Школярам, ​​які готуються до здачі ЄДІз математики, обов'язково варто навчитися вирішувати завдання на знаходження площі прямої та правильної призми. Багаторічна практика підтверджує той факт, що подібні завдання з геометрії багато учнів вважають досить складними.

При цьому вміти знаходити площу та обсяг правильної та прямої призми мають старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здавання ЄДІ.

Основні моменти, які варто запам'ятати

• Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основи, вона називається прямою. Усі бічні грані цієї фігури прямокутники. Висота прямої призми збігається з її рубом.
• Правильною є призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основи, в якій знаходиться правильний багатокутник. Бічні грані цієї фігури – рівні прямокутники. Правильна призма завжди є прямою.

Підготовка до єдиного держекзамену разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху!

Щоб заняття проходили легко та максимально ефективно, вибирайте наш математичний портал. Тут представлений весь необхідний матеріал, який допоможе підготуватись до проходження атестаційного випробування.

Фахівці освітнього проекту «Школкове» пропонують піти від простого до складного: спочатку ми даємо теорію, основні формули, теореми та елементарні завдання з вирішенням, а потім поступово переходимо до завдань експертного рівня.

Базова інформація систематизована та зрозуміло викладена у розділі «Теоретична довідка». Якщо ви вже встигли повторити необхідний матеріал, рекомендуємо вам попрактикуватися у розв'язанні задач на знаходження площі та обсягу прямої призми. У розділі «Каталог» представлено велика добіркавправ різного ступеня складності.

Спробуйте розрахувати площу прямої та правильної призми або прямо зараз. Розберіть будь-яке завдання. Якщо вона не викликала складнощів, можете сміливо переходити до вправ експертного рівня. А якщо певні труднощі все ж таки виникли, рекомендуємо вам регулярно готуватися до ЄДІ в онлайн-режимі разом з математичним порталом «Школкове», і завдання по темі «Пряма та правильна призма» будуть даватися вам легко.

У фізиці трикутна призма, зроблена зі скла, часто використовується для вивчення спектру білого світлаоскільки вона здатна розкладати його на окремі складові. У цій статті розглянемо формулу обсягу

Що таке трикутна призма?

Перед тим, як наводити формулу об'єму, розглянемо властивості цієї фігури.

Щоб отримати цей, необхідно взяти трикутник довільної форми і паралельно самому собі перенести його на деяку відстань. Вершини трикутника у початковому та кінцевому положенні слід з'єднати прямими відрізками. Отримана об'ємна фігура називається трикутною призмою. Вона складається із п'яти сторін. Дві з них називаються основами: вони паралельні та рівні один одному. Підставами аналізованої призми є трикутники. Три сторони, що залишилися, - це паралелограми.

Крім сторін, призма, що розглядається, характеризується шістьма вершинами (по три для кожної основи) і дев'ятьма ребрами (6 ребер лежать у площинах основ і 3 ребра утворені перетином бічних сторін). Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то така призма називається прямокутною.

Відмінність трикутної призмивід решти фігур цього класу полягає в тому, що вона завжди є опуклою (чотирьох-, п'яти-, ..., n-вугільні призми можуть також бути увігнутими).

Це прямокутна фігура, в основі якої лежить рівносторонній трикутник.

Об'єм трикутної призми загального типу

Як знайти обсяг трикутної призми? Формула в загальному виглядіаналогічна такою для призми будь-якого виду. Вона має такий математичний запис:

Тут h – це висота фігури, тобто відстань між її основами, S o – площа трикутника.

Величину S o можна знайти, якщо відомі деякі параметри для трикутника, наприклад, одна його сторона і два кути або дві сторони і один кут. Площа трикутника дорівнює половині добутку його висоти на довжину сторони, яку опущена ця висота.

Що стосується висоти h фігури, то її найпростіше знайти для прямокутної призми. У разі h збігається з довжиною бічного ребра.

Об'єм правильної трикутної призми

Загальну формулуобсягу трикутної призми, яка наведена в попередньому розділістатті можна використовувати для обчислення відповідної величини для правильної трикутної призми. Оскільки у її основі лежить рівносторонній трикутник, його площа дорівнює:

Цю формулу може отримати кожен, якщо згадає, що в рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють один одному і становлять 60 o . Тут символ a – це довжина сторони трикутника.

Висота h є довжиною ребра. Вона ніяк не пов'язана з підставою правильної призми і може набувати довільних значень. У результаті формула обсягу трикутної призми правильного виглядувиглядає так:

Обчисливши корінь, можна переписати цю формулу так:

Таким чином, щоб знайти об'єм правильної призми з трикутною основою, необхідно звести у квадрат бік основи, помножити цю величину на висоту та отримане значення помножити на 0,433.

ПРЯМА ПРИЗМА. ПОВЕРХНЯ І ОБСЯГ ПРЯМИЙ ПРИЗМИ.

§ 68. ОБСЯГ ПРЯМОГО ПРИЗМУ.

1. Об'єм прямої трикутної призми.

Нехай потрібно знайти об'єм прямої трикутної призми, площа основи якої дорівнює S, а висота дорівнює h= АА "= = ВВ" = СС" (чорт. 306).

Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (чорт. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутний трикутник. Причому /\ ВСІ = /\ BCD та /\ ВАF = /\ ВАD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі більша за площу трикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою h(чорт. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою
АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і ВВ", то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами
ВСD, ВСІ, BАD та ВАF.

Призми з основами ВСD і ВСІ можуть бути поєднані, оскільки основи їх рівні ( /\ ВСD = /\ BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.

Таким чином, виявляється, що обсяг цієї трикутної призми з основою
АВС вдвічі менше обсягу прямокутного паралелепіпеда з основою АСЕF.

Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто в даному випадкудорівнює 2S h. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S h.

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

2. Обсяг прямий багатокутної призми.

Щоб знайти об'єм прямої багатокутної призми, наприклад п'ятикутної, з площею основи S та висотою h, Розіб'ємо її на трикутні призми (чорт. 308).

Позначивши площі підстави трикутних призм через S 1 , S 2 і S 3 а обсяг даної багатокутної призми через V, отримаємо:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, або
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

І остаточно: V = S h.

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, Обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її підстави на висоту.

Вправи.

1. Обчислити обсяг прямої призми, що має на підставі паралелограм, за такими даними:

2. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі трикутник, за такими даними:

3. Обчислити об'єм прямої призми, що має в основі рівносторонній трикутник зі стороною 12 см (32 см, 40 см). Висота призми 60 див.

4. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі прямокутний трикутник з катетами в 12 см і 8 см (16 см і 7 ​​см; 9 м і 6 м). Висота призми 0,3м.

5. Обчислити об'єм прямої призми, що має в основі трапецію з паралельними сторонами 18 см і 14 см і висотою 7,5 см. Висота призми 40 см.

6. Обчислити об'єм вашої класної кімнати (фізкультурної зали, своєї кімнати).

7. Повна поверхня куба дорівнює 150 см 2 (294 см 2, 864 см 2). Обчислити об'єм цього куба.

8. Довжина будівельної цегли- 25,0 см, ширина його - 12,0 см товщина - 6,5 см. а) Обчислити його об'єм; б) Визначити його вагу, якщо 1 кубічний сантиметр цегли важить 1,6 г.

9. Скільки штук будівельної цегли потрібно для будівництва суцільної цегляної стіни, Що має форму прямокутного паралелепіпеда довжиною в 12 м, шириною в 0,6 м і висотою в 10м? (Розміри цегли із вправи 8.)

10. Довжина чисто обрізаної дошки дорівнює 4,5 м, ширина – 35 см товщина – 6 см. а) Обчислити об'єм б) Визначити її вагу, якщо кубічний дециметр дошки важить 0,6 кг.

11. Скільки тонн сіна можна вкласти в сінник, покритий двосхилим дахом(чорт. 309), якщо довжина сінону дорівнює 12 м, ширина - 8 м, висота - 3,5 м і висота ковзана даху дорівнює 1,5 м? ( Питома вагасіна прийняти за 0,2.)

12. Потрібно викопати канаву завдовжки 0,8 км; у розрізі канава повинна мати форму трапеції з основами в 0,9 м та 0,4 м, і глибина канави повинна дорівнювати 0,5 м (чорт. 310). Скільки кубометрів землі доведеться при цьому вийняти?

Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (рис. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутні трикутники. Причому \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD і \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі більша за площу трикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою h(Рис. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і BB', то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами BCD, ВСІ, BAD і BAF.

Призми з основами BCD і ВСІ можуть бути поєднані, оскільки основи їх рівні (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.

Таким чином, виявляється, що обсяг даної трикутної призми з основою АВС вдвічі менше обсягу прямокутного паралелепіпеда з основою АСЕF.

Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто в даному випадку дорівнює 2S h. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S h.

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

2. Обсяг прямої багатокутної призми.

Позначивши площі підстави трикутних призм через S 1 , S 2 і S 3 а обсяг даної багатокутної призми через V, отримаємо:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, або

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

І остаточно: V = S h.

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, Обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її підстави на висоту.

Обсяг призми

Теорема. Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.

Спочатку доведемо цю теорему для трикутної призми, та був і багатокутної.

1) Проведемо (чорт. 95) через ребро AA 1 трикутної призми АВСА 1 В 1 С 1 площину, паралельну грані ВР 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - площину, паралельну грані AA 1 B 1 B; потім продовжимо площини обох підстав призми до перетину з проведеними площинами.

Тоді ми отримаємо паралелепіпед BD 1 , який діагональною площиною АА 1 С 1 С ділиться на дві трикутні призми (з них одна є дана). Доведемо, що ці призми є рівновеликими. Для цього проведемо перпендикулярний переріз abcd. У перетині вийде паралелограм, який діагоналлю асділиться на два рівних трикутника. Ця призма рівновелика такій прямій призмі, яка має основу \(\Delta\) аbcа висота - ребро АА 1 . Інша трикутна призма рівновелика такої прямої, у якої основа є (Delta) аdса висота - ребро АА 1 . Але дві прямі призми з рівними основами і рівними висотами рівні (оскільки при вкладенні вони поєднуються), отже, призми АВСА 1 В 1 С 1 і ADCA 1 D 1 C 1 рівновеликі. З цього випливає, що обсяг цієї призми становить половину обсягу паралелепіпеда BD 1 ; тому, позначивши висоту призми через H, отримаємо:

$$ V_(\Delta ін.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Проведемо через ребро АА 1 багатокутної призми (рис. 96) діагональні площини АА 1 З 1 З і AA 1 D 1 D.

Тоді ця призма розрахується на кілька трикутних призм. Сума обсягів цих призм складає об'єм, що шукається. Якщо позначимо площі їх підстав через b 1 , b 2 , b 3 а загальну висоту через Н, то отримаємо:

обсяг багатокутної призми = b 1 H + b 2 H + b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площі ABCDE) H.

Слідство. Якщо V, В і Н будуть числа, що виражають у відповідних одиницях об'єм, площу основи та висоту призми, то, за доведеним, можна написати: