Tund ja ettekanne teemal: "Taandusvalemite rakendamine ülesannete lahendamisel"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid. Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile
1C: Kool. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile
1C: Kool. Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks 10.-11. klassile

Mida me uurime:
1. Kordame veidi.
2. Taandusvalemite reeglid.
3. Redutseerimisvalemite teisenduste tabel.
4. Näited.

Trigonomeetriliste funktsioonide kordamine

Poisid, olete juba kohanud kummitusvormeleid, kuid neid pole veel nii nimetatud. Kus sa arvad?

Vaadake meie jooniseid. Õige, kui nad tutvustasid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi.

Redutseerimisvalemite reegel

Tutvustame põhireeglit: Kui trigonomeetrilise funktsiooni märk sisaldab arvu kujul π×n/2 + t, kus n on suvaline täisarv, siis saab meie trigonomeetrilise funktsiooni taandada suuremaks. selge nägemine, mis sisaldab ainult argumenti t. Selliseid valemeid nimetatakse kummitusvormeliteks.

Meenutagem mõnda valemit:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tg(t + π*k) = tg(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

kummitusvalemeid on palju, teeme reegli, mille järgi määrame kasutamisel oma trigonomeetrilised funktsioonid kummitusvormelid:

• Kui trigonomeetrilise funktsiooni märk sisaldab numbreid kujul: π + t, π - t, 2π + t ja 2π - t, siis funktsioon ei muutu, st näiteks siinus jääb siinuseks, kotangent jääb kotangendiks.
• Kui trigonomeetrilise funktsiooni märk sisaldab numbreid kujul: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t ja 3π/2 - t, siis muutub funktsioon seotuks, st siinus muutub koosinusteks, kootangens puutujaks.
• Enne saadud funktsiooni peate panema märgi, mille teisendatud funktsioonil oleks, kui 0

Need reeglid kehtivad ka siis, kui funktsiooni argument on kraadides!

Samuti saame koostada trigonomeetriliste funktsioonide teisenduste tabeli:

Näited redutseerimisvalemite kasutamisest

1. Teisendame cos(π + t). Funktsiooni nimi jääb alles, st. saame cos(t). Järgmiseks oletame, et π/2

2. Teisenda sin(π/2 + t). Funktsiooni nimetus muudetakse, s.o. saame cos(t). Lisaks oletame, et 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Teisendame tg(π + t). Funktsiooni nimi jääb alles, st. saame tg(t). Lisaks oletame, et 0

4. Teisendame ctg(270 0 + t). Funktsiooni nimi muutub ehk saame tg(t). Lisaks oletame, et 0

Iseseisva lahenduse redutseerimisvalemite ülesanded

Poisid, muutke ennast meie reeglite järgi:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

See artikkel on pühendatud üksikasjalikule uuringule trigonomeetrilised valemid heidab. Dan täielik nimekiri reduktsioonivalemid, toodud näited nende kasutamisest, toodud valemite õigsuse tõestus. Artiklis on toodud ka mnemooniline reegel, mis võimaldab tuletada redutseerimisvalemeid iga valemit meelde jätmata.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Valemite valamine. Nimekiri

Redutseerimisvalemid võimaldavad taandada suvalise suurusega nurkade trigonomeetrilised põhifunktsioonid nurkade funktsioonideks, mis jäävad vahemikku 0 kuni 90 kraadi (0 kuni π 2 radiaani). Nurkadega 0 kuni 90 kraadi on palju mugavam töötada kui suvaliselt suured väärtused Seetõttu kasutatakse trigonomeetriaülesannete lahendamisel laialdaselt redutseerimisvalemeid.

Enne valemite enda üleskirjutamist teeme selgeks mõned mõistmiseks olulised punktid.

• Trigonomeetriliste funktsioonide argumendid redutseerimisvalemites on nurgad kujul ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Siin z on suvaline täisarv ja α on suvaline pöördenurk.
• Pole vaja õppida kõiki redutseerimisvalemeid, mille arv on üsna muljetavaldav. On olemas mnemooniline reegel, mis muudab soovitud valemi tuletamise lihtsaks. Mnemoreeglist tuleb juttu hiljem.

Nüüd läheme otse redutseerimisvalemite juurde.

Valamisvalemid võimaldavad teil liikuda suvaliste ja meelevaldselt suurte nurkadega töötamiselt 0–90 kraadise nurga all töötamisele. Kirjutame kõik valemid tabeli kujul.

Valatud valemid

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π α z =, cos π z . π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s π z , π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z , = α s α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 π z + 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

IN sel juhul valemid kirjutatakse radiaanides. Kuid võite neid kirjutada ka kraadide abil. Piisab radiaanide teisendamiseks kraadideks, asendades π 180 kraadiga.

Näiteid valatud valemite kasutamisest

Näitame, kuidas kasutada redutseerimisvalemeid ja kuidas neid valemeid kasutatakse praktiliste näidete lahendamisel.

Trigonomeetrilise funktsiooni märgi all olevat nurka saab esitada mitte ühel, vaid mitmel viisil. Näiteks võib trigonomeetrilise funktsiooni argumendi esitada ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Näitame seda.

Võtame nurga α = 16 π 3 . Selle nurga saab kirjutada järgmiselt:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Sõltuvalt nurga esitusest kasutatakse vastavat redutseerimisvalemit.

Võtame sama nurga α = 16 π 3 ja arvutame selle puutuja

Näide 1: Valamisvalemite kasutamine

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d?

Esitagem nurka α = 16 π 3 kui α = π + π 3 + 2 π 2

See nurga esitus vastab vähendamise valemile

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Tabeli abil näitame puutuja väärtuse

Nüüd kasutame teist nurga α = 16 π 3 esitust.

Näide 2: Valamisvalemite kasutamine

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3 d) \u003d

Lõpuks kirjutame nurga kolmanda esituse jaoks

Näide 3: Valamisvalemite kasutamine

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g 3 π )

Toome nüüd näite keerulisemate redutseerimisvalemite kasutamisest

Näide 4: Valamisvalemite kasutamine

Esitame patu 197 ° teravnurga siinuse ja koosinusena.

Redutseerimisvalemite rakendamiseks on vaja nurka α = 197 ° esitada ühel vormidest

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Vastavalt probleemi seisundile peab nurk olema terav. Sellest lähtuvalt on meil selle esitamiseks kaks võimalust:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Saame

sin 197° = patt(180° + 17°) patt 197° = patt(270° - 73°)

Nüüd vaatame siinuste vähendamise valemeid ja valime välja sobivad.

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73°

Mnemooniline reegel

Valamise valemeid on palju ja õnneks pole vaja neid pähe õppida. On seaduspärasusi, mille järgi on võimalik tuletada redutseerimisvalemeid erinevad nurgad ja trigonomeetrilised funktsioonid. Neid mustreid nimetatakse mnemoreegliteks. Mnemoonika on meeldejätmise kunst. Mnemooniline reegel koosneb kolmest osast või kolmest etapist.

Mnemooniline reegel

1. Algfunktsiooni argument esitatakse ühel vormidest

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Nurk α peab olema vahemikus 0 kuni 90 kraadi.

2. Määratakse algse trigonomeetrilise funktsiooni märk. Valemi paremale küljele kirjutatud funktsioonil on sama märk.

3. Nurkade ± α + 2 πz ja π ± α + 2 πz puhul jääb algfunktsiooni nimi muutumatuks ning vastavalt nurkade π 2 ± α + 2 πz ja 3 π 2 ± α + 2 πz korral muutub see. "koostoimima". Siinus koosinuseni. Puutuja kotangensile.

Reduktsioonivalemite mnemoonikareegli kasutamiseks peate suutma määrata trigonomeetriliste funktsioonide märke piki ühikuringi neljandikku. Vaatame näiteid mnemoreegli rakendamisest.

Näide 1: Mnemoreegli kasutamine

Kirjutame üles taandamise valemid cos π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz jaoks . α - esimese kvartali nurk.

1. Kuna tingimuse järgi on α esimese kvartali logi, jätame reegli esimese lõigu vahele.

2. Määratlege märgid cos funktsioonidπ 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz . Nurk π 2 - α + 2 πz on ühtlasi esimese veerandi nurk ja nurk π - α + 2 πz on teises kvartalis. Esimesel veerandil on koosinusfunktsioon positiivne ja teise kvartali puutuja on miinusmärgiga. Kirjutame üles, kuidas soovitud valemid selles etapis välja näevad.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Vastavalt kolmandale punktile muutub nurga π 2 - α + 2 π puhul funktsiooni nimi Konfutsiuseks ja nurga π - α + 2 πz puhul jääb samaks. Kirjutame:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Nüüd vaatame ülaltoodud valemeid ja veendume, et mnemoonireegel töötab.

Vaatleme näidet konkreetse nurgaga α = 777°. Toome siinuse alfa teravnurga trigonomeetrilisse funktsiooni.

Näide 2: Mnemoreegli kasutamine

1. Kujutage ette nurka α = 777 ° tolli nõutav vorm

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Algnurk - esimese kvartali nurk. Seega on nurga siinus positiivne märk. Selle tulemusena on meil:

3. sin 777° = sin(57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin(90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Vaatame nüüd näidet, mis näitab, kui oluline on mnemoonilise reegli kasutamisel õigesti määrata trigonomeetrilise funktsiooni märk ja esitada õigesti nurka. Kordame uuesti.

Tähtis!

Nurk α peab olema terav!

Arvutame nurga 5 π 3 puutuja. Peamiste trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist saate kohe võtta väärtuse t g 5 π 3 = - 3, kuid me rakendame mnemoreeglit.

Näide 3: Mnemoreegli kasutamine

Esitame nurga α = 5 π 3 vajalikul kujul ja kasutame reeglit

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Kui esitame nurga alfa kujul 5 π 3 = π + 2 π 3, siis on mnemoreegli rakendamise tulemus vale.

t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Vale tulemus on tingitud sellest, et nurk 2 π 3 ei ole terav.

Taandusvalemite tõestus põhineb trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse ja sümmeetria omadustel, samuti nurkade π 2 ja 3 π 2 võrra nihutamise omadusel. Kõigi redutseerimisvalemite kehtivuse tõendamist saab läbi viia ilma mõistet 2 πz arvesse võtmata, kuna see tähistab nurga muutust täisarvu täispöörete võrra ja peegeldab lihtsalt perioodilisuse omadust.

Esimesed 16 valemit tulenevad otseselt trigonomeetriliste põhifunktsioonide omadustest: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.

Esitame siinuse ja koosinuse redutseerimisvalemite tõestuse

sin π 2 + α = cos α ja cos π 2 + α = - sin α

Vaatame ühikringi, mille algpunkt pärast nurga α läbimist on läinud punkti A 1 x , y ja pärast nurga π 2 + α - pööramist punkti A 2 . Mõlemast punktist tõmbame risti x-teljega.

Kaks täisnurkne kolmnurk O A 1 H 1 ja O A 2 H 2 on hüpotenuusi ja sellega külgnevate nurkade poolest võrdsed. Ringjoone punktide asukohast ja kolmnurkade võrdsusest võime järeldada, et punktil A 2 on koordinaadid A 2 - y, x. Kasutades siinuse ja koosinuse definitsioone, kirjutame:

sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y

sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α

Võttes arvesse trigonomeetria põhiidentiteete ja äsja tõestatut, saame kirjutada

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos tgα

Taandusvalemite tõestamiseks argumendiga π 2 - α tuleb see esitada kujul π 2 + (- α) . Näiteks:

cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - sin (- α) \u003d sin α

Tõestus kasutab trigonomeetriliste funktsioonide omadusi argumentidega, mis on vastasmärgiga.

Kõiki teisi redutseerimisvalemeid saab tõestada ülalkirjeldatu põhjal.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Trigonomeetria Taandusvalemid.

Valemeid ei pea õpetama, vaid neist tuleb aru saada. Mõistke nende väljundi algoritmi. See on väga lihtne!

Võtame ühikringi ja asetame sellele kõik kraadimõõdud (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Analüüsime sin(a) ja cos(a) funktsioone igas kvartalis.

Pidage meeles, et me vaatame funktsiooni sin (a) piki Y-telge ja funktsiooni cos (a) piki X-telge.

Esimeses kvartalis on näha, et funktsioon sin(a)>0
Ja funktsioon cos(a)>0
Esimest kvartalit võib kirjeldada terminites kraadi mõõt, nagu (90-α) või (360+α).

Teisel kvartalil on näha, et funktsioon sin(a)>0, sest y-telg on selles kvartalis positiivne.
Funktsioon cos(a), kuna x-telg on selles kvartalis negatiivne.
Teist kvartalit saab kirjeldada kraadimõõtu abil (90+α) või (180-α).

Kolmandas kvartalis on näha, et funktsioonid patt(a) Kolmandat kvartalit võib kraadides kirjeldada kui (180+α) või (270-α).

Neljandas kvartalis on näha, et funktsioon sin(a), kuna y-telg on selles kvartalis negatiivne.
Funktsioon cos(a)>0, sest x-telg on selles kvartalis positiivne.
Neljandat kvartalit võib kraadides kirjeldada kui (270+α) või (360-α).

Vaatame nüüd redutseerimisvalemeid endid.

Meenutagem lihtsat algoritm:
1. Kvartal.(Vaadake alati, millises kvartalis te asute).
2. Sign.(Verandi kohta vaadake positiivseid või negatiivseid koosinus- või siinusfunktsioone).
3. Kui sulgudes on (90° või π/2) ja (270° või 3π/2), siis funktsioonid muutuvad.

Ja nii hakkame seda algoritmi veerandi kaupa lahti võtma.

Uurige, millega võrdub avaldis cos(90-α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand üks.


Will cos(90-α) = sin(α)

Uurige, millega võrdub avaldis sin (90-α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand üks.


Will sin(90-α) = cos(α)

Uurige, millega võrdub avaldis cos(360+α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand üks.
2. Esimeses kvartalis on koosinusfunktsiooni märk positiivne.

Will cos(360+α) = cos(α)

Uurige, millega võrdub avaldis sin (360 + α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand üks.
2. Esimesel kvartalil on siinusfunktsiooni märk positiivne.
3. Sulgudes ei ole (90° või π/2) ja (270° või 3π/2), siis funktsioon ei muutu.
Will sin(360+α) = patt(α)

Uurige, millega võrdub avaldis cos(90+α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand kaks.

3. Sulgudes on (90 ° või π / 2), siis funktsioon muutub koosinusest siinusesse.
Will cos(90+α) = -sin(α)

Uurige, millega võrdub avaldis sin (90 + α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand kaks.

3. Sulgudes on (90 ° või π / 2), siis funktsioon muutub siinusest koosinusseks.
Will sin(90+α) = cos(α)

Uurige, millega võrdub avaldis cos(180-α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand kaks.
2. Teises kvartalis on koosinusfunktsiooni märk negatiivne.
3. Sulgudes ei ole (90° või π/2) ja (270° või 3π/2), siis funktsioon ei muutu.
Will cos(180-α) = cos(α)

Uurige, millega võrdub avaldis sin (180-α).
Räägime algoritmist:
1. Veerand kaks.
2. Teisel veerandil on siinusfunktsiooni märk positiivne.
3. Sulgudes ei ole (90° või π/2) ja (270° või 3π/2), siis funktsioon ei muutu.
Will sin(180-α) = patt(α)

Mõeldes kolmandale ja neljandale veerandile Sarnasel viisil koostame tabeli:

Telli YOUTUBE'i kanalile ja vaadake videot, valmistuge koos meiega matemaatika ja geomeetria eksamiteks.

Kuidas meeles pidada trigonomeetriliste funktsioonide vähendamise valemeid? See on lihtne, kui kasutada ühendust.Seda assotsiatsiooni ei mõelnud mina välja. Nagu juba mainitud, peaks hea kooslus "klammerduma", st tekitama erksaid emotsioone. Sellest kooslusest tekkinud emotsioone ma positiivseks nimetada ei saa. Kuid see annab tulemuse - see võimaldab teil meeles pidada redutseerimisvalemeid, mis tähendab, et tal on õigus eksisteerida. Lõppude lõpuks, kui teile see ei meeldi, ei pea te seda kasutama, eks?

Redutseerimisvalemid on: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Mäletame, et +α annab vastupäeva, - α - päripäeva.

Redutseerimisvalemitega töötamiseks on vaja kahte punkti:

1) paneme märgi, et algfunktsioonil on (õpikutes kirjutatakse: taandatav. Aga, et mitte segadusse sattuda, on parem nimetada seda algfunktsiooniks), kui arvestada α esimese veerandi nurgaks, on väike.

2) Horisontaalne läbimõõt - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - üldiselt, kui murdosa pole, siis funktsiooni nimi ei muutu. Vertikaalne π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - kui on murd, muutub funktsiooni nimi: siinus - koosinus, koosinus - siinus, puutuja - kotangens ja kotangent – ​​puutuja juurde.

Nüüd tegelikult ühendus:

vertikaalne läbimõõt (seal on murdosa) -

purjus seisab. Mis temast varakult saab

või hilja? See on õige, see kukub.

Funktsiooni nimi muutub.

Kui läbimõõt on horisontaalne, siis joodik juba valetab. Magab ilmselt. Temaga ei juhtu midagi, ta on juba võtnud horisontaalasendi. Vastavalt sellele funktsiooni nimi ei muutu.

See tähendab, patt(π/2±α), patt(3π/2±α), patt(5π/2±α) jne. anna ± cosα,

ja sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.

Nagu me juba teame.

Kuidas see töötab? Vaatame näiteid.

1) cos(π/2+α)=?

Saame π/2 peale. Kuna +α tähendab, et liigume edasi, vastupäeva. Me langeme II kvartalisse, kus koosinusel on märk "-". Funktsiooni nimi muutub (“purjus seisab”, mis tähendab, et see kukub). Niisiis,

cos(π/2+α)=-sinα.

Meist saab 2π. Kuna -α - läheme tagasi, see tähendab päripäeva. Me langeme IV kvartalisse, kus puutujal on märk "-". Funktsiooni nimi ei muutu (läbimõõt on horisontaalne, "joodik juba lamab"). Seega tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Näiteid, kus funktsioon on tõstetud ühtlase astmeni, on veelgi lihtsam lahendada. Paarisaste “-” eemaldab, see tähendab, et peate lihtsalt välja selgitama, kas funktsiooni nimi muutub või jääb alles. Läbimõõt on vertikaalne (seal on murdosa, “joodik seisab”, kukub), funktsiooni nimi muutub. Saame: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

Definitsioon. Taandusvalemeid nimetatakse valemiteks, mis võimaldavad liikuda vormi trigonomeetrilistelt funktsioonidelt argumentfunktsioonidele. Nende abil saab suvalise nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi taandada nurga 0 kuni 90 kraadi (0-st radiaanini) siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensiks. Seega võimaldavad redutseerimisvalemid liikuda edasi 90-kraadise nurga all töötamise juurde, mis on kahtlemata väga mugav.

Valemid:

Valemite kasutamisel on kaks reeglit.

1. Kui nurka saab esitada kui (π/2 ±a) või (3*π/2 ±a), siis funktsiooni nimi muutub sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Kui nurka saab esitada kui (π ±a) või (2*π ±a), siis funktsiooni nimi jääb muutumatuks.

Vaadake allolevat joonist, see näitab skemaatiliselt, millal tuleks märki muuta ja millal mitte.

2. Vähendatud funktsiooni märk jääb samaks. Kui algsel funktsioonil oli plussmärk, siis ka vähendatud funktsioonil on plussmärk. Kui algsel funktsioonil oli miinusmärk, siis vähendatud funktsioonil on ka miinusmärk.

Alloleval joonisel on näidatud peamiste trigonomeetriliste funktsioonide märgid sõltuvalt kvartalist.

Näide:

Arvutama

Kasutame redutseerimisvalemeid:

Sin(150˚) on teises veerandis, jooniselt näeme, et patu märk selles kvartalis on võrdne "+". See tähendab, et ülaltoodud funktsioonil on ka "+" märk. Oleme rakendanud teist reeglit.

Nüüd 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ on π/2. See tähendab, et tegemist on juhtumiga π / 2 + 60, seetõttu muudame esimese reegli kohaselt funktsiooni sin asemel cos. Selle tulemusena saame Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.