Logaritmiliste võrratuste hulgast uuritakse eraldi muutuva alusega võrratusi. Neid lahendatakse spetsiaalse valemi järgi, mida koolis millegipärast harva õpetatakse:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Jackdaw "∨" asemel võite panna mis tahes ebavõrdsuse märgi: rohkem või vähem. Peaasi, et mõlemas ebavõrdsuses on märgid samad.

Seega vabaneme logaritmidest ja taandame probleemi ratsionaalseks ebavõrdsuks. Viimast on palju lihtsam lahendada, kuid logaritmidest loobumisel võivad tekkida lisajuured. Nende ära lõikamiseks piisab lubatavate väärtuste vahemiku leidmisest. Kui unustasite logaritmi ODZ, soovitan tungivalt seda korrata - vaadake "Mis on logaritm".

Kõik vastuvõetavate väärtuste vahemikuga seonduv tuleb eraldi välja kirjutada ja lahendada:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Need neli ebavõrdsust moodustavad süsteemi ja neid tuleb täita üheaegselt. Kui vastuvõetavate väärtuste vahemik on leitud, jääb üle see ületada ratsionaalse ebavõrdsuse lahendusega - ja vastus on valmis.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

Kõigepealt kirjutame logaritmi ODZ:

Esimesed kaks võrratust sooritatakse automaatselt ja viimane tuleb kirjutada. Kuna arvu ruut on null siis ja ainult siis, kui arv ise on null, on meil:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Selgub, et logaritmi ODZ on kõik arvud peale nulli: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nüüd lahendame peamise ebavõrdsuse:

Teostame ülemineku logaritmilisest võrratusest ratsionaalsele. Algses ebavõrdsuses on märk "vähem kui", seega peaks ka sellest tulenev ebavõrdsus olema "vähem kui" märgiga. Meil on:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

Selle avaldise nullid: x = 3; x = -3; x = 0. Veelgi enam, x = 0 on teise kordsuse juur, mis tähendab, et selle läbimisel funktsiooni märk ei muutu. Meil on:

Saame x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). See komplekt sisaldub täielikult logaritmi ODZ-s, mis tähendab, et see on vastus.

Logaritmiliste võrratuste teisendus

Sageli erineb algne ebavõrdsus ülaltoodust. Seda on lihtne parandada vastavalt logaritmidega töötamise standardreeglitele – vt "Logaritmide põhiomadused". Nimelt:

1. Iga arvu saab esitada logaritmina antud baasiga;
2. Sama baasiga logaritmide summa ja erinevuse saab asendada ühe logaritmiga.

Eraldi tahan teile meelde tuletada vastuvõetavate väärtuste vahemikku. Kuna algses ebavõrdsuses võib olla mitu logaritmi, tuleb leida neist igaühe DPV. Seega on logaritmiliste võrratuste lahendamise üldine skeem järgmine:

1. Leidke iga ebavõrdsesse kaasatud logaritmi ODZ;
2. Vähendage ebavõrdsus standardseks, kasutades logaritmide liitmise ja lahutamise valemeid;
3. Lahendage saadud võrratus ülaltoodud skeemi järgi.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

Leidke esimese logaritmi määratluspiirkond (ODZ):

Lahendame intervallmeetodil. Lugeja nullide leidmine:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Siis - nimetaja nullid:

x − 1 = 0;
x = 1.

Koordinaatide noolele märgime nullid ja märgid:

Saame x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ teine ​​logaritm on sama. Kui te mind ei usu, võite kontrollida. Nüüd teisendame teise logaritmi nii, et alus on kaks:

Nagu näete, on kolmikud aluses ja enne logaritmi kahanenud. Hankige kaks logaritmi sama alusega. Paneme need kokku:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Oleme saanud standardse logaritmilise ebavõrdsuse. Logaritmidest vabaneme valemi abil. Kuna algses võrratuses on väiksem kui märk, peab ka sellest tulenev ratsionaalne avaldis olema väiksem kui null. Meil on:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Meil on kaks komplekti:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Vastusekandidaat: x ∈ (−1; 3).

Jääb üle need komplektid ületada - saame tõelise vastuse:

Meid huvitab hulkade ristumiskoht, seega valime mõlemal noolel varjutatud intervallid. Saame x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - kõik punktid on punkteeritud.

Ebavõrdsust nimetatakse logaritmiliseks, kui see sisaldab logaritmilist funktsiooni.

Logaritmiliste võrratuste lahendamise meetodid ei erine nendest, välja arvatud kaks asja.

Esiteks, kui minna üle logaritmilisest ebavõrdsusest sublogaritmiliste funktsioonide ebavõrdsusele, järeldub sellest järgige saadud ebavõrdsuse märki. See järgib järgmist reeglit.

Kui logaritmilise funktsiooni alus on suurem kui $1$, siis logaritmilisest võrratusest alamfunktsioonide ebavõrdsusele üle minnes säilib ebavõrdsuse märk ja kui see on väiksem kui $1$, siis pööratakse ümber.

Teiseks on mis tahes ebavõrdsuse lahend intervall ja seetõttu on alaaritmiliste funktsioonide ebavõrdsuse lahendi lõpus vaja koostada kahest võrratusest koosnev süsteem: selle süsteemi esimene võrratus on ebavõrdsus. sublogaritmilised funktsioonid ja teine ​​on logaritmilise ebavõrdsuse hulka kuuluvate logaritmiliste funktsioonide määratluspiirkonna intervall.

Harjuta.

Lahendame ebavõrdsused:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logaritmi alus on $2>1$, seega märk ei muutu. Kasutades logaritmi definitsiooni, saame:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )