Paljude probleemide korral on vaja arvutada maksimaalne või minimaalne väärtus ruutfunktsioon. Maksimumi või miinimumi saab leida, kui algne funktsioon on sisse kirjutatud standardvorm: või parabooli tipu koordinaatide kaudu: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Lisaks saab matemaatilisi tehteid kasutades arvutada mis tahes ruutfunktsiooni maksimumi või miinimumi.

Sammud

Ruutfunktsioon on kirjutatud standardsel kujul

Kirjutage funktsioon standardsel kujul. Ruutfunktsioon on funktsioon, mille võrrand sisaldab muutujat x 2 (\displaystyle x^(2)). Võrrand võib, kuid ei pruugi sisaldada muutujat x (\displaystyle x). Kui võrrand sisaldab muutujat, mille astendaja on suurem kui 2, ei kirjelda see ruutfunktsiooni. Vajadusel tooge sarnased terminid ja korraldage need ümber, et kirjutada funktsioon standardkujul.

• Näiteks antud funktsioon f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Lisa termineid muutujaga x 2 (\displaystyle x^(2)) ja muutujaga liikmed x (\displaystyle x) võrrandi kirjutamiseks standardkujul:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Ruutfunktsiooni graafik on parabool. Parabooli oksad on suunatud üles või alla. Kui koefitsient a (\displaystyle a) muutujaga x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Siin a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = −3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Siin on parabool suunatud alla.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Siin a = 1 (\displaystyle a=1) nii et parabool on suunatud üles.
   • Kui parabool on suunatud ülespoole, peate otsima selle miinimumi. Kui parabool on suunatud alla, otsige selle maksimumi.

2. Arvutage -b/2a. Tähendus − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) on koordinaat x (\displaystyle x) parabooli tipp. Kui ruutfunktsioon on kirjutatud standardkujul a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), kasutage koefitsiente x (\displaystyle x) ja x 2 (\displaystyle x^(2)) järgmisel viisil:

   • Funktsioonikoefitsientides a = 1 (\displaystyle a=1) ja b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10) ((2) (1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Teise näitena vaatleme funktsiooni . Siin a = − 3 (\displaystyle a=-3) ja b = 6 (\displaystyle b=6). Seetõttu arvutage parabooli tipu x-koordinaat järgmiselt:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Leidke f(x) vastav väärtus. Asendage leitud väärtus "x" algse funktsiooniga, et leida f(x) vastav väärtus. Nii leiate funktsiooni miinimumi või maksimumi.

   • Esimeses näites f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) arvutasite välja, et parabooli tipu x-koordinaat on x = – 5 (\displaystyle x=-5). Algses funktsioonis selle asemel x (\displaystyle x) asendaja − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (−5) 2 + 10 (−5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25–50–1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = −26 (\displaystyle f(x) = -26)
   • Teises näites f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) leidsid, et parabooli tipu x-koordinaat on x = 1 (\displaystyle x=1). Algses funktsioonis selle asemel x (\displaystyle x) asendaja 1 (\displaystyle 1) selle maksimaalse väärtuse leidmiseks:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = −3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = −3 + 6−4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Kirjutage vastus üles. Lugege uuesti probleemi seisukorda. Kui teil on vaja leida parabooli tipu koordinaadid, kirjutage vastusesse mõlemad väärtused x (\displaystyle x) ja y (\displaystyle y)(või f (x) (\displaystyle f(x))). Kui peate arvutama funktsiooni maksimumi või miinimumi, kirjutage vastusesse ainult väärtus y (\displaystyle y)(või f (x) (\displaystyle f(x))). Vaadake uuesti koefitsiendi märki a (\displaystyle a) et kontrollida, kas arvutasite maksimumi või miinimumi.

   • Esimeses näites f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) tähenduses a (\displaystyle a) on positiivne, seega arvutasite miinimumi. Parabooli tipp asub koordinaatidega punktis (− 5, − 26) (\displaystyle (-5, -26)), ja funktsiooni minimaalne väärtus on − 26 (\displaystyle -26).
   • Teises näites f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) tähenduses a (\displaystyle a) negatiivne, nii et olete leidnud maksimumi. Parabooli tipp asub koordinaatidega punktis (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), ja funktsiooni maksimaalne väärtus on võrdne − 1 (\displaystyle -1).

5. Määrake parabooli suund. Selleks vaadake koefitsiendi märki a (\displaystyle a). Kui koefitsient a (\displaystyle a) positiivne, on parabool suunatud ülespoole. Kui koefitsient a (\displaystyle a) negatiivne, parabool on suunatud alla. Näiteks:

   • . Siin a = 2 (\displaystyle a=2), see tähendab, et koefitsient on positiivne, seega on parabool suunatud ülespoole.
   • . Siin a = − 3 (\displaystyle a=-3), see tähendab, et koefitsient on negatiivne, seega on parabool suunatud allapoole.
   • Kui parabool on suunatud üles, peate arvutama funktsiooni minimaalse väärtuse. Kui parabool on suunatud allapoole, on vaja leida funktsiooni maksimaalne väärtus.

6. Leia funktsiooni minimaalne või maksimaalne väärtus. Kui funktsioon on kirjutatud parabooli tipu koordinaatidena, siis miinimum või maksimum võrdub väärtusega koefitsient k (\displaystyle k). Ülaltoodud näidetes:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2–4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Siin k = – 4 (\displaystyle k=-4). See on funktsiooni minimaalne väärtus, kuna parabool on suunatud üles.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Siin k = 2 (\displaystyle k = 2). See on funktsiooni maksimaalne väärtus, kuna parabool on suunatud alla.

7. Leidke parabooli tipu koordinaadid. Kui ülesandes on vaja leida parabooli tipp, on selle koordinaadid (h , k) (\displaystyle (h,k)). Pange tähele, et kui ruutfunktsioon on kirjutatud parabooli tipu koordinaatidena, peab lahutamistehte olema sulgudes (x − h) (\displaystyle (x-h)), seega väärtus h (\displaystyle h) võetud vastupidise märgiga.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2–4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Siin on liitmistehte (x+1) sulgudes, mille saab ümber kirjutada järgmiselt: (x-(-1)). Sellel viisil, h = – 1 (\displaystyle h=-1). Seetõttu on selle funktsiooni parabooli tipu koordinaadid (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1, -4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Siin sulgudes on avaldis (x-2). Järelikult h = 2 (\displaystyle h = 2). Tipu koordinaadid on (2,2).

Kuidas arvutada matemaatilisi tehteid kasutades miinimumi või maksimumi

1. Vaatleme kõigepealt võrrandi standardvormi. Kirjutage ruutfunktsioon standardkujul: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Vajadusel tooge sarnased terminid ja korraldage need ümber, et saada standardvõrrand.

   • Näiteks: .

2. Leidke esimene tuletis. Ruutfunktsiooni esimene tuletis, mis on kirjutatud standardkujul, on võrdne f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Selle funktsiooni esimene tuletis arvutatakse järgmiselt:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Seadke tuletis nulliks. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletis on võrdne funktsiooni kaldega teatud punktis. Minimaalsel või maksimumil on kalle null. Seetõttu tuleb funktsiooni minimaalse või maksimaalse väärtuse leidmiseks tuletis võrdsustada nulliga. Meie näites.

Tere kallid sõbrad! Jätkame funktsioonide uurimisega seotud ülesannete kaalumist. Soovitan teil lahendada ülesandeid funktsiooni maksimaalse (minimaalse) väärtuse leidmiseks ja funktsiooni maksimaalsete (minimaalsete) punktide leidmiseks.

Ülesanded logaritmidega funktsiooni we suurima (väikseima) väärtuse leidmiseks. Käesolevas artiklis käsitleme kolme ülesannet, mille puhul on ülesanne leida funktsioonide maksimaalsed (minimaalsed) punktid, mille puhul on antud funktsioonis olemas naturaallogaritm.

Teoreetiline hetk:

Logaritmi definitsiooni järgi peab avaldis logaritmi märgi all olema suurem kui null. *Seda tuleb mitte ainult nende ülesannete puhul arvestada, vaid ka logaritmi sisaldavate võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Funktsiooni maksimaalsete (minimaalsete) punktide leidmise algoritm:

1. Arvutame funktsiooni tuletise.

2. Võrdsusta see nulliga, lahenda võrrand.

3. Saadud juured märgime arvujoonele.*Sellele märgime ära ka punktid, kus tuletist ei eksisteeri. Võtame intervallid, mille korral funktsioon suureneb või väheneb.

4. Määrake nendel intervallidel tuletise märgid (asendades nende suvalised väärtused tuletisesse).

5. Teeme järelduse.

Funktsiooni y \u003d ln (x - 11) - 5x + 2 maksimumpunkti leidmine

Kirjutame kohe, et x–11>0 (logaritmi definitsiooni järgi), see tähendab x > 11.

Vaatleme funktsiooni intervallil (11;∞).

Leiame tuletise nullid:

Punkt x = 11 ei kuulu funktsiooni domeeni ja tuletist selles ei eksisteeri. Märgime arvteljel kaks punkti 11 ja 11.2. Määrame funktsiooni tuletise märgid, asendades leitud tuletisesse suvalised väärtused intervallidest (11;11,2) ja (11,2;+∞) ning kujutame funktsiooni käitumist joonisel :

Seega muudab funktsiooni tuletis punktis x \u003d 11.2 märgi positiivsest negatiivseks, mis tähendab, et see on soovitud maksimumpunkt.

Vastus: 11.2

Otsustage ise:

Leidke funktsiooni y \u003d ln (x + 5) - 2x + 9 maksimaalne punkt.

Leia funktsiooni y \u003d 4x - ln (x + 5) + 8 miinimumpunkt

Kirjutame kohe, et x + 5> 0 (logaritmi omaduse järgi), see tähendab x> -5.

Vaatleme funktsiooni intervallil (– 5;+∞).

Leia antud funktsiooni tuletis:

Leiame tuletise nullid:

Punkt x = -5 ei kuulu funktsiooni ulatusse ja tuletist selles ei eksisteeri. Märkige arvjoonele kaks punkti-5 ja -4,75. Määrame funktsiooni tuletise märgid, asendades leitud tuletisesse suvalised väärtused intervallidest (–5;–4,75) ja (–4,75; +∞) ning kujutame funktsiooni käitumist joonisel :

Seega punktis x = -4,75 muudab funktsiooni tuletis märgi negatiivsest positiivseks, mis tähendab, et see on soovitud miinimumpunkt.

Vastus: - 4,75

Otsustage ise:

Leia funktsiooni y=2x–ln (x+3)+7 miinimumpunkt.

Leia funktsiooni y \u003d x 2 -34x + 140lnx -10 maksimumpunkt

Logaritmi omaduse järgi on selle märgi all olev avaldis suurem kui null, see tähendab x\u003e 0.

Vaatleme funktsiooni intervallil (0; +∞).

Leia antud funktsiooni tuletis:

Leiame tuletise nullid:

Otsustades ruutvõrrand, saame: D \u003d 9 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 7.

Punkt x = 0 ei kuulu funktsiooni ulatusse ja tuletist selles ei eksisteeri. Märgime kolm punkti numbriteljel 0, 7 ja 10 .

X-telg on jagatud intervallideks: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Määrame funktsiooni tuletise märgid, asendades saadud intervallidest leitud tuletisega suvalised väärtused ja kujutame funktsiooni käitumist joonisel:

See on kõik. Soovin teile edu!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Funktsioon ja selle omaduste uurimine on tänapäeva matemaatika üks peamisi peatükke. Mis tahes funktsiooni põhikomponendiks on graafikud, mis kujutavad mitte ainult selle omadusi, vaid ka selle funktsiooni tuletise parameetreid. Heidame pilgu sellele keerulisele teemale. Mis on siis parim viis funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks?

Funktsioon: määratlus

Funktsiooniks võib nimetada mis tahes muutujat, mis mingil viisil sõltub mõne teise suuruse väärtustest. Näiteks funktsioon f(x 2) on ruudukujuline ja määrab kogu hulga x väärtused. Oletame, et x = 9, siis meie funktsiooni väärtus võrdub 9 2 = 81.

Funktsioonid on kõige rohkem erinevad tüübid: loogiline, vektor, logaritmiline, trigonomeetriline, numbriline ja teised. Nende uurimistööga tegelesid sellised silmapaistvad inimesed nagu Lacroix, Lagrange, Leibniz ja Bernoulli. Nende töö on tugisammas kaasaegseid viiseõppimisfunktsioonid. Enne miinimumpunktide leidmist on väga oluline mõista funktsiooni ja selle tuletise tähendust.

Tuletis ja selle roll

Kõik funktsioonid sõltuvad nende muutujatest, mis tähendab, et nad saavad oma väärtust igal ajal muuta. Graafikul kujutatakse seda kõverana, mis kas laskub või tõuseb piki y-telge (see on kogu arvude komplekt "y" piki graafiku vertikaali). Ja nii on funktsiooni maksimumi ja miinimumi punkti määratlus lihtsalt seotud nende "võnkumistega". Selgitame, mis see suhe on.

Mis tahes funktsiooni tuletis joonistatakse graafikule, et uurida selle põhiomadusi ja arvutada, kui kiiresti funktsioon muutub (st muudab selle väärtust sõltuvalt muutujast "x"). Sel hetkel, kui funktsioon suureneb, suureneb ka selle tuletise graafik, kuid igal sekundil võib funktsioon hakata vähenema ja siis tuletise graafik väheneb. Neid punkte, kus tuletis läheb miinusest plussi, nimetatakse miinimumpunktideks. Selleks, et teada saada, kuidas miinimumpunkte leida, peaksite paremini aru saama

Kuidas tuletist arvutada?

Definitsioon ja funktsioonid viitavad mitmele mõistele. Üldiselt võib tuletise definitsiooni väljendada järgmiselt: see on väärtus, mis näitab funktsiooni muutumise kiirust.

Matemaatiline defineerimisviis tundub paljudele õpilastele keeruline, kuid tegelikult on kõik palju lihtsam. Mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks on vaja järgida ainult standardplaani. Järgnevalt kirjeldatakse, kuidas saate leida funktsiooni miinimumpunkti ilma diferentseerimisreegleid rakendamata ja tuletiste tabelit pähe õppimata.

1. Funktsiooni tuletise saate arvutada graafiku abil. Selleks peate kujutama funktsiooni ennast, seejärel võtma sellel ühe punkti (joonisel punkt A), tõmbama joone vertikaalselt alla abstsissteljeni (punkt x 0) ja joonistama puutuja graafikule. funktsioon punktis A. Abstsisstelg ja puutuja moodustavad nurga a. Funktsiooni kasvu väärtuse arvutamiseks peate arvutama selle nurga a puutuja.
2. Selgub, et puutuja ja x-telje suuna vahelise nurga puutuja on funktsiooni tuletis väike krunt punktiga A. Seda meetodit peetakse tuletise määramise geomeetriliseks meetodiks.

Funktsiooni uurimise meetodid

AT kooli õppekava matemaatika, funktsiooni miinimumpunkti on võimalik leida kahel viisil. Esimest meetodit oleme juba graafiku abil analüüsinud, aga kuidas määrata tuletise arvväärtust? Selleks peate õppima mitut valemit, mis kirjeldavad tuletise omadusi ja aitavad muutujaid nagu "x" numbriteks teisendada. Järgmine meetod on universaalne, seega saab seda rakendada peaaegu igasuguste funktsioonide (nii geomeetriliste kui ka logaritmiliste) jaoks.

1. Funktsioon tuleb võrdsustada tuletisfunktsiooniga ja seejärel avaldist diferentseerimisreeglite abil lihtsustada.
2. Mõnel juhul, kui antakse funktsioon, milles muutuja "x" on jagaja, on vaja määrata vastuvõetavate väärtuste vahemik, jättes sellest välja punkti "0" (sel lihtsal põhjusel, et matemaatikas ei saa kunagi nulliga jagada).
3. Pärast seda tuleks funktsiooni algkuju teisendada lihtsaks võrrandiks, võrdsustades kogu avaldise nulliga. Näiteks kui funktsioon nägi välja selline: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, siis vastavalt diferentseerimisreeglitele on selle tuletis võrdne f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Seejärel teisendame selle avaldis järgmise kujuga võrrandiks: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Pärast võrrandi lahendamist ja punktide "x" leidmist peaksite neid kujutama x-teljel ja määrama, kas tuletis nendel aladel märgitud punktide vahel on positiivne või negatiivne. Pärast tähistust selgub, millisel hetkel hakkab funktsioon vähenema, see tähendab, et see muudab märgi miinusest vastupidiseks. Nii saate leida nii miinimum- kui ka maksimumpunktid.

Eristamise reeglid

Funktsiooni ja selle tuletise uurimisel on kõige põhilisem komponent diferentseerimisreeglite tundmine. Ainult nende abiga on võimalik muuta tülikaid väljendeid ja suuri keerukad funktsioonid. Teeme nendega tuttavaks, neid on palju, kuid kõik on väga lihtsad nii astme- kui ka logaritmiliste funktsioonide regulaarsete omaduste tõttu.

1. Iga konstandi tuletis on null (f(x) = 0). See tähendab, et tuletis f (x) \u003d x 5 + x - 160 on järgmisel kujul: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Kahe liikme summa tuletis: (f+w)" = f"w + fw".
3. Logaritmifunktsiooni tuletis: (log a d)" = d/ln a*d. See valem kehtib igasuguste logaritmide kohta.
4. Võimsuse tuletis: (x n)"= n*x n-1. Näiteks (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Siinusfunktsiooni tuletis: (sin a)" = cos a. Kui nurga a sin on 0,5, siis selle tuletis on √3/2.

äärmuslikud punktid

Oleme juba arutanud, kuidas leida miinimumpunkte, kuid kontseptsioon ja funktsioonid on olemas. Kui miinimum tähistab neid punkte, kus funktsioon läheb miinusest plussi, siis maksimumpunktid on need punktid x-teljel, kus funktsiooni tuletis muutub plussist vastupidiseks - miinusesse.

Maksimaalsed punktid leiate ülalkirjeldatud meetodil, kuid tuleb arvestada, et need tähistavad neid piirkondi, kus funktsioon hakkab vähenema, see tähendab, et tuletis on väiksem kui null.

Matemaatikas on tavaks mõlemat mõistet üldistada, asendades need fraasiga "äärmuslikud punktid". Kui ülesanne palub need punktid määrata, tähendab see, et on vaja arvutada selle funktsiooni tuletis ning leida miinimum- ja maksimumpunktid.

tähenduses

Suurim

tähenduses

Vähemalt

Maksimaalne punkt

Madal punkt

Funktsiooni äärmuspunktide leidmise ülesanded lahendatakse standardskeemi järgi 3 sammuna.

Samm 1. Leia funktsiooni tuletis

• Jäta meelde elementaarfunktsioonide tuletise valemid ja põhilised diferentseerimise reeglid tuletise leidmiseks.

y′(x)=(x3-243x+19)′=3x2-243.

2. samm. Leia tuletise nullid

• Lahendage saadud võrrand, et leida tuletise nullid.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

3. samm. Otsige äärmuslikke punkte

• Kasutage tuletise märkide määramiseks vahemeetodit;
• Miinimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi miinusest plussiks ja maksimumpunktis plussilt miinusesse.

Rakendame seda lähenemisviisi järgmise probleemi lahendamiseks:

Leia funktsiooni y=x3−243x+19 maksimumpunkt.

1) Leia tuletis: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) Lahendage võrrand y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Tuletis on positiivne x>9 ja x korral<−9 и отрицательная при −9

Kuidas leida funktsiooni suurimat ja väikseimat väärtust

Funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmise probleemi lahendamiseks vajalik:

• Leia funktsiooni äärmuspunktid lõigul (intervall).
• Leidke lõigu otstest väärtused ja valige lõigu äärmuspunktides ja otstes olevate väärtuste hulgast suurim või väikseim väärtus.

Aitab paljudes ülesannetes teoreem:

Kui lõigul on ainult üks äärmuspunkt ja see on miinimumpunkt, siis saavutatakse selles funktsiooni väikseim väärtus. Kui see on maksimumpunkt, siis see jõuab kõrgeim väärtus.

14. Määramatu integraali mõiste ja põhiomadused.

Kui funktsioon f(x X, ja k- siis number

Lühidalt öeldes: konstandi saab integraalimärgist välja võtta.

Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on intervallil antiderivaadid X, siis

Lühidalt öeldes: summa integraal on võrdne integraalide summaga.

Kui funktsioon f(x) on intervallil antiderivaat X, siis selle intervalli sisepunktide jaoks:

Lühidalt öeldes: integraali tuletis on võrdne integrandiga.

Kui funktsioon f(x) on intervallil pidev X ja on selle intervalli sisemistes punktides diferentseeruv, siis:

Lühidalt öeldes: funktsiooni diferentsiaali integraal on võrdne selle funktsiooniga pluss integratsioonikonstant.

Anname range matemaatilise määratluse määramata integraali mõisted.

Lahke väljendit nimetatakse funktsiooni integraal f(x) , kus f(x) - integrandi funktsioon, mis on antud (teada), dx - diferentsiaal x , sümboliga alati olemas dx .

Definitsioon. Määramatu integraal nimetatakse funktsiooniks F(x) + C , mis sisaldab suvalist konstanti C , mille diferentsiaal on võrdne integrand väljendus f(x)dx , st. või Funktsiooni kutsutakse antiderivatiivne funktsioon. Funktsiooni antiderivaat määratakse kuni konstantse väärtuseni.

Tuletage meelde - funktsiooni diferentsiaal ja on määratletud järgmiselt:

Probleemi leidmine määramatu integraal on funktsiooni leidmine tuletis mis on võrdne integrandiga. See funktsioon määratakse kuni konstandini, kuna konstandi tuletis on null.

Näiteks on teada, et , siis selgub, et , siin on suvaline konstant.

Ülesande leidmine määramatu integraal funktsioonidest pole nii lihtne ja lihtne, kui esmapilgul tundub. Paljudel juhtudel peab nendega töötamiseks olema oskusi määramata integraalid, peaks olema kogemus, mis tuleb praktikaga ja pidev määramatute integraalide näidete lahendamine. Tasub arvestada tõsiasjaga, et määramata integraalid osadest funktsioonidest (neid on päris palju) ei võeta elementaarfunktsioonides.

15. Põhiliste määramatute integraalide tabel.

Põhivalemid

16. Integraalsumma piiriks määratud integraal. Integraali geomeetriline ja füüsikaline tähendus.

Olgu funktsioon y=ƒ(x) defineeritud lõigul [a; b] ja< b. Выполним следующие действия.

1. Kasutades punkte x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0

2. Igas osalõigul i = 1,2,...,n valime suvalise punkti i є-ga ja arvutame selle juures oleva funktsiooni väärtuse, st väärtuse ƒ(koos i-ga).

3. Korrutage funktsiooni ƒ leitud väärtus (i-st) vastava osalõigu pikkusega ∆x i =x i -x i-1: ƒ (i-st) ∆х i.

4. Tehke kõigi selliste toodete summa S n:

Vormi (35.1) summat nimetatakse funktsiooni y \u003d ƒ (x) integraalsummaks lõigul [a; b]. Tähistame λ-ga suurima osalõigu pikkust: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Leidke integraalsumma (35.1) piirväärtus n → ∞ nii, et λ→0.

Kui lisaks on integraalsummal S n piir I, mis ei sõltu lõigu jagamise meetodist [a; b] osalõikudeks või neis olevate punktide valikust, siis nimetatakse arvu I funktsiooni y = ƒ(x) kindlaks integraaliks lõigul [a; b] ja seda tähistatakse nii,

Arve a ja b nimetatakse vastavalt integreerimise alumiseks ja ülemiseks piiriks, ƒ(x) - integrand, ƒ(x) dx - integrand, x - integratsioonimuutuja, segment [a; b] - integratsiooni piirkond (segment).

Funktsioon y \u003d ƒ (x), mille jaoks segmendil [a; b] sellel intervallil on kindel integraal, mida nimetatakse integreeritavaks.

Sõnastame nüüd kindla integraali olemasoluteoreemi.

Teoreem 35.1 (Cauchy). Kui funktsioon y = ƒ(x) on pidev lõigul [a; b], siis kindel integraal

Pange tähele, et funktsiooni järjepidevus on selle integreeritavuse piisav tingimus. Kuid kindel integraal võib eksisteerida ka mõne katkendliku funktsiooni jaoks, eriti iga funktsiooni jaoks, mis on piiratud intervalliga ja millel on piiratud arv katkestuspunkte.

Toome välja mõned kindla integraali omadused, mis tulenevad otseselt selle definitsioonist (35.2).

1. Määratud integraal ei sõltu integreerimismuutuja tähistusest:

See tuleneb sellest, et integraalsumma (35.1) ja järelikult ka selle piir (35.2) ei sõltu sellest, milline täht selle funktsiooni argumenti tähistab.

2. Samade integreerimispiiridega kindel integraal on võrdne nulliga:

3. Iga reaalarvu jaoks c.

17. Newtoni-Leibnizi valem. Kindla integraali põhiomadused.

Laske funktsioonil y = f(x) pidev segmendil ja F(x) on selle segmendi funktsiooni üks antiderivaate Newtoni-Leibnizi valem: .

Newtoni-Leibnizi valemit nimetatakse integraalarvutuse põhivalem.

Newtoni-Leibnizi valemi tõestamiseks vajame muutuva ülempiiriga integraali mõistet.

Kui funktsioon y = f(x) pidev segmendil , siis on argumendi vormi integraal ülempiiri funktsioon. Me tähistame seda funktsiooni , ja see funktsioon on pidev ja võrdsus .

Tõepoolest, kirjutame argumendi juurdekasvule vastava funktsiooni juurdekasvu ja kasutame kindla integraali viiendat omadust ja kümnenda omaduse järelmõju:

kus .

Kirjutame selle võrdsuse vormi ümber . Kui tuletame meelde funktsiooni tuletise definitsiooni ja läheme piirini , siis saame . See tähendab, et see on funktsiooni üks antiderivaate y = f(x) segmendil . Seega kõigi antiderivaatide komplekt F(x) saab kirjutada kui , kus FROM on suvaline konstant.

Arvuta F(a), kasutades kindla integraali esimest omadust: , Järelikult,. Arvutamiseks kasutame seda tulemust F(b): , see on . See võrdsus annab tõestatava Newtoni-Leibnizi valemi .

Funktsiooni juurdekasvu tähistatakse tavaliselt kui . Seda tähistust kasutades saab Newtoni-Leibnizi valem kuju .

Newtoni-Leibnizi valemi rakendamiseks piisab, kui me teame üht antiderivaatidest y=F(x) integrand y=f(x) segmendil ja arvutage selle antiderivaadi juurdekasv sellel segmendil. Artiklis analüüsitakse integreerimismeetodeid peamisi antiderivaadi leidmise viise. Toome mõned näited kindlate integraalide arvutamisest, kasutades selgituseks Newtoni-Leibnizi valemit.

Näide.

Arvutage Newtoni-Leibnizi valemi abil kindla integraali väärtus.

Lahendus.

Esiteks pange tähele, et integrand on intervallil pidev , seega on see sellega integreeritav. (Integreeritavatest funktsioonidest rääkisime funktsioonide osas, mille jaoks on kindel integraal).

Määramatute integraalide tabelist on näha, et funktsiooni jaoks kirjutatakse argumendi kõigi reaalväärtuste (seega jaoks ) antituletite hulk järgmiselt. . Võtame primitiivsed C=0: .

Nüüd jääb kindla integraali arvutamiseks kasutada Newtoni-Leibnizi valemit: .

18. Kindla integraali geomeetrilised rakendused.

KINDLAKS INTEGRAALI GEOMEETRILISED RAKENDUSED

Ristkülikukujuline S.K.	Funktsioon, määratletud parameetriliselt	Polyarnaya S.K.
Tasapinnaliste kujundite pindala arvutamine
Tasapinnalise kõvera kaare pikkuse arvutamine
Revolutsiooni pindala arvutamine

Keha mahu arvutamine

Kehamahu arvutamine paralleelsete lõikude teadaolevate alade põhjal:

Pöörleva keha maht: ; .

Näide 1. Leia joonise pindala, mis on piiratud kõveraga y=sinx, sirged

Lahendus: Figuuri pindala leidmine:

Näide 2. Arvutage joontega piiratud kujundi pindala

Lahendus: Leiame nende funktsioonide graafikute lõikepunktide abstsissid. Selleks lahendame võrrandisüsteemi

Siit leiame x 1 \u003d 0, x 2 = 2,5.

19. Diferentsiaaljuhtimise kontseptsioon. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid.

Diferentsiaalvõrrand- võrrand, mis ühendab funktsiooni tuletise väärtuse funktsiooni endaga, sõltumatu muutuja väärtused, numbrid (parameetrid). Võrrandis sisalduvate tuletiste järjekord võib olla erinev (formaalselt ei ole see millegagi piiratud). Tuletised, funktsioonid, sõltumatud muutujad ja parameetrid võivad sisalduda võrrandis erinevates kombinatsioonides või kõik, välja arvatud vähemalt üks tuletis, võivad üldse puududa. Mitte ükski võrrand, mis sisaldab tundmatu funktsiooni tuletisi, ei ole diferentsiaalvõrrand. Näiteks, ei ole diferentsiaalvõrrand.

Osalised diferentsiaalvõrrandid(URCHP) on võrrandid, mis sisaldavad mitme muutuja tundmatuid funktsioone ja nende osalisi tuletisi. Selliste võrrandite üldkuju võib esitada järgmiselt:

kus on sõltumatud muutujad ja on nende muutujate funktsioon. Osadiferentsiaalvõrrandite järjekorda saab määrata samamoodi nagu tavaliste diferentsiaalvõrrandite puhul. Teine oluline osadiferentsiaalvõrrandite klassifikatsioon on nende jagamine elliptilist, paraboolset ja hüperboolset tüüpi võrranditeks, eriti teist järku võrrandite puhul.

Nii tavalised diferentsiaalvõrrandid kui ka osadiferentsiaalvõrrandid võib jagada kaheks lineaarne ja mittelineaarne. Diferentsiaalvõrrand on lineaarne, kui tundmatu funktsioon ja selle tuletised sisestavad võrrandisse ainult esimese astmeni (ja ei korruta omavahel). Selliste võrrandite jaoks moodustavad lahendused funktsioonide ruumi afiinse alamruumi. Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite teooria on palju sügavamalt välja töötatud kui mittelineaarsete võrrandite teooria. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju n- järjekorras:

kus pi(x) on sõltumatu muutuja tuntud funktsioonid, mida nimetatakse võrrandi kordajateks. Funktsioon r(x) paremal küljel nimetatakse vaba liige(ainus termin, mis ei sõltu tundmatust funktsioonist) Oluline konkreetne lineaarvõrrandite klass on lineaarsed diferentsiaalvõrrandid konstantsed koefitsiendid.

Lineaarvõrrandite alamklass on homogeenne diferentsiaalvõrrandid - võrrandid, mis ei sisalda vaba terminit: r(x) = 0. Homogeensete diferentsiaalvõrrandite puhul kehtib superpositsiooniprintsiip: sellise võrrandi konkreetsete lahendite lineaarne kombinatsioon on samuti selle lahendus. Kõiki teisi lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid nimetatakse heterogeenne diferentsiaalvõrrandid.

Üldjuhul mittelineaarsetel diferentsiaalvõrranditel pole välja töötatud lahendusmeetodeid, välja arvatud teatud klasside puhul. Mõnel juhul (kasutades teatud lähendusi) saab need taandada lineaarseteks. Näiteks harmoonilise ostsillaatori lineaarvõrrand võib pidada matemaatilise pendli mittelineaarvõrrandi lähendiks väikeste amplituudide korral, millal y≈ patt y.

· on konstantsete koefitsientidega teist järku homogeenne diferentsiaalvõrrand. Lahendus on funktsioonide perekond , kus ja on suvalised konstandid, mis konkreetse lahenduse jaoks määratakse eraldi määratud algtingimustest. See võrrand kirjeldab eelkõige harmoonilise ostsillaatori liikumist tsüklilise sagedusega 3.

· Newtoni teise seaduse saab kirjutada diferentsiaalvõrrandi kujul kus m- kehamass, x- selle koordinaat, F(x, t) on jõud, mis mõjub kehale koos koordinaadiga x sellel ajal t. Selle lahendus on keha trajektoor kindlaksmääratud jõu mõjul.

· Besseli diferentsiaalvõrrand on tavaline muutuvate koefitsientidega teist järku lineaarne homogeenne võrrand: Selle lahendused on Besseli funktsioonid.

Näide esimese järgu mittehomogeensest mittelineaarsest tavalisest diferentsiaalvõrrandist:

Järgmises näiterühmas on tundmatu funktsioon u oleneb kahest muutujast x ja t või x ja y.

Esimest järku homogeenne lineaarne osadiferentsiaalvõrrand:

Ühemõõtmeline lainevõrrand - homogeenne lineaarvõrrand konstantsete koefitsientidega teist järku hüperboolset tüüpi osatuletistes, kirjeldab stringi vibratsiooni, kui - stringi kõrvalekallet koordinaadiga punktis x sellel ajal t ja parameeter a määrab stringi omadused:

Laplace'i võrrand kahemõõtmelises ruumis on konstantsete koefitsientidega elliptilist tüüpi homogeenne lineaarne teist järku osadiferentsiaalvõrrand, mis tekib paljudes mehaanika, soojusjuhtivuse, elektrostaatika, hüdraulika füüsikalistes probleemides:

Korteweg-de Vriesi võrrand, mittelineaarne kolmanda järgu osaline diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab statsionaarseid mittelineaarseid laineid, sealhulgas solitoneid:

20. Kohaldatavad eraldatavad diferentsiaalvõrrandid. Lineaarvõrrandid ja Bernoulli meetod.

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis on lineaarne tundmatu funktsiooni ja selle tuletise suhtes. See näeb välja nagu