Trigonomeetria kursusel, mis hõlmab suur hulk klassis 10. klassis õpitakse nelja peamist trigonomeetrilist funktsiooni: siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti. Õpilased peaksid suutma neid funktsioone käsitseda, koostada graafikuid, analüüsida kõiki funktsioone, koostada teisendatud funktsioonide graafikuid, oskama töötada trigonomeetriliste väärtuste tabeliga jne.

Samuti peaksid nad suutma käsitseda ja reprodutseerida mõningaid trigonomeetria põhivalemeid, kasutama neid lahendamisel praktilisi näiteid. Seda kõike on käsitletud eelmistes videotes. Õpilased saavad materjali oma peas üle vaadata ja värskendada.

Niisiis, seda liiki See õppetund on pühendatud argumentide summa ja erinevuse puutuja valemite uurimisele. Eelnevalt uuriti argumentide summa ja erinevuse siinuse valemeid ning koosinust.

Neid kuvab kõneleja ja kuvatakse ekraanil punaste raamidega, et rõhutada nende valemite meeldejätmise tähtsust.

Mis puutub, siis me teame, kuidas kirjutada see kontseptsioon, see tähendab siinuse ja koosinuse kaudu väljendamiseks. Argumentide summa puutuja saab kirjutada kui argumentide summa siinuse jagamine argumentide summa koosinusega. Meil on murd, kuhu saab eelnevalt uuritud valemite järgi kirjutada lugeja ja nimetaja. Saame valmis uue valemi, mida saab veidi lihtsustada ja teisendada. Kõneleja soovitab jagada polünoomi iga liige ühe argumendi koosinuse ja teise argumendi siinuse korrutisega. Jagamisel mõned terminid tühistatakse ja avaldis tervikuna väheneb.

Saame uue lihtsustatud valemi, mida tasub meeles pidada. Kui mõistate selle vastuvõtmise põhimõtet, pole edasisel mõistmisel ja meeldejätmisel probleeme.

Lisaks on näidatud, et argumendid ei saa võtta väärtusi, mis asuvad puutujafunktsiooni graafiku asümptootidel. Argumendisummade puhul tehakse ka erandeid. Seda peaks õpetaja koos klassiga kaaluma.

Esimeses näites, mida kuvatakse videoõpetuses, tehakse ettepanek arvutada mõni üsna suur murdosa avaldis, mis sisaldab puutujate summat nii nimetajas kui ka lugejas. Kuna puutuja argumendid ei ole tabeliväärtused, on soovitatav need esitada mugavamate kraadide summana. Pärast seda protseduuri saate kasutada uuritud valemit edasiseks otsustamiseks ja vastuse saamiseks.

Teises näites tehakse ettepanek mõne avaldise lihtsustamiseks, mis on kahe murru summa. Paremal küljel on kõik viitetekstid, mida probleemi lahendamisel kasutatakse. Kõneleja selgitab kõike samm-sammult rahuliku ja arusaadava häälega. Ükski hetk ei jää vahele.

Kolmas näide on keerulisem. Siin tehakse ettepanek arvutada mõne väärtuse puutuja, kui mõned andmed on teada. Lahendamisel kasutatakse ka varem uuritud valemeid, mis ilmuvad paremal pool viiktekstis.

Lahendus on üsna pikk. Selle tulemusena kuvatakse vastus. Pärast seda näidet näitab video teist võrrandi näidet. Kuna selle lahendamisel kasutame trigonomeetriline tabel väärtusi, kuvatakse see selguse ja lihtsuse huvides. Seega näevad õpilased, kust teatud väärtused on võetud, saavad paremini aru.

Sarnaseid näiteid saab tuua õpilastele kodus täitmiseks. Kui neil on selle lahendamisega probleeme, saavad nad vaadata videot ja seda uuesti vaadata.

Seda elektroonilist ressurssi saab kasutada koolis tunni ajal demonstreerimiseks. Õpetaja saab tunni ellu äratada sarnased materjalid. See muutub meeldejäävamaks ja huvitavamaks. Kui õpilastel on küsimusi, saab temaga koos tundi vaatav õpetaja või juhendaja täpsemalt kommenteerida ja selgitada. Nutikad õpilased saavad materjalist iseseisvalt aru ja seda ilma täiendava abita omandada.

TEKSTI TÕLGENDAMINE:

Argumentide summa ja erinevuse puutuja

Oleme juba tutvunud valemitega, mis väljendavad argumentide summa ja erinevuse siinust ja koosinust. Kuva valemid

Mõelge, kuidas saate väljendada argumentide summa ja erinevuse puutujat. Tuletame meelde, et puutuja on arvu siinuse ja selle arvu koosinuse suhe.

Seejärel väljendame kahe nurga summa puutujat kahe nurga summa siinuse ja koosinusena, kasutades valemeid summa siinus ja summa koosinus:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

(lõppude lõpuks, kui on olemas nurkade x ja y puutujad, on nende nurkade koosinuste korrutis nullist erinev), pärast lugeja ja nimetaja jagamist cos-iga x cos y saame lugejas oleva summa ja see on võrdne tgx-ga ja see on võrdne tgy-ga.

Vähendame nimetajat ja saame ühe

nagu lugejas a võrdub see tgx-ga ja a see on tgy.

Seetõttu tg(x+y) =.

(Kahe argumendi summa puutuja on võrdne summaga nende argumentide puutujad jagatud ühega miinus nende argumentide puutujate korrutis.)

Sarnaselt tõestatakse argumentide erinevuse puutuja valem:

tg(x-y) =. (Kahe argumendi erinevuse puutuja võrdub nende argumentide puutujate erinevusega jagatuna ühega pluss nende argumentide puutujate korrutis.)

Loomulikult on kõik puutujad mõttekad, s.t. x + πn, y + πn,

x + y + πn (kahe argumendi summa puutuja jaoks), x - y + πn (kahe argumendi erinevuse puutuja jaoks).

Kaaluge näiteid.

NÄIDE 1. Arvuta.

Lahendus. See avaldis on argumentide 16° ja 44° tangensi summa valemi parem pool. Seetõttu toome avaldise vasaku külje kujule ja saame, et puutuja on 60 0, järelikult on see võrdne. (Kuva väärtustabel)

Tg(16°+44°) = tg 60° = .

NÄIDE 2. Lihtsusta avaldist + (argumentide x ja y puutujate summa jagatis nende argumentide summa puutujaga pluss argumentide x ja y puutujate erinevuse jagatis nende argumentide erinevus).

Lahendus. Esimese ja teise murru nimetajas rakendame argumentide summa ja erinevuse puutuja valemeid, teeme taandusi ja saame 1 - tgxtgy + 1 + tgxtgy , - tgxtgy ja tgxtgy tulemuseks nulli, siis vastus on 2.

1 – tgxtgy + 1 + tgxtgy = 2.

NÄIDE 3. Arvutage tg(+y) (pi puutuja korda neli pluss y), kui hubane = , π on teada<у< (игрек больше пи, но меньше трех пи на два).

Lahendus. Rakendades argumentide summa puutuja valemeid, saame

Leidke tgy (teades hubast = , π<у<), воспользовавшись формулой. Получим tg 2 у = - 1 подставим значение косинуса в формулу, тогда получим - 1 = .

tg 2 a \u003d - 1 - 1 \u003d.

tg 2 a =. Eraldame ruutjuure tg y \u003d ja tg y \u003d

Tingimuse järgi kuulub argument y (y) kolmandasse veerandisse ja seal on puutuja positiivne. Seega tg y = . Nüüd läheme tagasi algse valemi juurde ja asendame leitud väärtuse:

Vastus: = 7.

NÄIDE 4. Lahendage võrrand \u003d -1 (Kolme x ja x puutujate vahe, jagatud ühe summaga ning kolme x ja x puutujate korrutis võrdub miinus ühega).

Lahendus. Märkige võrrandi vasakul küljel argumendi kolme x ja x erinevuse tangensi valem. Meil on

tg(3x-x) =- 1, millest saame 2x, mis tähendab

2x \u003d arctan (-1) + πn, (kaks x võrdub kaartangens miinus üks pluss pi en).

Kuna arctg (-1) = -arctg 1, siis tg (-1) = Kuva tabel

Asendame andmed avaldisesse ja saame:

2x \u003d - + πn, (kaks x võrdub miinus pi x neli pluss pi en)

x = -+, (x võrdub miinus pi korda kaheksa pluss pi en jagatud kahega)

Kõige sagedamini esitatavad küsimused

Kas antud näidise järgi on võimalik dokumendile pitsat teha? Vastus Jah, see on võimalik. Saatke meie e-posti aadressile skaneeritud koopia või hea kvaliteediga foto ja me teeme vajaliku duplikaadi.

Milliseid maksetüüpe te aktsepteerite? Vastus Dokumendi eest saate tasuda kullerile kättesaamise ajal, pärast seda, kui olete kontrollinud diplomi täitmise õigsust ja kvaliteeti. Seda saab teha ka sularahateenust pakkuvate postiettevõtete kontorites.
Kõik dokumentide kohaletoimetamise ja maksmise tingimused on kirjeldatud jaotises "Makse ja kohaletoimetamine". Samuti oleme valmis kuulama teie ettepanekuid dokumendi kohaletoimetamise ja tasumise tingimuste kohta.

Kas ma võin olla kindel, et peale tellimuse esitamist ei kao te minu rahaga kuhugi? Vastus Omame üsna pikaajalist kogemust diplomite valmistamise alal. Meil on mitu saiti, mida pidevalt uuendatakse. Meie spetsialistid töötavad riigi erinevates osades, koostades päevas üle 10 dokumendi. Aastate jooksul on meie dokumendid aidanud paljudel inimestel lahendada tööhõiveprobleeme või liikuda kõrgemapalgalistele töökohtadele. Oleme klientide seas pälvinud usalduse ja tunnustuse, seega pole meil selleks absoluutselt mingit põhjust. Pealegi on seda lihtsalt füüsiliselt võimatu teha: maksate tellimuse eest selle kättesaamise hetkel, ettemaksu pole.

Kas ma saan tellida diplomi mis tahes ülikoolist? Vastus Üldiselt jah. Oleme selles valdkonnas tegutsenud peaaegu 12 aastat. Selle aja jooksul on moodustatud peaaegu täielik andmebaas peaaegu kõigi riigi ülikoolide ja erinevate väljaandmise aastate kohta välja antud dokumentidest. Kõik, mida vajate, on valida ülikool, eriala, dokument ja täita tellimisvorm.

Mida peaksin tegema, kui leian dokumendist kirjavigu? Vastus Meie kullerilt või postifirmalt dokumendi saamisel soovitame kõik andmed hoolikalt üle kontrollida. Kirjavea, vea või ebatäpsuse avastamisel on õigus diplom mitte võtta ning leitud puudustest tuleb kullerile isiklikult või kirjalikult teada anda e-kirja teel.
Esimesel võimalusel parandame dokumendi ja saadame selle uuesti määratud aadressile. Saatmiskulud tasub loomulikult meie firma.
Selliste arusaamatuste vältimiseks saadame enne originaalvormi täitmist tulevase dokumendi küljenduse kliendi postile kontrollimiseks ja lõpliku versiooni kinnitamiseks. Enne dokumendi kulleriga või postiga saatmist teeme ka täiendava foto ja video (ka ultraviolettvalguses), et saaksite visuaalselt aimu, mida lõpuks saate.

Mida on vaja teha, et oma ettevõttelt diplomit tellida? Vastus Dokumendi (tunnistus, diplom, akadeemiline tunnistus jne) tellimiseks peate täitma meie veebisaidil veebipõhise tellimisvormi või sisestama oma e-posti aadressi, et saadaksime teile küsimustiku vormi, mille peate täitma ja saatma. meie juurde tagasi.
Kui te ei tea, mida tellimisvormi/ankeedi mõnele väljale märkida, jätke need tühjaks. Seetõttu täpsustame kogu puuduva info telefoni teel.

Viimased arvustused

Aleksei:

Mul oli vaja saada diplom, et saada juhina tööle. Ja mis kõige tähtsam, mul on nii kogemusi kui ka oskusi, kuid ilma dokumendita ma ei saa, ma saan tööd igal pool. Kui teie saidile sattusin, otsustasin ikkagi diplomi osta. Diplom valmis 2 päevaga! Nüüd on mul töökoht, millest ma pole varem unistanud!! Aitäh!

Varem õpitud trigonomeetria materjali tunni kordamine: trigonomeetria valemite kordamine, trigonomeetriliste avaldiste teisendamise ja võrrandite lahendamise oskuse harjutamine põhiliste trigonomeetriliste valemite abil.

Laudadel on ülesannete kaardid. Võrrand valitakse pakutud võrrandite hulgast, mille lahendamisel kasutatakse argumentide summa või erinevuse siinuse valemit. Tahvli juurde kutsutakse õpilane, kes otsustab ja kommenteerib valjusti kogu otsust.

Lahendage selle valemi jaoks järgmine võrrand.

Enesehindamise töö. Iga õpilane näitab diagrammil selle valemi assimilatsiooni taset ja oskust seda trigonomeetrilise võrrandi lahendamisel rakendada.

Vaatleme järgmise valemi lahendust

Lae alla:

Eelvaade:

Tunni teema: Argumentide summa ja erinevuse puutuja.

Tunni eesmärgid: haridus - juba olemasolevate teadmiste süstematiseerimine trigonomeetria valemite kohta, oskuste arendamine trigonomeetriliste avaldiste valemite rakendamisel;

haridus - iseseisvuse, töövõime kasvatus,sellised iseloomuomadused nagu sihikindlus eesmärgi saavutamisel, oskus mitte eksida probleemolukordades, koostöövõime;

arendav - suhtlemisoskuste areng, intellektuaalse taseme, silmaringi tõus, matemaatika õppimise motivatsiooni tõus, loogilise mõtlemise arendamine, oskus tuua esile põhiline, üldistada, teha õigeid loogilisi järeldusi.

Tunni eesmärgid:

Varem õpitud materjali kordamine trigonomeetria kohta;

Trigonomeetria valemite kordamine;

Trigonomeetriliste avaldiste teisendamise ja võrrandite lahendamise oskuse harjutamine põhiliste trigonomeetriliste valemite abil.

Varustus : multimeediaprojektor, ekraan, tahvel, esitlus, kaardid ülesannetega tunnis töötamiseks, kaardid ülesannetega iseseisvaks tööks.

Tegevusmeetodid: paljunemisvõimeline ja osaliselt uurimuslik.

Kasutades uusimaid kognitiivse tegevuse tehnoloogiaid:esitlus, teadmiste kontroll enesekontrolli ja teadmiste diagnostika režiimis.

Tunniplaan

Tundide ajal:

1. Organisatsioonimoment.

Tervitus, teema sõnum ja tunni ülesanded.

Õpetaja: Saksa geenius Johann Wolfgang Goethe märkis kord: „Ei piisa ainult teadmiste omandamisest, neile tuleb leida rakendus. Ei piisa ainult soovist; vaja teha". Niisiis, järgigem seda kirjaniku väidet täna õppetunnis, oleme aktiivsed, tähelepanelikud, ammutame teadmisi suure rõõmuga, sest need on teile hilisemas elus kasulikud.

2. Teadmiste aktualiseerimine.

Tunni alustame väikese suulise tööga, mis on suunatud põhiliste trigonomeetriliste identiteetide kordamisele, eelneva materjali assimilatsiooni kontrollimisele.

Lihtsustage väljendeid ja leidke nende väärtused:

a) sin sin (2 +3) + cos (2 +3) cos

b) cos 2 sin (-) - cos (-) sin 2

c) sin 81° cos 21° - cos 81° sin 21°

d) cos cos - sin sin

e) sin cos + cos sin

f) cos78° cos18° + sin78° sin18°

Vastused ülesandele: a) cos (3 + ); b) - sin(+); sisse) ; G)- ; e) 1; f) ;g);

Tere) ; kuni) - .

Õpetaja: Töötage enesehinnanguga. Näidake diagrammil teooria assimilatsiooni taset.

3. Materjali kinnitamine.

Õpetaja: kaaluge valemite rakendamise võrrandite lahendust (õpilane kutsutakse tahvli juurde, kes lahendab ja kommenteerib valjusti kogu lahenduse):

a) sin x cos 3x - cos x sin 3x =

Lahendus : rakendades summa siinusvalemit, saame sin (x + 3x) =

Patt 4x =

4x \u003d (-1) n + n, kus n

X \u003d (-1) n +, kus n

4. Oskuste arendamine.

Õpetaja: trigonomeetriliste valemite õppimine koolis ei ole selleks, et saaksid elu lõpuni siinusi, koosinuse ja puutujaid arvutada, vaid selleks, et aju omandaks töövõime. “Teed ei ole teadmised, mis ladestuvad ajju nagu rasv; teed on need, mis muutuvad vaimseteks lihasteks,” kirjutas inglise filosoof ja sotsioloog G. Speser. Teie laudadel on ülesannete kaardid. Valige pakutud võrrandite hulgast võrrand, mille lahendamisel kasutatakse argumentide summa või erinevuse siinuse valemit. Otsustage ise.

Soovitatavad ülesanded:

c) = -

b) sin 5x cos x + cos 5x sin x = -

Sin6x = -

6x \u003d (-1) n + n, kus n

X \u003d (-1) n +, kus n

Õpetaja: kaaluge järgmise võrrandi lahendust cos 3x cos5x - sin3x sin5x = 0

Cos 8x = 0

8x = + , kus

X = + , kus

Õpetaja: Valige pakutud võrrandite hulgast võrrand, mille lahendamisel kasutatakse argumentide summa või erinevuse koosinusvalemit. Otsustage ise.

Enesevaliku ülesannete lahendamine:

a) cos 4x cosx - sin4x sinx \u003d -

Cos 5x = -

5x = +2, kus

X = + , kus

Õpetaja: Töötage enesehinnanguga. Näidake diagrammil selle valemi assimilatsiooni taset ja võimet seda trigonomeetrilise võrrandi lahendusele rakendada.

Õpetaja: kaaluge võrrandi lahendust= 1

(tahvlisse kutsutakse üliõpilane soovi korral, kes otsustab ja kommenteerib valjusti kogu otsust)

Vastus: x = - kus

Õpetaja: Valige pakutud võrrandite hulgast võrrand, mille lahendamisel kasutatakse argumentide summa või erinevuse puutuja valemit. Otsustage ise.

Enesevaliku ülesannete lahendamine:

c) = -

tg(+ x) = -

X \u003d - + n, kus n

x \u003d - + n, kus n

Õpetaja: Töötage enesehinnanguga. Näidake diagrammil selle valemi assimilatsiooni taset ja võimet seda trigonomeetrilise võrrandi lahendusele rakendada.

Töö kokkuvõtteid. Hindamine vastavalt kriteeriumidele.

Skoorimise võti:

16-20 punkti - skoor "5"

13-15 punkti - skoor "4"

6-12 punkti - skoor "3"

vähem kui 6 punkti - hinne "2"

5. Lisaülesanne:

Arvutama:

)a)

b))

Töötage slaidiga (korrake kõige lihtsamate trigonomeetriliste trigonomeetriliste võrrandite lahendamist, kas kõik lahendused on õiged?):

Ristsõna töö.

Õppetunni kokkuvõte. Tahvli juures töötavatele õpilastele hinnete andmine ja kommenteerimine. Õpilaste antud hinnete kõlamine vastavalt hindamistabelile.

Õpetaja: Ühel päeval läks Sokrates oma jüngritest ümbritsetud templisse. Nende poole laskus tuntud Ateena hetaera. "Siin, Sokrates, olete oma õpilaste üle uhke," naeratas ta talle, "aga niipea, kui ma neile kergelt viipan, lahkuvad nad su juurest ja järgivad mind." Tark vastas nii: "Jah, aga sina kutsud nad alla sooja, rõõmsasse orgu ja mina viin nad üles vallutamatutele, puhastele tippudele."

Nii et täna oleme tõusnud ühe astme ülespoole, olles õppinud kasutama trigonomeetria valemeid.

Kasutatud Raamatud.

1. Mordkovich A.G. Algebra ja analüüsi algus 10 - 11 klassi 2 osas (õpik, probleemiraamat) Haridusasutustele. – 12. väljaanne. - M.: Mnemosyne, 2011.

2. Makeeva A.V. Trigonomeetria kaardid. 10-11 klass: didaktiline materjal õpetajale - OAO kirjastuse lütseum, Saratov, 2002.

3. Algebra õpetus ja analüüsi algus 10-11: Metoodilised soovitused õpikutele; raamat. õpetaja jaoks / N.E. Fedorova, M.V. Tkatšov. – M.: Valgustus, 2007.

4. Didaktilised materjalid algebra ja analüüsi põhimõtete kohta 10. klassile / M.I. Shabunin, M.V. Tkachev jt – 2. väljaanne. - M.: Haridus, 2007.

5. Reshetnikov N.N. Kursuse “Trigonomeetria koolis” materjalid loengud 1.-8. - M .: Pedagoogikaülikool "Esimene september", 2006

6. Ajaleht “Esimene september. Matemaatika". - nr 6, 2004.

7. Eksami 2002, 2011 tööde kogud.

Tunni elektrooniline tugi:

Võrdlusandmed puutuja (tg x) ja kotangensi (ctg x) kohta. Geomeetriline definitsioon, omadused, graafikud, valemid. Puutujate ja kotangentide tabel, tuletised, integraalid, jada laiendused. Avaldised keeruliste muutujate kaudu. Seos hüperboolsete funktsioonidega.

Geomeetriline määratlus

|BD| - punktis A tsentreeritud ringikaare pikkus.
α on radiaanides väljendatud nurk.

Tangent ( tgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| külgneva jala pikkusele |AB| .

Kotangent ( ctgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| vastasjala pikkuseni |BC| .

Tangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on puutuja tähistatud järgmiselt:
.
;
;
.

Puutujafunktsiooni graafik, y = tg x

Kotangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on kootangens tähistatud järgmiselt:
.
Samuti on kasutusele võetud järgmine märge:
;
;
.

Kootangensfunktsiooni graafik, y = ctg x

Tangensi ja kotangensi omadused

Perioodilisus

Funktsioonid y= tg x ja y= ctg x on perioodilised perioodiga π.

Pariteet

Funktsioonid puutuja ja kotangent on paaritud.

Määratlusvaldkonnad ja väärtused, tõusev, kahanev

Funktsioonid tangens ja kotangent on oma definitsioonipiirkonnas pidevad (vt pidevuse tõestust). Puutuja ja kotangensi peamised omadused on toodud tabelis ( n- täisarv).

Valemid

Avaldised siinuse ja koosinuse mõistes

; ;
; ;
;

Summa ja vahe puutuja ja kotangensi valemid

Ülejäänud valemeid on näiteks lihtne hankida

Puutujate korrutis

Puutujate summa ja erinevuse valem

See tabel näitab mõne argumendi väärtuse puutujate ja kotangentide väärtusi.

Avaldised kompleksarvude kujul

Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi

;
;

Tuletised

; .

.
Funktsiooni muutuja x n-ndat järku tuletis:
.
Tangensi > > > valemite tuletamine ; kotangensi jaoks >>>

Integraalid

Laiendused seeriateks

Puutuja laienduse saamiseks x astmetes tuleb funktsioonide astmereas võtta mitu laienduse liiget sin x ja cos x ja jagage need polünoomid üksteiseks , . Selle tulemuseks on järgmised valemid.

Kell .

aadressil .
kus B n- Bernoulli numbrid. Need määratakse kas kordumise seose põhjal:
;
;
kus .
Või vastavalt Laplace'i valemile:

Pöördfunktsioonid

Pöördfunktsioonid puutuja ja kotangens on vastavalt arktangens ja arkotangens.

Arktangent, arctg

, kus n- terve.

Kaare puutuja, arcctg

, kus n- terve.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
G. Korn, Matemaatika käsiraamat teadlastele ja inseneridele, 2012.