Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІпо математиці. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийомирішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівних квадрата, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.

Перпендикулярний переріз (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх основ та бічних граней (сума площі бічної поверхні та основ)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярний переріз A2B2C2D2.

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні одна одній
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні основам
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічним ребрам і паралельно основам
• Кути перпендикулярного перерізу – прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутника бічні ребра перпендикулярні площинам основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореняу розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи в загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, Що є правильною, то трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдеться про чотирикутну призму, то площа основи правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площаповерхні призми виявляється 960 см 2 .

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Школярам, ​​які готуються до здачі ЄДІз математики, обов'язково варто навчитися вирішувати завдання на знаходження площі прямої та правильної призми. Багаторічна практика підтверджує той факт, що подібні завдання з геометрії багато учнів вважають досить складними.

При цьому вміти знаходити площу та обсяг правильної та прямої призми мають старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здавання ЄДІ.

Основні моменти, які варто запам'ятати

• Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основи, вона називається прямою. Усі бічні грані цієї фігури прямокутники. Висота прямої призми збігається з її рубом.
• Правильною є призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основи, в якій знаходиться правильний багатокутник. Бічні грані цієї фігури – рівні прямокутники. Правильна призма завжди є прямою.

Підготовка до єдиного держекзамену разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху!

Щоб заняття проходили легко та максимально ефективно, вибирайте наш математичний портал. Тут представлений весь необхідний матеріал, який допоможе підготуватись до проходження атестаційного випробування.

Фахівці освітнього проекту «Школкове» пропонують піти від простого до складного: спочатку ми даємо теорію, основні формули, теореми та елементарні завдання з вирішенням, а потім поступово переходимо до завдань експертного рівня.

Базова інформація систематизована та зрозуміло викладена у розділі «Теоретична довідка». Якщо ви вже встигли повторити необхідний матеріал, рекомендуємо вам попрактикуватися у розв'язанні задач на знаходження площі та обсягу прямої призми. У розділі «Каталог» представлено велика добіркавправ різного ступеня складності.

Спробуйте розрахувати площу прямої та правильної призми або прямо зараз. Розберіть будь-яке завдання. Якщо вона не викликала складнощів, можете сміливо переходити до вправ експертного рівня. А якщо певні труднощі все ж таки виникли, рекомендуємо вам регулярно готуватися до ЄДІ в онлайн-режимі разом з математичним порталом «Школкове», та завдання на тему «Пряма і правильна призма» будуть даватися вам легко.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У правильній трикутній призмі ABCA_1B_1C_1 сторони основи дорівнюють 4 , а бічні ребра дорівнюють 10 . Знайдіть площу перерізу призми площиною, що проходить через середини ребер AB, AC, A_1B_1 та A_1C_1.

Рішення

Розглянемо наступний рисунок.

Відрізок MN є середньою лінієютрикутника A_1B_1C_1, тому MN = \frac12 B_1C_1=2.Аналогічно, KL=\frac12BC=2.Крім того, MK = NL = 10. Звідси випливає, що чотирикутник MNLK є паралелограмом. Так як MK parallel AA_1, то MK perp ABC і MK perp KL. Отже, чотирикутник MNLK є прямокутником. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Відповідь

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Об'єм правильної чотирикутної призми ABCDA_1B_1C_1D_1 дорівнює 24 . Крапка K - середина ребра CC_1. Знайдіть обсяг піраміди KBCD.

Рішення

Згідно з умовою, KC є висотою піраміди KBCD . CC_1 є висотою призми ABCDA_1B_1C_1D_1.

Оскільки K є серединою CC_1, то KC = frac12CC_1.Нехай CC_1=H тоді KC=frac12H. Зауважимо також, що S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).Тоді, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).Отже, V_(KBCD)=frac(1)(12)cdot24=2.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторона основи якої дорівнює 6 , а висота — 8 .

Рішення

Площу бічної поверхні призми знаходимо за формулою S бік. = P осн. · h = 6a \ cdot h, де P осн. і h - відповідно периметр основи і висота призми, що дорівнює 8 і a - сторона правильного шестикутника, рівна 6 . Отже, S бік. = 6 cdot 6 cdot 8 = 288.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У посудину, що має форму правильної трикутної призми, налили воду. Рівень води досягає 40 см. На якій висоті буде рівень води, якщо її перелити в іншу посудину такої ж форми, у якої сторона основи вдвічі більша, ніж у першої? Відповідь висловіть у сантиметрах.

Рішення

Нехай a - сторона основи першої судини, тоді 2 a - сторона основи другої судини. За умовою обсяг рідини V у першому і другому посудині один і той же. Позначимо через рівень H, на який піднялася рідина в другій посудині. Тоді V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,і, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.Звідси \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4H, H=10.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У правильній шестикутній призмі ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 усі ребра дорівнюють 2 . Знайдіть відстань між точками A і E_1.

Рішення

Трикутник AEE_1 — прямокутний, тому що ребро EE_1 перпендикулярне площині основи призми, прямим кутом буде кут AEE_1.

Тоді за теоремою Піфагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Знайдемо AE із трикутника AFE за теоремою косінусів. Кожен внутрішній кутправильного шестикутника дорівнює 120 ^ (\ circ). Тоді AE^2= AF^2+FE^2-2cdot AFcdot FEcdotcos120^(circ)= 2^2+2^2-2cdot2cdot2cdotleft (-frac12right).

Звідси, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Знайдіть площу бічної поверхні прямої призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями, рівними 4\sqrt5і 8 і бічним ребром, рівним 5 .

Рішення

Площу бічної поверхні прямої призми знаходимо за формулою S бік. = P осн. · h = 4a \ cdot h, де P осн. h відповідно периметр основи і висота призми, рівна 5 , і a - сторона ромба. Знайдемо бік ромба, користуючись тим, що діагоналі ромба ABCD взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл.