Коротка теорія

Для кількісного порівняння подій за ступенем можливості їх появи вводиться числова міра, яка називається ймовірністю події. Імовірністю випадкової подіїназивається число, що є виразом об'єктивної можливості появи події.

Величини, що визначають, наскільки значні об'єктивні підстави розраховувати появу події, характеризуються ймовірністю події. Необхідно підкреслити, що ймовірність є об'єктивна величина, яка існує незалежно від того, хто пізнає, і обумовлена ​​всією сукупністю умов, які сприяють появі події.

Пояснення, які ми дали поняттю ймовірності, є математичним визначенням, оскільки де вони визначають це поняття кількісно. Існує кілька визначень ймовірності випадкової події, які широко застосовуються під час вирішення конкретних завдань (класичне, аксіоматичне, статистичне тощо).

Класичне визначення ймовірності подіїзводить це поняття до елементарнішого поняття рівноможливих подій, яке вже не підлягає визначенню і передбачається інтуїтивно ясним. Наприклад, якщо гральна кістка – однорідний куб, то випадання будь-якої з граней цього куба будуть рівноможливими подіями.

Нехай достовірна подія розпадається на рівноможливі випадки, сума яких дає подію. Тобто випадки, на які розпадається, називаються сприятливими для події, оскільки поява одного з них забезпечує наступ.

Імовірність події позначатимемо символом.

Імовірність події дорівнює відношенню числа випадків , що сприяють йому, із загального числа можливих, рівноможливих і несумісних випадків до , тобто.

Це класичне визначення ймовірності. Таким чином, для знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, знайти сукупність єдино можливих, рівноможливих і несумісних випадків, підрахувати їх загальне число n, число випадків m, що сприяють даній події, і потім виконати розрахунок за вищенаведеною формулою.

Імовірність події, що дорівнює відношенню числа сприятливих події наслідків досвіду до загального числа наслідків досвіду називається класичною ймовірністювипадкової події.

З визначення випливають такі властивості ймовірності:

Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Властивість 4. Імовірність настання подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

Властивість 5. Імовірність настання протилежної події визначається так само, як і ймовірність настання події A.

Число випадків, що сприяють появі протилежної події. Звідси ймовірність настання протилежної події дорівнює різниці між одиницею та ймовірністю настання події A:

Важливе достоїнство класичного визначення ймовірності події у тому, що з допомогою ймовірність події можна визначити, не вдаючись до досвіду, а з логічних міркувань.

При виконанні комплексу умов достовірна подія обов'язково станеться, а неможлива обов'язково не станеться. Серед подій, які при створенні комплексу умов можуть статися, а можуть не відбутися, на появу одних можна розраховувати з великою підставою, на появу інших з меншою підставою. Якщо, наприклад, в урні білих куль більше, ніж чорних, то сподіватися появу білої кулі при вийманні з урни навмання більше підстав, ніж поява чорної кулі.

Приклад розв'язання задачі

Приклад 1

У ящику знаходиться 8 білих, 4 чорних та 7 червоних куль. Навмання витягнуто 3 кулі. Знайти ймовірності наступних подій: – витягнуто принаймні 1 червону кулю, – є принаймні 2 кулі одного кольору, – є принаймні 1 червона та 1 біла куля.

Рішення завдання

Загальна кількість результатів випробування знайдемо як кількість поєднань із 19 (8+4+7) елементів по 3:

Знайдемо ймовірність події– витягнуто принаймні 1 червону кулю (1,2 або 3 червоні кулі)

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні 2 кулі одного кольору (2 або 3 білі кулі, 2 або 3 чорні кулі та 2 або 3 червоні кулі)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні одна червона і 1 біла куля

(1 червоний, 1 білий, 1 чорний або 1 червоний, 2 білих або 2 червоні, 1 білий)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Відповідь: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Приклад 2

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок не менше ніж 5.

Рішення

Нехай подія – сума очок не менше 5

Скористаємося класичним визначенням ймовірності:

Загальна кількість можливих результатів випробування

Число випробувань, що сприяють цікавій для нас події

На грані першого грального кубика, що випала, може з'явитися одне очко, два очки ..., шість очок. аналогічно шість результатів можливі при киданні другого кубика. Кожен з наслідків кидання першої кістки може поєднуватися з кожним із наслідків другої. Таким чином, загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості розміщень з повтореннями (вибір з розміщеннями 2 елементів із сукупності обсягу 6):

Знайдемо ймовірність протилежної події – сума очок менше 5

Сприятиме події наступні поєднання очок, що випали:

Викладено геометричне визначення ймовірності та наведено рішення широко відомого завдання про зустріч.

Не довго роздумуватимемо про високе — почнемо відразу з визначення.

Схема Бернуллі - це коли виробляється n однотипних незалежних дослідів, у кожному з яких може з'явитися цікава для нас подія A, причому відома ймовірність цієї події P (A) = p. Потрібно визначити ймовірність того, що при проведенні випробувань n подія A з'явиться рівно k разів.

Завдання, які вирішуються за схемою Бернуллі, надзвичайно різноманітні: від простеньких (типу "знайдіть ймовірність, що стрілок потрапить 1 раз з 10") до дуже суворих (наприклад, завдання на відсотки або гральні карти). Насправді ця схема часто застосовується для вирішення завдань, пов'язаних з контролем якості продукції та надійності. різних механізмів, всі характеристики яких мають бути відомі на початок роботи.

Повернемося до визначення. Оскільки йдеться про незалежні випробування, і в кожному досвіді ймовірність події A однакова, можливі лише два результати:

1. A - Поява події A з ймовірністю p;
2. "не А" - подія А не з'явилося, що відбувається з ймовірністю q = 1 - p.

Найважливіша умова, без якої схема Бернуллі втрачає сенс, — це сталість. Скільки б досвідів ми не проводили, нас цікавить одна й та сама подія A , яка виникає з тією самою ймовірністю p.

До речі, далеко не всі завдання в теорії ймовірностей зводяться до постійних умов. Про це вам розповість будь-який грамотний репетитор з математики. Навіть таку нехитру справу, як виймання різнокольорових кульіз ящика, не є досвідом із постійними умовами. Вийняли чергову кулю – співвідношення кольорів у ящику змінилося. Отже змінилися і ймовірності.

Якщо умови постійні, можна точно визначити ймовірність того, що подія A відбудеться рівно k разів з n можливих. Сформулюємо цей факт як теореми:

Теорема Бернуллі. Нехай ймовірність появи події A у кожному досвіді постійна і дорівнює р. Тоді ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія A з'явиться рівно k разів, розраховується за формулою:

де C n k – число поєднань, q = 1 − p.

Ця формула і називається: формула Бернуллі. Цікаво зауважити, що завдання, наведені нижче, цілком вирішуються без використання цієї формули. Наприклад, можна застосувати формули складання ймовірностей. Проте обсяг обчислень буде просто нереальним.

Завдання. Імовірність випуску бракованого виробу на верстаті дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що в партії з десяти випущених на даному верстаті деталей рівно будуть без шлюбу. Розв'язати задачу для k = 0, 1, 10.

За умовою, нас цікавить подія A випуску виробів без шлюбу, яка відбувається щоразу з ймовірністю p = 1 − 0,2 = 0,8. Потрібно визначити ймовірність того, що ця подія станеться разів. Події A протиставляється подія «не A», тобто. випуск бракованого виробу

Отже, маємо: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Отже, знаходимо ймовірність того, що в партії всі браковані деталі (k = 0), що тільки одна деталь без шлюбу (k = 1), і що бракованих деталей немає взагалі (k = 10):

Завдання. Монету кидають 6 разів. Випадання герба та решки рівноймовірне. Знайти ймовірність того, що:

1. герб випаде тричі;
2. герб випаде один раз;
3. герб випаде щонайменше двічі.

Отже, нас цікавить подія A коли випадає герб. Імовірність цієї події дорівнює p = 0,5. Події A протиставляється подія «не A», коли випадає решка, що трапляється з ймовірністю q = 1 − 0,5 = 0,5. Потрібно визначити ймовірність того, що герб випаде разів.

Отже, маємо: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Визначимо можливість, що герб випав тричі, тобто. k = 3:

Тепер визначимо можливість, що герб випав лише один раз, тобто. k = 1:

Залишилося визначити, з якою ймовірністю герб випаде щонайменше двічі. Основна заковика - у фразі "не менше". Виходить, нас влаштує будь-яке k , крім 0 і 1, тобто. треба знайти значення суми X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Зауважимо, що це сума також дорівнює (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), тобто. достатньо з усіх можливих варіантів "вирізати" ті, коли герб випав 1 раз (k = 1) або не випав взагалі (k = 0). Оскільки P 6 (1) нам уже відомо, залишилося знайти P 6 (0):

Завдання. Імовірність того, що телевізор має приховані дефекти, дорівнює 0,2. На склад надійшло 20 телевізорів. Яка подія найімовірніше: що в цій партії є два телевізори з прихованими дефектами чи три?

Цікава подія A – наявність прихованого дефекту. Усього телевізорів n = 20, ймовірність прихованого дефекту p = 0,2. Відповідно, можливість отримати телевізор без прихованого дефекту дорівнює q = 1 − 0,2 = 0,8.

Отримуємо стартові умови для схеми Бернуллі: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Знайдемо можливість отримати два «дефектних» телевізора (k = 2) і три (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Вочевидь, P 20 (3) > P 20 (2), тобто. ймовірність отримати три телевізора з прихованими дефектами більше ймовірності отримати лише два таких телевізори. Причому різниця неслабка.

Невелике зауваження щодо факторіалів. Багато хто відчуває невиразне відчуття дискомфорту, коли бачать запис «0!» (читається "нуль факторіал"). Так ось, 0! = 1 за визначенням.

P. S. А найбільша ймовірність в останньому завданні - це отримати чотири телевізори із прихованими дефектами. Підрахуйте самі і переконайтеся.

1. Формули для обчислення ймовірності подій

1.3.1. Послідовність незалежних випробувань (схема Бернуллі)

Припустимо, деякий експеримент можна проводити неодноразово за тих самих умов. Нехай цей досвід проводиться nраз, тобто проводиться послідовність з nвипробувань.

Визначення. Послідовність n випробувань називають взаємно незалежною якщо будь-яка подія, пов'язана з цим випробуванням, не залежить від будь-яких подій, що відносяться до інших випробувань.

Припустимо, що певна подія Aможе статися з ймовірністю pв результаті одного випробування чи не статися з ймовірністю q= 1- p.

Визначення . Послідовність з nвипробувань утворює схему Бернуллі, якщо виконуються такі умови:

послідовність nвипробувань взаємно незалежна,

2) ймовірність події Aне змінюється від випробування до випробування і залежить від результату інших випробуваннях.

Подія Aназивають "успіхом" випробування, а протилежна подія - "невдачею". Розглянемо подію

=( в nвипробуваннях відбулося рівно m"Успіхів").

Для обчислення ймовірності цієї події справедлива формула Бернуллі

p() =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

де - Число поєднань з nелементів по m :

=
=
.

приклад 1.16. Тричі підкидають кубик. Знайти:

а) ймовірність того, що 6 очок випаде двічі;

б) ймовірність того, що кількість шісток не з'явиться більше двох разів.

Рішення . "Успіхом" випробування вважатимемо випадання на кубику грані із зображенням 6 очок.

а) Загальна кількість випробувань – n=3, число "успіхів" - m = 2. Можливість "успіху" - p=, а ймовірність "невдачі" - q= 1 - =. Тоді за формулою Бернуллі ймовірність того, що внаслідок триразового кидання кубика двічі випаде сторона з шістьма очками, дорівнюватиме.

.

б) Позначимо через Аподія, яка полягає в тому, що грань з числом 6 очок з'явиться не більше двох разів. Тоді подію можна уявити у вигляді суми трьох несуміснихподій А =
,

де У 3 0 – подія, коли грань, що цікавить, жодного разу не з'явиться,

У 3 1 - подія, коли грань, що цікавить, з'явиться один раз,

У 3 2 - подія, коли грань, що цікавить, з'явиться двічі.

За формулою Бернуллі (1.6) знайдемо

p(А) = р (
) = p(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Умовна ймовірність події

Умовна ймовірність відбиває вплив однієї події на ймовірність іншого. Зміна умов, у яких проводиться експеримент, також впливає

на ймовірність появи події, що цікавить.

Визначення. Нехай A і B- Деякі події, і ймовірність p(B)> 0.

Умовною ймовірністюподії Aза умови, що “подія Bвжесталося” називається відношення ймовірності твору даних подій до ймовірності події, яка сталася раніше, ніж подія, ймовірність якої потрібно знайти. Умовна ймовірність позначається як p(A B). Тоді за визначенням

p (A  B) =
. (1.7)

приклад 1.17. Підкидають два кубики. Простір елементарних подій складається з упорядкованих пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

У прикладі 1.16 було встановлено, що подія A=(число очок на першому кубику > 4) та подія C= (Сума очок дорівнює 8) залежні. Складемо відношення

.

Це ставлення можна інтерпретувати в такий спосіб. Припустимо, що про результат першого кидання відомо, що кількість очок на першому кубику > 4. Звідси випливає, що кидання другого кубика може призвести до одного з 12 наслідків, що становлять подію A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При цьому події Cможуть відповідати лише два з них (5,3) (6,2). У цьому випадку ймовірність події C буде рівна
. Таким чином, інформація про настання події Aвплинула на ймовірність події C.

Імовірність твору подій

Теорема множення

Імовірність твору подійA 1 A 2  A n визначається формулою

p(A 1 A 2  A n)= p(A 1)p(A 2  A 1)) p(A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Для твору двох подій звідси випливає, що

p(AB)= p(A B) p{B)= p(B A)p{A). (1.9)

приклад 1.18. У партії із 25 виробів 5 виробів бракованих. Послідовно навмання вибирають 3 вироби. Визначити ймовірність того, що всі вибрані браковані вироби.

Рішення. Позначимо події:

A 1 = (перший виріб бракований),

A 2 = (другий виріб бракований),

A 3 = (третій виріб бракований),

A = (Всі вироби браковані).

Подія А є твір трьох подій A = A 1 A 2 A 3 .

З теореми множення (1.6) отримаємо

p(A)= р ( A 1 A 2 A 3 ) = p(A 1) p(A 2  A 1))p(A 3  A 1 A 2).

Класичне визначення ймовірності дозволяє знайти p(A 1) - це відношення числа бракованих виробів до загальної кількості виробів:

p(A 1)= ;

p(A 2) – це відношення числа бракованих виробів, що залишилися після вилучення одного, до загальному числувиробів, що залишилися:

p(A 2  A 1))= ;

p(A 3) – це відношення числа бракованих виробів, що залишилися після вилучення двох бракованих, до загального числа виробів, що залишилися:

p(A 3  A 1 A 2)=.

Тоді ймовірність події A буде рівна

p(A) ==
.

як онтологічна категорія відображає міру можливості виникнення будь-якого сущого в будь-яких умовах. На відміну від математичної та логічної інтерпретації цього поняття онтологічна Ст не пов'язує себе з обов'язковістю кількісного виразу. Значення Ст розкривається в контексті розуміння детермінізму і характеру розвитку в цілому.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

ІМОВІРНІСТЬ

поняття, що характеризує кількостей. міру можливості появи деякої події при визнач. умовах. У наук. пізнанні зустрічаються три інтерпретації Ст. Класична концепція Ст, що виникла з математич. аналізу азартних ігорі найповніше розроблена Б. Паскалем, Я. Бернуллі та П. Лапласом, розглядає Ст як ставлення числа сприятливих випадків до загального числа всіх рівноможливих. Напр., ірі киданні гральної кістки, що має 6 граней, випадання кожної з них можна очікувати з Ст, що дорівнює 1/6, тому що жодна грань не має переваг перед іншою. Подібна симетричність наслідків досвіду спеціально враховується при організації ігор, але порівняно рідко зустрічається при дослідженні об'єктивних подій у науці та практиці. Класич. інтерпретація Ст поступилася місцем статистич. концепції Ст, в основі якої лежать діє. спостереження появи деякої події в ході продовж. досвіду за точно фіксованих умов. Практика підтверджує, що чим частіше відбувається подія, тим більший ступінь об'єктивної можливості її появи, або В. Тому статистич. інтерпретація Ст спирається на поняття відносить. частоти, яке може бути визначено дослідним шляхом. Ст як теоретич. поняття ніколи не збігається з частотою, що емпірично визначається, проте в мн. випадках вона мало відрізняється від відносить. частоти, знайденої в результаті довж. спостережень. Багато статистики розглядають Ст як «двійник» відносить. частоти, яка визначається при статистич. дослідженні результатів спостережень

чи експериментів. Менш реалістичним виявилося визначення Ст як межі відносить. частот масових подій, чи колективів, запропоноване Р. Мізесом. В якості подальшого розвиткучастотного підходу до Ст висувається диспозиційна, або пропенситивна, інтерпретація Ст (К. Поппер, Я. Хеккінг, М. Бунге, Т. Сетл). Відповідно до цієї інтерпретації, Ст характеризує властивість породжуючих умов, напр. експеримент. установки для отримання послідовності масових випадкових подій. Саме така установка породжує фізич. диспозиції, або схильності, В. яких брало може бути перевірена за допомогою відносить. частот.

Статистич. інтерпретація Ст домінує в наук. пізнанні, бо вона відображає специфічні. характер закономірностей, властивих масовим явищам довільного характеру. У багатьох фізич., біологіч., економічне., Демографічне. та ін. соціальних процесах доводиться враховувати дію безлічі випадкових факторів, які характеризуються стійкою частотою. Виявлення цієї стійкої частоти та кількостей. її оцінка за допомогою Ст дає можливість розкрити необхідність, яка прокладає собі шлях через сукупну дію безлічі випадковостей. У цьому вся знаходить своє прояв діалектика перетворення випадковості на необхідність (див. Ф. Енгельс, в кн.: Маркс До. і Енгельс Ф., Соч., т. 20, з. 535-36).

Логічна, або індуктивна, Ст характеризує відношення між посилками та укладанням недемонстративного і, зокрема, індуктивного міркування. На відміну від дедукції, посилки індукції не гарантують істинності ув'язнення, лише роблять його тією чи іншою мірою правдоподібним. Це правдоподібність при точно сформульованих посилках іноді можна оцінювати за допомогою Ст. Значення цієї Ст найчастіше визначається за допомогою порівняння. понять (більше, менше чи одно), котрий іноді чисельним способом. Логіч. інтерпретацію часто використовують для аналізу індуктивних міркувань та побудови різних системімовірнісний логік (Р. Карнап, Р. Джефрі). У семантич. логіч концепції. Ст часто визначається як ступінь підтвердження одного висловлювання іншими (напр., гіпотези її емпірич. даними).

У зв'язку з розвитком теорій прийняття рішень та ігор все більшого поширення набуває т. зв. персоналістська інтерпретація Ст. Хоча Ст. при цьому виражає ступінь віри суб'єкта і появу деякої події, самі Ст повинні вибиратися з таким розрахунком, щоб задовольнялися аксіоми обчислення Ст. Тому Ст при такій інтерпретації висловлює не стільки ступінь суб'єктивної, скільки розумної віри . Отже, рішення, прийняті на основі такої Ст, будуть раціональними, бо вони не враховують психологічну. особливостей та нахилів суб'єкта.

З гносеологіч. т. зр. різницю між статистич., логіч. і персоналістською інтерпретаціями Ст полягає в тому, що якщо перша дає характеристику об'єктивним властивостям і відносинам масових явищ випадкового характеру, то останні дві аналізують особливості суб'єктивної, пізнаваної. діяльності людей за умов невизначеності.

ІМОВІРНІСТЬ

одне з найважливіших понять науки, що характеризує особливе системне бачення світу, його будови, еволюції та пізнання. Специфіка ймовірнісного погляду світ розкривається через включення до числа базових понятьбуття понять випадковості, незалежності та ієрархії (ідеї рівнів у структурі та детермінації систем).

Уявлення про ймовірність зародилися ще в давнину і ставилися до характеристики нашого знання, при цьому визнавалася наявність імовірнісного знання, яке відрізняється від достовірного знання та хибного. Вплив ідеї ймовірності на наукове мислення, в розвитку пізнання безпосередньо з розробкою теорії ймовірностей як математичної дисципліни. Зародження математичного вчення про ймовірність відноситься до 17 ст, коли було започатковано створення ядра понять, що допускають. кількісну (числову) характеристику та виражають імовірнісну ідею.

Інтенсивні програми ймовірності до розвитку пізнання припадають на 2-у стать. 19 - 1-ю підлогу. 20 ст. Імовірність увійшла до структур таких фундаментальних наук про природу, як класична статистична фізика, генетика, квантова теорія, кібернетика (теорія інформації). Відповідно, ймовірність уособлює той етап у розвитку науки, який нині визначається як некласична наука. Щоб розкрити новизну, особливості ймовірнісного способу мислення, необхідно виходити з аналізу предмета теорії ймовірностей та основ її численних додатків. Теорію ймовірностей зазвичай визначають як математичну дисципліну, що вивчає закономірності масових випадкових явищ за певних умов. Випадковість означає, що у межах масовості буття кожного елементарного явища залежить і визначається буттям інших явищ. У той же час сама масовість явищ має стійку структуру, містить певні регулярності. Масове явище цілком суворо поділяється на підсистеми, і відносне число елементарних явищ у кожному з підсистем (відносна частота) дуже стійко. Ця стійкість зіставляється із ймовірністю. Масове явище загалом характеризується розподілом ймовірностей, т. е. завданням підсистем та відповідних їм ймовірностей. Мова теорії ймовірностей є мовою імовірнісних розподілів. Відповідно до теорії ймовірностей і визначають як абстрактну науку про оперування розподілами.

Імовірність породила в науці уявлення про статистичні закономірності та статистичні системи. Останні сутьсистеми, утворені з незалежних чи квазинезависимых сутностей, їх структура характеризується розподілами ймовірностей. Але як можливе утворення систем із незалежних сутностей? Зазвичай передбачається, що для утворення систем, що мають цілісні характеристики, необхідно, щоб між їх елементами були досить стійкі зв'язки, які цементують системи. Стійкість статистичним системам надає наявність зовнішніх умов, зовнішнього оточення, зовнішніх, а чи не внутрішніх сил. Саме визначення ймовірності завжди спирається завдання умов освіти вихідного масового явища. Ще однією найважливішою ідеєю, що характеризує ймовірнісну парадигму, є ідея ієрархії (субординації). Ця ідея висловлює взаємовідносини між характеристиками окремих елементіві цілісними характеристиками систем: останні ніби надбудовуються над першими.

Значення імовірнісних методів у пізнанні полягає в тому, що вони дозволяють досліджувати і теоретично виражати закономірності будови та поведінки об'єктів та систем, що мають ієрархічну, «дворівневу» структуру.

Аналіз природи ймовірності спирається на частотне, статистичне її трактування. Водночас дуже довгий часу науці панувало таке розуміння ймовірності, яке отримало назву логічної, або індуктивної, ймовірності. Логічну ймовірність цікавлять питання обґрунтованості окремого, індивідуального судження у певних умовах. Чи можна оцінити ступінь підтвердження (достовірності, істинності) індуктивного висновку (гіпотетичного висновку) у кількісній формі? У ході становлення теорії ймовірностей такі питання неодноразово обговорювалися, і почали говорити про ступені підтвердження гіпотетичних висновків. Ця міра ймовірності визначається наявною у розпорядженні даної людиниінформацією, його досвідом, поглядами на світ та психологічним складом розуму. У всіх подібних випадках величина ймовірності не піддається суворим вимірам і практично поза компетенцією теорії ймовірностей як послідовної математичної дисципліни.

Об'єктивне, частотне трактування ймовірності затверджувалося у науці зі значними труднощами. Спочатку на розуміння природи ймовірності надали сильний впливті філософсько-методологічні погляди, характерні для класичної науки. Історично становлення імовірнісних методів у фізиці відбувалося під визначальним впливом ідей механіки: статистичні системи трактувалися як механічні. Оскільки відповідні завдання не вирішувалися строгими методами механіки, то виникли твердження, що звернення до ймовірнісних методів та статистичних закономірностей є результатом неповноти наших знань. В історії розвитку класичної статистичної фізики робилися численні спроби обґрунтувати її на основі класичної механіки, проте вони зазнали невдачі. Підстави ймовірності полягають у тому, що вона виражає собою особливості структури певного класу систем, іншого, ніж системи механіки: стан елементів цих систем характеризується нестійкістю і особливим характером взаємодій, що не зводиться до механіки.

Входження ймовірності у пізнання веде до заперечення концепції жорсткого детермінізму, до заперечення базової моделі буття та пізнання, вироблених у процесі становлення класичної науки. Базові моделі, представлені статистичними теоріями, носять інший, більш загальний характер: вони включають ідеї випадковості і незалежності. Ідея ймовірності пов'язана з розкриттям внутрішньої динаміки об'єктів та систем, яка не може бути повністю визначена зовнішніми умовамита обставинами.

Концепція імовірнісного бачення світу, що спирається на абсолютизацію уявлень про незалежність (як і раніше парадигма жорсткої детермінації), в даний час виявила свою обмеженість, що найбільше позначається при переході сучасної наукидо аналітичних методів дослідження складноорганізованих систем та фізико-математичних основ явищ самоорганізації.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

Початковий рівень

Теорія імовірності. Розв'язання задач (2019)

Що таке можливість?

Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.

Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.

Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, А перед тобою двері на вибір.

Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.

Але який цей шанс?

Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.

Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:

1. Ти подзвонив у 1юдвері
2. Ти подзвонив у 2юдвері
3. Ти подзвонив у 3юдвері

А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:

а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима

Зіставимо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.

Як бачиш всього можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.

А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .

Це і є ймовірність - ставлення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.

Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:

Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за кількість сприятливих результатів, а за загальну кількість результатів.

Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:

Напевно, тобі кинулося у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії(У нас така дія - це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.

Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.

Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували в одну з дверей, але нам відчинив незнайома людина. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо подзвонимо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?

Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.

У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:

1) Зателефонувати до 1-шудвері
2) Подзвонити в Другудвері

Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):

а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима

Давай знову намалюємо таблицю:

Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.

А чому ні?

Розглянута нами ситуація - приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.

А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .

Але якщо є залежні події, то мають бути і незалежні? Мабуть, бувають.

Хрестоматійний приклад – кидання монетки.

1. Кидаємо монету разів. Яка ймовірність того, що випаде, наприклад, орел? Правильно - адже варіантів всього (або орел, або решка, знехтуємо ймовірністю монетки стати на ребро), а влаштовує нас тільки.
2. Але випала решка. Гаразд, кидаємо ще раз. Яка ймовірність випадання орла? Нічого не змінилося, так само. Скільки варіантів? Два. А скільки нас влаштовує? Один.

І хай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .

Відрізнити залежні події від незалежних легко:

1. Якщо експеримент проводиться раз (якщо кидають монетку, 1 раз дзвонять у двері тощо), то події завжди незалежні.
2. Якщо експеримент проводиться кілька разів (монетку кидають раз, у двері дзвонять кілька разів), то перша подія завжди є незалежною. А далі, якщо кількість сприятливих чи кількість всіх наслідків змінюється, то події залежні, а якщо ні – незалежні.

Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.

приклад 1.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?

Рішення:

Розглянемо все можливі варіанти:

1. Орел-орел
2. Орел решка
3. Решка-орел
4. Решка-рішка

Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:

Якщо за умови просять просто знайти ймовірність, то відповідь потрібно давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.

Відповідь:

приклад 2.

У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Однак із цукерок - з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.

Яка можливість, узявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.

Рішення:

Скільки всього можливих наслідків? .

Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.

А скільки сприятливих наслідків?

Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.

Відповідь:

приклад 3.

У коробці куль. їх білі, - чорні.

1. Яка можливість витягнути білу кулю?
2. Ми додали до коробки ще чорних куль. Яка тепер можливість витягнути білу кулю?

Рішення:

а) У коробці всього куль. Із них білих.

Імовірність дорівнює:

б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.

Відповідь:

Повна ймовірність

Припустимо, у ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?

Імовірність витягнути червону кулю

Зелена куля:

Червона або зелена куля:

Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.

приклад 4.

У ящику лежить фломастерів: зелений, червоний, синій, жовтий, чорний.

Яка можливість витягнути не червоний фломастер?

Рішення:

Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.

НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.

Імовірність усіх подій. А ймовірність подій, які ми вважаємо несприятливими (коли витягнемо червоний фломастер) - .

Таким чином, можливість витягнути не червоний фломастер - .

Відповідь:

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Що таке незалежні події, ти вже знаєш.

А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?

Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?

Ми вже рахували - .

А якщо кидаємо монету разів? Яка можливість побачити орла рази поспіль?

Усього можливих варіантів:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).

Для 5 кидків можеш скласти список можливих наслідків сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.

Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовності незалежних подій щоразу зменшується на ймовірність однієї події.

Іншими словами,

Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.

Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.

Яка можливість випадання разів поспіль орла?

Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна і та сама подія кілька разів поспіль.

Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.

Імовірність випадання решка -, орла -.

Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:

Можеш перевірити сам, склавши таблицю.

Правило складання ймовірностей несумісних подій.

Так стоп! Нове визначення.

Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність двох (чи більше) несумісних подій ми складаємо ймовірності цих подій.

Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому реші?

Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і, ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.

Усього варіантів, нам підходить.

Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:

Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.

Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:

Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?

Повинні випасти:
(Орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (рішка І решка І орел).
Ось і виходить:

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.

У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?

Рішення:

Що має статися? Ми повинні витягнути (червоний АБО зелений).

Тепер зрозуміло, складаємо ймовірність цих подій:

Відповідь:

Приклад 6.

Гральну кістку кидають двічі, якою є ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок?

Рішення.

Як ми можемо отримати очки?

(і) або (і) або (і) або (і) або (і).

Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .

Вважаємо ймовірність:

Відповідь:

Тренування.

Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.

Завдання:

Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від туза кожної масті.

1. Яка можливість витягнути трефи поспіль (першу витягнуту карту ми кладемо назад у колоду і перемішуємо)?
2. Яка можливість витягнути чорну карту (піки або трефи)?
3. Яка можливість витягнути картинку (вальта, даму, короля чи туза)?
4. Яка можливість витягнути дві картинки поспіль (першу витягнуту карту ми прибираємо з колоди)?
5. Яка ймовірність, взявши дві карти, зібрати комбінацію - (валет, пані чи король) і туз Послідовність, у якій витягнуть карти, немає значення.

Відповіді:

1. У колоді карти кожної гідності означає:
2. Події залежать, оскільки після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшилася (як і кількість «картинок»). Усього вальтів, дам, королів і тузів у колоді спочатку, а значить ймовірність першою картою витягнути «картинку»:

   Оскільки ми прибираємо з колоди першу карту, то в колоді залишилося вже карта, з них картинок. Імовірність другою картою витягнути картинку:

   Оскільки нас цікавить ситуація, коли ми дістаємо з колоди: «картинку» та «картинку», то треба перемножувати ймовірності:

   Відповідь:

3. Після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшиться. Таким чином, нам підходить два варіанти:
   1) Першою картою витягуємо Туза, другою – валета, даму чи короля
   2) Першою картою витягуємо валета, даму чи короля, другий - туза. (туз і (валет чи дама чи король)) чи ((валет чи дама чи король) і туз). Не забуваємо про зменшення кількості карт у колоді!

Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Розглянемо приклад. Припустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.

Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.

Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не плутай з благополучним).

Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.

А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).

Визначення:

Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.

Позначають ймовірність латинської літерою (мабуть, від англійського слова probability - ймовірність).

Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. тему , ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральною кісткою імовірність.

На відсотках: .

Приклади (виріши сам):

1. З якою ймовірністю при киданні монетки випаде орел? А з якою ймовірністю випаде решка?
2. З якою ймовірністю при киданні гральної кістки випаде парне число? А з якою – непарне?
3. У ящику простих, синіх та червоних олівців. Навмання тягнемо один олівець. Яка можливість витягнути простий?

Рішення:

1. Скільки варіантів? Орел і решка – лише два. А скільки з них є сприятливими? Тільки один – орел. Отже, ймовірність

   З рішкою те саме: .

2. Усього варіантів: (скільки сторін у кубика, стільки і різних варіантів). Сприятливі з них: (це всі парні числа:).
   Імовірність. З непарними, природно, те саме.
3. Усього: . Сприятливих: . Можливість: .

Повна ймовірність

Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).

Така подія називається неможливою.

А яка можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.

Така подія називається достовірною.

Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .

У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.

Приклад:

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?

Рішення:

Пам'ятаємо, що всі ймовірності у сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.

Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Незалежні події та правило множення

Ти кидаєш монетку разу, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?

Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?

Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.

Добре. А тепер кидаємо монету разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).

Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правилоназивається правилом множення:

Імовірності незалежних подій змінюються.

Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монету кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.

Ще приклади:

1. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде?
2. Монетку кидають рази. Яка ймовірність, що вперше випаде орел, а потім двічі решка?
3. Гравець кидає дві кістки. Яка ймовірність, що сума чисел на них дорівнюватиме?

Відповіді:

1. Події незалежні, отже, працює правило множення: .
2. Імовірність орла дорівнює. Імовірність решітки – теж. Перемножуємо:
3. 12 може вийти тільки, якщо випадуть дві-ки: .

Несумісні події та правило додавання

Несумісними називаються події, які доповнюють одна одну до ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монету, може випасти або орел, або решка.

приклад.

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?

Рішення .

Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .

Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.

Цю ж можливість можна у вигляді: .

Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.

Завдання змішаного типу

приклад.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?

Рішення .

Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари одна з одною несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.

Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події спілками «І» чи «АБО». Наприклад, у цьому випадку:

Повинні випасти (орел та решка) або (решка та орел).

Там де стоїть союз «і», буде множення, а там де «або» – додавання:

Спробуй сам:

1. З якою ймовірністю при двох киданнях монетки обидва рази випаде один і той же бік?
2. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що у сумі випаде очок?

Рішення:

1. (Випав орел і випав орел) або (випала решка та випала решка): .
2. Які є варіанти? в. Тоді:
   Випало (і) або (і) або (і): .

Ще приклад:

Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?

Рішення:

Ой, як не хочеться перебирати варіанти… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А й не треба! Згадуємо про цілковиту ймовірність. Згадав? Яка ймовірність, що орел не випаде жодного разу? Це просто: весь час летять решки, значить.

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.

Незалежні події

Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій

Несумісні події

Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групуподій.

Імовірності несумісних подій складаються.

Описав що має статися, використовуючи спілки «І» чи «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, по кожній темі, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді, це набагато більше, ніж просто тренажер - ціла програма підготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!