1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Список використаних джерел

1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Одним із напрямів удосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів та сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, що вивчаються, обґрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіантавикористання господарських ресурсів, виявлення та мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.

Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обґрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності. Залежно від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях – логарифмування, часткова участь, диференціювання; у стохастичних моделях – кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів та ін.

Стохастичний аналіз – це метод розв'язання широкого класу завдань статистичного оцінювання. Він передбачає вивчення масових емпіричних даних шляхом побудови моделей зміни показників за рахунок факторів, що не перебувають у прямих зв'язках, у прямій взаємозалежності та взаємозумовленості. Стохастичний зв'язок існує між випадковими величинами і проявляється в тому, що при зміні однієї з них змінюється закон розподілу іншої.

В економічному аналізі виділяються такі найбільш типові завдання стохастичного аналізу:

Вивчення наявності та тісноти зв'язку між функцією та факторами, а також між факторами;

Ранжування та класифікація факторів економічних явищ;

Виявлення аналітичної форми зв'язку між явищами, що вивчаються;

Згладжування динаміки зміни рівня показників;

Виявлення параметрів закономірних періодичних коливань рівня показників;

Вивчення розмірності (складності, багатогранності) економічних явищ;

Кількісна зміна інформативних показників;

Кількісна зміна впливу чинників зміну аналізованих показників (економічна інтерпретація отриманих рівнянь).

Стохастичне моделювання та аналіз зв'язків між вивченими показниками починаються з кореляційного аналізу. Кореляція у тому, що середня величина однієї з ознак змінюється залежно від значення іншого. Ознака, від якої залежить інша ознака, прийнято називати факторною. Залежний ознака називають ефективним. В кожному конкретному випадкудля встановлення факторної та результативної ознак у неоднакових сукупностях необхідний аналіз природи зв'язку. Так, при аналізі різних ознакв одній сукупності заробітня платаробітників у зв'язку з їх виробничим стажем постає як результативна ознака, а у зв'язку з показниками життєвого рівня або культурними потребами – як факторна. Часто залежності розглядають немає від однієї факторного ознаки, як від кількох. Для цього застосовується сукупність методів та прийомів виявлення та кількісної оцінки взаємозв'язків та взаємозалежностей між ознаками.

При дослідженні масових суспільно-економічних явищ між факторними ознаками проявляється кореляційний зв'язок, при якому на величину результативної ознаки впливає, крім факторної, безліч інших ознак, що діють у різних напрямкаходночасно чи послідовно. Часто кореляційний зв'язок називають неповним статистичним або частковим на відміну від функціонального, що виражається в тому, що при певному значенні змінної (незалежна змінна – аргумент) інша (залежна змінна – функція) набуває строгого значення.

Кореляційний зв'язок можна виявити лише як загальної тенденції при масовому зіставленні фактів. Кожному значенню факторного ознаки відповідатиме одне значення результативного ознаки, які сукупність. У цьому випадку для розтину зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки для кожного факторного значення.

Якщо залежність прямолінійна:

Значення коефіцієнтів а і b знаходиться із системи рівнянь, отриманих за способом найменших квадратівза формулою:

N – число спостережень.

У разі прямолінійної форми зв'язку між показниками, що вивчаються, коефіцієнт кореляції розраховується за формулою:

Якщо коефіцієнт кореляції звести квадрат, то отримаємо коефіцієнт детермінації.

Дисконтування - це процес перерахунку майбутньої вартості капіталу, грошових потоків чи чистого доходу у реальну. Ставка, за якою здійснюється дисконтування, називається ставкою дисконтування (ставкою дисконту). Основна посилка, що лежить в основі поняття дисконтованого потоку реальних грошей, полягає в тому, що гроші мають тимчасову ціну, тобто сума грошей, наявна сьогодні, має більшу цінність, ніж така ж сума в майбутньому. Ця різниця може бути виражена як процентна ставка, Що характеризує відносні зміни за певний період (зазвичай рівний року).

Багато завдань, із якими доводиться стикатися економісту у повсякденній практиці під час аналізу господарську діяльність підприємств, многовариантны. Так як не всі варіанти однаково хороші, серед безлічі можливих доводиться знаходити оптимальний. Значна частина подібних завдань протягом тривалого часу вирішувалася виходячи з здорового глуздута досвіду. При цьому не було жодної впевненості, що знайдений варіант є найкращим.

У сучасних умовахнавіть незначні помилки можуть призвести до величезних втрат. У зв'язку з цим виникла необхідність залучення до аналізу та синтезу економічних систем оптимізаційних економіко-математичних методів та ЕОМ, що створює основу для ухвалення науково обґрунтованих рішень. Такі методи поєднуються в одну групу під загальною назвою "оптимізаційні методи прийняття рішень в економіці". Щоб вирішити економічне завдання математичними методамиНасамперед необхідно побудувати адекватну їй математичну модель, тобто формалізувати мету та умови завдання у вигляді математичних функцій, рівнянь та (або) нерівностей.

У загальному випадку математична модельоптимізаційної задачі має вигляд:

max (min): Z = Z (x),

при обмеженнях

f i (x) Rb i , i = ,

де R - відношення рівності, менше чи більше.

Якщо цільова функція та функції, що входять до системи обмежень, лінійні щодо невідомих, що входять до завдання, таке завдання називається завданням лінійного програмування. Якщо цільова функція або система обмежень не лінійна, таке завдання називається завданням нелінійного програмування.

Здебільшого, практично, завдання нелінійного програмування шляхом лінеаризації зводяться до завдання лінійного програмування. p align="justify"> Особливий практичний інтерес серед завдань нелінійного програмування представляють завдання динамічного програмування, які через свою багатоетапність не можна лінеаризувати. Тому ми розглянемо лише ці два види оптимізаційних моделей, для яких сьогодні є хороше математичне та програмне забезпечення.

Метод динамічного програмування є особливий математичний прийом оптимізації нелінійних завдань математичного програмування, який спеціально пристосований до багатокрокових процесів. Багатокроковим зазвичай вважають процес, що розвивається в часі і розпадається на ряд кроків, або етапів. У цьому метод динамічного програмування використовується й у вирішення завдань, у яких час не фігурує. Деякі процеси розпадаються кроки природним чином (наприклад, процес планування господарську діяльність підприємства у період, що з кількох років). Багато процесів можна розчленувати на етапи штучно.

Суть методу динамічного програмування полягає в тому, що замість пошуку оптимального рішення відразу для всієї складного завданняволіють знаходити оптимальні рішення для кількох більше простих завданьаналогічного змісту, куди розчленовується вихідне завдання.

p align="justify"> Метод динамічного програмування також характеризується тим, що вибір оптимального рішення на кожному кроці повинен проводитися з урахуванням наслідків у майбутньому. Це означає, що, оптимізуючи процес на кожному окремому кроці, в жодному разі не можна забувати про всі наступні кроки. Отже, динамічне програмування - це далекоглядне планування з урахуванням перспективи.

Принцип вибору рішення в динамічному програмуванні є визначальним і зветься принципом оптимальності Беллмана. Сформулюємо його так: оптимальна стратегія має тим властивістю, що, які б не були початковий стан і рішення, прийняте в початковий момент, наступні рішення повинні вести до поліпшення ситуації щодо стану, що є результатом початкового рішення.

Таким чином, при вирішенні оптимізаційної задачі методом динамічного програмування необхідно на кожному кроці враховувати наслідки, до яких приведе в майбутньому рішення, яке приймається в Наразі. Винятком є ​​останній крок, яким закінчується процес. Тут можна ухвалювати таке рішення, щоб забезпечити максимальний ефект. Спланувавши оптимальним чином останній крок, можна "прилаштовувати" передостанній так, щоб результат цих двох кроків був оптимальним, і т.д. Саме таким чином – від кінця на початок – можна розгорнути процедуру прийняття рішень. Оптимальне вирішенняЗнайдене за умови, що попередній крок закінчився певним чином, називають умовно-оптимальним рішенням.

Статистична теорія ігор є складовоюзагальної теорії ігор, яка є розділом сучасної прикладної математики, що вивчає методи обґрунтування оптимальних рішень в конфліктних ситуаціях. Теоретично статистичних ігор розрізняють такі поняття, як вихідна стратегічна гра і власне статистична гра. У цій теорії першого гравця називають "природою", під якою розуміють сукупність обставин, за умов якої доводиться приймати рішення другому гравцю - "статистику". У стратегічній грі обидва гравці діють активно, припускаючи, що противник - "розумний" гравець. Для стратегічної гри характерна повна невизначеність у виборі стратегії кожним гравцем, тобто гравці нічого не знають про стратегії один одного. У стратегічній грі обидва гравці діють на основі детермінованої інформації, визначеної матрицею втрат.

У власне статистичній грі природа не є активно гравцем, що діє, в тому сенсі, що вона "не розумна" і не намагається протидіяти максимальному виграшу другого гравця. Статистик (другий гравець) у статистичній грі прагне виграти гру у уявного супротивника – природи. Якщо у стратегічній грі гравці діють за умов повної невизначеності, то статистичної гри характерна часткова невизначеність. Справа в тому, що природа розвивається і "діє" відповідно до своїх об'єктивно існуючих законів. Статистика має можливість поступово вивчати ці закони, наприклад, на основі статистичного експерименту.

Теорія масового обслуговування - прикладна сфера теорії випадкових процесів. Предметом її дослідження є імовірнісні моделі реальних систем обслуговування, де у випадкові (або не випадкові) моменти часу виникають заявки на обслуговування і є пристрої (канали) виконання заявок. Теорія масового обслуговування досліджує математичні методи кількісної оцінки процесів масового обслуговування, якості функціонування систем, де випадковими може бути як моменти появи вимог (заявок), і витрати часу їх виконання.

Система масового обслуговування знаходить застосування у вирішенні наступних завдань: наприклад, тоді, коли в масовому порядку надходять заявки (вимоги) на обслуговування з подальшим задоволенням. Насправді це може бути надходження сировини, матеріалів, напівфабрикатів, виробів складу і їх видача зі складу; обробка широкої номенклатури деталей на тому самому технологічне обладнання; організація налагодження та ремонту обладнання; транспортні операції; планування резервних та страхових запасів ресурсів; визначення оптимальної чисельності відділів та служб підприємства; обробка планової та звітної документації та ін.

Балансова модель - це система рівнянь, що характеризують наявність ресурсів (продуктів) у натуральному чи грошах та напрями їх використання. При цьому наявність ресурсів (продуктів) та потреба в них кількісно збігаються. В основу розв'язання таких моделей покладено методи лінійної векторно-матричної алгебри. Тому балансові методи та моделі називають матричними методами аналізу. Наочність зображень різних економічних процесів у матричних моделях та елементарні способи вирішення систем рівнянь дозволяють застосовувати їх у різних виробничо-господарських ситуаціях.

Математична теорія нечітких множин, розроблена в 60-ті роки XX століття, сьогодні все ширше застосовується в фінансовий аналіздіяльності підприємства, що включає аналіз та прогноз фінансового станупідприємства, аналіз змін оборотного фонду, потоків вільних грошових коштів, економічного ризику, оцінки впливу витрат на прибуток, розрахунку вартості капіталу У основі цієї теорії лежать поняття " нечітка безліч " і " функції приналежності " .

У випадку вирішення завдань такого типу досить громіздко, оскільки має місце великий обсяг інформації. Практичне використання теорії нечітких множин дозволяє розвивати традиційні методифінансово-господарську діяльність, адаптувати їх до нових потреб урахування невизначеності у майбутньому основних показників діяльності підприємств.

Завдання 1

За наведеними даними про чисельність персоналу промислового підприємстварозрахувати коефіцієнт обороту з прийому та вибуття робітників та коефіцієнт плинності. Зробити висновки.

Рішення:

Визначимо:

1) коефіцієнт прийому (К пр):

Минулий рік:Кпр = 610/(2490 + 3500) = 0,102

Звітний рік: Кпр. = 650 / (2539 + 4200) = 0,096

У звітному році коефіцієнт зовнішнього обороту з прийняття зменшився на 0,006 (0,096 – 0,102).

2) коефіцієнт зі звільнення (вибуття) працівників (К ув):

Минулий рік: Квиб. = 690/(2490 + 3500) = 0,115

Звітний рік: Квиб. = 725/(2539 + 4200) = 0,108

У звітному році коефіцієнт зовнішнього обороту з вибуття також знизився на 0,007 (0,108 – 0,115).

3) коефіцієнт плинності кадрів(До тек):

Минулий рік:КТЕК. = (110 + 30) / (2490 + 3500) = 0,023

Звітний рік: Ктек. = (192 + 25) / (2539 + 4200) = 0,032

У звітному році коефіцієнт плинності кадрів також зріс на 0,009 (0,032 - 0,023), що негативною тенденцією в русі кадрів.

4) коефіцієнт загального обороту робочої сили(До про):

Минулий рік: Коб = (610 + 690) / (2490 + 3500) = 0,217

Звітний рік: Коб. = (650 + 725) / (2539 + 4200) = 0,204

p align="justify"> Коефіцієнт загального обороту робочої сили знизився на 0,013 (0,204 - 0,217).

Завдання 2

Скласти вихідну модель обсягу продукції. Визначити тип факторної моделі. Розрахувати вплив чинників зміну обсягу продукції усіма відомими прийомами.

Рішення:

Результативний показник – фондовіддача.

Вихідна математична модель:

ФО = ВП/ОФ.

Тип моделі – кратний. Загальна кількість використовуваних для розрахунку результативних показників – 3, тому що розраховується вплив 2-х факторів (2 + 1 = 3). Кількість умовних результативних показників - 1, тому що воно дорівнює кількості факторів мінус 1.

Для цієї моделі застосовні наступні прийоми: ланцюгової підстановки, індексний та інтегральний.

1. Розрахуємо рівень впливу факторів зміни результативного показника способом ланцюгової підстановки.

Алгоритм рішення:

ФО пл = ВП пл / ОФ пл = 20 433 / 2593 = 7,88 руб.

ФО усл1 = ВП ф / ОФ пл = 20193/2593 = 7,786 руб.

ФО ф = ВП ф / ОФ ф = 20193/2577 = 7,836 руб.

Розрахунок факторів, що вплинули на зміну фондовіддачі, оформимо в таблиці.

2. Розрахуємо рівень впливу факторів зміни результативного показника інтегральним способом.

ВП = ВП ф - ВП пл = 20193 - 20433 = -240;

ОФ = ОФ ф - ОФ пл = 2577 - 2593 = -16.

ФО пл = 20433/2593 = 7,88 руб.

ФО ф = 20193/2577 = 7,836 руб.

ФО вп = = 15 ln | 0,99 | = -0,09284

ФО оф = ?ФО заг - ?ФО вп = (7,836-7,88) - (-0,09284) = 0,04884

3. Розрахуємо рівень впливу факторів зміни результативного показника індексним способом.

I ФО = I ВП I ОФ.

I ФО = (ВП ф / ОФ ф): (ВП пл / ОФ пл) = 7,836/7,88 = 0,99

I ВП = (ВП ф / ОФ пл): (ВП пл / ОФ пл) = 7,786 / 7,88 = 0,988

I ОФ = (ВП ф / ОФ ф): (ВП ф / ОФ пл) = 7,836/7,786 = 1,006

I ФО = I ВП I ОФ = 0,988 1,006 = 0,99.

Якщо з чисельника наведених вище формул відняти знаменник, то отримаємо абсолютні прирости фондовіддачі в цілому і за рахунок кожного фактора окремо, тобто ті ж результати, що і способом ланцюгової підстановки.

Завдання 3

Визначити, яким буде середній рівень урожайності, якщо кількість внесених добрив становитиме 20 ц. Визначити тісноту зв'язку між показником "у" та фактором "х".

Дано: Рівняння регресії

де у - середня зміна врожайності, ц/га

х – кількість внесених добрив, ц.

Коефіцієнт детермінації – 0,92.

Рішення:

Середній рівень урожайності дорівнює 62 ц/га.

Регресійний аналіз має на меті висновок, визначення (ідентифікацію) рівняння регресії, включаючи статистичну оцінку його параметрів. Рівняння регресії дозволяє визначити значення залежної змінної, якщо величина незалежної чи незалежних змінних відома.

Коефіцієнт кореляції обчислюється за такою формулою:

Доведено, що коефіцієнт кореляції знаходиться в інтервалі від мінус одиниці до плюс одиниці (-1< R x, y <1). Коэффициент корреляции в квадрате () называется коэффициентом детерминации. Коэффициент корреляции Rдля цієї вибірки дорівнює 0,9592 (). Чим він ближчий до одиниці, тим тісніше зв'язок між ознаками. У разі зв'язок дуже тісна, майже абсолютна кореляція. Коефіцієнт детермінації R 2 дорівнює 0,92. Це означає, що рівняння регресії визначається на 92% дисперсією результативної ознаки, а частку сторонніх факторів припадає 8%.

Коефіцієнт детермінації показує частку розкиду, що враховується регресією, у загальному розкиді результативної ознаки. Цей показник, що дорівнює відношенню факторної варіації до повної варіації ознаки, дозволяє судити про те, наскільки "вдало" вибрано вид функції. Чим більше R 2 тим більше зміна факторного ознаки пояснює зміна результативної ознаки і тим, отже, краще рівняння регресії, краще вибір функції.

Список використаних джерел

Аналіз господарську діяльність підприємства: Учеб. посібник/ За заг. ред. Л. Л. Єрмолович. - Мн.: Інтерпрессервіс; Екоперспектива, 2001. – 576 с.

Савицька Г. В. Аналіз господарської діяльності підприємства, 7-е вид., Випр. – Мн.: Нове знання, 2002. – 704 с.

Савицька Г. В. Теорія аналізу господарської діяльності. - М: Інфра-М, 2007.

Савицька Г. В. Економічний аналіз: Навч. - 10-те вид., Випр. – К.: Нове знання, 2004. – 640 с.

Скамай Л. Г., Трубочкіна М. І. Економічний аналіз діяльності підприємства. - М: Інфра-М, 2007.

Розглянемо ряд основних понять, пов'язаних із системним аналізом та
моделювання соціально-економічних систем, щоб за їх допомогою більш
повно розкрити суть такого ключового поняття, як
економіко-математичні методи Термін економіко-математичні методи
розуміється у свою чергу як узагальнюючу назву комплексу
економічних та математичних наукових дисциплін, об'єднаних для
вивчення соціально-економічних систем та процесів.

Під соціально-економічною системою розумітимемо складну
ймовірнісну динамічну систему, що охоплює процеси виробництва,
обміну, розподілу та споживання матеріальних та інших благ. Вона
належить до класу кібернетичних систем, т. е. систем керованих.
Розглянемо насамперед поняття, пов'язані з такими системами та методами
їх дослідження.

Центральним поняттям кібернетики є поняття "система". Єдиного
визначення цього поняття немає; можливе таке формулювання: системою
називається комплекс взаємопов'язаних елементів разом з відносинами між
елементами та між їх атрибутами. Досліджуване безліч елементів можна
розглядати як систему, якщо виявлено такі чотири ознаки:

Цілісність системи, тобто важлива незводність властивостей системи
до суми властивостей складових її елементів;

Наявність мети та критерію дослідження даної множини елементів,

Наявність більшої, зовнішньої по відношенню до даної системи,
званим «середовищем»;

Можливість виділення у цій системі взаємозалежних елементів
(Підсистем).

p align="justify"> Основним методом дослідження систем є метод моделювання, тобто.
спосіб теоретичного аналізу та практичної дії, спрямований на
розробку та використання моделей. При цьому під моделлю розумітимемо
образ реального об'єкта (процесу) у матеріальній чи ідеальній формі
(тобто описаний знаковими засобами якоюсь мовою), що відображає
суттєві властивості модельованого об'єкта (процесу) і його заміщає
в ході дослідження та управління. Метод моделювання ґрунтується на
принцип аналогії, тобто можливості вивчення реального об'єкта не
безпосередньо, а через розгляд подібного до нього і більш доступного
об'єкт, його модель. Надалі ми говоритимемо лише про
економіко-математичне моделювання, тобто про опис знаковими
математичними засобами соціально-економічних систем

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є:

Аналіз економічних об'єктів та процесів;

Економічне прогнозування, передбачення розвитку економічних
процесів;

Вироблення управлінських рішень на всіх рівнях

Господарська ієрархія.

Слід, однак, мати на увазі, що далеко не завжди дані,
отримані в результаті економіко-математичного моделювання можуть
використовуватись безпосередньо як готові управлінські рішення. Вони
швидше може бути розглянуто як «консультуючі» кошти. Прийняття
управлінських рішень залишається за людиною. Таким чином,
економіко-математичне моделювання є лише одним з
компонентів (нехай дуже важливим) у людино-машинних системах
планування та управління економічними системами.

Найважливішим поняттям при економіко-математичному моделюванні, як і за
всякому моделюванні, є поняття адекватності моделі, тобто.
відповідності моделі об'єкту, що моделюється, або процесу. Адекватність
моделі - певною мірою умовне поняття, оскільки повної відповідності
моделі реальному об'єкту бути не може, що характерно і для
економіко-математичного моделювання. При моделюванні є в
виду не просто адекватність, але відповідність за тими властивостями, які
вважаються суттєвими для дослідження. Перевірка адекватності
економіко-математичних моделей є дуже серйозною проблемою,
тим паче, що її ускладнює труднощі виміру економічних величин.
Однак без такої перевірки застосування результатів моделювання в
управлінських рішеннях може не тільки виявитися мало корисним, а й
завдати істотної шкоди.

Соціально-економічні системи відносяться, як правило, до так званих
складним системам. Складні системи в економіці мають ряд властивостей,
які необхідно враховувати при їх моделюванні, інакше неможливо
говорити про адекватність збудованої економічної моделі. Найважливіші
цих властивостей:

Емерджентність як прояв у найбільш яскравій формі властивості
цілісності системи, тобто. наявність у економічної системи таких властивостей,
які не притаманні жодному із складових систему елементів, взятому
окремо. поза системою. Емерджентність є результатом виникнення
між елементами системи так званих синергічних зв'язків, які
забезпечують збільшення загального ефекту до величини, більшої, ніж сума
ефектів елементів системи, що діють незалежно Тому
соціально-економічні системи необхідно досліджувати та моделювати в
загалом;

Масовий характер економічних явищ та процесів. Закономірності
економічних процесів не виявляються на підставі невеликої кількості
спостережень. Тому моделювання економіки має спиратися на
масові спостереження;

Динамічність економічних процесів, що полягає у зміні
параметрів та структури економічних систем під впливом середовища (зовнішніх
факторів);

Випадковість та невизначеність у розвитку економічних явищ.
Тому економічні явища та процеси носять в основному імовірнісний
характер, і їх вивчення необхідно застосування
економіко-математичних моделей на базі теорії ймовірностей та
математичної статистики;

Неможливість ізолювати явища, що протікають в економічних системах
та процеси від навколишнього середовища, щоб спостерігати та досліджувати їх у
чистому вигляді;

Активна реакція на нові фактори, що з'являються, здатність
соціально-економічних систем до активних, не завжди передбачуваних
діям залежно від ставлення системи до цих факторів, способів і
методів їхнього впливу.

Виділені характеристики соціально-економічних систем. природно,
ускладнюють процес їх моделювання, проте ці властивості слід
постійно мати на увазі при розгляді різних аспектів
економіко-математичного моделювання, починаючи з вибору типу моделі та
закінчуючи питаннями практичного використання результатів моделювання.

1.2. Етапи економіко-математичного моделювання

Процес моделювання, зокрема й економіко-математичного, включає
у собі три структурні елементи: об'єкт дослідження; суб'єкт
(Дослідник); модель, що опосередковує відносини між тим, хто пізнає
суб'єктом та пізнаваним об'єктом. Розглянемо загальну схему процесу
моделювання, що складається із чотирьох етапів.

Нехай є певний об'єкт, який ми хочемо досліджувати методом
моделювання. На першому етапі конструюємо (або знаходимо в
реальний світ) інший об'єкт - модель вихідного об'єкта-оригіналу. Етап
побудови моделі передбачає наявність певних відомостей про
об'єкті-оригіналі. Пізнавальні можливості моделі визначаються тим,
що модель відображає лише деякі суттєві риси вихідного
об'єкта, тому будь-яка модель замінює оригінал у строго обмеженому
сенсі. З цього випливає, що для одного об'єкта може бути збудовано
декілька моделей, що відображають певні сторони об'єкта, що досліджується
або характеризують його з різним ступенем деталізації.

На другому етапі процесу моделювання модель виступає як
самостійний об'єкт дослідження. Наприклад, одну з форм такого
дослідження складає проведення модельних експериментів, за яких
цілеспрямовано змінюються умови функціонування моделі та
систематизуються дані про її "поведінку". Кінцевим результатом цього
етапу є сукупність знань про модель щодо суттєвих
сторін об'єкта-оригіналу, які відображені у даній моделі.

Третій етап полягає у перенесенні знань з моделі на оригінал,
внаслідок чого ми формуємо безліч знань про вихідний об'єкт і при
цьому переходимо з мови моделі на мову оригіналу. З достатнім
підставою переносити будь-який результат з моделі на оригінал можна
лише тому випадку, якщо цей результат відповідає ознакам подібності
оригіналу та моделі (іншими словами, ознаками адекватності).

На четвертому етапі здійснюються практична перевірка отриманих з
допомогою моделі знань та їх використання як для побудови узагальнюючої
теорії реального об'єкта, так і для його цілеспрямованого перетворення
чи управління ним. У результаті ми знову повертаємось до проблематики
об'єкта-оригіналу.

Моделювання є циклічним процесом, тобто за першим
чотириетапним циклом може бути другий, третій і т. д. При цьому
знання про досліджуваний об'єкт розширюються і уточнюються, а спочатку
побудована модель поступово вдосконалюється. Таким чином, у
методології моделювання закладено великі можливості
самовдосконалення.

Перейдемо тепер безпосередньо до процесу економіко-математичного
моделювання, тобто описи економічних та соціальних систем та
процесів як економіко-математичних моделей. Цей різновид
моделювання має ряд істотних особливостей, пов'язаних як з
об'єктом моделювання, так і з застосовуваними апаратом та засобами
моделювання. Тому доцільно детальніше проаналізувати
послідовність та зміст етапів економіко-математичного
моделювання, виділивши наступні шість етапів: постановка економічної
проблеми, її якісний аналіз; побудова математичної моделі;
математичний аналіз моделі; підготовка вихідної інформації; чисельне
Рішення; аналіз чисельних результатів та їх застосування. Розглянемо кожен
з етапів докладніше.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому
етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, що приймаються
Передумови та припущення. Необхідно виділити найважливіші риси та властивості
модельованого об'єкта, вивчити його структуру та

Взаємозв'язок його елементів, хоча б попередньо сформулювати
гіпотези, що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2. Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної
проблеми, тобто вирази її у вигляді конкретних математичних
залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей та інших.). Побудова моделі
підрозділяється своєю чергою кілька стадій. Спочатку визначається
тип економіко-математичної моделі, вивчаються можливості її застосування
у цій задачі, уточнюються конкретний перелік змінних та параметрів
та форма зв'язків. Для деяких складних об'єктів доцільно будувати
кілька різноаспектних моделей; при цьому кожна модель виділяє лише
деякі сторони об'єкта, а інші сторони враховуються агреговано та
приблизно. Виправдано прагнення побудувати модель, що відноситься до добре
вивченому класу математичних завдань, що може вимагати деякого
спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворює основних характеристик
модельованого об'єкта. Однак можлива і така ситуація, коли
формалізація проблеми призводить до невідомої раніше математичної
структуру.

3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі є суто математичними
Прийомами дослідження виявляються загальні властивості моделі та її рішень. У
зокрема, важливим моментом є доказ існування рішення
сформульованої задачі. При аналітичному дослідженні з'ясовується,
чи єдине рішення, які змінні можуть входити до рішення,
яких межах вони змінюються, які тенденції їхньої зміни тощо.
Однак моделі складних економічних об'єктів великою працеюпіддаються
аналітичному дослідженню; у таких випадках переходять до чисельних
методів дослідження.

4. Підготовка вихідної інформації. В економічних завданнях це як
правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскільки справа не
зводиться до пасивного збору даних. Математичне моделювання
пред'являє жорсткі вимоги до системи інформації; при цьому треба
брати до уваги не лише принципову можливість підготовки
інформації необхідної якості, а й витрати на підготовку
інформаційних масивів У процесі підготовки інформації використовуються
методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики
для організації вибіркових обстежень, оцінки достовірності даних та
і т.д. При системному економіко-математичному моделюванні результати
функціонування одних моделей є вихідною інформацією для інших.

5. Чисельне рішення. Цей етап включає розробку алгоритмів
чисельного вирішення завдання, підготовку програм на ЕОМ та безпосереднє
проведення розрахунків;

При цьому значні труднощі викликаються великою розмірністю
економічних завдань Зазвичай розрахунки на основі економіко-математичної
моделі мають багатоваріантний характер. Численні модельні
експерименти, вивчення поведінки моделі за різних умов можливе
проводити завдяки високій швидкодії сучасних ЕОМ. Чисельне
рішення суттєво доповнює результати аналітичного дослідження, а
для багатьох моделей є єдиним можливим.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі раніше
всього вирішується найважливіше питання про правильність та повноту результатів
моделювання та застосовності їх як у практичній діяльності, так і в
цілях удосконалення моделі. Тому в першу чергу має бути
проведено перевірку адекватності моделі за тими властивостями, які обрані
як суттєві (іншими словами, повинні бути зроблені
верифікація та валідація моделі). Застосування чисельних результатів
моделювання в економіці спрямоване на вирішення практичних завдань
(аналіз економічних об'єктів, економічне прогнозування розвитку
господарських та соціальних процесів, вироблення управлінських рішень
всіх рівнях господарської ієрархії).

Перелічені етапи економіко-математичного моделювання знаходяться в
тісного взаємозв'язку, зокрема, можуть мати зворотні зв'язки
етапів. Так, на етапі побудови моделі може з'ясуватись, що постановка
завдання чи суперечлива, чи призводить до надто складної математичної
моделі; у цьому випадку вихідна постановка задачі має бути
скоригована. Найчастіше необхідність повернення до попередніх
етапів моделювання з'являється на етапі підготовки вихідної інформації.
Якщо необхідна інформація відсутня або витрати на її підготовку
надто великі, доводиться повертатися до етапів постановки задачі та її
формалізації, щоб пристосуватися до доступної дослідникові інформації.

Вище сказано про циклічному характері процесу моделювання.
Недоліки, які не вдається виправити на тих чи інших етапах
моделювання, що усуваються в наступних циклах. Однак результати
кожного циклу мають цілком самостійне значення. Почавши
дослідження з побудови простої моделі, можна отримати корисні
результати, а потім перейти до створення більш складної та більш досконалої
моделі, що включає нові умови і більш точні математичні
залежності.

1.3. Класифікація економіко-математичних методів та моделей

Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі
соціально-економічних систем та процесів у вигляді
економіко-математичних моделей У § 1.1 коротко розглянуто зміст
понять «метод моделювання» та «модель». Виходячи з цього
економіко-математичні методи слід розуміти як інструмент, а
економіко-математичні моделі – як продукт процесу
економіко-математичного моделювання.

Розглянемо питання класифікації економіко-математичних методів. Ці
методи, як зазначено вище, є комплексом
економіко-математичних дисциплін, які є сплавом економіки,
математики та кібернетики. Тому класифікація економіко-математичних
методів зводиться до класифікації наукових дисциплін, що входять до них
склад. Хоча загальноприйнята класифікація цих дисциплін поки не
вироблена, з відомим ступенем наближення у складі
економіко-математичних методів можна назвати такі разделы:

Економічна кібернетика: системний аналіз економіки, теорія
економічної інформації та теорія керуючих систем;

Математична статистика: економічні програми цієї дисципліни
- вибірковий метод, дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз,
регресійний аналіз, багатовимірний статистичний аналіз, факторний
аналіз, теорія індексів та ін;

Математична економія та вивчає ті ж питання з кількісною
сторони економетрію: теорія економічного зростання, теорія
виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки,
аналіз попиту та споживання, регіональний та просторовий аналіз,
глобальне моделювання та ін;

Методи прийняття оптимальних рішень, зокрема дослідження операцій
економіки. Це найбільш об'ємний розділ, що включає наступні
дисципліни та методи: оптимальне (математичне) програмування,
в тому числі методи гілок та кордонів, мережеві методи планування та
управління, програмно-цільові методи планування та управління, теорію
та методи управління запасами, теорію масового обслуговування, теорію ігор.
теорію та методи прийняття рішень. теорію розкладів. В оптимальне
(математичне) програмування входять у свою чергу лінійне
програмування, нелінійне програмування, динамічне
програмування, дискретне (цілочисленне) програмування,
дробово-лінійне програмування, параметричне програмування,
сепарабельне програмування, стохастичне програмування,
геометричне програмування;

Методи та дисципліни, специфічні окремо як для централізовано
планованої економіки, так і для. ринкової (конкурентної) економіки. До
першим можна зарахувати теорію оптимального функціонування економіки,
оптимальне планування, теорію оптимального ціноутворення, моделі
матеріально-технічного постачання та ін. До других - методи, що дозволяють
розробити моделі вільної конкуренції, моделі капіталістичного
циклу, моделі монополії, моделі індикативного планування, моделі
теорії фірми і т. д. Багато з методів, розроблених для
централізовано планованої економіки, можуть виявитися корисними і при
економіко-математичне моделювання в умовах ринкової економіки;

Методи експериментального вивчення економічних явищ. До них
відносять, як правило, математичні методи аналізу та планування
економічних експериментів, методи машинної імітації (імітаційне
моделювання), ділові ігри. Сюди можна відвести також методи
експертних оцінок, розроблені для оцінки явищ, що не піддаються
безпосередньому виміру. Перейдемо тепер до питань класифікації
економіко-математичних моделей, іншими словами, математичних
моделей соціально-економічних систем та процесів. Єдиної системи
класифікації таких моделей в даний час також не існує,
проте зазвичай виділяють більше десяти основних ознак їх класифікації,
чи класифікаційних рубрик. Розглянемо деякі із цих рубрик.

За загальним цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на
теоретико-аналітичні, що використовуються при вивченні загальних властивостейі
закономірностей економічних процесів, та прикладні, що застосовуються в
вирішенні конкретних економічних завдань аналізу, прогнозування та
управління. Різні типи прикладних економіко-математичних моделей
таки розглядаються в даному навчальному посібнику.

За ступенем агрегування об'єктів моделювання моделі поділяються на
макроекономічні та мікроекономічні. Хоча між ними і немає чіткого
розмежування, до перших з них відносять моделі, що відбивають
функціонування економіки як єдиного цілого, тоді як
мікроекономічні моделі пов'язані, як правило, з такими ланками
економіки, як підприємства та фірми.

За конкретним призначенням, тобто за метою створення та застосування,
виділяють балансові моделі, що виражають вимогу відповідності наявності
ресурсів та їх використання; трендові моделі, у яких розвиток
моделюється економічна система відображається через тренд (тривалу
тенденцію) її основних показників; оптимізаційні моделі,
призначені для вибору найкращого варіанта з певної кількості
варіантів виробництва, розподілу чи споживання; імітаційні
моделі, призначені для використання у процесі машинної імітації
досліджуваних систем чи процесів та інших.

За типом інформації, що використовується в моделі економіко-математичні
моделі діляться на аналітичні, побудовані на апріорній інформації, та
ідентифіковані, побудовані на апостеріорній інформації.

За врахуванням фактору часу моделі поділяються на статичні, в яких
всі залежності віднесені до одного моменту часу, та динамічні,
описують економічні системи у розвитку.

За врахуванням фактора невизначеності моделі розпадаються на
детерміновані, якщо у них результати на виході однозначно
визначаються керуючими впливами, та стохастичні
(імовірнісні), якщо при заданні на вході моделі певної
сукупності значень на її виході можуть виходити різні результати
залежно від впливу випадкового чинника.

Економіко-математичні моделі можуть класифікуватися також за
характеристиці математичних об'єктів, включених до моделі, іншими
словами. на кшталт математичного апарату, що у моделі. за
цією ознакою можуть бути виділені матричні моделі, моделі лінійного і
нелінійного програмування, кореляційно-регресійні моделі, моделі
теорії масового обслуговування, моделі мережевого планування та
управління, моделі теорії ігор та ін.

Нарешті, за типом підходу до соціально-економічних систем, що вивчаються.
виділяють дескриптивні та нормативні моделі. При дескриптивному
(описовому) підході виходять моделі, призначені для опису та
пояснення фактичних явищ або для прогнозу цих явищ;
як приклад дескриптивних моделей можна навести названі раніше
балансові та трендові моделі. При нормативному підході цікавляться
тим, яким чином влаштована та розвивається економічна система, а як
вона має бути влаштована і як має діяти в сенсі певних
критеріїв. Зокрема, всі оптимізаційні моделі належать до типу
нормативних; іншим прикладом можуть бути нормативні моделі рівня
життя.

Розглянемо як приклад економіко-математичну модель
міжгалузевого балансу (ЕММ МОБ). З урахуванням наведених вище
класифікаційних рубрик це прикладна, макроекономічна,
аналітична, дескриптивна, детермінована, балансова, матрична
Модель; при цьому є як статичні, так і динамічні ЕММ МОБ.

Група економіко-математичних методів поділяється на дві підгрупи:

· Методи математичної екстраполяції;

· Методи математичного моделювання.

Математична екстраполяція є поширенням закону зміни функції з області її спостереження на область, що лежить поза відрізком спостереження.

Методи екстраполяції ґрунтуються на припущенні про незмінність факторів, що визначають розвиток об'єкта, що вивчається, і полягає в поширенні закономірностей розвитку об'єкта в минулому на його майбутнє.

Суть полягає в тому, що траєкторія розвитку об'єкта до моменту, з якого починається прогнозування нею майбутнього розвитку, може бути виражена після відповідної обробки фактичних даних якоюсь математичною функцією, що адекватно описує закономірності попереднього розвитку об'єкта

Залежно від особливостей зміни рівнів у ряді динаміки прийоми екстраполяції можуть бути простими та складними.

Першу групу становлять методи прогнозування, що ґрунтуються на припущенні відносної сталості в майбутньому абсолютних значень рівнів, середнього рівня ряду, середнього абсолютного приросту, середнього темпу зростання.

Друга група методів полягає в виявленні основний тенденції, тобто застосуванні статистичних формул, що описують тренд. Їх можна поділити на два основні типи: на адаптивні та аналітичні (криві зростання). Адаптивні методи прогнозування ґрунтуються на тому, що процес реалізації їх полягає у обчисленні послідовних у часі значень прогнозованого показника з урахуванням ступеня впливу попередніх рівнів. До них відносяться методи ковзної та експоненційної середніх, метод гармонійних ваг, метод авторегресійних перетворень.

В основі аналітичних методів (кривих зростання) прогнозування покладено принцип отримання методом найменших квадратів оцінки детермінованої компоненти Ft, що характеризує основну тенденцію.

Суть методу полягає в тому, що траєкторія розвитку об'єкта до моменту, з якого починається прогнозування, може бути виражена після відповідної обробки фактичних даних будь-якої математичної функції адекватно описує закономірності попереднього розвитку. Вона здійснюється так:

1. необхідно отримати досить тривалий у часі ряд показників;

2. необхідно побудувати емпіричну криву, що графічно відображає динаміку цього показника в часі;

3. необхідно вирівняти ряд за допомогою граф аналізу чи статистичного підбору функцій, що максимізує наближення до фактичних значень динамічного ряду;

4. обчислюємо коефіцієнт чи параметр цієї функції (a,b,c…), у результаті вийде найпростіша математична модель, придатна для прогнозу у часі, у своїй припускають, що сукупний чинник, визначальний тенденції динамічного низки у минулому середньому збереже свою силу.

У економічних дослідженнях найпоширенішим методом прогнозної екстраполяції є метод, заснований на згладжуванні часових рядів.

Послідовність розміщених у хронологічному порядку статистичних показників, які характеризують зміну економічного явища у часі, є тимчасовою (динамічний) ряд. Окремі значення показників (спостереження) часового ряду називаються рівнями цього ряду.

Тимчасові ряди поділяються на моментні та інтервальні.

Метою аналізу часових рядів економічних явищ за певний інтервал часу є встановлення тенденції їх зміни за аналізований період, що покаже напрям розвитку досліджуваного явища.

Для того щоб виявити загальну тенденцію зміни економічних явищ протягом періоду, що вивчається, слід провести згладжування тимчасового ряду. Необхідність згладжування часових рядів обумовлена ​​тим, що крім впливу на рівні ряду основних факторів, які в кінцевому підсумку формують конкретне значення невипадкової компоненти (тренда), на них діють випадкові фактори, які викликають відхилення фактичних значень рівнів ряду від тренду.

Під трендом розуміється характеристика основний тенденції часового низки значень певного показника, тобто. основна закономірність руху їх у часі, вільна від випадкових впливів.

Таким чином, окремі рівні часового ряду (y t ) є результатом впливу головних факторів, які формують конкретне значення невипадкової (детермінованої) компоненти ( ), а також випадкової компоненти (е t), обумовленої впливом випадкових факторів, значення якої становить відхилення фактичних (спостерігаються) значень рівнів ряду від тренду. Для усунення випадкових відхилень здійснюється згладжування часового ряду.

Невипадкові компоненти рівнів часового ряду можуть бути виражені деякою апроксимуючим функцією, що відображає закономірності розвитку досліджуваного явища.

Розглянемо прогнозну екстраполяцію, засновану на згладжуванні часових рядів методом найменших квадратів.

Суть методу найменших квадратів полягає у визначенні параметрів моделі тренду, які мінімізують її відхилення від точок вихідного часового ряду, тобто. у мінімізації суми квадратичних відхилень між спостережуваними та розрахунковими величинами.

Таким чином, суть згладжування тимчасового ряду значень показника, що спостерігаються, полягає в тому, що фактичні (спостерігаються) рівні ряду замінюються рівнями, розрахованими на основі певної функції, яка найбільшою мірою відповідає спостеріганим значенням показників динамічного ряду.

Графік лінійної функції є пряма.

Щоб визначити параметри а і А рівняння прямої, слід розв'язати систему рівнянь:

Часто дані часового ряду мають нелінійну залежність, яка виражається у вигляді квадратичної функції: у = ах 2+ b х+с.Графіком квадратичної функції парабола. Щоб визначити параметри а, b, срівняння параболи, слід розв'язати систему рівнянь:

Економіко-математичне моделюванняпередбачає конструювання моделі з урахуванням попереднього вивчення об'єкта чи процесу, виділення його суттєвих характеристик чи ознак.

Економіко-математична модель- це система формалізованих співвідношень, що описують основні взаємозв'язки елементів, що утворюють певну економічну систему.

Залежно від рівня управління економічними та соціальними процесами розрізняють макроекономічні, міжгалузеві, галузеві, регіональні моделі та моделі макрорівня (окремих підприємств, фірм).

Прикладом економіко-математичної моделі на макрорівні може бути модель виробничої функції при прогнозуванні обсягу внутрішнього валового продукту (ВВП)країни, яка має такий вигляд:

Слід зазначити, що розрахунок економіко-математичних моделей проводиться за комп'ютерними програмами.

Економіко-математичні моделі використовуються розробки міжгалузевого балансу, моделювання капітальних вкладень, трудових ресурсів тощо.

Методи планування як складова частина методології планування є сукупність розрахунків, які необхідні розробки окремих розділів і показників плану та його обгрунтування. У цьому широко використовують досягнення галузевих економічних наук: економічної статистики; економіки промисловості; економіки сільського господарства; економіки будівництва та інших. При плануванні показників важливо як розрахувати їх значення у плановому періоді, а й виявити можливі резерви його поліпшення і залучити їх у господарський оборот.

До основних методів планування, які широко використовуються в економічній практиці, належать такі: балансовий метод; нормативний метод; програмно-цільовий метод; економіко-статистичні методи; економіко-математичні методи

Балансовий метод- забезпечує ув'язування потреб і ресурсів як у масштабі всього суспільного виробництва, так і на рівні галузі та окремого підприємства. У практиці планування застосовують такі види балансов: 1) матеріальні баланси; 2) вартісні баланси; 3) баланси трудових ресурсів.

Принципова схема матеріального балансу у натуральних одиницях виміру така:

До вартісних балансів відносяться: міжгалузевий баланс виробництва та розподілу продукції, робіт та послуг; державний бюджет та інших. Як баланс трудових ресурсів на одній із тем курсу буде розглянуто зведений баланс трудових ресурсів.

Нормативний метод плануваннязаснований на розробці та використанні у плануванні норм та нормативів. Як приклад можна навести норму витрати різних матеріалів у натуральному вимірі на одиницю своєї продукції. Як нормативів можна навести, як приклад, норматив відрахування коштів із прибутку підприємства у вигляді податків.

Програмно-цільовий метод плануваннязаснований на розробці соціально-економічних програм на вирішення окремих соціально-економічних проблем. Цей метод передбачає визначення комплексу взаємопов'язаних організаційно-правових та фінансово-економічних заходів, спрямованих на реалізацію розроблених програм. Використання цього передбачає концентрацію ресурсів на вирішення найважливіших проблем.

Економіко-статистичні методи плануванняє сукупність окремих методів, з допомогою яких розраховуються окремі соціально-економічні показники на плановий період та його динаміка. Визначається абсолютна та відносна динаміка показників, тобто. зміна в часі.

теоретико-аналітичні, що застосовуються для дослідження найбільш загальних властивостей та закономірностей розвитку економічних процесів; прикладні, що використовуються для вирішення конкретних завдань.

2. За рівнями досліджуваних економічних процесів:

виробничо-технологічні; соціально-економічні.

3. За характером відображення причинно-наслідкових зв'язків:

детерміновані; недетерміновані (імовірнісні, стохастичні), що враховують фактор невизначеності.

4. За способом відображення фактора часу:

статичні. Тут всі залежності відносяться до одного моменту або періоду часу); динамічні, що характеризують зміни процесів у часі.

5. За формою математичних залежностей:

лінійні. Найбільш зручні для аналізу та обчислень, внаслідок чого набули великого поширення; нелінійні.

6. За ступенем деталізації (ступеня огрублення структури):

агреговані ("макромоделі"); деталізовані ("мікромоделі").

p align="justify"> Для розуміння структури нашого курсу важливе значення має схема, представлена ​​на малюнку 1.3. У правій частині малюнка показані основні класи економіко-математичних методів (класифікація з математичного апарату, що використовується), а в лівій частині - найважливіші напрямки застосування методів.

Слід пам'ятати також, що кожен із методів може бути застосований для вирішення різних за специфікою задач. І навпаки, те саме завдання може вирішуватися різними методами.