Täna räägime nähtusest, millega igaüks meist elus pidevalt kokku puutub: sümmeetriast. Mis on sümmeetria?

Ligikaudu me kõik mõistame selle mõiste tähendust. Sõnastik ütleb: sümmeetria on millegi osade paigutuse proportsionaalsus ja täielik vastavus sirge või punkti suhtes. Sümmeetriat on kahte tüüpi: aksiaalne ja radiaalne. Vaatame kõigepealt telge. See on, ütleme, "peegel" sümmeetria, kui üks pool objektist on teisega täiesti identne, kuid kordab seda peegeldusena. Vaadake lehe pooli. Need on peegelsümmeetrilised. Inimkeha sümmeetriline ja pooled (täisnägu) - identsed käed ja jalad, identsed silmad. Kuid ärgem eksigem, tegelikult orgaanilises (elus)maailmas absoluutset sümmeetriat ei leia! Lehe pooled ei kopeeri üksteist ideaalselt, sama kehtib ka kohta Inimkeha(vaata ise); sama kehtib ka teiste organismide kohta! Muide, tasub lisada, et iga sümmeetriline keha on vaataja suhtes sümmeetriline ainult ühes asendis. On vaja näiteks lina keerata või üks käsi tõsta ja mis? - Vaata ise.

Inimesed saavutavad tõelise sümmeetria oma tööproduktides (asjades) - riietes, autodes ... Looduses on see iseloomulik anorgaanilistele moodustistele, näiteks kristallidele.

Aga liigume edasi praktika juurde. Keeruliste objektidega, nagu inimesed ja loomad, ei tasu alustada, proovime esimese harjutusena uues valdkonnas lõpetada peeglipool lina.

Joonistage sümmeetriline objekt – 1. õppetund

Proovime teha selle võimalikult sarnaseks. Selleks ehitame sõna otseses mõttes üles oma hingesugulase. Ärge arvake, et ühe tõmbega peeglile vastav joon on nii lihtne, eriti esimesel korral, tõmmata!

Märgime tulevase sümmeetrilise joone jaoks mitu võrdluspunkti. Me käitume nii: joonistame pliiatsiga ilma surveta mitu risti sümmeetriateljega - lehe keskmise veeniga. Piisab neljast-viiest. Ja nendel perpendikulaaridel mõõdame paremalt sama kaugust kui vasakul poolel lehe serva joonest. Soovitan teil kasutada joonlauda, ​​ärge lootke silmale. Reeglina kipume joonistust vähendama – seda on kogemuses märgatud. Me ei soovita kaugusi sõrmedega mõõta: viga on liiga suur.

Ühendage saadud punktid pliiatsijoonega:

Nüüd vaatame pedantselt – kas pooled on tõesti samad. Kui kõik on õige, teeme selle viltpliiatsiga ringi, täpsustame oma rida:

Paplileht on valmis, nüüd saab tamme juures kiikuda.

Joonistame sümmeetrilise joonise – õppetund 2

Sel juhul seisneb raskus selles, et veenid on näidatud ja need ei ole sümmeetriateljega risti ning täpselt tuleb jälgida mitte ainult mõõtmeid, vaid ka kaldenurka. Noh, treenime silma:

Nii joonistati sümmeetriline tammeleht, õigemini ehitasime selle kõigi reeglite järgi:

Kuidas joonistada sümmeetrilist objekti - õppetund 3

Ja teeme teema korda - lõpetame sümmeetrilise sireli lehe joonistamise.

Tal on ka huvitav kuju- südamekujuline ja kõrvadega põhjas, peate pahvima:

Siin on see, mida nad joonistasid:

Vaadake valminud tööd distantsilt ja hinnake, kui täpselt suutsime vajaliku sarnasuse edasi anda. Siin on näpunäide: vaadake oma pilti peeglist ja see annab teile teada, kas selles on vigu. Teine võimalus: painutage pilti täpselt mööda telge (oleme juba õppinud, kuidas õigesti painutada) ja lõigake leht piki algset joont. Vaadake joonist ennast ja lõigatud paberit.

Eesmärgid:

• hariv:
  • anda aimu sümmeetriast;
  • tutvustada peamisi sümmeetria liike tasapinnas ja ruumis;
  • arendada tugevaid sümmeetriliste kujundite konstrueerimise oskusi;
  • laiendada ideid kuulsate figuuride kohta, tutvustades neile sümmeetriaga seotud omadusi;
  • näidata sümmeetria kasutamise võimalusi erinevate ülesannete lahendamisel;
  • kinnistada omandatud teadmisi;
• Üldharidus:
  • õppida ennast tööle seadma;
  • õpetada kontrollima ennast ja naabrit laual;
  • õpetada hindama ennast ja naabrit oma töölaual;
• arendamine:
  • iseseisva tegevuse aktiveerimine;
  • areneda kognitiivne tegevus;
  • õppida saadud teavet kokku võtma ja süstematiseerima;
• hariv:
  • harida õpilasi "õlatunnet";
  • kasvatada suhtlemist;
  • juurutada suhtluskultuuri.

TUNNIDE AJAL

Iga ees on käärid ja paberileht.

1. harjutus(3 min).

- Võtke paberileht, murdke see pooleks ja lõigake välja mõni kujund. Nüüd keerake leht lahti ja vaadake voltimisjoont.

küsimus: Mis on selle rea funktsioon?

Soovitatud vastus: See joon jagab joonise pooleks.

küsimus: Kuidas asuvad kõik joonise punktid kahel saadud poolel?

Soovitatud vastus: Kõik poolte punktid on voltimisjoonest võrdsel kaugusel ja samal tasemel.

- Niisiis, voltimisjoon jagab joonise pooleks, nii et 1 pool on 2 poole koopia, st. see joon ei ole lihtne, sellel on märkimisväärne omadus (kõik punktid selle suhtes on samal kaugusel), see joon on sümmeetriatelg.

2. ülesanne (2 minutit).

- Lõika välja lumehelves, leia sümmeetriatelg, iseloomusta seda.

3. ülesanne (5 minutit).

- Joonistage vihikusse ring.

küsimus: Määrake, kuidas sümmeetriatelg läbib?

Soovitatud vastus: Teistmoodi.

küsimus: Niisiis, mitu sümmeetriatelge on ringil?

Soovitatud vastus: Palju.

- See on õige, ringil on palju sümmeetriatelge. Sama imeline figuur on pall (ruumifiguur)

küsimus: Millistel teistel joonistel on rohkem kui üks sümmeetriatelg?

Soovitatud vastus: Ruut, ristkülik, võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk.

– Vaatleme kolmemõõtmelisi kujundeid: kuubik, püramiid, koonus, silinder jne. Nendel kujunditel on ka sümmeetriatelg Määrake, mitu sümmeetriatelge on ruudul, ristkülikul, võrdkülgsel kolmnurgal ja väljapakutud ruumilistel kujunditel?

Jagan õpilastele plastiliinikujude pooled.

4. ülesanne (3 min).

- Lõpetage saadud teabe abil joonise puuduv osa.

Märge: kujuke võib olla nii tasane kui ka ruumiline. Oluline on, et õpilased määraksid, kuidas sümmeetriatelg kulgeb, ja täidaksid puuduva elemendi. Teostuse õigsuse määrab töölauanaaber, hindab, kui hästi on töö tehtud.

Töölauale asetatakse sama värvi pitsist joon (kinnine, avatud, iseristumisega, ilma ristumiseta).

5. ülesanne (rühmatöö 5 min).

- Määrake visuaalselt sümmeetriatelg ja lõpetage selle suhtes teine ​​osa erinevat värvi pitsist.

Teostatud töö õigsuse määravad õpilased ise.

Õpilastele esitatakse jooniste elemente

6. ülesanne (2 minutit).

Leidke nende jooniste sümmeetrilised osad.

Käsitletava materjali koondamiseks pakun välja järgmised 15 minutiga ülesanded:

Nimetage kolmnurga KOR ja KOM kõik võrdsed elemendid. Mis tüüpi need kolmnurgad on?

2. Joonistage vihikusse mitu võrdhaarset kolmnurka, mille ühine alus on võrdne 6 cm.

3. Joonestage lõik AB. Ehitage sirge, mis on lõiguga AB risti ja läbib selle keskpunkti. Märkige sellele punktid C ja D nii, et nelinurk ACBD oleks sirge AB suhtes sümmeetriline.

- Meie esialgsed kujutlused vormi kohta kuuluvad iidse kiviaja väga kaugesse ajastusse – paleoliitikumi. Selle perioodi sadu tuhandeid aastaid elasid inimesed koobastes tingimustes, mis erinesid loomade elust vähe. Inimesed valmistasid tööriistu jahi- ja kalapüügiks, arendasid omavahel suhtlemiseks keelt ning hilisel paleoliitikumi ajastul kaunistasid nad oma eksistentsi kunstiteoste, kujukeste ja joonistustega, mis paljastavad imelise vormitaju.
Kui toimus üleminek lihtsalt toidu kogumiselt selle aktiivsele tootmisele, jahipidamiselt ja kalapüügilt põllumajandusele, jõuab inimkond uude kiviaega, neoliitikumi.
Neoliitikumi inimesel oli terav geomeetriline kuju. Savinõude põletamine ja värvimine, pilliroo mattide, korvide, kangaste valmistamine ning hilisem metallitöötlemine arendas ideid tasapinnaliste ja ruumikujude kohta. Neoliitikumornamendid pakkusid silmailu, paljastades võrdsuse ja sümmeetria.
Kus leidub looduses sümmeetriat?

Soovitatud vastus: liblikate, mardikate, puulehtede tiivad…

«Sümmeetriat on näha ka arhitektuuris. Hoonete ehitamisel järgivad ehitajad selgelt sümmeetriat.

Sellepärast on hooned nii ilusad. Sümmeetria näide on ka inimene, loomad.

Kodutöö:

1. Mõelge välja oma ornament, kujutage seda A4 lehel (saate joonistada vaiba kujul).
2. Joonista liblikaid, märgi, kus on sümmeetriaelemente.

Liikumise mõiste

Vaatleme kõigepealt sellist mõistet nagu liikumine.

Definitsioon 1

Tasapinnalist kaardistamist nimetatakse tasapinnaliseks liikumiseks, kui kaardistamine säilitab vahemaad.

Selle kontseptsiooniga on seotud mitu teoreemi.

2. teoreem

Kolmnurk läheb liikumisel üle võrdseks kolmnurgaks.

3. teoreem

Iga kujund läheb liikumisel üle temaga võrdseks figuuriks.

Aksiaalne ja keskne sümmeetria on liikumise näited. Vaatleme neid üksikasjalikumalt.

Aksiaalne sümmeetria

2. definitsioon

Punkte $A$ ja $A_1$ peetakse sümmeetrilisteks sirge $a$ suhtes, kui see sirge on lõiguga $(AA)_1$ risti ja läbib selle keskpunkti (joonis 1).

1. pilt.

Vaatleme aksiaalset sümmeetriat, kasutades probleemi näitena.

Näide 1

Koostage antud kolmnurga jaoks sümmeetriline kolmnurk selle mis tahes külje suhtes.

Lahendus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. Ehitame selle sümmeetria külje $BC$ suhtes. Külg $BC$ läheb telgsümmeetria korral iseendasse (tuleneb definitsioonist). Punkt $A$ läheb punkti $A_1$ järgmiselt: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Kolmnurk $ABC$ muutub kolmnurgaks $A_1BC$ (joonis 2).

Joonis 2.

3. definitsioon

Joonist nimetatakse sümmeetriliseks sirge $a$ suhtes, kui selle kujundi iga sümmeetriline punkt sisaldub samal joonisel (joonis 3).

Joonis 3

Joonisel $3$ on kujutatud ristkülikut. Sellel on aksiaalne sümmeetria iga selle läbimõõdu suhtes, samuti umbes kaks sirgjoont, mis läbivad keskpunkte vastasküljed see ristkülik.

Keskne sümmeetria

4. definitsioon

Punkte $X$ ja $X_1$ peetakse punkti $O$ suhtes sümmeetriliseks, kui punkt $O$ on lõigu $(XX)_1$ keskpunkt (joonis 4).

Joonis 4

Vaatleme keskmist sümmeetriat ülesande näitel.

Näide 2

Koostage antud kolmnurga jaoks sümmeetriline kolmnurk selle mis tahes tipus.

Lahendus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. Konstrueerime selle sümmeetria tipu $A$ suhtes. Kesksümmeetria all olev tipp $A$ läheb iseendasse (tuleneb definitsioonist). Punkt $B$ läheb punkti $B_1$ järgmiselt $(BA=AB)_1$ ja punkt $C$ punkti $C_1$ järgmiselt: $(CA=AC)_1$. Kolmnurk $ABC$ läheb kolmnurgaks $(AB)_1C_1$ (joonis 5).

Joonis 5

Definitsioon 5

Joonis on sümmeetriline punkti $O$ suhtes, kui selle kujundi iga sümmeetriline punkt sisaldub samal joonisel (joonis 6).

Joonis 6

Joonis $6$ näitab rööpkülikut. Sellel on keskne sümmeetria diagonaalide lõikepunkti suhtes.

Ülesande näide.

Näide 3

Olgu meile antud segment $AB$. Ehitage selle sümmeetria sirge $l$ suhtes, mis ei ristu antud lõiku, ja punkti $C$ suhtes, mis asub sirgel $l$.

Lahendus.

Kujutame skemaatiliselt probleemi seisukorda.

Joonis 7

Esmalt kujutame aksiaalset sümmeetriat sirge $l$ suhtes. Kuna aksiaalne sümmeetria on liikumine, siis teoreemi $1$ järgi vastendatakse segment $AB$ sellega võrdsele lõigule $A"B"$. Selle koostamiseks teeme järgmist: tõmmake punktide $A\ ja\ B$ kaudu jooned $m\ ja\ n$, mis on risti sirgega $l$. Olgu $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Järgmisena joonistage lõigud $A"X=AX$ ja $B"Y=BY$.

Joonis 8

Kujutame nüüd kesksümmeetriat punkti $C$ suhtes. Sest keskne sümmeetria on liikumine, siis teoreemi $1$ järgi vastendatakse segment $AB$ sellega võrdsele segmendile $A""B""$. Selle koostamiseks teeme järgmist: tõmbame jooned $AC\ ja\ BC$. Järgmisena joonistage lõigud $A^("")C=AC$ ja $B^("")C=BC$.

Joonis 9

Sümmeetria I Sümmeetria (kreeka keelest sümmeetria - proportsionaalsus)

matemaatikas

1) sümmeetria (kitsas tähenduses) või peegeldus (peegel) tasandi α suhtes ruumis (sirgejoone suhtes a tasapinnal), on ruumi (tasapinna) teisendus, milles iga punkt M läheb asja juurde M" nii, et segment MM" risti tasapinnaga α (sirge a) ja lõika pooleks. Tasand α (sirge a) nimetatakse tasapinnaks (teljeks) C.

Peegeldus on näide ortogonaalsest teisendusest (vt Ortogonaalne teisendus), mis muudab orientatsiooni (vt Orientatsioon) (erinevalt enda liikumine). Mis tahes ortogonaalset teisendust saab läbi viia piiratud arvu peegelduste järjestikuse sooritamisega - see asjaolu mängib geomeetriliste kujundite sümmeetria uurimisel olulist rolli.

2) Sümmeetria (laias tähenduses) - geomeetrilise kujundi omadus F, mis iseloomustab vormi mõningast korrapärasust F, selle muutumatus liigutuste ja peegelduste mõjul. Täpsemalt, joonis F on S. (sümmeetriline), kui on olemas mitteidentne ortogonaalne teisendus, mis kaardistab selle kujundi iseendaga. Kõikide ortogonaalsete teisenduste kogum, mis ühendab figuuri F iseendaga on rühm (Vaata rühma), mida nimetatakse selle kujundi sümmeetriarühmaks (mõnikord nimetatakse neid teisendusi endid sümmeetriateks).

Niisiis on tasane kujund, mis peegeldusel iseendaks muundub, sirgjoone – C-telje – suhtes sümmeetriline. ( riis. üks ); siin koosneb sümmeetriarühm kahest elemendist. Kui joonis F tasapinnal on selline, et pöörded suvalise punkti O ümber nurga all 360 ° / n, n- täisarv ≥ 2, siis tõlkige see iseendaks F on S. n-s järjekorras punkti suhtes O- keskpunkt C. Selliste kujundite näide on korrapärased hulknurgad (riis. 2 ); rühm S. siin - nn. tsükliline rühm n- järjekorras. Ringjoonel on lõpmatu järjestusega S. (kuna see ühendatakse iseendaga läbi mis tahes nurga keerates).

Lihtsaimad ruumilise S. tüübid, lisaks peegelduste poolt tekitatud S.-le, on ülekande keskne S., aksiaalne S. ja S..

a) Punkti O suhtes tsentraalse sümmeetria (inversiooni) korral kombineeritakse kujund Ф iseendaga pärast järjestikuseid peegeldusi kolmelt üksteisega risti asetsevalt tasapinnalt ehk teisisõnu punkt O on sümmeetrilisi punkte Ф ühendava lõigu keskpunkt. ( riis. 3 ). b) Telgsümmeetria korral või S. sirgjoone suhtes n järjekorras, joonis kantakse enda peale, pöörates ümber mingi sirgjoone (N-telg) nurga all 360 ° / n. Näiteks kuubil on joon AB telg C. kolmandat järku ja sirgjoon CD- C. neljanda järgu telg ( riis. 3 ); üldiselt on korrapärased ja poolregulaarsed hulktahukad joonte jada suhtes sümmeetrilised. Kristallograafias mängib olulist rolli kristallisatsioonitelgede asukoht, arv ja järjestus (vt Kristalli sümmeetria). kümber sirgjoone AB ja peegeldumisel sellega risti asetseval tasapinnal on peegeltelgjoon C. Sirge AB, nimetatakse 2. järku peegli-pöörlemisteljeks C k, on järjekorra C-telg k (riis. neli ). Peegeltelgjoon suurusjärgus 2 on samaväärne keskjoonega d) Translatsioonisümmeetria korral kantakse kujund enda peale tõlke teel mööda mingit sirget (ülekandetelge) mõnel lõigul. Näiteks ühe translatsiooniteljega joonisel on lõpmatu arv S. tasapindu (kuna mis tahes tõlke saab teostada kahe järjestikuse peegeldusega tasanditelt, mis on ülekandeteljega risti) ( riis. 5 ). Uurimuses mängivad olulist rolli mitme tõlketeljega kujundid kristallvõred(Vt Kristallvõre).

Kunstis on ühe tüübina levinud S. harmooniline kompositsioon(Vt Koostis). See on omane arhitektuuriteostele (olles kui mitte kogu konstruktsiooni kui terviku, siis selle osade ja detailide – plaani, fassaadi, sammaste, kapiteelide jne asendamatu omadus) ning dekoratiiv- ja tarbekunstile. S.-i kasutatakse ka peamise tehnikana ääriste ja ornamentide (vastavalt lamedad figuurid, millel on üks või mitu S.-i ülekannet koos peegeldustega) konstrueerimisel ( riis. 6 , 7 ).

S.-kombinatsioonid, mis tekivad peegelduste ja pööramiste teel (kurnavad ära kõik S. geomeetrilised kujundid), samuti ülekanded pakuvad huvi ja on loodusteaduse erinevates valdkondades uurimisobjektiks. Näiteks taimede lehtede paigutuses täheldatakse spiraalset S.-d, mis viiakse läbi teatud nurga all ümber telje pööramise, millele lisandub ülekanne piki sama telge ( riis. kaheksa ) (vt täpsemalt artiklist Sümmeetria bioloogias). C. molekulide konfiguratsioon, mis mõjutab nende füüsikalisi ja keemilised omadused, on oluline ühendite struktuuri, nende omaduste ja käitumise teoreetilises analüüsis erinevates reaktsioonides (vt Sümmeetria keemias). Lõpuks sisse füüsikalised teadusedüldiselt omandavad nad lisaks juba näidatud kristallide ja võre geomeetrilisele sümmeetriale tähtsust ideid S. kohta üldises mõttes (vt allpool). Niisiis võimaldab füüsikalise aegruumi sümmeetria, mis väljendub selle homogeensuses ja isotroopsuses (vt relatiivsusteooria), kehtestada nn. looduskaitseseadused; üldistatud sümmeetria mängib olulist rolli aatomispektrite moodustamisel ja elementaarosakeste klassifitseerimisel (vt sümmeetria füüsikas).

3) Sümmeetria (üldises tähenduses) tähendab matemaatilise (või füüsikalise) objekti struktuuri muutumatust selle teisenduste suhtes. Näiteks relatiivsusteooria S. seadused on määratud nende invariantsusega Lorentzi teisenduste suhtes (vt Lorentzi teisendusi). Teisenduste kogumi definitsioon, mis jätab kõik objekti struktuursed suhted muutumatuks, st rühma määratlus G selle automorfismid on saanud kaasaegse matemaatika ja füüsika juhtprintsiibiks, mis võimaldab sügavat ülevaadet sisemine struktuur objekt kui tervik ja selle osad.

Kuna sellist objekti saab kujutada mõne ruumi elementidega R, mis on varustatud sellele sobiva iseloomuliku struktuuriga, kuivõrd objekti teisendused on teisendused R. See. saada rühma esindus G transformatsioonirühmas R(või lihtsalt sisse R) ja objekti S. uurimine taandatakse tegevuse uurimisele G peal R ja selle toimingu invariantide leidmine. Samamoodi kirjeldatakse uuritavat objekti reguleerivaid füüsikaseadusi, mida tavaliselt kirjeldatakse võrranditega, mida ruumi elemendid rahuldavad. R, määratakse tegevusega G sellistele võrranditele.

Näiteks kui mõni võrrand on lineaarruumis lineaarne R ja jääb mõne rühma teisenduste korral muutumatuks G, seejärel iga element g alates G vastab lineaarsele teisendusele Tg lineaarses ruumis R selle võrrandi lahendid. Vastavus g → Tg on lineaarne esitus G ja teadmine kõigist selle esitusviisidest võimaldab kindlaks teha erinevaid omadusi lahendusi, samuti aitab paljudel juhtudel ("sümmeetriakaalutlustest") leida lahendusi endid. Eelkõige selgitab see väljatöötatud teooria vajalikkust matemaatika ja füüsika järele lineaarsed esitused rühmad. Konkreetsed näited vt Art. Sümmeetria füüsikas.

Lit.: Shubnikov A.V., Sümmeetria. (Sümmeetriaseadused ja nende rakendamine teaduses, tehnoloogias ja tarbekunst), M. - L., 1940; Kokster G. S. M., Sissejuhatus geomeetriasse, tlk. inglise keelest, M., 1966; Weil G., Sümmeetria, tlk. inglise keelest, M., 1968; Wigner E., Etüüdid sümmeetriast, tlk. inglise keelest, M., 1971.

M. I. Voitsekhovski.

Riis. 3. Kuubik, mille kolmandat järku sümmeetriateljeks on sirge AB, neljandat järku sümmeetriateljeks sirge CD, sümmeetriakeskmeks punkt O. Kuubi punktid M ja M" on sümmeetrilised nii telgede AB ja CD kui ka keskpunkti O suhtes.