Tund ja ettekanne teemal: "Funktsioon y=cos(x). Funktsiooni definitsioon ja graafik"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid. Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile
Algebraülesanded parameetritega, klass 9–11
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Definitsioon.
2. Funktsiooni graafik.
3. Funktsiooni Y=cos(X) omadused.
4. Näited.

Koosinusfunktsiooni y=cos(x) definitsioon

Poisid, me oleme juba kohtunud funktsiooniga Y=sin(X).

Meenutagem üht kummitusvalemit: sin(X + π/2) = cos(X).

Tänu sellele valemile saame väita, et funktsioonid sin(X + π/2) ja cos(X) on identsed ning nende funktsioonigraafikud on samad.

Funktsiooni sin(X + π/2) graafik saadakse funktsiooni sin(X) graafikult paralleelselt nihutades π/2 ühikut vasakule. See on funktsiooni Y=cos(X) graafik.

Funktsiooni Y=cos(X) graafikut nimetatakse ka sinusoidiks.

cos(x) funktsiooni omadused

Kirjutame oma funktsiooni omadused:
• Määratluspiirkond on reaalarvude hulk.
• Funktsioon on ühtlane. Meenutagem määratlust ühtlane funktsioon. Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui kehtib võrdus y(-x)=y(x). Nagu kummitusvalemitest mäletame: cos(-x)=-cos(x), on definitsioon täidetud, siis on koosinus paarisfunktsioon.
• Funktsioon Y=cos(X) väheneb intervallil ja suureneb intervallil [π; 2π]. Seda saame kontrollida oma funktsiooni graafikul.
• Funktsioon Y=cos(X) on alt ja ülalt piiratud. See omadus tuleneb asjaolust, et
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Funktsiooni väikseim väärtus on -1 (x = π + 2πk korral). Kõrgeim väärtus funktsioon on võrdne 1-ga (x = 2πk korral).
• Funktsioon Y=cos(X) on pidev funktsioon. Vaatame graafikut ja veendume, et meie funktsioonil pole lünki, mis tähendab järjepidevust.
• Väärtuste vahemik on segment [- 1; üks]. See on ka graafikult selgelt näha.
• Funktsioon Y=cos(X) on perioodiline funktsioon. Vaatame uuesti graafikut ja näeme, et funktsioon võtab teatud ajavahemike järel samad väärtused.

Näited funktsiooniga cos(x).

1. Lahendage võrrand cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Lahendus: Koostame 2 funktsiooni graafikut: y=cos(x) ja y=(x - 2π) 2 + 1 (vt joonist).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 on parabool, mis on nihutatud paremale 2π võrra ja ülespoole 1 võrra. Meie graafikud lõikuvad ühes punktis A (2π; 1), see on vastus: x \u003d 2π.

2. Joonistage funktsioon Y=cos(X), kui x ≤ 0 ja Y=sin(X), kui x ≥ 0

Lahendus: Vajaliku graafiku koostamiseks joonistame kaks funktsiooni graafikut tükkhaaval. Esimene osa: y=cos(x), kui x ≤ 0. Teine viil: y=sin(x)
x ≥ 0 korral. Kujutame mõlemad "tükid" ühel graafikul.

3. Leia funktsiooni Y=cos(X) suurim ja väikseim väärtus lõigul [π; 7π/4]

Lahendus: koostame funktsiooni graafiku ja vaatleme oma lõiku [π; 7π/4]. Graafik näitab, et suurimad ja väikseimad väärtused saavutatakse segmendi otstes: vastavalt punktides π ja 7π/4.
Vastus: cos(π) = -1 on väikseim väärtus, cos(7π/4) = suurim väärtus.

4. Joonistage funktsioon y=cos(π/3 - x) + 1

Lahendus: cos(-x)= cos(x), siis saadakse funktsiooni y=cos(x) graafikut π/3 ühiku võrra paremale ja 1 ühiku võrra ülespoole liigutades soovitud graafik.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Videotund "Funktsioon y \u003d cos x, selle omadused ja graafik" on visuaalne materjal selle teema uurimiseks. Käsiraamatus esitatakse funktsiooni tunnused, selle omadused, aga ka probleemide lahendamise kirjeldused, milles rakendatakse teadmisi koosinuse omadustest. Videotunni abil on õpetajal lihtsam vajalikke teadmisi anda ja õpilaste oskusi kujundada. Visuaalne abivahend võib aidata parandada tunni tõhusust, pakkudes sügavamat arusaamist ja paremat säilitamist ning vabastades tunniaega individuaalseks tööks.

Videotunni kasutamine annab õpetajale eelise materjali efektiivsemal edastamisel. Käsiraamatut saab kasutada ainult selguse huvides, koos õpetaja selgitusega või tunni iseseisva osana, mis võimaldab õpetajal end täiendada. individuaalne tööõpilastega. Näidatud joonistamine, animatsiooniefektide abil teisendused muutuvad õpilastele arusaadavamaks, aitavad omandada probleemide lahendamise oskusi kasutades seda materjali. Funktsiooni omaduste esiletõstmine ja häälestamine videoõpetuse tööriistadega aitab neid paremini meelde jätta.

Demo algab teema pealkirja esitamisega. Funktsiooni y \u003d cos x joonistamiseks tuletatakse õpilastele meelde redutseerimisvalem cos x \u003d sin (x + π / 2), mis näitab, et funktsioonide y \u003d cos x ja y \u003d sin (x) graafikud + π / 2) on identselt võrdsed . Funktsiooni y \u003d sin (x + π / 2) joonistamiseks joonistatakse koordinaattasand, mille x-teljele on märgitud punkt -π / 2. Kui võtame selle punkti konstrueerimise lähtekohaks patugraafika x, siis on see graafik ka lähtepunkti funktsiooni y \u003d sin (x + π / 2) graafik. See tähendab, et funktsiooni y \u003d cos x graafik on nihutatud π / 2 võrra piki funktsiooni y \u003d sin x graafiku abstsisstellge. on ilmne, et funktsiooni y \u003d cos x graafik on samuti sinusoid. Selle asukoht võimaldab teha järeldusi funktsiooni omaduste kohta.

Funktsiooni esimene omadus puudutab ulatust. On ilmne, et funktsiooni domeeniks saab täisarvrida, st D(f)=(- ∞;+∞).

Funktsiooni teises omaduses märgitakse funktsiooni paarsus. Õpilastele tuletatakse meelde 9. klassis õpitud materjal, milles oli märgitud funktsiooni paarsustingimus. Paarisfunktsiooni korral kehtib võrdus f(-x)=f(x). Koosinusfunktsiooni paarsusest rääkides tuleb märkida, et selle funktsiooni graafik on y-telje suhtes sümmeetriline. Funktsiooni omadusi saate näidata joonisel, mis on näidatud koordinaattasandüks ring. Esimesel ja neljandal veerandil märgitakse punktid, mis on abstsisstelje suhtes sümmeetrilised. Koosinus määratakse punkti abstsissiga, seega on kahe punkti L(t) ja N(-t) abstsissid samad. Seega cos (-t)= cos t.

Kolmas omadus tähistab funktsiooni vähenemise ja suurendamise intervalle. Omadus näitab, et funktsioon väheneb lõigul ja lõigul [π;2π] koosinus suureneb. Joonisel on funktsioonigraafik, mis näitab selgelt kahanevate ja suurenevate funktsioonide pindala.

Ilmselgelt suureneb funktsioon y \u003d cos x igal lõigul [π + 2πk; 2π + 2πk]. Langevad segmendid sisse üldine vaade näeb välja selline, kus k on täisarv.

Neljandas omaduses märgitakse koosinusfunktsiooni piiritus ülalt ja alt. Sarnaselt siinusele võib märkida koosinuse -1 piiratud väärtusi<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.

Viies omadus määrab funktsiooni väikseima ja suurima väärtuse. Sel juhul saavutatakse väikseim väärtus -1 mis tahes punktis x= π+2πk ja suurim väärtus 1 mis tahes punktis x=2πk.

Kuues omadus näitab funktsiooni y = cos x pidevust. Joonisel, mis näitab graafikut, on näha, et sellel funktsioonil ei ole katkestusi kogu määratlusvaldkonnas.

Funktsiooni seitsmes omadus näitab, et väärtuste kogum \u200b\u200d cos x asub segmendil [-1; 1].

Lisaks vaadeldakse näiteid, mille puhul on vaja kasutada teadmisi funktsiooni y \u003d cos x omaduste kohta. Esimeses näites on vaja lahendada võrrand cos x=1-x 2 . Selle võrrandi lahenduseks on funktsioonigraafikute lõikepunktid, mis on esindatud võrrandi parema ja vasaku külje avaldistega, see tähendab y \u003d cos x ja y \u003d 1-x 2. Ilmselgelt on esimese võrrandi graafik teemas varem näidatud sinusoid. Teise funktsiooni graafik on parabool, mille tipp asub punktis (0;1). Pärast iga funktsiooni graafikute joonistamist on selle ülesande joonisel näha, et kahe graafiku ainsaks lõikepunktiks on punkt B (0; 1).

Teises näites peate koostama ja lugema funktsiooni graafiku, mis on määratletud segmendil x<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 avaldis cosx. Näite lahendusega kaasneval joonisel on lõigule [-3π / 2; π/2]. Samal ajal ei võta funktsioon punktis π/2 väärtust. Lõigul [π/2; 3π/2] konstrueeritakse funktsiooni y = cos x fragment. Ilmselgelt korratakse konstrueeritud fragmente kogu määratlusvaldkonnas. Järgnevalt kirjeldatakse, kuidas funktsiooni loetakse. Märgitakse, et see tähendab selle omaduste kirjeldamist. Selle funktsiooni omadused on loetletud - definitsioonipiirkond (-∞;+∞), paarsus- või veidrusmärkide puudumine kogu definitsioonipiirkonnas, funktsiooni piiritus nii ülalt kui ka altpoolt. Funktsiooni suurim väärtus on 1 ja väikseim -1. Punktis x=π/2 on ka tühimik, funktsiooni väärtuste komplekt (-1;1).

Videotundi “Funktsioon y \u003d cos x, selle omadused ja graafik” kasutatakse selleteemalises matemaatikatunnis visuaalse materjalina. Samuti võib see video olla kasulik kaugkoolitust läbiviivale õpetajale õpilaste vajalike oskuste kujundamisel. Materjali võib soovitada iseseisvaks läbivaatamiseks õpilastele, kes pole teemat piisavalt hästi valdanud ja vajavad lisatunde.

TEKSTI TÕLGENDAMINE:

Enne funktsiooni y \u003d cos x joonistamist tuletage meelde redutseerimisvalem, mille kohaselt cos x \u003d sin (x + 14ПЂ2) "> (argumendi x koosinus võrdub argumendi x pluss pi siinuse kahega See tähendab, et funktsioonid y \u003d cos x ja

y = sin(x +14ПЂ2)"> on identselt võrdsed, mistõttu nende graafikud langevad kokku.

Funktsiooni y \u003d sin (x +) joonistamiseks14ПЂ2)"> vajame abikoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis B (-14ПЂ2 ">; 0) (punktis on koordinaadid miinus pi kahe võrra, null). Kui joonistame funktsiooni graafiku y \u003d sin x uues koordinaatsüsteemis, saame funktsiooni graafiku

y = sin(x +14ПЂ2)"> või funktsiooni y \u003d cos x graafik, kuna nende graafikud langevad kokku (vt joonis 1).

Kuna funktsiooni y \u003d cos x graafik saadakse siinuse graafikust, kasutades paralleeltõlget vahemaa järgi14ПЂ2 "> negatiivses suunas, siis on ka selle funktsiooni graafik sinusoid.

Funktsiooni y \u003d cos x graafiku pilt annab visuaalse esituse selle funktsiooni omadustest.

OMADUS 1. Määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk või D (f) = (-14€ ; +14v €ћ ">) (de alates ef võrdub intervalliga miinuslõpmatusest plusslõpmatuseni).

OMADUS 2. Funktsioon y = cos x on paaris.

9. klassi tundides saime teada, et funktsiooni y \u003d f (x), x ϵX (y võrdub eff-ga x-st, kus x kuulub hulka x on suur) kutsutakse välja isegi siis, kui mis tahes väärtuse x korral alates hulk X võrdsus

f (- x) \u003d f (x) (ef miinus x-st võrdub ef-ga x-st).

OMADUS 3. Intervallil [ 0 ; π ](nullist pi) funktsioon väheneb, suureneb intervallil [ π ; 2π] (pi-st kahe pi-ni) ja nii edasi.

Võime teha üldise järelduse: funktsioon y \u003d cos x suureneb segmendil

[π 14+2ПЂk ">;142ПЂ+2ПЂk"> ] (pi pluss kaks piiki kahele pi pluss kahele piigile) ja väheneb lõigul [14 2ПЂk">;14ПЂ+2ПЂk]"> (kahest pi ka-st pi-ni pluss kaks pi ka), kus (ka kuulub täisarvude hulka).

OMADUS 4. Funktsioon on piiratud ülalt ja alt.

OMADUS 5. Funktsiooni väikseim väärtus võrdub miinus ühega ja saavutatakse vormi x = mis tahes punktis14ПЂ + 2ПЂk "> (või võite kirjutada y nime = - 1); suurim väärtus on 1 ja see saavutatakse mis tahes punktis kujul x =142ПЂk">

(või võite kirjutada y max. = 1).

OMADUS 6. Funktsioon y \u003d cos x on pidev.

OMADUS 7. Funktsiooni väärtuste komplekt on segment miinus ühest üheni (või võite kirjutada E (f) = [ - 1; 1]).

Kaaluge näiteid.

NÄIDE 1. Lahendage võrrand cos x \u003d 1 - x 2 (koosinus x võrdub ühe miinus x ruudus).

Lahendus. Lahendame selle võrrandi graafiliselt. Ühes koordinaatsüsteemis koostame kaks funktsioonide graafikut: y \u003d cos x ja y \u003d 1 - x 2. Funktsioonigraafik

y \u003d 1 - x 2 on parabool, mille oksad on suunatud allapoole, kuna x ruudu koefitsient on negatiivne. (vt joonis 2) Konstrueeritud graafikutel on ainult üks ühine punkt - see on punkt B (0; 1) (olema koordinaatidega null, üks).

Lahendus. Ehitame graafiku “tükkhaaval”. Esiteks konstrueerime avatud tala funktsiooni y \u003d sin x graafiku osa (-14v€ћ"> ;14ПЂ2">) , siis samas koordinaatsüsteemis talal [14 ПЂ2 ">; +14в€ћ">) koostame osa funktsiooni y \u003d cos x graafikust. Saame funktsiooni y \u003d f (x) graafiku.

Loeme selle funktsiooni graafikut (see tähendab funktsiooni omaduste loetlemist):

1. Definitsioonipiirkond on kõigi reaalarvude hulk, s.t.

D(f) = (-14v€ћ ; + в€ћ)"> (st de alates ef võrdub intervalliga miinuslõpmatusest plusslõpmatuseni).

1. Funktsioon pole paaris ega paaritu.
2. Funktsioon on piiratud nii alt kui ka ülalt.
3. Funktsiooni väikseim väärtus võrdub miinus ühega (sellisi punkte on lõpmatult palju), funktsiooni suurim väärtus on võrdne ühega (selliseid punkte on ka lõpmatult palju).
4. Funktsioonil on katkestus punktis x =14ПЂ 2 "> .
5. Funktsiooni väärtuste komplekt on segment miinus ühest üheni.

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Tunni teema: "Funktsioon y=cosx"

1. tund

Tunni eesmärgid: tutvustada õpilastele funktsiooni omadusi

Tunni eesmärgid.

Haridus - visuaalsel materjalil funktsionaalsete esituste moodustamine, funktsiooni y \u003d cosx graafikute kujundamise võime kujundamine, graafikute vaba lugemise oskuste kujundamine, funktsiooni omaduste graafikul kajastamise oskus.

Tundide ajal

Tunni eesmärk: Tutvustada õpilasi funktsiooni y \u003d cosx omadustega, õppides joonistama funktsiooni y \u003d cosx graafikut, lugema seda graafikut, kasutades võrrandite ja võrratuste lahendamisel funktsiooni omadusi ja graafikut .

2. Tunni teema ja eesmärgi kuulutusega kaasneb slaid number 2

3. Algteadmiste aktualiseerimine

Suuharjutuste tegemine.

1. Korrake trigonomeetriliste funktsioonide määratlust ja nende funktsioonide väärtuste märke.
2. Pöörake õpilaste tähelepanu asjaolule, et mis tahes reaalarvu korral saate ühikuringil märkida vastava punkti ja seega ka selle abstsissi ja ordinaati, s.o. arvu x koosinus ja siinus: y \u003d cosx ja y \u003d sinx, mille määratluspiirkond on kõik reaalarvud.

Seejärel vastavad õpilased küsimustele:

1. Milliste x väärtuste korral saab funktsioon y=cosx väärtuse, mis on võrdne 0-ga? üks? - üks?
2. Kas funktsioon y=cosx võib võtta väärtuse, mis on suurem kui 1, väiksem kui -1?
3. Milliste x väärtuste korral omandab funktsioon y=cosx suurima (väikseima) väärtuse?
4. Mis on funktsiooni y=cosx väärtuste kogum?

Nende ja järgmiste küsimuste vastustele on lisatud illustratsioon ühikuringil.

Korranud trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märke igas koordinaattasandi veerandis, palutakse õpilastel näidata mitu ühikuringi punkti, mis vastavad arvudele, mille koosinus on positiivne (negatiivne) arv. Siis vasta küsimustele:

1) Mis on funktsiooni y \u003d cosx märk, kui x \u003d, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Märkige mitu x väärtust, mille juures funktsiooni y \u003d cosx väärtused on positiivsed, negatiivsed.

3) Kas on võimalik nimetada kõiki arvu väärtusi, mille koosinus on positiivne, negatiivne?

4) Kas on võimalik nimetada kõiki argumendi x väärtusi, mille puhul funktsiooni y = cosx väärtused on positiivsed või negatiivsed?

5) Paaris või paaritu funktsioon y = cosx.

6) Mis on selle funktsiooni periood?

4. Uue materjali esitamine.

Varem omandatud teadmiste üldistamine ja konkretiseerimine: definitsioonivaldkonna, väärtuste kogumi, paarsuse, perioodilisuse uurimine võimaldab ehitada graafiku esmalt segmendile, seejärel segmendile ja seejärel kogu arvujoonele. Selgitusele on lisatud slaid nr 3.

Seejärel õpivad õpilased joonistama funktsiooni y \u003d cosx graafiku punktides (0; 1), (; 0),

(:-1), (;0), (;1) ja üldistada funktsiooni omadused, kirjutades need tabelisse.

Kontrollime slaidi number 4 abil.

(Selles etapis antakse välja täiendavad märkmed (lisa 1))

5. Esmaste teadmiste kinnistamine.

Funktsiooni y \u003d cosx graafiku visandi abil vastavad õpilased küsimustele nr 708, kasutades funktsiooni y \u003d cosx omaduste tabelit küsimustele nr 709

6. Ülesanne joonistada funktsioonigraafik nihkega piki ordinaattelge ja piki abstsisstellge.

1. Slaidi number 5, 6

Vestluse käigus arutatakse nende funktsioonide omadusi.

7. Iseseisev töö õpiku kallal

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Jagage see segment kaheks segmendiks nii, et funktsioon y \u003d cosx ühes neist suureneb ja teises väheneb:

Väheneb; - suureneb

Väheneb; - suureneb

Võrrelge numbreid, kasutades funktsiooni y \u003d cosx suurenevat või kahanevat omadust:

Segmendil funktsioon y \u003d cosx väheneb; , Järelikult,.

Segmendil suureneb funktsioon y \u003d cosx;

<, следовательно, cos < cos

Leia kõik segmenti kuuluva võrrandi juured:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, n Z

Vastus: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Kokkuvõtete tegemine.

Hindamine.

Tunnis õppisime joonistama funktsiooni y = cosx, lugema selle graafiku omadusi, koostama graafiku eskiisi, lahendama graafiku kasutamisega seotud ülesandeid ja funktsiooni y = cosx omadusi.

9. Kodutöö.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Koostage funktsioonide y \u003d cosx graafikud ja kirjeldage selle funktsiooni omadusi.

Lisaks nr 717 lg 1.

Õppetund nr 2

Tunni eesmärgid: korrake funktsiooni y \u003d cosx graafiku koostamise reegleid, õppige rakendama tehnikaid graafiku teisendamiseks, selle graafiku lugemiseks, funktsiooni omaduste ja graafiku kasutamiseks võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Tunni eesmärgid.

Haridus - visuaalsel materjalil funktsionaalsete esituste moodustamine, funktsiooni y \u003d cosx graafikute kujundamine erinevate teisendustega, graafikute vaba lugemise oskuste kujundamine, võime peegeldada funktsiooni omadusi. graafik.

Arendav – omandatud teadmiste analüüsi-, üldistusvõime kujunemine. Loogilise mõtlemise kujunemine.

Hariduslik - aktiveerida huvi uute teadmiste omandamise vastu, kasvatada graafilist kultuuri, kujundada jooniste tegemisel täpsust ja täpsust.

Varustus: multimeediaprojektor, ekraan, operatsioonisüsteem Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Tundide ajal

Peamised trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Vaatleme igaüks neist eraldi.

Y = sin(x)

Funktsiooni y=sin(x) graafik.

Põhiomadused:

3. Funktsioon on paaritu.

Y = cos(x)

Funktsiooni y=cos(x) graafik.

Põhiomadused:

1. Määratlusala on kogu numbritelg.

2. Funktsioon on piiratud. Väärtuste komplekt on segment [-1;1].

3. Funktsioon on paaris.

4. Funktsioon on perioodiline, väikseima positiivse perioodiga on 2*π.

Y = tan(x)

Funktsiooni y=tg(x) graafik.

Põhiomadused:

1. Definitsioonipiirkonnaks on kogu arvtelg, välja arvatud punktid kujul x=π/2 + π*k, kus k on täisarv.

3. Funktsioon on paaritu.

Y = ctg(x)

Funktsiooni y=ctg(x) graafik.

Põhiomadused:

1. Definitsioonipiirkonnaks on kogu arvtelg, välja arvatud punktid kujul x=π*k, kus k on täisarv.

2. Funktsioon on piiramatu. Määratud väärtus on terve arvurida.

3. Funktsioon on paaritu.

4. Funktsioon on perioodiline, väikseima positiivse perioodiga π.

Kas vajate õpingutega abi?