яка пряма, проведена через центр кола, і т.д. Якщо властива осьова симетрія, визначення дзеркальних точок можна наочно уявити, просто перегнувши її по осі і склавши рівні половинки «віч-на-віч». Шукані точки при цьому стикаються.

При дзеркальній симетрії точки об'єкта розташовані однаково щодо площини, що проходить через центр.

Природа мудра і раціональна, тому майже всі її витвори мають гармонійну будову. Це стосується і живих істот, і неживих об'єктів. Для будови більшості форм життя характерний один із трьох видів симетрії: двостороння, променева або куляста.

Найчастіше осьова може спостерігатися у рослин, що розвиваються перпендикулярно поверхні ґрунту. І тут симетричність є результатом повороту ідентичних елементів навколо загальної осі, що у центрі. Кут та частота їх розташування можуть бути різними. Прикладом є дерева: ялина, клен та інші. У деяких тварин осьова симетрія теж трапляється, але це буває рідше. Звичайно, природі рідко притаманна математична точність, але схожість елементів організму все одно вражає.

Біологами частіше розглядається не осьова симетрія, а двостороння (білатеральна). Її прикладом можуть бути крила метелика або бабки, листя рослин, пелюстки квітів тощо. У кожному випадку права і ліва частини живого об'єкта рівні і є дзеркальним відображенням один одного.

Куляста симетрія характерна для плодів багатьох рослин, для деяких риб, молюсків та вірусів. А прикладами променевої симетрії є деякі види черв'яків, голкошкірі.

В очах людини несиметричність найчастіше асоціюється з неправильністю чи неповноцінністю. Тому здебільшого творінь людських рук простежується симетричність і гармонія.

Симетрія в природі є об'єктивною властивістю, однією з основних у сучасному природознавстві. Це універсальна та загальна характеристика нашого матеріального світу.

Симетрія в природі - це поняття, яке відображає існуючий у світі порядок, пропорційність і пропорційність між елементами різних систем або об'єктів природи, рівновага системи, упорядкованість, стійкість, тобто певний

Симетрія та асиметрія – поняття протилежні. Останнє відбиває розпорядження системи, відсутність рівноваги.

Форми симетрій

Сучасне природознавство визначає ряд симетрій, що відбивають властивості ієрархії окремих рівнів організації матеріального світу. Відомі різні види або форми симетрій:

• просторово-часові;
• калібрувальні;
• ізотопічні;
• дзеркальні;
• перестановочні.

Всі перелічені види симетрій можна поділити на зовнішні та внутрішні.

Зовнішня симетрія у природі (просторова чи геометрична) представлена ​​величезним різноманіттям. Це стосується кристалів, живих організмів, молекул.

Внутрішня симетрія прихована від очей. Вона проявляється у законах та математичних рівняннях. Наприклад, рівняння Максвелла, що визначає взаємозв'язок магнітних та електричних явищ, або властивість гравітації Ейнштейна, що зв'язує простір, час та тяжіння.

Навіщо потрібна симетрія у житті?

Симетрія у живих організмах була сформована у процесі еволюції. Перші організми, що зародилися в океані, мали ідеальну сферичну форму. Для того, щоб впровадитися в інше середовище, їм доводилося адаптуватися до нових умов.

Одним із способів подібної адаптації є симетрія у природі на рівні фізичних форм. Симетричним розташуванням частин тіла забезпечується рівновага при русі, життєстійкість та адаптація. Зовнішні форми людини та великих тварин мають досить симетричний вигляд. У рослинному світі також є симетрія. Наприклад, конусоподібна форма крони ялини має симетричну вісь. Це вертикальний ствол, для стійкості потовщений донизу. Також симетрично до нього розташовані окремі гілки, а форма конуса дозволяє раціонально використовувати кроною сонячної енергії. Зовнішня симетрія тварин допомагає їм зберігати рівновагу під час руху, збагачуватися енергією з довкілля, використовуючи її раціонально.

У хімічних та фізичних системах симетрія присутня також. Так, найбільш стійкими є молекули, які мають високу симетрію. Кристали - це високосиметричні тіла, у тому структурі періодично повторюються три виміру елементарного атома.

Асиметрія

Іноді внутрішнє розташування органів живому організмі буває асиметричним. Наприклад, серце розташовується у людини зліва, печінка – праворуч.

Рослини в процесі життєдіяльності з ґрунту поглинають хімічні мінеральні сполуки з молекул симетричної форми і в своєму організмі перетворюють їх на асиметричні речовини: білки, крохмаль, глюкозу.

Асиметрія та симетрія в природі – це дві протилежні характеристики. Це категорії, які завжди перебувають у боротьбі та єдності. Різні рівні розвитку матерії можуть мати властивості то симетрії, то асиметрії.

Якщо припустити, що рівновага є станом спокою та симетрії, а рух і нерівноважний викликано асиметрією, можна сказати, що поняття рівноваги в біології не менш важливо, ніж у фізиці. Біологічна характеризується принципом стійкості термодинамічної рівноваги Саме асиметрію, яка є стійкою динамічною рівновагою, можна вважати ключовим принципом під час вирішення проблеми зародження життя.

До поняття симетрії ми звикаємо з дитинства. Ми знаємо, що симетричний метелик: у нього однакові праве і ліве крильця; симетричне колесо, сектори якого однакові; симетричні візерунки орнаменти, зірочки сніжинок.

Проблемі симетрії присвячена воістину неосяжна література. Від підручників та наукових монографій до творів, що звертають увагу не так на креслення та формули, як на художні образи.

Сам термін "симетрія" по-грецьки означає "пропорційність", яку давні філософи розуміли як окремий випадок гармонії - узгодження частин у рамках цілого. Багато народів з давніх часів володіли уявленням про симетрію в широкому сенсі - як еквівалент врівноваженості та гармонії.

Симетрія є однією з найбільш фундаментальних та однією з найбільш загальних закономірностей світобудови: неживої, живої природи та суспільства. З нею ми зустрічаємося всюди. Поняття симетрії проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Воно зустрічається вже біля джерел людського знання; його широко використовують усі без винятку напрямки сучасної науки. Дійсно, симетричні об'єкти оточують нас буквально з усіх боків, ми маємо справу з симетрією скрізь, де спостерігається якась упорядкованість. Виходить, що симетрія – це врівноваженість, впорядкованість, краса, досконалість. Вона різноманітна, всюдисуща. Вона створює красу та гармонію. Симетрія буквально пронизує весь світ, що оточує нас, саме тому обрана мною тема завжди буде актуальною.

Симетрія виражає збереження чогось за якихось змін або збереження чогось, незважаючи на зміну. Симетрія передбачає незмінність як самого об'єкта, а й будь-яких його властивостей стосовно перетворенням, виконаним над об'єктом. Незмінність тих чи інших об'єктів може спостерігатися по відношенню до різноманітних операцій – до поворотів, переносів, взаємної заміни частин, відбитків тощо. буд. У зв'язку з цим виділяють різні види симетрії. Розглянемо всі види докладніше.

ОСІВА СИМЕТРІЯ.

Симетрія щодо прямої називається осьової симетрією (дзеркальним відображенням щодо прямої).

Якщо точка А лежить на осі l, вона симетрична самої собі, т. е. А збігається з А1.

Зокрема, якщо при перетворенні симетрії щодо осі l фігура F переходить сама в себе, то вона називається симетричною щодо осі l, а вісь l називається її віссю симетрії.

ЦЕНТРАЛЬНА СИМЕТРІЯ.

Фігура називається центрально-симетричною, якщо існує точка, щодо якої кожна точка фігури симетрична деякій точці тієї ж фігури. А саме: рух, який змінює напрямки на протилежні, є центральною симетрією.

Точка О називається центром симетрії та є нерухомою. Інших нерухомих точок це перетворення немає. Прикладами фігур, що мають центр симетрії, є паралелограм, коло і т.д.

Знайомі поняття повороту та паралельного перенесення використовуються щодо так званої трансляційної симетрії. Розглянемо трансляційну симетрію докладніше.

1. ПОВОРОТ

Перетворення, при якому кожна точка фігури А (тіла) повертається на один і той же кут α навколо заданого центру О, називається обертанням або поворотом площини. Точка О називається центром обертання, а кут - кутом обертання. Точка є нерухомою точкою цього перетворення.

Цікавою є поворотна симетрія кругового циліндра. Він має безліч поворотних осей 2-го порядку і одну поворотну вісь нескінченно високого порядку.

2. ПАРАЛЕЛЬНИЙ ПЕРЕНОС

Перетворення, при якому кожна точка фігури (тіла) переміщається в тому самому напрямку на одну і ту ж відстань, називається паралельним переносом.

Щоб задати перетворення паралельного перенесення, достатньо задати вектор а.

3. СКОЛЬЧА СИМЕТРІЯ

Ковзною симетрією називається таке перетворення, при якому послідовно виконуються осьова симетрія паралельне перенесення. Ковзна симетрія - ізометрія евклідової площини. Ковзною симетрією називають композицію симетрії щодо деякої прямої l і перенесення на вектор, паралельний l (цей вектор може бути нульовим).

Ковзну симетрію можна представити у вигляді композиції 3 осьових симетрій (теорема Шаля).

ДЗЕРКАЛЬНА СИМЕТРІЯ

Що може бути більше схоже на мою руку чи моє вухо, ніж їхнє власне відображення в дзеркалі? І все ж таки руку, яку я бачу в дзеркалі, не можна поставити на місце справжньої руки.

Іммануїл Кант.

Якщо перетворення симетрії щодо площини перетворює фігуру (тіло) у себе, то фігура називається симетричною щодо площини, а ця площина – площиною симетрії цієї фігури. Таку симетрію називають дзеркальною. Як показує сама назва, дзеркальна симетрія пов'язує певний предмет та його відображення у плоскому дзеркалі. Два симетричні тіла не можуть бути «вкладені один в одного», тому що в порівнянні з самим об'єктом його зазеркальний двійник виявляється, вивернутим вздовж напрямку, перпендикулярного площині дзеркала.

Симетричні фігури при всій їх схожості істотно відрізняються одна від одної. Двійник, що спостерігається в дзеркалі, не є точною копією самого об'єкта. Дзеркало не просто копіює об'єкт, а змінює місцями (представляє) передні та задні по відношенню до дзеркала частини об'єкта. Наприклад, якщо у вас родимка знаходиться на правій щоці, то у дзеркального двійника на лівій. Піднесіть до дзеркала книгу, - і ви побачите, що літери ніби вивернуті навиворіт. У дзеркалі все переставлено праворуч наліво.

Дзеркально рівними тілами називаються тіла, якщо при належному зміщенні вони можуть утворити дві половини дзеркально симетричного тіла.

2. 2 Симетрія у природі

Фігура має симетрію, якщо існує рух (перетворення не тотожне), що переводить її в себе. Наприклад, фігура має поворотну симетрію, якщо вона переводиться в себе деяким поворотом. Але в природі за допомогою математики краса не створюється, як у техніці та мистецтві, а лише фіксується, виражається. Вона не тільки тішить око і надихає поетів усіх часів і народів, а дозволяє живим організмам краще пристосуватися до довкілля і просто вижити.

В основі будови будь-якої живої форми лежить принцип симетрії. З прямого спостереження ми можемо вивести закони геометрії та відчути їхню незрівнянну досконалість. Цей порядок є закономірною необхідністю, оскільки ніщо в природі не є чисто декоративним цілям, допомагає нам знайти загальну гармонію, на якій ґрунтується все світобудова.

Ми бачимо, що природа проектує будь-який живий організм згідно з певною геометричною схемою, причому закони світобудови мають чітке обґрунтування.

Принципи симетрії є основою теорії відносності, квантової механіки, фізики твердого тіла, атомної і ядерної фізики, фізики елементарних частинок. Ці принципи найяскравіше виражаються у властивостях інваріантності законів природи. Мова при цьому йде не лише про фізичні закони, а й інші, наприклад, біологічні.

Говорячи про роль симетрії у процесі наукового пізнання, слід особливо виділити застосування методу аналогій. За словами французького математика Д. Пойа, "не існує, можливо, відкриттів ні в елементарній, ні у вищій математиці, ні, мабуть, у будь-якій іншій галузі, які могли бути зроблені без аналогій". загальні закономірності, які виявляються однаковим чином різних рівнях ієрархії.

Отже, у сучасному розумінні симетрія – це загальнонаукова філософська категорія, що характеризує структуру організації систем. Найважливішим властивістю симетрії є збереження (інваріантність) тих чи інших ознак (геометричних, фізичних, біологічних і т. д.) стосовно цілком певних перетворень. Математичним апаратом вивчення симетрії сьогодні є теорія груп та теорія інваріантів.

Симетрія у світі рослин

Специфіка будови рослин визначається особливостями довкілля, до якого вони пристосовуються. Будь-яке дерево має основу і вершину, "верх" і "низ", що виконують різні функції. Значимість відмінності верхньої та нижньої частин, а також напрямок сили тяжіння визначають вертикальну орієнтацію поворотної осі "деревного конуса" та площин симетрії. Дерево за допомогою кореневої системи поглинає вологу та поживні речовини з ґрунту, тобто знизу, а інші життєво важливі функції виконуються кроною, тобто нагорі. У той самий час напрями у площині, перпендикулярної до вертикалі, для дерева практично невиразні; по всіх цих напрямках до дерева однаково надходить повітря, світло, волога.

Дерево має вертикальну поворотну вісь (вісь конуса) та вертикальні площини симетрії.

Коли ми хочемо намалювати лист рослини або метелика, то нам доводиться враховувати їхню осьову симетрію. Середня жилка для аркуша служить віссю симетрії. Яскраво виражену симетрію мають листя, гілки, квіти, плоди. Для листя характерна дзеркальна симетрія. Ця ж симетрія зустрічається і у кольорів, однак у них дзеркальна симетрія частіше виступає у поєднанні з поворотною симетрією. Непоодинокі випадки і переносний симетрії (гілочки акації, горобини).

У різноманітному світі кольорів зустрічаються поворотні осі різних порядків. Однак найпоширеніша поворотна симетрія 5-го порядку. Ця симетрія зустрічається у багатьох польових квітів (дзвін, незабудка, герань, гвоздика, звіробій, перстач), у квітів плодових дерев (вишня, яблуня, груша, мандарин та ін.), у квітів плодово-ягідних рослин (суниця, малина, калина) , черемха, горобина, шипшина, глід) та ін.

Цей факт академік М. Бєлов пояснює тим, що вісь 5-го порядку - своєрідний інструмент боротьби за існування, "страховка проти скам'янення, кристалізації, першим кроком якої було б їх упіймання ґратами". Дійсно, живий організм не має кристалічної будови в тому сенсі, що навіть окремі його органи не мають просторових ґрат. Однак упорядковані структури у ній представлені дуже широко.

У своїй книзі «Цей правий, лівий світ» М. Гарднер пише: «На Землі життя зародилося у сферично-симетричних формах, а потім почало розвиватися за двома головними лініями: утворився світ рослин, що мають симетрію конуса, і світ тварин з білатеральною симетрією».

У природі існують тіла, що мають гвинтову симетрію, тобто поєднання зі своїм початковим положенням після повороту на кут навколо осі, додатковим зрушенням уздовж тієї ж осі.

Якщо раціональне число, то поворотна вісь виявляється також віссю перенесення.

Листя на стеблі розташоване не по прямій, а оточує гілку по спіралі. Сума всіх попередніх кроків спіралі, починаючи з вершини, дорівнює величині наступного кроку А + В = С, + С = Д і т. д.

Гвинтова симетрія спостерігається у розташуванні листя на стеблах більшості рослин. Розташовуючись гвинтом по стеблі, листя ніби розкидається на всі боки і не затуляє один одного від світла, вкрай необхідного для життя рослин. Це цікаве, ботанічне явище зветься філлотаксису (буквально «влаштування листа»).

Іншим проявом філлотаксису виявляється пристрій суцвіття соняшнику або луски ялинової шишки, в якій лусочки розташовуються у вигляді спіралей та гвинтових ліній. Таке розташування особливо чітко видно у ананаса, що має більш менш шестикутні осередки, які утворюють ряди, що йдуть в різних напрямках.

Симетрія у світі тварин

Значення форми симетрії для тварин легко зрозуміти, якщо поставити її у зв'язок з способом життя, екологічними умовами. Під симетрією у тварин розуміють відповідність у розмірах, формі та обрисах, а також відносне розташування частин тіла, що знаходяться на протилежних сторонах лінії, що розділяє.

Поворотна симетрія 5-го порядку трапляється у тваринному світі. Це симетрія, коли об'єкт поєднується сам із собою при повороті навколо поворотної осі 5 раз. Прикладами можуть бути морська зірка і панцир морського їжака. Вся шкіра морських зірок ніби інкрустована дрібними пластинками з вуглекислого кальцію, від деяких пластин відходять голки, частина яких рухлива. Звичайна морська зірка має 5 площин симетрії і 1 віссю обертання 5-го порядку (це найвища симетрія серед тварин). Її предки, мабуть, мали нижчу симетрію. Про це свідчить, зокрема, будова личинок зірки: вони, як і більшість живих істот, у тому числі людина, мають лише одну площину симетрії. Морські зірки немає горизонтальної площині симетрії: вони мають «верх» і «низ». Морські їжаки схожі на живі подушечки для шпильок; кулясте тіло їх несе довгі та рухливі голки. У цих тварин вапняні платівки шкіри злилися та утворили сферичну раковину панцир. У центрі нижньої поверхні є рот. Амбулакральні ніжки (водосудинна система) зібрані в 5 смуг на поверхні раковини.

Однак, на відміну від світу рослин, поворотна симетрія в тваринному світі спостерігається рідко.

Для комах, риб, яєць, тварин характерна несумісна з поворотною симетрією відмінність між напрямками «вперед» та «назад».

Напрямок руху є принципово виділеним напрямком, щодо якого немає симетрії у будь-якої комахи, будь-якої птиці чи риби, будь-якої тварини. У цьому напрямку тварина прямує за їжею, у цьому ж напрямі вона рятується від переслідувачів.

Окрім напрямку руху симетрію живих істот визначає ще один напрямок – напрямок сили тяжіння. Обидва напрями суттєві; вони задають площину симетрії тваринного істоти.

Білатеральна (дзеркальна) симетрія – характерна симетрія всіх представників тваринного світу. Ця симетрія добре видно у метелика. Симетрія лівого та правого крила проявляються тут із майже математичною строгістю.

Можна сказати, що кожна тварина (а також комаха, риба, птах) складається з двох енантіоморфів - правої та лівої половин. Енантіоморф є також парні деталі, одна з яких потрапляє в праву, а інша в ліву половину тіла тварини. Так, енантіоморфами є праве та ліве вухо, праве та ліве око, праве та ліве ріг тощо.

Спрощення умов життя може призвести до порушення двосторонньої симетрії, і тварини із двосторонньо-симетричних стають радіально-симетричними. Це стосується голкошкірих (морські зірки, морські їжаки, морські лілії). Всі морські тварини мають радіальну симетрію, при якій частини тіла відходять по радіусах від центральної осі, подібно до спиць колеса. Ступінь активності тварин корелює зі своїми типом симетрії. Радіально симетричні голкошкірі зазвичай мало рухливі, переміщаються повільно або прикріплені до морського дна. Тіло морської зірки складається з центрального диска і 5-20 або більшої кількості променів, що радіально відходять від нього. Математичною мовою цю симетрію називають поворотною симетрією.

Зазначимо, нарешті, дзеркальну симетрію людського тіла (йдеться про зовнішній вигляд і будову скелета). Ця симетрія завжди була і є основним джерелом нашого естетичного замилування добре складеним людським тілом. Не станемо поки що розбиратися, чи існує насправді абсолютно симетрична людина. У кожного, зрозуміло, виявиться родимка, пасмо волосся або якась інша деталь, що порушує зовнішню симетрію. Ліве око ніколи не буває точно таким, як праве, та й куточки рота знаходяться на різній висоті, принаймні у більшості людей. І все-таки це лише дрібні невідповідності. Ніхто не засумнівається, що зовні людина побудована симетрично: лівій руці завжди відповідає права та обидві руки абсолютно однакові.

Кожному відомо, що схожість між нашими руками, вухами, очима та іншими частинами тіла така сама, як між предметом та його відображенням у дзеркалі. Саме питанням симетрії та дзеркального відображення тут і приділяється увага.

Багато художників звертали пильну увагу на симетрію і пропорції людського тіла, принаймні доти, доки ними керувало бажання у своїх творах якомога точніше дотримуватися природи.

У сучасних школах живопису як єдина міра найчастіше приймається розмір голови по вертикалі. З відомим припущенням можна вважати, що довжина тулуба перевищує розмір голови у вісім разів. Розміру голови пропорційна як довжина тулуба, а й розміри інших частин тіла. За цим принципом побудовані всі люди, тому ми, загалом, схожі один на одного. Проте наші пропорції узгоджуються лише приблизно, тому люди лише схожі, але з однакові. Принаймні всі ми симетричні! До того ж, деякі художники у своїх творах особливо підкреслюють цю симетрію.

Наша власна дзеркальна симетрія дуже зручна для нас, вона дозволяє нам рухатися прямолінійно та з однаковою легкістю повертатися праворуч та ліворуч. Така ж зручна дзеркальна симетрія для птахів, риб та інших істот, що активно рухаються.

Двостороння симетрія означає, що одна сторона тіла тварини є дзеркальним відображенням іншої сторони. Такий тип організації уражає більшості безхребетних, особливо кільчастих черв'яків і членистоногих – ракоподібних, павукоподібних, комах, метеликів; для хребетних – риб, птахів, ссавців. Вперше двостороння симетрія у плоских черв'яків, які мають передній і задній кінці тіла різняться між собою.

Розглянемо ще один тип симетрії, що зустрічається у тваринному світі. Це гвинтова чи спіральна симетрія. Гвинтова симетрія є симетрією щодо комбінації двох перетворень - повороту і перенесення вздовж осі повороту, тобто йде переміщення вздовж осі гвинта і навколо осі гвинта.

Прикладами природних гвинтів є: бивень нарвала (невеликого китоподібного, що у північних морях) – лівий гвинт; раковина равлика – правий гвинт; роги памирського барана - енантіоморфи (один ріг закручений по лівій, а інший по правій спіралі). Спіральна симетрія не буває ідеальною, наприклад раковина у молюсків звужується або розширюється на кінці. Хоча зовнішня спіральна симетрія у багатоклітинних тварин зустрічається рідко, натомість спіральну структуру мають багато важливих молекул, з яких побудовано живі організми – білки, дезоксирибонуклеїнові кислоти – ДНК.

Симетрія у неживій природі

Симетрія кристалів - властивість кристалів поєднуватися із собою у різних положеннях шляхом поворотів, відбитків, паралельних переносів чи частини чи комбінації цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (огранювання) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фізичних властивостей кристала.

Розглянемо уважно багатогранні форми кристалів. Насамперед видно, що кристали різних речовин відрізняються один від одного за своїми формами. Кам'яна сіль – це завжди кубики; гірський кришталь - завжди шестигранні призми, іноді з головками у вигляді тригранних або шестигранних пірамід; алмаз - найчастіше правильні восьмигранники (октаедри); лід – шестигранні призмочки, дуже схожі на гірський кришталь, а сніжинки – завжди шестипроменеві зірочки. Що впадає у вічі, коли дивишся на кристали? Насамперед, їхня симетрія.

Багато хто думає, що кристали - це красиві камені, що рідко зустрічаються. Вони бувають різних кольорів, зазвичай прозорі і, що найчудовіше, мають гарну правильну форму. Найчастіше кристали є багатогранниками, сторони (грані) їх ідеально плоскі, ребра строго прямі. Вони радують око чудовою грою світла в гранях, дивовижною правильністю будови.

Проте кристали – зовсім не музейна рідкість. Кристали оточують нас усюди. Тверді тіла, з яких ми будуємо будинки та верстати, речовини, які ми вживаємо у побуті, - майже всі вони відносяться до кристалів. Чому ж ми цього не бачимо? Справа в тому, що в природі рідко трапляються тіла у вигляді окремих одиночних кристалів (або, як кажуть, монокристалів). Найчастіше речовина зустрічається у вигляді кристалічних зернят, що міцно зчепилися, вже зовсім малого розміру - менше тисячної частки міліметра. Таку структуру можна побачити лише у мікроскоп.

Тіла, що складаються з кристалічних зерен, називаються дрібнокристалічними, або полікристалічними ("полі" - по-грецьки "багато").

Звичайно, до кристалів треба віднести і дрібнокристалічні тіла. Тоді виявиться, що майже всі тверді тіла, що оточують нас, - кристали. Пісок та граніт, мідь та залізо, фарби – все це кристали.

Є й винятки; скло та пластмаси не складаються з кристаликів. Такі тверді тіла називаються аморфними.

Вивчати кристали - це означає вивчати майже всі оточуючі нас тіла. Зрозуміло, наскільки це важливо.

Поодинокі кристали відразу ж дізнаються про правильність форм. Плоскі грані та прямі ребра є характерною властивістю кристала; правильність форми безперечно пов'язана з правильністю внутрішньої будови кристала. Якщо кристал у якомусь напрямі особливо витягнувся, отже, і будова кристала у цьому напрямі якесь особливе.

Є центр симетрії і в кубику кам'яної солі, і у восьмиграннику алмазу, і у зірочці сніжинки. А от у кристалі кварцу центру симетрії немає.

Найбільш точна симетрія здійснюється у світі кристалів, але і тут вона неідеальна: невидимі оком тріщини, подряпини завжди роблять рівні грані трохи відмінними один від одного.

Усі кристали симетричні. Це означає, що в кожному кристалічному багатограннику можна знайти площини симетрії, осі симетрії, центр симетрії або інші елементи симетрії так, щоб поєдналися один з одним однакові частини багатогранника.

Всі елементи симетрії повторюють однакові частини фігури, все надають їй симетричної краси і завершеності, але центр симетрії - найцікавіший. Від того, чи є в кристалі центр симетрії чи ні його, можуть залежати як форма, а й дуже багато фізичні властивості кристала.

Соти – справжній конструкторський шедевр. Вони складаються з низки шестигранних осередків. Це найщільніша упаковка, що дозволяє найвигідніше розмістити в комірці личинку і при максимально можливому обсязі найбільше економно використовувати будівельний матеріал-віск.

III Висновок

Симетрія пронизує буквально все навколо, захоплюючи, здавалося б, зовсім несподівані області та об'єкти Вона, виявляючись у різних об'єктах матеріального світу, безсумнівно, відображає найбільш загальні, найбільш фундаментальні його властивості. Принципи симетрії відіграють важливу роль у фізиці та математиці, хімії та біології, техніці та архітектурі, живописі та скульптурі, поезії та музиці.

Ми бачимо, що природа проектує будь-який живий організм згідно з певною геометричною схемою, причому закони світобудови мають чітке обґрунтування. Тому дослідження симетрії різноманітних природних об'єктів та зіставлення його результатів є зручним та надійним інструментом пізнання основних закономірностей існування матерії.

Закони природи, що керують невичерпною у своєму різноманітті картиною явищ, у свою чергу, підкоряються принципам симетрії. Існує безліч видів симетрії, як у рослинному, так і в тваринному світі, але при всьому різноманітті живих організмів принцип симетрії діє завжди, і цей факт ще раз підкреслює гармонійність нашого світу. Симетрія є основою речей і явищ, висловлюючи щось спільне, властиве різним об'єктам, тоді як асиметрія пов'язані з індивідуальним втіленням цього у конкретному об'єкті.

Отже, на площині маємо чотири види рухів, що переводять фігуру F у рівну фігуру F1:

1) паралельне перенесення;

2) осьова симетрія (відображення від прямої);

3) поворот навколо точки (Частковий випадок – центральна симетрія);

4) «ковзне» відображення.

У просторі до перелічених вище видів симетрії додається дзеркальна.

Вважаю, що мети, поставленої в рефераті, досягнуто. При написанні реферату найбільшою складністю мені стали власні висновки. Думаю, що моя робота допоможе школярам розширити уявлення про симетрію. Сподіваюся, що мій реферат увійде до методичного фонду кабінету математики.

"Математична симетрія" - Типи симетрії. Симетрія у математиці. МАЄ БАГАТО СПІЛЬНОГО З ОСІВОЮ СИМЕТРІЄЮ В МАТЕМАТИЦІ. У віршах рима є поступальну симетрію. Симетрія в хімії та фізиці. Фізична симетрія. У х і м і в. Двостороння симетрія. Роль симетрії у світі. Спіральна симетрія. Симетрія у хімії.

«Орнамент» – види орнаменту. Геометричний. а) Усередині смуги. 1 2 3. Створення орнаменту за допомогою осьової симетрії та паралельного перенесення. 2011. Перетворення, що використовуються для створення орнаменту: Площинний. в) З обох сторін смуги. Поворот.

«Рух у геометрії» - Рух у геометрії. До яких наук застосовується рух? Поняття руху Осьова симетрія Центральна симетрія. У яку фігуру під час руху переходить відрізок, кут та ін.? Назвіть приклади руху. Що називається рухом? Як рух використовується у різних сферах діяльності людини? Математика гарна та гармонійна!

«Симетрія в природі» - Ми займаємося у шкільному науковому суспільстві тому, що любимо пізнавати щось нове та невідоме. У 19 столітті, у Європі, з'явилися поодинокі роботи, присвячені симетрії рослин. Симетрія в природі та в житті. Однією з основних властивостей геометричних фігур є симетрія. Роботу виконали: Жаворонкова Таня Ніколаєва Лера Керівник: Артеменко Світлана Юріївна.

«Симетрія навколо нас» – обертання (поворотна). Центральна щодо точки. обертання. Симетрія на площині. Осьова симетрія щодо прямої. Навколо нас. Симетрія у просторі. Горизонтальні. Симетрія панує. Дзеркальна. Два види симетрії. Усі види осьової симетрії. Грецьке слово симетрія означає пропорційність, гармонія.

«Точка симетрії» - приклади вищезгаданих видів симетрії. До таких фігур відносяться паралелограм, відмінний від прямокутника, різнобічний трикутник. З симетрією ми зустрічаємося у природі, побуті, архітектурі та техніці. Симетрія в архітектурі. Симетрія у природі. Симетрія плоских фігур. Прямокутник і ромб, які є квадратами, мають дві осі симетрії.

Всього у темі 32 презентації

СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 55

РАДЯНСЬКОГО РАЙОНУ МІСТО ВОРОНІЖ

Науково-дослідна робота

на тему:

«Симетрія у житті людини»

Виконав учень

8 «Б» класу:

Мітін Олексій

Керівник:

учитель математики

Бєляєва М.В.

Воронеж, 2015р.

Зміст:

1. 
   Актуальність теми.
2. 
   Симетрія та її види.
3. 
   Симетрія у мистецтві.
   1. 
      Архітектура;
   2. 
      Живопис;
   3. 
      Література та музика.
4. 
   Симетрія та техніка.
5. 
   Симетрія у різних науках.
   1. 
      Біологія;
   2. 
      фізика;
   3. 
      Хімія.
6. 
   Висновки.
7. 
   Використовувана література.

Актуальність теми.

У основі краси багатьох форм лежить симетрія чи її види. Ця тема дуже велика і торкається крім математики багато інших галузей наук, мистецтва, техніки. Саме симетрія переважає у природі над асиметрією. Уявити або згадати якусь асиметричну тварину зможе не кожен, адже їх не багато і в основному це різні бактерії або найпростіші організми, а також тварини, які отримали властивість асиметрії через необхідність. Пізнання природи та життя – перше завдання людини. І одним із головних щаблів до цієї мети є пізнання симетрії.

Симетрія є тією ідеєю, за допомогою якої людина століттями намагається пояснити та створити порядок, красу та досконалість.

Герман Вейль

Цілі дослідження:

• 
  вивчити поняття симетрії та її видів (центральна, осьова, поворотна, дзеркальна та ін),
• 
  провести дослідження з вивчення явищ симетрії у біології, фізиці, архітектурі, живописі, літературі, транспорті та техніці;
• 
  набуття навичок самостійної роботи з великими обсягами інформації.

Симетрія та її види.

Поняття симетрії почало складатися дуже давно. Вивчення археологічних пам'яток показує, що людство на зорі своєї культури вже мало уявлення про симетрію та здійснювало її у малюнку та у предметах побуту. Нині вона широко використовується у багатьох напрямках сучасної науки.

Симетрія – це пропорційність, пропорційність у розташуванні частин чогось по обидва боки від центру.

Протягом століть симетрія залишається предметом, який зачаровує філософів, астрономів, математиків, художників, архітекторів та фізиків. Стародавні греки були цілком одержимі нею - і навіть сьогодні ми, як правило, стикаємося з симетрією у всьому від розташування меблів до стрижки волосся.

Розрізняють три основні види симетрії: дзеркальна, осьова та центральна. Також є ковзна, гвинтова, точкова, поступальна, фрактальна та інші види симетрії.

Осьова симетрія: дві точки називаються симетричними щодо прямої, якщо ця пряма проходить через середину відрізка, що з'єднує ці точки і перпендикулярна до нього. Кожна точка цієї прямої вважається симетричною сама собі. Фігура називається симетричною щодо прямої, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямої також належить цій фігурі. Також кажуть, що фігура має осьову симетрію. Класичними фігурами з такою симетрією будуть коло, прямокутник, ромб, квадрат, причому вони матимуть кілька осей симетрії. Під осьової симетрією так само в природничих науках приймають обертальну або радіальну симетрію - форма симетрії, при якій фігура збігається сама з собою при обертанні об'єкта навколо певної прямої. Центром симетрії об'єкта називають пряму, де перетинаються всі осі двосторонньої симетрії. Радіальну симетрію мають такі геометричні об'єкти, як коло, куля, циліндр або конус.

Центральна симетрія: дві точки A та A 1 називаються симетричними щодо точки O, якщо O – середина відрізка AA 1 . Фігура називається симетричною щодо точки O, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точки O також належить цій фігурі. Точка O називається центром симетрії фігури. Це означає, що фігура має центральну симетрію.

Прикладами фігур, які мають цю симетрію, будуть коло та паралелограм. Центр симетрії кола є центром цього кола, а центром паралелограма – точка перетину його діагоналей. Найпростіший приклад, який я можу навести - рослини, майже в будь-яких рослинах можна знайти частину, що має центральну або осьову симетрію, але при цьому сама квітка матиме центральну симетрію тільки у разі парної кількості пелюсток.

Дзеркальною симетрією називають таке відображення простору на себе, при якому будь-яка точка M переходить у симетричну їй щодо цієї площини α точку M 1. Коли ми дивимось у дзеркало, ми спостерігаємо у ньому своє відображення – це приклад «дзеркальної» симетрії. Дзеркальне відображення - це приклад так званого ортогонального перетворення, що змінює орієнтацію. Я думаю, відображення у річці також буде гарним прикладом дзеркальної симетрії. Цю симетрію називають у інших науках билатеральной і двосторонньої. Вона особливо помітна в архітектурі, а також у тваринному світі. Людина так само володіє і якщо подумки провести лінію по центру, то права частина буде відповідати лівою.

Симетрія у мистецтві.

Ми захоплюємося красою навколишнього світу і не замислюємося, що є основою цієї краси. Наука і мистецтво – два основних засади у людській культурі, дві доповнюють одна одну форми вищої творчої діяльності. Симетрія у мистецтві грає величезну роль і майже в одній архітектурній споруді не обходиться без неї.

Чудові зразки симетрії демонструють твори архітектури. У ній тісно пов'язані та суворо врівноважені наука, техніка, мистецтво. Люди завжди прагнули досягти гармонії в архітектурі. Завдяки цьому прагненню світ з'являлися нові винаходи, конструкції і стилі. Людська творчість у всіх своїх проявах тяжіє до симетрії. Щодо цього добре висловився відомий французький архітектор Ле Корбюзьє, у своїй книзі «Архітектура XX століття» він писав: «Людині необхідний порядок: без нього всі його дії втрачають узгодженість, логічну взаємність. Чим досконаліший порядок, тим спокійніше і впевненіше почувається людина. Архітектурні споруди, створені людиною, здебільшого симетричні. Вони приємні для ока, їх люди вважають гарними. Симетрія сприймається людиною як прояв закономірності, отже, внутрішнього порядку. Зовні цей внутрішній порядок сприймається як краса. Дзеркальної симетрії підпорядковані споруди Стародавнього Єгипту, амфітеатри, тріумфальні арки римлян, палаци та церкви Ренесансу, як і численні споруди сучасної архітектури. Симетрія споруди пов'язується з організацією її функцій. Проекція площини симетрії - вісь будівлі - зазвичай визначає розміщення головного входу і початок основних потоків руху. Школа, в якій я навчаюся, так само має цей тип симетрії.

У мистецтві існує математична теорія живопису. Це теорія перспективи. Перспектива - це вчення про те, як передати на плоскому аркуші паперу відчуття глибини простору, тобто передати світ таким, як ми його бачимо. Вона ґрунтується на дотриманні кількох законів. Закони перспективи полягають у тому, що чим далі від нас знаходиться предмет, тим він нам здається меншим, зовсім нечітким, на ньому менше деталей, підстава його вища. Симетрична композиція легко сприймається глядачем, відразу привертаючи увагу до центру картини, в якому і знаходиться головне, щодо якого розгортається дія. Художники епохи Відродження часто будували свої композиції за законами симетрії. Така побудова дозволяє досягти враження спокою, величності, особливої ​​урочистості та значущості подій. Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого.

У музиці та літературі так само спостерігається симетрія та певні пропорції. Наприклад, у другій половині ХІХ століття аналізуючи твори Баха, Е.К. Розєнов дійшов висновку, що в них «панують закон золотого перерізу та закон симетрії». У його дослідженні золотий перетин розглядається як умова пропорційності музичного твору, при цьому золотий переріз має вирішувати три завдання: 1) встановлювати пропорційне відношення між цілим і його частинами; 2) бути особливим місцем задоволення підготовленого очікування по відношенню до цілого та його частин; 3) звертати увагу слухача на ті місця музичного твору, яким автор надає найбільшого значення у зв'язку з основною ідеєю твору. Діяльність М.А. Марутаєва золотий переріз, поруч із так званими якісною та порушеною симетрією, розцінюється як передумова гармонії до музики. Роботи, присвячені дослідженню золотого перерізу в музиці, відіграють важливу роль у осягненні специфіки музичного мистецтва. Найпоширеніший вид симетрії музикою - це трансляційний вид. І тут музична фраза, мелодія чи великі уривки музичного твори повторюються, залишаючись незмінними. Усі пісні, у яких приспів повторюється кілька разів, матимуть цей вид симетрії.

Пропорція та симетрія об'єкта завжди необхідна нашому зоровому сприйняттю, щоб ми могли вважати цей об'єкт красивим. Баланс і пропорція частин щодо цілого обов'язкові для симетрії. Дивитися на симетричні зображення приємніше, ніж асиметричні. Важко знайти людину, яка не милувалася орнаментами. Вони можна знайти вигадливе поєднання різних типів симетрії.

Симетрія у техніці.

Технічні об'єкти - літаки, автомашини, ракети, молотки, гайки - практично всі вони від найменших технічних приладів до величезних ракет мають ту чи іншу симетрію і це не випадково. У техніці краса, пропорційність механізмів часто буває пов'язана з їх надійністю, стійкістю в роботі. Симетрична форма дирижабля, літака, підводного човна, автомобіля тощо. забезпечує хорошу обтічні повітрям або водою, а значить, і мінімальний опір руху. Будь-який верстат, машина, прилад, механізм, вузол повинні компонуватись навколо встановленої симетрії. На зорі розвитку авіації наші знамениті вчені Н. Є. Жуковський та С. А. Чаплигін досліджували політ птахів, щоб зробити висновки щодо кращої форми крила та умов його польоту. Велику роль у цьому відіграла, звісно, ​​симетрія. Навіть сучасні бойові винищувачі, такі як Су-27, МіГ-29 і Т-50, в основі своїй спроектовані за законами симетрії.

Симетрія у різних науках.

Всі представники тваринного царства – ссавці, птахи, риби, комахи, черв'яки, павукоподібні та ін. у своїх зовнішніх формах та будові свого скелета демонструють нам дзеркальну симетрію, тобто рівність правого та лівого. Розглядаючи будь-яку з цих живих істот, ми можемо подумки провести через нього вертикальну площину, щодо якої те, що розташоване праворуч, буде дзеркальним відображенням того, що розташоване ліворуч, і навпаки. Рівність це виконується не з точністю до часток міліметра, можливо, і не до міліметра, але, з деяким ступенем наближення, дзеркальна симетрія в наявності. Візуально ми сприймаємо живі організми як симетричні. Під відображеннями розуміють будь-які дзеркальні відображення - у точці, лінії, площині. Уявна площина, яка поділяє фігури на дві дзеркальні половини, називається площиною симетрії. Метелик, лист рослини – найпростіші приклади фігур, що володіють лише однією площиною симетрії, що ділить її на дві дзеркально рівні частини. Тому цей вид симетрії в біології називається двосторонньою або білатеральною. Вважають, що така симетрія пов'язана з відмінностями рухів організмів вгору - вниз, вперед - назад, тоді як рухи направо - наліво абсолютно однакові. Порушення білатеральної симетрії неминуче призводить до гальмування руху однієї зі сторін та зміни поступального руху. Тому невипадково активно рухливі тварини двосторонньо симетричні. Але такий вид симетрії зустрічається і у нерухомих організмів та їх органів. Вона виникає у разі внаслідок неоднаковості умов, у яких перебувають прикріплена і вільна сторони. Очевидно, так пояснюється білатеральність деяких листків, квіток та променів коралових поліпів. Специфіка будови рослин і тварин визначається особливостями довкілля, до якого вони пристосовуються, особливостями їхнього способу життя. Будь-яке дерево має основу і вершину, "верх" і "низ", що виконують різні функції. Значимість відмінності верхньої та нижньої частин, а також напрямок сили тяжіння визначають вертикальну орієнтацію поворотної осі "деревного конуса" та площин симетрії. Для листя характерна дзеркальна симетрія. Ця ж симетрія зустрічається і у кольорів, однак у них дзеркальна симетрія частіше виступає у поєднанні з поворотною симетрією. Поворотна симетрія – це така симетрія, коли об'єкт поєднується сам із собою при повороті на 360°/n. Непоодинокі випадки і переносний симетрії (гілочки акації, горобини). Цікаво, що у квітковому світі найбільш поширена поворотна симетрія 5-го порядку, яка принципово неможлива у періодичних структурах неживої природи. Цей факт академік М. Бєлов пояснює тим, що вісь 5-го порядку - своєрідний інструмент боротьби за існування, "страховка проти скам'янення, кристалізації, першим кроком якої було б їх упіймання ґратами". Дійсно, живий організм не має кристалічної будови в тому сенсі, що навіть окремі його органи не мають просторових ґрат. Однак упорядковані структури у ній представлені дуже широко. Подальші наші пошуки були зосереджені на центральній симетрії. Вона найбільш характерна для квітів та плодів рослин. Центральна симетрія характерна для різних плодів, але ми зупинилися на ягодах: лохина, чорниця, вишня, журавлина. Розглянемо розріз будь-якої з цих ягід. У розрізі вона є коло, а коло, як відомо, має центр симетрії. Центральну симетрію можна спостерігати на зображенні наступних кольорів: квітка кульбаби, квітка мати-й-мачухи, квітка латаття, серцевина ромашки, а в деяких випадках центральною симетрією має і зображення всієї квітки ромашки.

Симетрія – одне з фундаментальних понять у сучасній фізиці, що грає найважливішу роль формулюванні сучасних фізичних теорій. Симетрії, що враховуються у фізиці, досить різноманітні, деякі з них у сучасній фізиці вважаються точними, інші лише наближеними. У 1918 році німецький математик Нетер довела теорему, за якою кожній безперервній симетрії фізичної системи відповідає певний закон збереження. Наявність цієї теореми дозволяє проводити аналіз фізичної системи на основі наявних даних про симетрію, якою ця система має. З неї, наприклад, випливає, що симетричність рівнянь руху тіла з часом призводить до закону збереження енергії; симетричність щодо зрушень у просторі - до закону збереження імпульсу; симетричність щодо обертань – до закону збереження моменту імпульсу. Якщо закони, що встановлюють співвідношення між величинами, що характеризують фізичну систему, або визначають зміну цих величин з часом, не змінюються при певних операціях, яким може бути піддана система, то кажуть, що ці закони мають симетрію щодо даних перетворень.

Суперсиметрія - гіпотетична симетрія, що зв'язує бозони та ферміони у природі. Абстрактне перетворення суперсиметрії пов'язує бозонне та ферміонне квантові поля, так що вони можуть перетворюватися один на одного. Образно можна сказати, що перетворення суперсиметрії може переводити речовину у взаємодію (або випромінювання), і навпаки. Станом на 2015 рік суперсиметрія є фізичною гіпотезою, не підтвердженою експериментально. Цілком точно встановлено, що наш світ не є суперсиметричним у сенсі точної симетрії, тому що в будь-якій суперсиметричній моделі ферміони і бозони, пов'язані суперсиметричним перетворенням, повинні мати однакову масу, заряд і інші квантові числа. Ця вимога не виконується для відомих у природі частинок. Незалежно від існування суперсиметрії в природі, математичний апарат суперсиметричних теорій виявляється корисним у різних галузях фізики. Зокрема, суперсиметрична квантова механіка дозволяє знаходити точні рішення нетривіальних рівнянь Шредінгера. Суперсиметрія виявляється корисною у деяких завданнях статистичної фізики.

Симетрія в хімії проявляється у геометричній конфігурації молекул. Більшість простих молекул має елементи просторової симетрії рівноважної конфігурації: осями симетрії, площинами симетрії тощо. буд. Звичайний спосіб зображення молекул в органічної хімії - це структурні формули. В 1810 Д.Дальтон, бажаючи показати своїм слухачам як атоми, комбінуючись, утворюють хімічні сполуки, побудував дерев'яні моделі куль і стрижнів. Ці моделі виявилися чудовим наочним посібником. Молекула води та водню має площину симетрії. Ніщо не зміниться, якщо поміняти місцями парні атоми у молекулі; такий обмін еквівалентний операції дзеркального відображення.

У світ неживої природи чарівність симетрії вносять кристали. Кожна сніжинка – це маленький кристал замерзлої води. Форма сніжинок може бути дуже різноманітною, але всі вони мають поворотну симетрію і, крім того, дзеркальну симетрію. Кристал – це тверде тіло, що має природну форму багатогранника. Сіль, лід, пісок і т.д. складаються із кристалів. Насамперед, Роме-Деліль підкреслював правильну геометричну форму кристалів виходячи із закону сталості кутів між їхніми гранями. Він писав: «До розряду кристалів стали відносити всі тіла мінерального царства, котрим знаходили постать геометричного багатогранника…» Правильна форма кристалів виникає з двох причин. По-перше, кристали складаються з елементарних частинок - молекул, які мають правильну форму. По-друге, такі молекули мають чудову властивість з'єднуватися між собою в симетричному порядку. Чому ж такі красиві та привабливі кристали? Їхні фізичні та хімічні властивості визначаються їх геометричною будовою.

Висновок.

Існує безліч видів симетрії, як у рослинному, так і в тваринному світі, але при всьому різноманітті живих організмів принцип симетрії діє завжди, і цей факт ще раз підкреслює гармонійність нашого світу. Людське уявлення про гарне формується під впливом того, що людина бачить у живій природі. У своїх творах, дуже далеких один від одного, вона може використовувати ті самі принципи. І людина в живописі, скульптурі, архітектурі, музиці застосовує ці принципи. Основними принципами краси при цьому є пропорції та симетрія. Без симетрії наш світ виглядав би зовсім інакше. Адже це саме на симетрії засновано багато законів. Майже у всьому, що оточує нас, є та чи інша симетрія. Про неї можна говорити нескінченно. Симетрія, виявляючись у різних об'єктах природного світу, безсумнівно, відбиває найбільш загальні її властивості. Тому вивчення симетрії та зіставлення з результатами є зручним та надійним інструментом пізнання гармонії світу.

Математика виявляє порядок, симетрію та певність, а це – найважливіші види прекрасного.

Арістотель

Використовувана література.

• 
  ru.wikipedia.org
• 
  www.allbest.ru
• 
  www.900igr.net
• 
  Тарасов Л. У. Цей дивовижний симетричний світ – М.: Просвітництво, 1982.
• 
  Урманцев Ю.А. Симетрія у природі і природа симетрії – М.: Думка, 1974.
• 
  Ожегов С.І. Словник російської – М.: Рус. Яз., 1984.
• 
  Л.С. Атанасян Геометрія, 7-9 - М.: Просвітництво, 2010.
• 
  Л.С. Атанасян Геометрія, 10-11 - М: Просвітництво, 2013.
• 
  Вейль Г. Сіметрія. Переклад з англійської Б.В. Бірюкова та Ю.А. Данилова - М.: Видавництво "Наука", 1968.