Якщо побудувати одиничне коло з центром на початку координат, і задати довільне значення аргументу x 0і відрахувати від осі Oxкут x 0, то цьому кутку на одиничному колі відповідає деяка точка A(Рис. 1) а її проекцією на вісь Охбуде точка М. Довжина відрізка ОМдорівнює абсолютній величині абсциси точки A. Даному значенню аргументу x 0зіставлено значення функції y= cos x 0 як абсциси точки А. Відповідно точка У(x 0 ;у 0) належить графіку функції у= cos х(Рис. 2). Якщо точка Азнаходиться праворуч від осі Оу, токосинус буде позитивним, якщо ж лівіше – негативний. Але в будь-якому випадку крапка Ане може залишити коло. Тому косинус лежить у межах від -1 до 1:

-1 = cos x = 1.

Додатковий поворот на будь-який кут. p, повертає точку Aте саме місце. Тому функція у = cos xp:

cos ( x+ 2p) = cos x.

Якщо взяти два значення аргументу, рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком, xі – x, знайти на колі відповідні точки A xі А -x. Як бачимо на рис. 3 їхньою проекцією на вісь Охє одна й та сама точка М. Тому

cos (– x) = cos ( x),

тобто. косинус - парна функція, f(–x) = f(x).

Отже, можна досліджувати властивості функції y= cos хна відрізку , а потім врахувати її парність та періодичність.

При х= 0 точка Алежить на осі Ох, її абсцис дорівнює 1, а тому cos 0 = 1. Зі збільшенням хкрапка Апересувається по колу вгору і вліво, її проекція, природно, тільки вліво, і за х = p/2 косинус стає рівним 0. Точка Aв цей момент піднімається на максимальну висоту, а потім продовжує рухатися вліво, але вже знижуючись. Її абсцисса все зменшується, поки досягне найменшого значення, рівного –1 при х= p. Таким чином, на відрізку функція у= cos хмонотонно зменшується від 1 до –1 (рис. 4, 5).

З парності косинуса слід, що у відрізку [– p, 0] функція монотонно зростає від -1 до 1, приймаючи нульове значення при х =–p/2. Якщо взяти кілька періодів, вийде хвилеподібна крива (рис. 6).

Отже, функція y= cos xнабуває нульових значень у точках х= p/2 + kp, де k –будь-яке ціле число. Максимуми, рівні 1, досягаються в точках х= 2kp, тобто. з кроком 2 p, а мінімуми, рівні –1, у точках х= p + 2kp.

Функція y = sin x.

На одиничному колі кутку x 0 відповідає точка А(рис. 7), а її проекцією на вісь Оубуде точка N.Знавчання функції у 0 = sin x 0визначається як ордината точки А. Крапка У(кут x 0 ,у 0) належить графіку функції y= sin x(Рис. 8). Зрозуміло, що функція y = sin xперіодична, її період дорівнює 2 p:

sin ( x+ 2p) = sin ( x).

Для двох значень аргументу, хі – , проекції відповідних їм точок А xі А -xна вісь Оурозташовані симетрично щодо точки Про. Тому

sin (– x) = -sin ( x),

тобто. синус - функція непарна, f(- x) = -f ( x) (Рис. 9).

Якщо точку Aповернути щодо точки Прона кут p/2 проти годинникової стрілки (іншими словами, якщо кут хзбільшити на p/2), то її ордината в новому становищі дорівнюватиме абсцисі в старому. А значить,

sin ( x+ p/2) = cos x.

Інакше, синус – це косинус, що «запізнився» на p/2, оскільки будь-яке значення косинуса «повториться» у синусі, коли аргумент зросте на p/2. І щоб побудувати графік синуса, достатньо зрушити графік косинуса на p/2 праворуч (рис. 10). Надзвичайно важлива властивість синуса виражається рівністю

Геометричний сенс рівності видно з рис. 11. Тут х –це половина дуги АВ, а sin х –половина відповідної хорди. Очевидно, що зі зближенням точок Аі УДовжина хорди дедалі точніше наближається до довжини дуги. З того ж малюнку нескладно отримати нерівність

|sin x| x|, вірне за будь-якого х.

Формулу (*) математики називають чудовою межею. З неї, зокрема, випливає, що sin х» хпри малих х.

Функції у= tg х, у= ctg х. Дві інші тригонометричні функції - тангенс і котангенс найпростіше визначити як відносини вже відомих нам синуса та косинуса:

Як синус та косинус, тангенс та котангенс – функції періодичні, але їх періоди рівні p, тобто. вони вдвічі менше, ніж у синуса та косинуса. Причина цього зрозуміла: якщо синус і косинус обоє змінять знаки, їх відношення не зміниться.

Оскільки в знаменнику тангенсу знаходиться косинус, то тангенс не визначений у тих точках, де косинус дорівнює 0, коли х= p/2 + kp. В усіх інших точках він монотонно зростає. Прямі х= p/2 + kpдля тангенсу є вертикальними асимптотами. У точках kpтангенс та кутовий коефіцієнт становлять 0 і 1 відповідно (рис. 12).

Котангенс не визначено там, де синус дорівнює 0 (коли х = kp). В інших точках він монотонно зменшується, а прямі х = kp – його вертикальні асимптоти. У точках х = p/2 + kpкотангенс звертається до 0, а кутовий коефіцієнт у цих точках дорівнює –1 (рис. 13).

Парність та періодичність.

Функція називається парною, якщо f(–x) = f(x). Функції косинус та секанс – парні, а синус, тангенс, котангенс та косеканс – функції непарні:

Властивості парності випливають із симетричності точок P a і Р- a (рис. 14) щодо осі х. За такої симетрії ордината точки змінює знак (( х;у) переходить у ( х; -У)). Усі функції – періодичні, синус, косинус, секанс та косеканс мають період 2 p, а тангенс та котангенс – p:

Періодичність синуса та косинуса випливає з того, що всі точки P a + 2 kp, де k= 0, ±1, ±2,…, збігаються, а періодичність тангенсу та котангенсу – з того, що точки P a + kpпо черзі потрапляють у дві діаметрально протилежні точки кола, що дають ту саму точку на осі тангенсів.

Основні властивості тригонометричних функційможуть бути зведені до таблиці:

Формули наведення.

За цими формулами значення тригонометричної функції аргументу a де p/2 a p можна привести до значення функції аргументу a , де 0 a p /2, як тієї ж, так і додаткової до неї.

Аргумент b	- a	+ a	p- a	p+ a	+ a	+ a	2p- a
sin b	cos a	cos a	sin a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a
cos b	sin a	-sin a	-cos a	-cos a	-sin a	sin a	cos a

Тому в таблицях тригонометричних функцій даються значення лише для гострих кутів, причому достатньо обмежитися, наприклад, синусом та тангенсом. У таблиці дано лише найбільш уживані формули для синуса та косинуса. З них легко отримати формули для тангенсу та котангенсу. При наведенні функції від аргументу виду kp/2 ± a де k– ціле число, до функції аргументу a :

1) назва функції зберігається, якщо kпарне і змінюється на «додаткове», якщо kнепарне;

2) знак у правій частині збігається зі знаком наведеної функції у точці kp/2 ± a якщо кут a гострий.

Наприклад, при наведенні ctg (a – p/2) переконуємося, що a – p/2 при 0 a p /2 лежить у четвертому квадранті, де котангенс негативний, і, за правилом 1, змінюємо назву функції: ctg (a – p/2) = -tg a.

Формули додавання.

Формули кратних кутів.

Ці формули виводяться прямо з формул додавання:

sin 2a = 2 sin a cos a;

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a - 3 cos a;

Формулу для cos 3a використовував Франсуа Вієт при вирішенні кубічного рівняння. Він же вперше знайшов вираз для cos n a і sin n a , які пізніше були отримані більш простим шляхом формули Муавра.

Якщо формулах подвійного аргументу замінити a на a /2, їх можна перетворити на формули половинних кутів:

Формули універсальної підстановки.

Використовуючи ці формули, вираз, що включає різні тригонометричні функції від одного і того ж аргументу, можна переписати як раціональний вираз від однієї функції tg (a /2), це корисно при вирішенні деяких рівнянь:

Формули перетворення сум на твори та творів на суми.

До появи комп'ютерів ці формули використовувалися спрощення обчислень. Розрахунки проводилися з допомогою логарифмічних таблиць, і потім – логарифмічної лінійки, т.к. логарифми найкраще пристосовані для множення чисел, тому всі вихідні вирази призводили до вигляду, зручному логарифмування, тобто. до творів, наприклад:

2 sin a sin b = cos ( a – b) - cos ( a + b);

2 cos a cos b= cos ( a – b) + cos ( a + b);

2 sin a cos b= sin ( a – b) + sin ( a + b).

Формули для функцій тангенсу та котангенсу можна отримати з вищенаведених.

Формули зниження ступеня.

З формул кратного аргументу виводяться формули:

За допомогою цих формул тригонометричні рівнянняможна приводити до рівнянь нижчих ступенів. Так само можна вивести і формули зниження для вищих ступенів синуса і косинуса.

Кожна тригонометрична функція у кожній точці своєї області визначення безперервна і нескінченно диференційована. Причому і похідні тригонометричних функцій є тригонометричними функціями, а при інтегруванні виходять також тригонометричні функції або їх логарифми. Інтеграли від раціональних комбінацій тригонометричних функцій є елементарними функціями.

Подання тригонометричних функцій у вигляді статечних рядів та нескінченних творів.

Всі тригонометричні функції допускають розкладання в статечні ряди. При цьому функції sin x b cos xвидаються рядами. що сходяться для всіх значень x:

Ці ряди можна використовувати для отримання наближених виразів sin xта cos xпри малих значеннях x:

за | x| p/2;

за 0 x| p

(B n – числа Бернуллі).

Функції sin xта cos xможуть бути представлені у вигляді нескінченних творів:

Тригонометрична система 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, ¼, cos nx, sin nx, ¼, утворює на відрізку [– p, p] Ортогональну систему функцій, що дає можливість представлення функцій у вигляді тригонометричних рядів.

визначаються як аналітичні продовження відповідних тригонометричних функцій дійсного аргументу комплексну площину. Так, sin zта cos zможуть бути визначені за допомогою рядів для sin xта cos x, якщо замість xпоставити z:

Ці ряди сходяться по всій площині, тому sin zта cos z- Цілі функції.

Тангенс та котангенс визначаються формулами:

Функції tg zта ctg z- Мероморфні функції. Полюси tg zта sec z- Прості (1-го порядку) і знаходяться в точках z = p/2 + p n,полюси ctg zта cosec z– також прості та знаходяться у точках z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Усі формули, справедливі для тригонометричних функцій дійсного аргументу, справедливі й у комплексного. Зокрема,

sin (– z) = -sin z,

cos (– z) = cos z,

tg (- z) = -tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

тобто. парність та непарність зберігаються. Зберігаються і формули

sin ( z + 2p) = sin z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

тобто. періодичність також зберігається, причому періоди такі самі, як і для функцій дійсного аргументу.

Тригонометричні функції можуть бути виражені через показову функцію від суто уявного аргументу:

Назад, e izвиражається через cos zі sin zза формулою:

e iz= cos z + i sin z

Ці формули звуться формул Ейлера. Леонард Ейлер вивів їх у 1743 році.

Тригонометричні функції також можна виразити через гіперболічні функції:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = -i th iz.

де sh, ch та th – гіперболічні синус, косинус та тангенс.

Тригонометричні функції комплексного аргументу z = x + iy, де xі y– дійсні числа, можна виразити через тригонометричні та гіперболічні функції дійсних аргументів, наприклад:

sin ( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y;

cos ( x + iy) = cos x ch y + i sin x sh y.

Синус і косинус комплексного аргументу можуть набувати дійсних значень, що перевищують 1 за абсолютною величиною. Наприклад:

Якщо невідомий кут входить у рівняння як аргумент тригонометричних функцій, то рівняння називається тригонометричним. Такі рівняння настільки часто зустрічаються, що їх методи рішення дуже докладно та ретельно розроблені. Здопомогою різних прийоміві формул тригонометричні рівняння зводять до рівнянь виду f(x)= a, де f- Якась із найпростіших тригонометричних функцій: синус, косинус, тангенс або котангенс. Потім виражають аргумент xцієї функції через її відоме значення а.

Оскільки тригонометричні функції періодичні, тому самому аз області значень відповідає нескінченно багато значень аргументу, і рішення рівняння не можна записати у вигляді однієї функції від а. Тому в області визначення кожної з основних тригонометричних функцій виділяють ділянку, на якій вона набуває всіх своїх значень, причому кожне тільки один раз, і знаходять функцію, зворотну їй на цій ділянці. Такі функції позначають, приписуючи приставку АГС (дуга) до назви вихідної функції, і називають зворотними тригонометричними функціями чи просто аркфункціями.

Зворотні тригонометричні функції.

Для sin х, cos х, tg хта ctg хможна визначити обернені функції. Вони позначаються відповідно arcsin х(читається «арксинус x»), arcos x, arctg xта arcctg x. За визначенням, arcsin хє така кількість у,що

sin у = х.

Аналогічно для інших зворотних тригонометричних функцій. Але таке визначення страждає на деяку неточність.

Якщо відобразити sin х, cos х, tg хта ctg хщодо бісектриси першого та третього квадрантів координатної площини, то функції через їх періодичність стають неоднозначними: одному й тому синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) відповідає нескінченна кількість кутів.

Щоб позбутися неоднозначності, з графіка кожної тригонометричної функції виділяється ділянка кривої шириною p, при цьому потрібно, щоб між аргументом та значенням функції дотримувалося взаємно однозначне відповідність. Вибираються ділянки біля початку координат. Для синуса в як «інтервал взаємної однозначності» береться відрізок [– p/2, p/2], на якому синус монотонно зростає від –1 до 1, для косинуса – відрізок , для тангенсу та котангенсу відповідно інтервали (– p/2, p/2) та (0, p). Кожна крива на інтервалі відбивається щодо бісектриси і тепер можна визначити зворотні тригонометричні функції. Наприклад, нехай задано значення аргументу x 0таке, що 0 Ј x 0 Ј 1. Тоді значенням функції y 0 = arcsin x 0 буде єдине значення у 0 , таке, що – p/2 Ј у 0 Ј p/2 і x 0 = sin y 0 .

Таким чином, арксинус – це функція агсsin а, визначена на відрізку [–1, 1] і дорівнює кожному атакому значенню a , – p/2 a p /2, що sin a = а.Її дуже зручно представляти за допомогою одиничного кола (рис. 15). При | а| 1 на колі є дві точки з ординатою a, симетричні щодо осі у.Однією з них відповідає кут a= arcsin а, а інший – кут p – а. Зврахуванням періодичності синуса рішення рівняння sin x= азаписується наступним чином:

х =(–1)n arcsin a + 2p n,

де n= 0, ±1, ±2,...

Також вирішуються інші найпростіші тригонометричні рівняння:

cos x = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

де п= 0, ±1, ±2,... (рис. 16);

tg х = a;

x= arctg a + p n,

де п = 0, ±1, ±2,... (рис. 17);

ctg х= а;

х= arcctg a + p n,

де п = 0, ±1, ±2,... (рис. 18).

Основні властивості зворотних тригонометричних функцій:

arcsin х(Рис. 19): область визначення - відрізок [-1, 1]; область значень – [– p/2, p/2], монотонно зростаюча функція;

arccos х(рис. 20): область визначення - відрізок [-1, 1]; область значень -; монотонно спадаюча функція;

arctg х(Рис. 21): область визначення - всі дійсні числа; область значень – інтервал (– p/2, p/2); монотонно зростаюча функція; прямі у= –p/2 і у = p /2 -горизонтальні асимптоти;

arcctg х(Мал. 22): область визначення - всі дійсні числа; область значень – інтервал (0, p); монотонно спадаюча функція; прямі y= 0 і у = p- Горизонтальні асимптоти.

Для будь-кого z = x + iy, де xі y– дійсні числа, що мають місце нерівності

½| e\e y–e -y| ≤|sin z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e -y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

з яких при y® Ґ витікають асимптотичні формули (рівномірно відносно x)

|sin z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Тригонометричні функції виникли вперше у зв'язку з дослідженнями в астрономії та геометрії. Співвідношення відрізків у трикутнику та кола, що є по суті тригонометричними функціями, зустрічаються вже у 3 ст. до зв. е. у роботах математиків Стародавньої Греції – Евкліда , Архімеда , Аполлонія Пергського та інших, проте ці співвідношення були самостійним об'єктом дослідження, отже тригонометричні функції як такі ними не вивчалися. Вони розглядалися спочатку як відрізки і в такій формі застосовувалися Аристархом (кінець 4 – 2-а половина 3 ст. до н. е.), Гіппархом (2 ст. до н. е.), Менелаєм (1 ст. н. е.). ) і Птолемеєм (2 ст н. е.) при вирішенні сферичних трикутників. Птолемей склав першу таблицю хорд для гострих кутів через 30" з точністю до 10 -6. Це була перша таблиця синусів. Як відношення функція sin a зустрічається вже в Аріабхати (кінець 5 ст). Функції tg a і ctg a зустрічаються у аль-Баттані (2-я половина 9 – початок 10 ст.) і Абуль-Вефа (10 ст), який використовує також sec a і cosec a . Аріабхата знав уже формулу (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, а також формули sin та cos половинного кута, за допомогою яких побудував таблиці синусів для кутів через 3°45"; виходячи з відомих значень тригонометричних функцій для найпростіших аргументів. Бхаскара Формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій різних аргументів у твір виводилися Регіомонтаном (15 ст) і Дж. Непером у зв'язку з винаходом останнім логарифмів (1614). таблицю значень синусу через 1". Розкладання тригонометричних функцій у статечні ряди отримано І. Ньютоном (1669). У сучасну формутеорію тригонометричних функцій навів Л. Ейлер (18 ст). Йому належать їх визначення для дійсного та комплексного аргументів, прийнята нині символіка, встановлення зв'язку з показовою функцією та ортогональністю системи синусів та косинусів.

Тригонометричні функції є елементарними функціями, аргументом яких є кут. За допомогою тригонометричних функцій описуються співвідношення між сторонами та гострими кутами в прямокутному трикутнику. Області застосування тригонометричних функцій надзвичайно різноманітні. Так, наприклад, будь-які періодичні процеси можна подати у вигляді суми тригонометричних функцій (). Дані функції часто з'являються під час вирішення та функціональних рівнянь.

До тригонометричних функцій відносяться такі 6 функцій: синус , косинус , тангенс , котангенс , секансі косеканс. Для кожної з зазначених функційіснує зворотна тригонометрична функція .

Геометричне визначення тригонометричних функцій зручно ввести за допомогою одиничного кола . На наведеному нижче малюнку зображено коло радіусом (r = 1). На колі позначено точку \(M\left((x,y) \right)\). Кут між радіус-вектором \(OM\) і позитивним напрямом осі \(Ox\) дорівнює \(\alpha\).

Синусомкута \(\alpha\) називається відношення ординати \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до радіусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Оскільки \(r = 1\), то синус дорівнює ординаті точки \(M\left((x,y) \right)\).

Косинусомкута \(\alpha\) називається відношення абсциси \(x\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до радіусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)


Тангенсомкута \(\alpha\) називається відношення ординати \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до ee абсцисі \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)


Котангенсом кута \(\alpha\) називається відношення абсциси \(x\) точки \(M\left((x,y) \right)\) до її ординати \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)


Секанскута \(\alpha\) − це відношення радіусу \(r\) до абсциси \(x\) точки \(M\left((x,y) \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)


Косеканскута \(\alpha\) − це відношення радіусу \(r\) до ординати \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)


У одиничному колі проекції \(x\), \(y\) точки \(M\left((x,y) \right)\) і радіус \(r\) утворюють прямокутний трикутник, у якому \(x,y \) є катетами, а \(r\) - гіпотенузою. Тому наведені вище визначення тригонометричних функцій у додатку до прямокутного трикутника формулюються таким чином:
Синусомкута (alpha) називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
Косинусомкута \(\alpha\) називається відношення прилеглого катетадо гіпотенузи.
Тангенсомкута \(\alpha\) називається протилежного катета до прилеглого.
Котангенсом кута \(\alpha\) називається прилеглого катета до протилежного.
Секанскута (alpha) являє собою відношення гіпотенузи до прилеглого катету.
Косеканскута (alpha) являє собою відношення гіпотенузи до протилежного катету.


Графік функції синус
\(y = \sin x\), область визначення: \(x \in \mathbb(R)\), область значень: \(-1 \le \sin x \le 1\)




Графік функції косинус
\(y = \cos x\), область визначення: \(x \in \mathbb(R)\), область значень: \(-1 \le \cos x \le 1\)

Визначення

Визначення тригонометричним функцій даються за допомогою тригонометричного кола, під яким розуміється коло одиничного радіусу з центром на початку координат.

Розглянемо два радіуси цього кола: нерухомий (де точка) і рухливий (де точка). Нехай рухомий радіус утворює з нерухомим кутом.

Число, що дорівнює ординаті кінця одиничного радіусу, що утворює кут з нерухомим радіусом, називається синусом кута : .

Число, що дорівнює абсцисі кінця одиничного радіусу, що утворює кут з нерухомим радіусом, називається косинус кута : .

Таким чином, точка, що є кінцем рухомого радіусу, що утворює кут, має координати.

Тангенсом кутаназивається ставлення синуса цього кута для його косинусу: , .

Котангенсом кутаназивається ставлення косинуса цього кута для його синусу: , .

Геометричний зміст тригонометричних функцій

Геометричний сенс синуса і косинуса на тригонометричному колі зрозумілий з визначення: це абсциса і ординат точки перетину рухомого радіусу, що становить кут з нерухомим радіусом, і тригонометричного кола. Тобто, .

Розглянемо тепер геометричний зміст тангенсу та котангенсу. Трикутники подібні до трьох кутів (,), тоді має місце відношення. З іншого боку, в, отже.

Також подібний до трьох кутів (,), тоді має місце відношення. З іншого боку, в, отже.

З урахуванням геометричного сенсу тангенсу та котангенсу вводять поняття осі тангенсів та осі котангенсів.

Осями тангенсів називаються осі, одна з яких стосується тригонометричного кола в точці і спрямована вгору, друга стосується кола в точці і спрямована вниз.

Осями котангенсів називаються осі, одна з яких стосується тригонометричного кола в точці і спрямована вправо, друга стосується кола в точці і спрямована вліво.

Властивості тригонометричних функцій

Розглянемо деякі основні властивості тригонометричних функцій. Інші властивості будуть розглянуті у розділі, присвяченому графікам тригонометричних функцій.

Область визначення та область значень

Як було зазначено раніше, синус і косинус існують будь-яких кутів, тобто. областю визначення цих функцій є безліч дійсних чисел. За визначенням тангенс немає для кутів , а котангенс для кутів, .

Оскільки синус і косинус є ординатою та абсцисою точки на тригонометричному колі, їх значення лежать у проміжку. Область значення тангенса і котангенса є безліч дійсних чисел (у цьому неважко переконатися, дивлячись на осі тангенсів і котангенсів).

Парність/непарність

Розглянемо тригонометричні функції двох кутів (що відповідає рухомому радіусу) і (що відповідає рухомому радіусу). Оскільки, отже, точка має координати. Тому, тобто. синус – функція непарна; , тобто. косинус – функція парна; , тобто. тангенс непарний; , тобто. котангенс також непарний.

Проміжки знакостійності

Знаки тригонометричних функцій для різних координатних чвертей випливають із визначення цих функцій. Слід зазначити, що оскільки тангенс та котангенс є відносинами синуса та косинуса, вони позитивні, коли синус та косинус кута мають однакові знаки та негативні коли різні.

Періодичність

Періодичність синуса і косинуса заснована на тому факті, що кути, що відрізняються на цілу кількість повних оборотів, відповідають тому самому. взаємному розташуваннюрухомого та нерухомого променів. Відповідно і координати точки перетину рухомого променя та тригонометричного кола будуть однакові для кутів, що відрізняються на цілу кількість повних оборотів. Таким чином, періодом синуса та косинуса є і де.

Очевидно, що також є періодом для тангенсу та котангенсу. Але чи існує менший період цих функцій? Доведемо, що найменшим періодомдля тангенсу та котангенсу є.

Розглянемо два кути в. Оп геометричному змісту тангенсу та котангенсу, . По стороні та прилеглих до неї кутах рівні трикутники і, отже, рівні та їхні сторони, значить і. Аналогічним чином можна довести те, де. Таким чином, періодом тангенсу та котангенсу є.

Тригонометричні функції основних кутів

Формули тригонометрії

Для успішного вирішення тригонометричних завдань необхідно володіти численними тригонометричними формулами. Тим не менш, немає необхідності заучувати всі формули. Знати напам'ять потрібно лише основні, інші формули треба вміти за необхідності вивести.

Основне тригонометричне тотожність і наслідки з нього

Усі тригонометричні функції довільного кута пов'язані між собою, тобто. знаючи одну функцію завжди можна знайти інші. Цей зв'язок дають формули, що розглядаються в цьому розділі.

Теорема 1 (Основна тригонометрична тотожність). Для будь-якого справедливо тотожність

Доказ полягає у застосуванні теореми Піфагора для прямокутного трикутника з катетами та гіпотенузою.

Справедливіша і загальніша теорема.

Теорема 2. Для того, щоб два числа можна було прийняти за косинус і синус одного і того ж речового кута, необхідно і достатньо, щоб сума їх квадратів дорівнювала одиниці:

Розглянемо наслідки з основної тригонометричної тотожності.

Виразимо синус через косинус і косинус через синус:

У формулах знак плюс чи мінус перед коренем вибирається залежно від чверті, у якій лежить кут.

Підставляючи отримані вище формули формули, що визначають тангенс і котангенс, отримуємо:

Розділивши основне тригонометричне тотожність почленно або одержимо відповідно:

Ці співвідношення можна переписати у вигляді:

Наступні формули дають зв'язок між тангенсом та котангенсом. Оскільки при, а при, то має місце рівність:

Формули наведення

За допомогою формул приведення можна виразити значення тригонометричних функцій довільних кутів через значення функцій гострого кута. Усі формули наведення можуть бути узагальнені за допомогою наступного правила.

Будь-яка тригонометрична функція кута, по абсолютній величині дорівнює тій же функції кута, якщо число - парне, і ко-функции кута, якщо число - непарне. У цьому якщо функція кута, позитивна, коли - гострий позитивний кут, знаки обох функцій однакові, якщо негативна, то різні.

Формули суми та різниця кутів

Теорема 3 . Для будь-яких речових і справедливі такі формули:

Доказ інших формул ґрунтується на формулах приведення та парності/непарності тригонометричних функцій.

Що і потрібно було довести.

Теорема 4. Для будь-яких речових і, таких, що

1. , справедливі такі формули

2. , справедливі такі формули

Доведення. За визначенням тангенсу

Останнє перетворення отримано розподілом чисельника та знаменника цього дробу.

Аналогічно для котангенса (числитель і знаменник у цьому випадку поділяються на):

Що і потрібно було довести.

Слід звернути увагу, що праві і ліві частини останніх рівностей мають різні області допустимих значень. Тому застосування цих формул без обмежень на можливі значення кутів може призвести до неправильних результатів.

Формули подвійного та половинного кута

Формули подвійного кутадозволяють виразити тригонометричні функції довільного кута через функції кута вдвічі менше вихідного. Ці формули є наслідками формул суми двох кутів, якщо в них покласти кути рівними одна одній.

Останню формулу можна перетворити за допомогою основного тригонометричного тотожності:

Таким чином, для косинуса подвійного кута існує три формули:

Слід зазначити, що дана формула справедлива лише за

Остання формула справедлива при .

Аналогічно до функцій подвійного кута можуть бути отримані функції потрійного кута. Тут ці формули наводяться без доказу:

Формули половинного кута є наслідками формул подвійного кута і дозволяють виразити тригонометричні функції деякого кута через функції кута вдвічі більше вихідного.

У цій статті ми покажемо, як даються визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута та числа в тригонометрії. Тут ми поговоримо про позначення, наведемо приклади записів, дамо графічні ілюстрації. На закінчення проведемо паралель між визначеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу в тригонометрії та геометрії.

Навігація на сторінці.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу

Простежимо за тим, як формуються уявлення про синус, косинус, тангенс і котангенс в шкільному курсі математики. На уроках геометрії дається визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута в прямокутному трикутнику. А пізніше вивчається тригонометрія, де йдеться про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту і числа. Наведемо всі ці визначення, наведемо приклади та дамо необхідні коментарі.

гострого кута в прямокутному трикутнику

З курсу геометрії відомі визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута у прямокутному трикутнику. Вони даються як відношення сторін прямокутного трикутника. Наведемо їх формулювання.

Визначення.

Синус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення протилежного катета до гіпотенузи.

Визначення.

Косинус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення прилеглого катета до гіпотенузи.

Визначення.

Тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення протилежного катета до прилеглого.

Визначення.

Котангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення прилеглого катета до протилежного.

Там же вводяться позначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу – sin, cos, tg і ctg відповідно.

Наприклад, якщо АВС – прямокутний трикутник із прямим кутом З , то синус гострого кута A дорівнює відношенню протилежного катета BC до гіпотенузи AB , тобто, sin∠A=BC/AB .

Ці визначення дозволяють обчислювати значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута за відомими довжинами сторін прямокутного трикутника, а також по відомим значеннямсинуса, косинуса, тангенсу, котангенсу та довжині однієї зі сторін знаходити довжини інших сторін. Наприклад, якби знали, що у прямокутному трикутнику катет AC дорівнює 3 , а гіпотенуза AB дорівнює 7 , ми могли б обчислити значення косинуса гострого кута A за визначенням: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Кута повороту

У тригонометрії на кут починають дивитися ширше - вводять поняття кута повороту. Величина кута повороту, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів, кут повороту в градусах (і в радіанах) може виражатися будь-яким дійсним числом від −∞ до +∞ .

У цьому вся світлі дають визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса не гострого кута, а кута довільної величини - кута повороту. Вони даються через координати x і y точки A 1 , яку переходить так звана початкова точка A(1, 0) після її повороту на кут α навколо точки O - початку прямокутної декартової системи координат і центру одиничного кола .

Визначення.

Синус кута поворотуα - це ордината точки A 1 тобто sinα = y .

Визначення.

Косинусом кута поворотуα називають абсцис точки A 1 , тобто, cosα = x .

Визначення.

Тангенс кута поворотуα - це відношення ординати точки A 1 до її абсциси, тобто tgα=y/x.

Визначення.

Котангенсом кута поворотуα називають відношення абсциси точки A 1 до її ординати, тобто ctgα=x/y .

Синус і косинус визначені для будь-якого кута α, тому що ми завжди можемо визначити абсцису та ординату точки, яка виходить в результаті повороту початкової точки на кут α. А тангенс та котангенс визначені не для будь-якого кута. Тангенс не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0, 1) або (0, −1) , а це має місце при кутах 90°+180°·k , k∈Z (π /2+π·k радий). Справді, за таких кутах повороту вираз tgα=y/x немає сенсу, оскільки у ньому присутній розподіл на нуль. Що ж до котангенсу, то він не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка переходить до точки з нульовою ординатою (1, 0) або (-1, 0) , а це має місце для кутів 180°k, k ∈Z (π·k радий).

Отже, синус і косинус визначені для будь-яких кутів повороту, тангенс визначений для всіх кутів, крім 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk радий), а котангенс – для всіх кутів, крім 180° ·k, k∈Z (π·k радий).

У визначеннях фігурують вже відомі нам позначення sin, cos, tg і ctg, вони використовуються і для позначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту (іноді можна зустріти позначення tan і cot, що відповідають тангенсу та котангенсу). Так синус кута повороту 30 градусів можна записати як sin30° записам tg(−24°17′) і ctgα відповідають тангенс кута повороту −24 градуси 17 хвилин і котангенс кута повороту α . Нагадаємо, що при записі радіанної міри кута позначення "рад" часто опускають. Наприклад, косинус кута повороту в три піради зазвичай позначають cos3·π.

На закінчення цього пункту варто зауважити, що в розмові про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту часто опускають словосполучення кут повороту або слово повороту. Тобто замість фрази "синус кута повороту альфа" зазвичай використовують фразу "синус кута альфа" або ще коротше - "синус альфа". Це саме стосується і косинуса, і тангенсу, і котангенсу.

Також скажемо, що визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику узгоджуються з щойно даними визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту величиною від 0 до 90 градусів. Це ми обґрунтуємо.

Числа

Визначення.

Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа t називають число, що дорівнює синусу, косинусу, тангенсу і котангенсу кута повороту в t радіанів відповідно.

Наприклад, косинус числа 8 π за визначенням є число, рівне косінусукута в 8 π рад. А косинус кута в 8 π рад дорівнює одиниці, тому, косинус числа 8 π дорівнює 1 .

Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Він полягає в тому, що кожному дійсному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола з центром на початку прямокутної системи координат, синус, косинус, тангенс і котангенс визначаються через координати цієї точки. Зупинимося на цьому детальніше.

Покажемо, як встановлюється відповідність між дійсними числами та точками кола:

• числу 0 ставиться у відповідність початкова точка A(1, 0);
• позитивному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яке ми потрапимо, якщо рухатимемося по колу з початкової точки в напрямку проти годинникової стрілки і пройдемо шлях довжиною t;
• негативному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яку ми потрапимо, якщо рухатимемося по колу з початкової точки в напрямку за годинниковою стрілкою і пройдемо шлях завдовжки |t| .

Тепер переходимо до визначення синусу, косинуса, тангенсу і котангенсу числа t . Припустимо, що t відповідає точка кола A 1 (x, y) (наприклад, числу &pi/2; відповідає точка A 1 (0, 1) ).

Визначення.

Синусом числа t називають ординату точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, sint = y.

Визначення.

Косинусом числа t називають абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, cost = x.

Визначення.

Тангенсом числа t називають відношення ординати до абсцисі точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, tgt=y/x. В іншому рівносильному формулюванні тангенс числа t - це відношення синуса цього числа до косинусу, тобто tgt = sint / cost.

Визначення.

Котангенсом числа t називають відношення абсциси до ординати точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто ctgt=x/y . Інше формулювання така: тангенс числа t - це відношення косинуса числа t до синуса числа t: ctgt = cost / sint.

Тут зазначимо, що дані визначення узгоджуються з визначенням, даним на початку цього пункту. Дійсно, точка одиничного кола, відповідна числу t збігається з точкою, отриманої в результаті повороту початкової точки на кут в t радіанів.

Ще варто з'ясувати такий момент. Допустимо, перед нами запис sin3 . Як зрозуміти, про синус числа 3 або про синус кута повороту 3 радіана йдеться? Зазвичай це з контексту, інакше це швидше за все не має принципового значення.

Тригонометричні функції кутового та числового аргументу

Згідно з даними в попередньому пункті визначенням, кожному куту повороту відповідають цілком певне значення sinα, як і значення cosα. Крім того, всім кутам повороту, відмінним від 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) відповідають значення tgα , а відмінним від 180°·k , k∈Z (π·k рад ) – значення ctgα. Тому sinα, cosα, tgα та ctgα - це функції кута α. Інакше кажучи – це функції кутового аргумента.

Аналогічно можна говорити про функції синус, косинус, тангенс і котангенс числового аргументу. Дійсно, кожному дійсному числу t відповідає цілком певне значення sint, як і cost. Крім того, всім числам, відмінним від π/2+π·k , k∈Z відповідають значення tgt , а числам π·k , k∈Z - значення ctgt .

Функції синус, косинус, тангенс та котангенс називають основними тригонометричними функціями.

З контексту зазвичай зрозуміло, з тригонометричними функціями кутового аргументу чи числового аргументу ми маємо справу. В іншому випадку ми можемо вважати незалежну змінну як мірою кута (кутовим аргументом), так і числовим аргументом.

Проте, у школі переважно вивчаються числові функції, тобто, функції, аргументи яких, як і відповідні їм значення функції, є числами. Тому, якщо йдеться саме про функції, доцільно вважати тригонометричні функції функціями числових аргументів.

Зв'язок визначень з геометрії та тригонометрії

Якщо розглядати кут повороту величиною від 0 до 90 градусів, то дані в контексті тригонометрії визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту повністю узгоджуються з визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику, які даються в курсі геометрії. Обґрунтуємо це.

Зобразимо у прямокутній декартовій системікоординат Oxy одиничне коло. Зазначимо початкову точку A(1, 0). Повернемо її на кут величиною від 0 до 90 градусів, отримаємо точку A 1 (x, y) . Опустимо з точки А1 на вісь Ox перпендикуляр A1H.

Легко бачити, що у прямокутному трикутнику кут A 1 OH дорівнює кутуповороту α довжина прилеглого до цього кута катета OH дорівнює абсцисі точки A 1 тобто | а довжина гіпотенузи OA 1 дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом одиничного кола. Тоді за визначенням з геометрії синус гострого кута у прямокутному трикутнику A 1 OH дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, тобто, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А за визначенням з тригонометрії синус кута повороту дорівнює ординаті точки A 1 , тобто, sinα = y . Звідси видно, що визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику еквівалентне визначенню синуса кута повороту при α від 0 до 90 градусів.

Аналогічно можна показати, що і визначення косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута узгоджуються з визначеннями косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α .

Список літератури.

1. Геометрія. 7-9 класи: навч. для загальноосвіт. установ/[Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін]. - 20-те вид. М.: Просвітництво, 2010. – 384 с.: іл. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорєлов А. В.Геометрія: Навч. для 7-9 кл. загальноосвіт. установ/А. В. Погорелов. - 2-ге вид - М.: Просвітництво, 2001. - 224 с.: іл. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра та елементарні функції: Навчальний посібникдля учнів 9 класу середньої школи/ Є. С. Кочетков, Є. С. Кочеткова; За редакцією доктора фізико-математичних наук О. Н. Головіна. - 4-те вид. М: Просвітництво, 1969.
4. Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
5. Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Мордковіч А. Г.Алгебра та початку аналізу. 10 клас. О 2 год. Ч. 1: підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-те вид., Дод. – М.: Мнемозіна, 2007. – 424 с.: іл. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебраі почала математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – І.: Просвітництво, 2010. – 368 с.: Іл. – ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.