Щоб успішно вирішувати тригонометричні рівняннязручно користуватися методом відомостідо раніше вирішених завдань. Давайте розберемося, у чому суть цього?

У будь-якій пропонованій задачі вам необхідно побачити вже вирішену задачу, а потім за допомогою послідовних рівносильних перетворень спробувати звести дану вам задачу до більш простої.

Так, при вирішенні тригонометричних рівнянь зазвичай становлять деяку кінцеву послідовність рівносильних рівнянь, останньою ланкою якої є рівняння з очевидним рішенням. Тільки важливо пам'ятати, що якщо навички вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь не сформовані, то рішення більш складних рівняньбуде утруднено та малоефективно.

Крім того, вирішуючи тригонометричні рівняння, ніколи не варто забувати про можливість існування кількох способів розв'язання.

Приклад 1. Знайти кількість коренів рівняння cos x = -1/2 на проміжку.

Рішення:

І спосіб.Зобразимо графіки функцій y = cos x та y = -1/2 і знайдемо кількість їх загальних точок на проміжку (рис. 1).

Так як графіки функцій мають дві загальні точки на проміжку, то рівняння містить два корені на даному проміжку.

ІІ метод.За допомогою тригонометричного кола (рис. 2) з'ясуємо кількість точок, що належать до проміжку , в яких cos x = -1/2. На малюнку видно, що рівняння має два корені.

ІІІ спосіб.Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, Вирішимо рівняння cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k - ціле число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – ціле число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – ціле число (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).

Проміжку належить коріння 2π/3 і -2π/3 + 2π, k – ціле число. Таким чином, рівняння має два корені на заданому проміжку.

Відповідь: 2.

Надалі тригонометричні рівняння будуть вирішуватися одним із запропонованих способів, що у багатьох випадках не виключає застосування та інших способів.

Приклад 2. Знайти кількість розв'язків рівняння tg (x + π/4) = 1 на проміжку [-2π; 2π].

Рішення:

Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, отримаємо:

x + π/4 = arctg 1 + πk, k – ціле число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z);

x = πk, k - ціле число (k € Z);

Проміжок [-2π; 2π] належать числа -2π; -π; 0; π; 2π. Отже, рівняння має п'ять коренів на заданому проміжку.

Відповідь: 5.

Приклад 3. Знайти кількість коренів рівняння cos 2 x + sin x · cos x = 1 на проміжку [-π; π].

Рішення:

Так як 1 = sin 2 x + cos 2 x (основне тригонометричне тотожність), то вихідне рівняння набуває вигляду:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x · cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Добуток дорівнює нулю, а отже хоча б один із множників повинен дорівнювати нулю, тому:

sin x = 0 або sin x - cos x = 0.

Оскільки значення змінної, у яких cos x = 0, є корінням другого рівняння (синус і косинус однієї й тієї числа не можуть одночасно бути рівними нулю), то розділимо обидві частини другого рівняння на cos x:

sin x = 0 або sin x / cos x - 1 = 0.

У другому рівнянні скористаємося тим, що tg x = sin x / cos x тоді:

sin x = 0 або tg x = 1. За допомогою формул маємо:

x = πk або x = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z).

З першої серії коренів проміжку [-π; π] належать числа -π; 0; π. З другої серії: (π/4 – π) та π/4.

Таким чином, п'ять коренів вихідного рівняння належать до проміжку [-π; π].

Відповідь: 5.

Приклад 4. Знайти суму коренів рівняння tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на проміжку [-π; 1,1π].

Рішення:

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 і зробимо заміну.

Нехай tg x + stgx = a. Обидві частини рівності зведемо у квадрат:

(tg x + stg x) 2 = a 2 . Розкриємо дужки:

tg 2 x + 2tg x · stgx + stg 2 x = a 2 .

Так як tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 а значить

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 - 2.

Тепер вихідне рівняння має вигляд:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. За допомогою теореми Вієта отримуємо, що a = -1 або a = -2.

Зробимо зворотну заміну, маємо:

tg x + сtgx = -1 або tg x + сtgx = -2. Вирішимо отримані рівняння.

tg x + 1/tgx = -1 або tg x + 1/tgx = -2.

За якістю двох взаємно зворотних чисел визначаємо, що перше рівняння немає коренів, та якщо з другого рівняння маємо:

tg x = -1, тобто. x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-π; 1,1π] належить коріння: -π/4; -π/4 + π. Їхня сума:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Відповідь: π/2.

Приклад 5. Знайти середнє арифметичне коріння рівняння sin 3x + sin x = sin 2x на проміжку [-π; 0,5 π].

Рішення:

Скористаємося формулою sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тоді

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x і рівняння набуває вигляду

2sin 2x · cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Винесемо загальний множник sin 2x за дужки

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Розв'яжемо отримане рівняння:

sin 2x = 0 або 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 або cos x = 1/2;

2x = πk або x = ±π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).

Таким чином, маємо коріння

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-π; 0,5π] належить коріння -π; -π/2; 0; π/2 (з першої серії коріння); π/3 (з другої серії); -π/3 (з третьої серії). Їхнє середнє арифметичне дорівнює:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Відповідь: -π/6.

Приклад 6. Знайти кількість коренів рівняння sin x + cos x = 0 на проміжку [-1,25π; 2π].

Рішення:

Це рівняння є однорідним рівнянням першого ступеня. Розділимо обидві його частини на cosx (значення змінної, при яких cos x = 0, не є корінням даного рівняння, оскільки синус і косинус одного й того ж числа не можуть одночасно дорівнювати нулю). Вихідне рівняння має вигляд:

x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-1,25π; 2π] належить коріння -π/4; (-π/4 + π); та (-π/4 + 2π).

Таким чином, заданому проміжку належать три корені рівняння.

Відповідь: 3.

Навчіться робити найголовніше – чітко представляти план розв'язання задачі, і тоді будь-яке тригонометричне рівняння буде вам під силу.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

а) Розв'яжіть рівняння: .

б) Знайдіть коріння цього рівняння, належать проміжку.

Рішення задачі

У цьому уроці демонструється приклад розв'язання тригонометричного рівняння, яким можна з успіхом скористатися під час підготовки до ЄДІ з математики. Зокрема, під час вирішення завдань виду С1 дане рішеннястане актуальним.

У результаті рішення виконується перетворення тригонометричної функції лівої частини рівняння із застосуванням формули подвійного аргументу синус. Функція косинус у правій частині також записується як функція синус зі спрощеним аргументом. При цьому знак перед отриманою тригонометричною функцієюзмінюється на протилежний. Далі всі члени рівняння переносяться до його лівої частини, де проводиться винесення за дужки спільного множника. В результаті отримане рівняння подається у вигляді добутку двох множників. Кожен множник почергово дорівнює нулю, що дозволяє визначити коріння рівняння. Потім визначаються коріння рівняння, що належать заданому проміжку. Застосовуючи метод витків, на побудованому одиничному колі відзначається виток від лівої межі заданого відрізка до правої. Знайдене коріння на одиничному колі з'єднуються відрізками з її центром, а потім визначаються точки, в яких ці відрізки перетинають виток. Дані точки перетину є відповіддю на частину «б» завдання.

Обов'язковий мінімум знань

sin x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
або
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, k Z
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x

Обов'язковий мінімум знань

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
x
x

Обов'язковий мінімум знань

tg x = a, a R
x = arctg a + n, n Z
ctg x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (-a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Звести рівняння до однієї функції
Звести до одного аргументу
Деякі методи вирішення
тригонометричних рівнянь
Застосування тригонометричних формул
Використання формул скороченого множення
Розкладання на множники
Зведення до квадратному рівняннющодо sin x, cos x, tg x
Введенням допоміжного аргументу
Поділом обох частин однорідного рівняння першого ступеня
(asin x + bcosx = 0) на cos x
Поділом обох частин однорідного рівняння другого ступеня
(a sin2 x + bsin x cos x + c cos2x = 0) на cos2 x

Усні вправи Обчисліть

arcsin ½
arcsin (-√2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
arctg √3
arctg (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(за допомогою тригонометричного кола)
cos 2x =?, x [- /2; 3/2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
Відберемо коріння за допомогою тригонометричного кола
Відповідь: - / 6; /6; 5/6; 7/6

Різні способи відбору коріння

Знайти коріння рівняння, що належить даному проміжку
sin 3x = √3/2, x [-/2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
Відберемо коріння за допомогою перебору значень k:
k = 0, x = /9 - належить проміжку
k = 1, x = - / 9 + / 3 = 2 / 9 - належить проміжку
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 - не належить проміжку
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – належить проміжку
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – не належить проміжку
Відповідь: -4/9; /9; 2/9

Різні способи відбору коріння

Знайти коріння рівняння, що належить даному проміжку
(за допомогою нерівності)
tg 3x = - 1, x (- / 2;)
3x = - / 4 + n, n Z
x = - /12 + n/3, n Z
Відберемо коріння за допомогою нерівності:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = - 1; 0; 1; 2; 3
n = - 1, x = - / 12 - / 3 = - 5 / 12
n = 0, x = - / 12
n = 1, x = - / 12 + / 3 = / 4
n = 2, x = - / 12 + 2 / 3 = 7 / 12
n = 3, x = - / 12 + = 11 / 12
Відповідь: - 5 / 12; - / 12; /4; 7/12; 11 /12

10. Різні способи відбору коріння

Знайти коріння рівняння, що належить даному проміжку
(за допомогою графіка)
cos x = - √2/2, x [-4; 5/4]
x = arccos (-√2/2) + 2 n, n Z
x = 3/4 + 2 n, n Z
Відберемо коріння за допомогою графіка:
x = - / 2 - / 4 = - 3 / 4; x = - - / 4 = - 5 / 4
Відповідь: 5/4; 3/4

11. 1. Розв'язати рівняння 72cosx = 49sin2x та вказати його коріння на відрізку [; 5/2]

1. Розв'язати рівняння 72cosx = 49sin2x
і вказати його коріння на відрізку [; 5/2]
Розв'яжемо рівняння:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 - 2sinx) = 0,
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
або
1 - 2sinx = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
Проведемо відбір коренів за допомогою
тригонометричного кола:
x = 2 + / 6 = 13 / 6
Відповідь:
а) /2+k, kZ, (-1)n/6+n, nZ
б) 3/2; 5/2; 13 /6

12. 2. Розв'язати рівняння 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 Знайти його коріння на відрізку

2. Розв'язати рівняння 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0
Знайти його коріння на відрізку
4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3/2 – x) +1 = 0,
4cos2x - 8 sin x +1 = 0,
4 – 4sin2 x – 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = - 2,5
або
sin x = ½
x = (-1) k / 6 + k, k Z

13. Проведемо відбір коренів на відрізку (за допомогою графіків)

Проведемо відбір коренів на відрізку
(за допомогою графіків)
sin x = ½
Побудуємо графіки функцій y = sin x та y = ½
x = 4 + / 6 = 25 / 6
Відповідь: а) (-1) k / 6 + k, k Z; б) 25/6

14. 3. Розв'язати рівняння Знайти його коріння на відрізку

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x - 4 sin 2x cos 2x = 0
Якщо cos2 2x = 0, то sin2 2x = 0, що неможливо, тому
cos2 2x 0 та обидві частини рівняння можна розділити на cos2 2x.
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x - 4 tg 2x + 3 = 0,
tg 2x = 1,
2x = / 4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
або
tg 2x = 3,
2x = arctg 3 + k, k Z
x = ½ arctg 3 + k/2, k Z

15.

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z або x = ½ arctg 3 + k/2, k Z
Оскільки 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
є рішенням
Оскільки 0< /8 < /4 < 1,значит /8
також є рішенням
Інші рішення не потраплять у
проміжок, оскільки вони
виходять із чисел ½ arctg 3 та /8
додаванням чисел, кратних /2.
Відповідь: а) /8 + n/2, n Z; ½ arctg 3 + k/2, k Z
б) /8; ½ arctg 3

16. 4. Розв'язати рівняння log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 Знайти його коріння на відрізку

4. Розв'язати рівняння log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
Знайти його коріння на відрізку
Розв'яжемо рівняння:
log5(cos x - sin 2x + 25) = 2
ОДЗ: cos x – sin 2x + 25 > 0,
cos x - sin 2x + 25 = 25, 25> 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 - 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
або
1 - 2sinx = 0,
sin x = 1/2
x = (-1) k / 6 + k, k Z

17.

Проведемо відбір коренів на відрізку
Проведемо відбір коренів на відрізку:
1) x = /2 + n, n Z
2/2 + n 7/2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + / 6 = 13 / 6
x = 3 - / 6 = 17 / 6
Відповідь: а) /2 + n, n Z; (-1)k /6 + k, k Z
б) 13/6; 5/2; 7/2; 17 /6

18. 5. Розв'язати рівняння 1/sin2x + 1/sin x = 2 Знайти його коріння на відрізку [-5/2; -3/2]

5. Розв'язати рівняння 1/sin2x + 1/sin x = 2
Знайти його коріння на відрізку [-5/2; -3/2]
Розв'яжемо рівняння:
1/sin2x + 1/sin x = 2
x k
Заміна 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t - 2 = 0,
t1 = - 2, t2 = 1
1/sin x = - 2,
sin x = - ½,
x = - /6 + 2 n, n Z
або
x = - 5 /6 + 2 n, n Z
1/sin x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
Виключається це серія коренів, т.к. -150º+ 360ºn виходить за межі
заданого проміжку [-450 º; -270º]

19.

Продовжимо відбір коренів на відрізку
Розглянемо інші серії коренів та проведемо відбір коренів
на відрізку [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
- 7/3 2n -4/3, n Z
- 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1, n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Відповідь: а) /2 + 2 n, n Z; (-1)k+1 /6 + k, k Z
б) -13 /6; -3/2

20. 6. Розв'язати рівняння | sin x | / sin x + 2 = 2 cos x Знайти його коріння на відрізку [-1; 8]

Розв'яжемо рівняння
|sin x|/sin x + 2 = 2cos x
1) Якщо sin x >0, то | sin x| =sin x
Рівняння набуде вигляду:
2 cos x=3,
cos x =1,5 – не має коріння
2) Якщо sin x<0, то |sin x| =-sin x
і рівняння набуде вигляду
2cos x = 1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Враховуючи, що sin x< 0, то
залишається одна серія відповіді
x = - π/3 +2πk, k Z
Зробимо відбір коренів на
відрізку [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 не належить даному
відрізку
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 не належить даному
відрізку.
Відповідь: а) - π/3 +2πk, k Z
б) 5
π/3

21. 7. Розв'язати рівняння 4sin3x=3cos(x- π/2) Знайти його коріння на проміжку

8. Розв'язати рівняння √1-sin2x= sin x
Знайти його коріння на проміжку
Розв'яжемо рівняння √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1- sin2x = sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sin x≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x = (-1) k / 4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. Проведемо відбір коренів на відрізку

Проведемо відбір коренів на відрізку
x = (-1) k / 4 + k, k Z
sin x =√2/2
у = sin x і у = √2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Відповідь: а) (-1) k / 4 + k, k Z; б) 11 / 4

26. 9. Розв'язати рівняння (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Знайти його коріння на проміжку [-5; -7/2]

9. Розв'язати рівняння (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
Знайти його коріння на проміжку [-5; -7/2]
Розв'яжемо рівняння
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ОДЗ: cos x<0 ,
/2 +2 n 2) sin2x + 2 sin2x = 0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x + sin x) = 0,
sin x = 0, x = n, n Z
або
cos x + sin x = 0 | : cos x,
tg x = -1, x = - / 4 + n, n Z
З урахуванням ОДЗ
x = n, n Z, x = +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2 n, n Z

27. Відберемо коріння на заданому відрізку

Відберемо коріння на заданому
відрізку [-5; -7/2]
x = +2 n, n Z;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x = -6 = -5
x= 3 /4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, немає такого
цілого n.
Відповідь: а) +2 n, n Z;
3/4 + 2 n, n Z;
б) -5.

28. 10. Розв'язати рівняння 2sin2x =4cos x –sinx+1 Знайти його коріння на проміжку [/2; 3/2]

10. Розв'язати рівняння 2sin2x =4cos x –sinx+1
Знайти його коріння на проміжку [/2; 3/2]
Розв'яжемо рівняння
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0,
(sin x - 1) (4cos x +1) = 0,
sin x - 1 = 0, sin x = 1, x = / 2 +2 n, n Z
або
4cos x +1 = 0, cos x = -0,25
x = ± (-arccos (0,25)) + 2 n, n Z
Запишемо коріння цього рівняння інакше
x = - arccos(0,25) + 2 n,
x = -(- arccos(0,25)) + 2 n, n Z

29. Відберемо коріння за допомогою кола

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = - arccos (0,25) +2 n,
х=-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z,
x = - arccos (0,25),
x = + arccos (0,25)
Відповідь: а) /2+2 n,
-arccos(0,25)+2 n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
б) /2;
-arccos(0,25); + arccos (0,25)

Читайте також...

• Чи є пільги багатодітним сім'ям під час вступу до вузу Перелік пільг для багатодітних сімей
• Причини кровотеч під час вагітності на ранніх термінах: що робити?
• Що робити, якщо у дитини болить нога в стегні при ходьбі: причини, лікування та народні засоби
• Що робити і чим лікувати рідкий пронос у дитини?