Esimene tase

Ruutvõrrandid. Põhjalik juhend (2019)

Mõiste "ruutvõrrand" võtmesõnaks on "ruutvõrrand". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama ruudus muutujat (sama X) ja samal ajal ei tohiks olla X-e kolmandal (või suuremal) astmel.

Paljude võrrandite lahendus taandatakse ruutvõrrandite lahendiks.

Õpime kindlaks tegema, et meil on ruutvõrrand, mitte mõni muu.

Näide 1

Vabastage nimetaja ja korrutage võrrandi iga liige arvuga

Liigutame kõik vasakule poole ja järjestame terminid x astmete kahanevas järjekorras

Nüüd võime kindlalt öelda, et see võrrand on ruutkeskne!

Näide 2

Korrutage vasak ja parem külg arvuga:

See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruut!

Näide 3

Korrutame kõik arvuga:

Hirmutav? Neljas ja teine ​​aste ... Kui aga teeme asenduse, näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:

Näide 4

Tundub, et on, aga vaatame lähemalt. Liigutame kõik vasakule:

Näete, see on kahanenud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!

Proovige nüüd ise kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:

Näited:

Vastused:

1. ruut;
2. ruut;
3. mitte ruudukujuline;
4. mitte ruudukujuline;
5. mitte ruudukujuline;
6. ruut;
7. mitte ruudukujuline;
8. ruut.

Matemaatikud jagavad kõik ruutvõrrandid tinglikult järgmisteks tüüpideks:

• Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, nagu ka vaba liige c, ei ole võrdsed nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)

• Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

  Need on puudulikud, sest mõni element on neil puudu. Kuid võrrand peab alati sisaldama x ruudus !!! Vastasel juhul pole see enam ruutväärtus, vaid mingi muu võrrand.

Miks nad sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. Selline jaotus on tingitud lahendusmeetoditest. Vaatleme igaüks neist üksikasjalikumalt.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Kõigepealt keskendume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisele – need on palju lihtsamad!

Mittetäielikud ruutvõrrandid on järgmist tüüpi:

1. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
2. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
3. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

1. i. Kuna me teame, kuidas ekstraheerida Ruutjuur, siis väljendame sellest võrrandist

Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.

Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et peaksite alati teadma ja meeles pidama, et vähem ei saa olla.

Proovime lahendada mõned näited.

Näide 5:

Lahenda võrrand

Nüüd jääb alles vasakust ja paremast osast juuri välja tõmmata. Lõppude lõpuks, kas mäletate, kuidas juuri välja tõmmata?

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!!!

Näide 6:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 7:

Lahenda võrrand

Oeh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri!

Selliste võrrandite jaoks, milles juured puuduvad, mõtlesid matemaatikud välja erimärk- (tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:

Vastus:

Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:

Lahenda võrrand

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Sellel viisil,

Sellel võrrandil on kaks juurt.

Vastus:

Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Siin teeme ilma näideteta.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine

Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus

Täisruutvõrrandite lahendamine on natuke keerulisem (lihtsalt natuke) kui etteantud.

Pea meeles, mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Ülejäänud meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, siis kõigepealt omandage lahendus diskriminandi abil.

1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.

Kui, siis võrrandil on juur Erilist tähelepanu joonista samm. Diskriminant () ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil ainult juur.
• Kui, siis me ei saa etapis diskrimineerija juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Tuleme tagasi võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.

Näide 9:

Lahenda võrrand

Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

Seega on võrrandil kaks juurt.

3. samm

Vastus:

Näide 10:

Lahenda võrrand

Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

Seega on võrrandil üks juur.

Vastus:

Näide 11:

Lahenda võrrand

Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

See tähendab, et me ei saa diskriminandi juurt eraldada. Võrrandi juured puuduvad.

Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.

Vastus: pole juuri

2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.

Kui mäletate, siis on teatud tüüpi võrrandeid, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):

Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:

Juurte summa antud ruutvõrrand on võrdne ja juurte korrutis on võrdne.

Näide 12:

Lahenda võrrand

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna .

Võrrandi juurte summa on, s.o. saame esimese võrrandi:

Ja toode on:

Loome ja lahendame süsteemi:

• ja. Summa on;
• ja. Summa on;
• ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Vastus: ; .

Näide 13:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 14:

Lahenda võrrand

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vastus:

RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE

Mis on ruutvõrrand?

Teisisõnu, ruutvõrrand on vormi võrrand, kus - teadmata, - veel mõned arvud.

Numbrit nimetatakse suurimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine ​​koefitsient, a - vaba liige.

Miks? Sest kui, muutub võrrand kohe lineaarseks, sest kaob.

Sel juhul ja võib olla võrdne nulliga. Selles väljaheite võrrandis nimetatakse mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.

Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

Alustuseks analüüsime mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid - need on lihtsamad.

Eristada saab järgmist tüüpi võrrandeid:

I. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

II. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.

III. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.

Nüüd kaaluge kõigi nende alatüüpide lahendust.

Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Arv ruudus ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:

kui, siis võrrandil pole lahendeid;

kui meil on kaks juurt

Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!

Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri.

Lühidalt kirjutamiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.

Vastus:

Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.

Vastus:

Võtame välja ühine kordaja sulgude jaoks:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:

Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.

Näide:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Teguristame võrrandi vasaku külje ja leiame juured:

Vastus:

Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

1. Diskriminant

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Kas märkasite juurvalemis diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu 2. sammule. Diskriminant ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis on võrrandil juur:
• Kui, siis on võrrandil sama juur, kuid tegelikult üks juur:

  Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.

• Kui, siis ei eraldata diskriminandi juurt. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Miks on see võimalik erinev summa juured? Pöördume ruutvõrrandi geomeetrilise tähenduse juurde. Funktsiooni graafik on parabool:

Konkreetsel juhul, mis on ruutvõrrand, . Ja see tähendab, et ruutvõrrandi juured on lõikepunktid x-teljega (teljega). Parabool ei pruugi telge üldse ületada või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.

Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole ja kui - siis allapoole.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Vastus:.

Vastus:

See tähendab, et lahendusi pole.

Vastus:.

2. Vieta teoreem

Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: peate lihtsalt valima numbripaari, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga.

Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult sellele antud ruutvõrrandid ().

Vaatame mõnda näidet:

Näide nr 1:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna . Muud koefitsiendid: ; .

Võrrandi juurte summa on:

Ja toode on:

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

• ja. Summa on;
• ja. Summa on;
• ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Seega ja on meie võrrandi juured.

Vastus: ; .

Näide nr 2:

Lahendus:

Valime välja sellised arvupaarid, mis korrutises sisalduvad, ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja: anna kokku.

ja: anna kokku. Selle saamiseks peate lihtsalt muutma väidetavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka tööd.

Vastus:

Näide nr 3:

Lahendus:

Võrrandi vaba liige on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine ​​on positiivne. Nii et juurte summa on nende moodulite erinevused.

Valime sellised arvupaarid, mis annavad tootes ja mille erinevus on võrdne:

ja: nende erinevus on - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - sobiv. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, siis absoluutväärtuses väiksem juur peab olema negatiivne: . Kontrollime:

Vastus:

Näide nr 4:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vaba termin on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine ​​positiivne.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:

Ilmselgelt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:

Vastus:

Näide nr 5:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Kuid kuna nende toode on positiivne, tähendab see, et mõlemad juured on miinuses.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne:

Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.

Vastus:

Nõus, see on väga mugav - leiutada juuri suuliselt, selle asemel, et seda vastikut diskrimineerijat lugeda. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.

Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selle kasutamise kasumlikuks muutmiseks peate toimingud automatiseerima. Ja selleks lahendage veel viis näidet. Kuid ärge petke: te ei saa diskriminanti kasutada! Ainult Vieta teoreem:

Iseseisva töö ülesannete lahendused:

Ülesanne 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vastavalt Vieta teoreemile:

Tavapäraselt alustame valikut tootega:

Ei sobi, sest kogus;

: summa on see, mida vajate.

Vastus: ; .

2. ülesanne.

Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peaks välja tulema, kuid korrutis on võrdne.

Kuid kuna see peaks olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (kokku).

Vastus: ; .

3. ülesanne.

Hmm... Kus see on?

Kõik tingimused on vaja üle kanda ühte ossa:

Juurte summa võrdub korrutisega.

Jah, lõpeta! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult antud võrrandites. Nii et kõigepealt peate tooma võrrandi. Kui te ei saa seda välja tuua, loobuge sellest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi toomine tähendab juhtiva koefitsiendi võrdsustamist järgmisega:

Suurepärane. Siis on juurte summa ja korrutis võrdne.

Siin on lihtsam üles võtta: lõppude lõpuks - algarv (vabandan tautoloogia pärast).

Vastus: ; .

4. ülesanne.

Vaba termin on negatiivne. Mis selles nii erilist on? Ja see, et juured on erineva märgiga. Ja nüüd, valiku ajal, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, kuid toode.

Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinusega. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.

Vastus: ; .

5. ülesanne.

Mida tuleb kõigepealt teha? See on õige, esitage võrrand:

Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:

Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Milline? Nende summa peab olema võrdne, mis tähendab, et miinusega on suurem juur.

Vastus: ; .

Lubage mul teha kokkuvõte:

1. Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
2. Vieta teoreemi kasutades saate juured leida valiku teel, suuliselt.
3. Kui võrrandit ei anta või ei leitud ühtegi sobiv paar vaba termini tegurid, mis tähendab, et täisarvujuuri pole ja peate selle muul viisil lahendama (näiteks diskriminandi kaudu).

3. Täisruudu valiku meetod

Kui kõik tundmatut sisaldavad liikmed on esitatud terminitena lühendatud korrutise valemitest - summa või erinevuse ruut -, siis pärast muutujate muutumist on võrrandit võimalik esitada mittetäieliku ruutvõrrandi tüüpi kujul. .

Näiteks:

Näide 1:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Näide 2:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

AT üldine vaade teisendus näeb välja selline:

See tähendab:.

Kas see ei tuleta sulle midagi meelde? See on diskrimineerija! Täpselt nii saadi diskrimineeriva valem.

RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST

Ruutvõrrand on võrrand kujul, kus on tundmatu, on ruutvõrrandi kordajad, on vaba liige.

Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on: .

Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

• kui koefitsient, on võrrand järgmisel kujul: ,
• kui see on vaba termin, on võrrandi vorm: ,
• kui ja, on võrrandi vorm: .

1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks

1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Väljendage tundmatut: ,

2) Kontrollige väljendi märki:

• kui, siis võrrandil pole lahendeid,
• kui, siis on võrrandil kaks juurt.

1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Võtame sulgudest välja ühisteguri: ,

2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:

1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

Sellel võrrandil on alati ainult üks juur: .

2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus

2.1. Lahendus diskriminandi abil

1) Toome võrrandi standardvorm: ,

2) Arvutage diskriminant valemiga: , mis näitab võrrandi juurte arvu:

3) Leidke võrrandi juured:

• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis võrrandil pole juuri.

2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil

Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand, kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , a.

2.3. Täisruudu lahendus

AT kaasaegne ühiskond võime sooritada tehteid ruudukujulist muutujat sisaldavate võrranditega võib olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse laialdaselt praktikas teadus- ja tehnilisi arenguid. Seda võib tõestada mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioon. Selliste arvutuste abil määratakse erinevate kehade, sealhulgas kosmoseobjektide liikumise trajektoorid. Ruutvõrrandi lahendusega näiteid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevastes oludes. Neid võib vaja minna telkimisreisidel, spordiüritustel, kauplustes ostlemisel ja muudes väga levinud olukordades.

Jagame avaldise komponentteguriteks

Võrrandi astme määrab antud avaldises sisalduva muutuja astme maksimaalne väärtus. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.

Kui rääkida valemikeeles, siis saab need avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, alati viia vormile, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (see tähendab muutuja ruudus oma koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see tähendab tavaline arv). Kõik see paremal pool võrdub 0-ga. Juhul, kui sellisel polünoomil pole ühtki selle koostisosa, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Esmalt tuleks vaadelda näiteid selliste ülesannete lahendamisega, mille puhul pole muutujate väärtust raske leida.

Kui avaldis näeb välja nii, et avaldise paremal küljel on kaks liiget, täpsemalt ax 2 ja bx, on x-i kõige lihtsam leida muutuja sulgudes. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Edasi saab selgeks, et kas x=0 või taandub probleem muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.

Näide

x = 0 või 8x - 3 = 0

Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.

Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud lähtepunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada nii aja, mis kulus keha tõusust kuni langemise hetkeni, kui ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.

Avaldise faktoriseerimine

Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme ja palju muud lahendada rasked juhtumid. Vaatleme näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamise kohta.

X2 – 33x + 200 = 0

See ruudukujuline kolmik on valmis. Esiteks teisendame avaldise ja jagame selle teguriteks. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.

Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.

Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x + 1), (x-3) ja (x + 3).

Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; - üks; 3.

Ruutjuure ekstraheerimine

Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis on kirjutatud tähtede keeles nii, et parem pool on üles ehitatud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba liige paremale poole ja pärast seda eraldatakse ruutjuur mõlemalt võrdsuse poolelt. Tuleb märkida, et sisse sel juhul Tavaliselt on võrrandil kaks juurt. Ainsad erandid on võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit c, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.

Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.

Maa pindala arvutamine

Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika areng neil kaugetel aegadel oli suuresti tingitud vajadusest määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.

Kaaluda tuleks ka näiteid seda laadi ülesannete põhjal koostatud ruutvõrrandite lahendamisega.

Ütleme nii, et on olemas ristkülikukujuline ala maa, mille pikkus on 16 meetrit laiem. Peaksite leidma platsi pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui on teada, et selle pindala on 612 m 2.

Asja juurde asudes koostame kõigepealt vajaliku võrrandi. Tähistame lõigu laiust kui x, siis on selle pikkus (x + 16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x (x + 16), mis vastavalt meie ülesande tingimusele on 612. See tähendab, et x (x + 16) \u003d 612.

Täielike ruutvõrrandite lahendamist ja see avaldis just nii ongi, ei saa samamoodi teha. Miks? Kuigi selle vasak pool sisaldab endiselt kahte tegurit, ei ole nende korrutis üldse 0, seega kasutatakse siin muid meetodeid.

Diskrimineeriv

Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, siis välimus see avaldis näeb välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise eelnevalt määratletud standardile vastaval kujul, kus a=1, b=16, c=-612.

See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi kaudu. Siin vajalikud arvutused toodetud vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abiväärtus mitte ainult ei võimalda leida teist järku võrrandis soovitud väärtusi, vaid määrab ka arvu valikuid. Juhul D>0 on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Juurtest ja nende valemist

Meie puhul on diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. See näitab, et meie probleemil on vastus. Kui teate, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.

See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki suurust ei saa mõõta negatiivsetes väärtustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18+16=34 ja ümbermõõt 2(34+18) = 104 (m 2).

Näited ja ülesanded

Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud näited ja üksikasjalik lahendus mitmele neist.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viime kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse ehk saame võrrandi kuju, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pärast sarnaste lisamist määrame diskriminandi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Seega on meie võrrandil kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine ​​1.

2) Nüüd paljastame teistsuguseid mõistatusi.

Uurime, kas siin on üldse juured x 2 - 4x + 5 = 1? Ammendava vastuse saamiseks viime polünoomi vastavale tuttavale kujule ja arvutame diskriminandi. Selles näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest ülesande olemus ei seisne selles. Sel juhul D \u003d 16 - 20 \u003d -4, mis tähendab, et tegelikult pole juuri.

Vieta teoreem

Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi kaudu, kui viimase väärtusest eraldatakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Siiski on sel juhul muutujate väärtuste saamiseks palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. See on nime saanud mehe järgi, kes elas 16. sajandi Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.

Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juurte summa on võrdne -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.

Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lihtsuse huvides teisendame väljendit:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoreemi kasutades saame järgmise tulemuse: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused tõesti avaldisesse mahuvad.

Parabooli graafik ja võrrand

Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist sõltuvust, mis on joonistatud graafiku kujul, nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on näidatud alloleval joonisel.

Igal paraboolil on tipp, st punkt, kust selle harud väljuvad. Kui a>0, tõusevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsioonide visuaalne esitus aitab lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafikaks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b / 2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algse võrrandiga, saate teada y 0, see tähendab y-teljele kuuluva parabooli tipu teise koordinaadi.

Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega

Ruutvõrrandite lahendamise kohta on palju näiteid, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatleme neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui y 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabooli graafikult saate määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui saate visuaalse pildi ruutfunktsioon ei ole lihtne, saate võrdsustada avaldise parema poole 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam joonistada.

Ajaloost

Ruudukujulist muutujat sisaldavate võrrandite abil ei tehtud vanasti mitte ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindala. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurejoonelisteks avastusteks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.

Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastu tulekut. Loomulikult erinesid nende arvutused põhimõtteliselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud negatiivsete arvude olemasolust aimugi. Nad ei tundnud ka muid nende peensusi, mida ükski meie aja õpilane teadis.

Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased, asus Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandite lahendamisele. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastu tulekut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Lisaks temale tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töös sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.

Tunni kokkuvõte

matemaatika õpetajad

MBOU 2. keskkool, Vorsma

Kiseleva Larisa Aleksejevna

Teema: „Vähendatud ruutvõrrand. Vieta teoreem»

Tunni eesmärk: Redutseeritud ruutvõrrandi mõiste, Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi tutvustus.

Ülesanded:

Hariduslik:

Tutvustage taandatud ruutvõrrandi kontseptsiooni,

Tuletage antud ruutvõrrandi juurte valem,

Sõnasta ja tõesta Vieta teoreem,

Sõnasta ja tõesta teoreem, mis on vastupidine Vieta teoreemile,

Õpetada õpilasi lahendama etteantud ruutvõrrandeid, kasutades teoreemi, Vieta teoreemi vastupidist.

Arendamine:

loogilise mõtlemise, mälu, tähelepanu, üldkasvatusoskuste, võrdlemis- ja üldistusvõime arendamine;

Hariduslik:

hoolsuskasvatus, vastastikune abistamine, matemaatiline kultuur.

Tunni tüüp: tutvustus uue materjaliga.

Varustus: algebra õpik, toim. Alimova ja teised, märkmik, jaotusmaterjal, esitlus tunni jaoks.

Tunniplaan.

Tunni etapp

Lava sisu (eesmärk).

Aeg (min)

Aja organiseerimine

Kodutööde kontrollimine

Kontrollimistööd

Töö analüüs, vastused küsimustele.

Uue materjali õppimine

Algteadmiste kujundamine, reeglite sõnastamine, probleemide lahendamine, tulemuste analüüs, vastused õpilaste küsimustele.

Õpitava materjali assimileerimine selle rakendamisega ülesannete lahendamisel analoogia alusel õpetaja juhendamisel.

Õppetunni kokkuvõte

Vastavate õpilaste teadmiste hindamine. Reeglite sõnastusest teadmiste ja arusaamise kontrollimine frontaalküsitluse meetodil.

Kodutöö

Tutvustada õpilasi ülesande sisuga ja hankida vajalikud selgitused.

Lisaülesanded

Mitmetasandilised ülesanded õpilaste arengu tagamiseks.

Tundide ajal.

Aja organiseerimine. Tunni eesmärgi seadmine. Edukaks tegevuseks soodsate tingimuste loomine. Õpetamismotivatsioon.

Kodutööde kontrollimine.Õpilaste teadmiste ja oskuste frontaalne, individuaalne kontrollimine ja korrigeerimine.

Võrrand

Juurte arv

Õpetaja: Kuidas määrata selle juurte arv ilma ruutvõrrandit lahendamata? (õpilane vastab)

Kontrollimistööd. Vastused küsimustele.

Testtekst:

Valik number 1.

Lahendage võrrandid:

AGA) ,

B)

Sellel on:

Üks juur

Kaks erinevat juurt.

Valik number 2.

Lahendage võrrandid:

AGA) ,

B)

2. Leia parameetri a väärtus, mille jaoks võrrand Sellel on:

Üks juur

Kaks erinevat juurt.

Taatlustööd tehakse eraldi lehtedel, mis antakse õpetajale kontrollimiseks.

Peale töö esitamist kuvatakse otsus ekraanile.

Uue materjali õppimine.

4.1. François Viet- 16. sajandi prantsuse matemaatik. Ta oli jurist, hiljem Prantsuse kuningate Henry III ja Henry II nõunik.

Kord õnnestus tal dešifreerida prantslaste vahele jäänud väga keeruline hispaania kiri. Inkvisitsioon põletas ta peaaegu tuleriidal, süüdistades teda kuradiga vandenõus.

François Vietat nimetatakse "tänapäevase algebra isaks"

Kuidas on seotud ruuttrinoomi juured ja selle koefitsiendid p ja q? Sellele küsimusele annab vastuse teoreem, mis kannab "algebra isa", prantsuse matemaatiku F. Vieta nime, mida me täna uurime.

Kuulus teoreem avaldati 1591. aastal.

4.2.Sorustame taandatud ruutvõrrandi definitsiooni.

Definitsioon. Vormi ruutvõrrand nimetatakse vähendatud.

See tähendab, et võrrandi juhtiv koefitsient on võrdne ühega.

Näide. .

Mis tahes ruutvõrrand võib meelde tuletada . Selleks jagage võrrandi mõlemad pooled .

Näiteks, taandatakse võrrand 7X 2 - 12X + 14 \u003d 0 7-ga jagades kujule

X 2 – 12/7X + 2 \u003d 0

4.3. Tuletage antud ruutvõrrandi juurte valemid.

a, b, c

a=1, b=p, c=q

Lahendage võrrand X 2 - 14X - 15 \u003d 0 (õpilane lahendab tahvlil)

Küsimused:

Nimetage koefitsiendid p ja q (-14, -15);

Kirjutage üles antud ruutvõrrandi juurte valem;

Leidke selle võrrandi juured (X 1 \u003d 15, X 2 \u003d -1)

4.4. sõnastada ja tõestada Vieta teoreem.

Kui ja on võrrandi juured , siis kehtivad valemid, st. antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidine märk, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega.

Pärast seda viib õpetaja läbi teoreemi tõestamise. Seejärel teeb koos õpilastega järelduse.

Näide. . p = -5, q = 6.

Nii et numbrid ja - numbrid

positiivne. Leia kaks positiivset arvu, mille korrutis

on 6 ja summa on 5. =2, =3 on võrrandi juured.

4.5. Vieta teoreemi rakendamine .

Selle abiga saate:

 Leia ruutvõrrandi juurte summa ja korrutis seda lahendamata,

 Teades üht juurtest, leidke teine,

 Määrake võrrandi juurte märgid,

 Leia võrrandi juured ilma seda lahendamata.

4.6. Sõnastame Vieta teoreemiga pöördvõrdelise teoreemi.

Kui numbrid p , q ja on sellised, mis rahuldavad seoseid, siis on ruutvõrrandi juured .

Teoreemi tõestust, Vieta teoreemi vastupidist, viivad tugevad õpilased majja iseseisvaks õppimiseks.

4.7. kaaluge õpiku lk 125 ülesande 5 lahendust.

Õpitud materjali koondamine

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - suuliselt

№ 452 (verbaalne)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

Õppetunni kokkuvõte.

Vasta küsimustele:

Sõnasta Vieta teoreem.

 Miks me vajame Vieta teoreemi?

 Sõnasta Vieta teoreemi pöördteoreem.

Kodutöö.

§29 (kuni 6. ülesandeni), #450(2,4,6); 455 (2,4); 456 (2, 4, 6).

Lisaülesanded.

Tase A

Leidke võrrandi juurte summa ja korrutis:

2. Kasutades Vieta teoreemi pöördväärtust, kirjuta ruutvõrrand, mille juured on 2 ja 5.

Tase B.

1. Leidke võrrandi juurte summa ja korrutis:

2. Kasutades Vieta teoreemile vastupidist teoreemi, koostage ruutvõrrand, mille juured on võrdsed ja .

Tase C.

1. Analüüsige Vieta teoreemile vastupidise teoreemi tõestust

2. Lahenda võrrand ja kontrolli teoreemi järgi, Vieta teoreemi vastupidine:

Tunni ülevaade

Töö etapid

Lava sisu

Aja organiseerimine, kaasa arvatud:

eesmärgi seadmine, mille õpilased peaksid selles tunni etapis saavutama (mida peaksid õpilased tegema, et nende edasine töö tunnis oleks tõhus)

õpilaste töö korraldamise meetodite kirjeldus tunni algfaasis, õpilaste meeleolu õppetegevuseks, tunni aine ja teema (võttes arvesse selle klassi tegelikke omadusi, kellega õpetaja töötab)

Õpilaste selleteemalise matemaatilise ettevalmistuse programminõueteks on taandatud ruutvõrrandi mõiste, Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi tutvustamine (õppeasutuste programmist).

8. klassi õpilased on noorukieas, mida iseloomustab tähelepanu ebastabiilsus. Parim viis tähelepanu korraldamiseks on korraldada õppetegevust nii, et õpilastel poleks aega ega soovi ega võimalust olla pikalt segatud.

Eeltoodust lähtuvalt on tunni eesmärk lahendada järgmised ülesanded:
a) hariduslik: taandatud ruutvõrrandi mõiste, Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi tutvustamine.

b) arendada: loogilise mõtlemise, mälu, tähelepanu, üldkasvatusoskuste, võrdlemis- ja üldistusvõime arendamine;
c) hariduslik: hoolsuskasvatus, vastastikune abistamine, matemaatiline kultuur.

Selleks, et õpilased tajuksid õppetundi loogiliselt tervikliku, tervikliku, ajaliselt piiratud lõiguna õppeprotsessist, algab see ülesannete põhjenduse püstitamisest ning lõpeb kokkuvõtete tegemise ja järgmiste tundide ülesannete püstitamisega.

Õpilaste küsitlus kodus antud materjali kohta, kaasa arvatud:

eesmärkide kindlaksmääramine, mille õpetaja selles tunni etapis õpilastele seab (millise tulemuse peaksid õpilased saavutama);

eesmärkide ja eesmärkide määratlemine, mida õpetaja soovib selles tunni etapis saavutada;

eesmärkide ja ülesannete lahendamisele kaasaaitavate meetodite kirjeldus;

tunni selle etapi eesmärkide ja eesmärkide saavutamise kriteeriumide kirjeldus;

õpetaja võimalike tegevuste kindlaksmääramine juhuks, kui ta või õpilased ei suuda oma eesmärke saavutada;

õpilaste ühistegevuse korraldamise meetodite kirjeldus, arvestades klassi iseärasusi, kellega õpetaja töötab;

õpilaste õppetegevuse motiveerimise (stimuleerimise) meetodite kirjeldus küsitluse käigus;

küsitluse käigus õpilaste vastuste hindamise meetodite ja kriteeriumide kirjeldus.

Esimeses etapis toimub õpilaste teadmiste ja oskuste frontaalne, individuaalne kontrollimine ja korrigeerimine. Sel juhul korratakse ruutvõrrandite lahendamist ja fikseeritakse juurte arvu määramine selle diskriminandi järgi. Toimub üleminek taandatud ruutvõrrandi definitsioonile.

Teises etapis vaadeldakse kahte tüüpi võrrandeid. Et õpilased ei väsiks monotoonsest tööst, kasutatakse erinevaid töövorme ja ülesannete valikuid, kaasatakse kõrgema taseme ülesandeid (parameetriga).

Õpilaste suuline töö vaheldub kirjaliku tööga, mis seisneb ruutvõrrandi lahendamise meetodi valiku põhjendamises, võrrandi lahendi analüüsimises

Üheks pedagoogilise toe meetodiks on infotehnoloogia kasutamine visuaalse abivahendina, mis aitab erineva ettevalmistustasemega õpilastel materjali hõlpsasti selgeks õppida, seega viiakse tunni teatud hetked läbi esitlusega (näitatakse iseseisva töö lahendusi, küsimused, kodutöö)

Uue õppematerjali õppimine. See etapp hõlmab:

avaldus uue õppematerjali põhisätete kohta, mida õpilased peavad omandama;

uue õppematerjali esitamise (esitluse) vormide ja meetodite kirjeldus;

õpilaste individuaalse ja rühmategevuse korraldamise peamiste vormide ja meetodite kirjeldus, arvestades klassi iseärasusi, kus õpetaja töötab;

kriteeriumide kirjeldus õpilaste tähelepanu ja huvi taseme määramiseks õpetaja esitatud õppematerjali vastu;

õpilaste õppetegevuse motiveerimise (stimuleerimise) meetodite kirjeldus uue õppematerjali omandamise käigus

Antakse taandatud ruutvõrrandi definitsioon. Õpetaja viib koos õpilastega läbi etteantud ruutvõrrandi juurte valemite tuletamise, õpilased mõistavad tunni õppematerjali olulisust. Ühiselt õpilastega toimub ka Vieta teoreemi sõnastuse analüüs ja tõestamine

Selline töö on ühtlasi ka uue materjali uurimise kinnistamine.

Meetodid:

visuaalne;

praktiline;

verbaalne;

osaline otsing

Õppematerjalide koondamine, eeldades:

õpilastele konkreetse haridusliku eesmärgi seadmine (millise tulemuse peaksid õpilased selles tunni etapis saavutama);

eesmärkide ja eesmärkide määratlemine, mille õpetaja selles tunni etapis endale seab;

uue õppematerjali kinnistamise käigus püstitatud eesmärkide saavutamise vormide ja meetodite kirjeldus, arvestades õpilaste individuaalseid iseärasusi, kellega õpetaja töötab.

kriteeriumide kirjeldus uue õppematerjali assimilatsiooniastme määramiseks õpilaste poolt;

kirjeldus võimalike viiside ja meetodite kohta, kuidas reageerida olukordadele, kui õpetaja teeb kindlaks, et osa õpilastest pole uut õppematerjali omandanud.

Õppematerjali konsolideerimine toimub küsimustele vastamisel ja õpikuga töötamisel:

Probleemi nr 5 analüüs lk 125;

Harjutuse lahendus

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) - suuliselt, 452 (suuliselt);

455 (1,3); 456 (1, 3)

Kogu tunni vältel on õpilaste aktiivsus suur, õpetajal on võimalus intervjueerida kõiki klassi õpilasi ja mõnda isegi rohkem kui üks kord.

Tund võetakse kokku õpilaste esiküsitlusena järgmistel küsimustele:

Milliseid võrrandeid nimetatakse redutseeritud?

Kas tavalist ruutvõrrandit saab taandada?

Kirjutage üles antud ruutvõrrandi juurte valem

Sõnasta Vieta teoreem.

Mis on võrrandi juurte summa ja korrutis:

Kodutöö, kaasa arvatud:

õpilastele iseseisva töö eesmärkide seadmine (mida õpilased peaksid kodutööde tegemise käigus tegema);

eesmärkide kindlaksmääramine, mida õpetaja soovib kodutööde seadmisega saavutada;

kodutööde eduka sooritamise kriteeriumide määratlemine ja õpilastele selgitamine.

Kodutöödes oodatakse õpilastelt võimetekohast tööd. Tugevad õpilased töötavad iseseisvalt ja töö lõpus on võimalus kontrollida oma otsuste õigsust, võrreldes neid järgmise tunni alguses tahvlile kirjutatud lahendustega. Teised õpilased saavad nõu oma klassikaaslastelt või õpetajalt. Nõrgad õpilased töötavad näidete põhjal, kasutavad tunnis käsitletud võrrandite lahendusi. Seega luuakse tingimused erinevatel keerukusastmetel töötamiseks.

Ruutvõrrand – lihtne lahendada! *Edaspidi tekstis "KU". Sõbrad, tundub, et matemaatikas võib see olla lihtsam kui sellise võrrandi lahendamine. Kuid miski ütles mulle, et paljudel inimestel on temaga probleeme. Otsustasin vaadata, kui palju kuvamisi Yandex ühe taotluse kohta kuus annab. Siin on, mis juhtus, vaadake:

Mida see tähendab? See tähendab, et seda infot otsib kuus umbes 70 000 inimest ja käes on suvi ja mis saab õppeaasta jooksul - päringuid tuleb kaks korda rohkem. See pole üllatav, sest need poisid ja tüdrukud, kes on juba ammu kooli lõpetanud ja valmistuvad eksamiks, otsivad seda teavet ning ka koolilapsed püüavad oma mälu värskendada.

Vaatamata asjaolule, et on palju saite, mis räägivad, kuidas seda võrrandit lahendada, otsustasin ka panustada ja materjali avaldada. Esiteks soovin, et külastajad tuleksid minu saidile selle taotluse alusel; teiseks, teistes artiklites, kui kõne “KU” tuleb, annan lingi sellele artiklile; kolmandaks räägin teile tema lahendusest veidi rohkem, kui teistel saitidel tavaliselt öeldakse. Alustame! Artikli sisu:

Ruutvõrrand on võrrand järgmisel kujul:

kus koefitsiendid a,bja suvaliste arvudega a≠0.

Koolikursusel antakse materjal järgmisel kujul - võrrandite jagamine kolmeks klassiks toimub tinglikult:

1. On kaks juurt.

2. * On ainult üks juur.

3. Ei oma juuri. Siinkohal tasub märkida, et neil pole tõelisi juuri

Kuidas juuri arvutatakse? Lihtsalt!

Arvutame diskriminandi. Selle "kohutava" sõna all peitub väga lihtne valem:

Juurevalemid on järgmised:

*Neid valemeid peab peast teadma.

Saate kohe kirja panna ja lahendada:

Näide:

1. Kui D > 0, siis on võrrandil kaks juurt.

2. Kui D = 0, siis on võrrandil üks juur.

3. Kui D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Vaatame võrrandit:

Sel korral, kui diskriminant on null, ütleb koolikursus, et saadakse üks juur, siin võrdub see üheksaga. See on õige, see on, aga...

See esitus on mõnevõrra vale. Tegelikult on kaks juurt. Jah, jah, ärge imestage, selgub kaks võrdset juurt ja et olla matemaatiliselt täpne, tuleks vastusesse kirjutada kaks juurt:

x 1 = 3 x 2 = 3

Aga see on nii – väike kõrvalepõige. Koolis saab kirja panna ja öelda, et on ainult üks juur.

Nüüd järgmine näide:

Nagu me teame, juur negatiivne arv ei ekstraheerita, seega pole antud juhul lahendust.

See on kogu otsustusprotsess.

Ruutfunktsioon.

Siin on lahendus geomeetriliselt. Seda on äärmiselt oluline mõista (edaspidi analüüsime ühes artiklis üksikasjalikult ruutvõrratuse lahendust).

See on vormi funktsioon:

kus x ja y on muutujad

a, b, c on antud arvud, kus a ≠ 0

Graafik on parabool:

Ehk siis selgub, et lahendades ruutvõrrandi, kus "y" on võrdne nulliga, leiame parabooli lõikepunktid x-teljega. Neid punkte võib olla kaks (diskriminant on positiivne), üks (diskriminant on null) või mitte ükski (diskriminant on negatiivne). Lisateavet ruutfunktsiooni kohta Saate vaadata Inna Feldmani artikkel.

Mõelge näidetele:

Näide 1: Otsustage 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Vastus: x 1 = 8 x 2 = -12

* Võiks võrrandi vasaku ja parema külje kohe jagada 2-ga ehk lihtsustada. Arvutused on lihtsamad.

Näide 2: Otsustama x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Saime x 1 \u003d 11 ja x 2 \u003d 11

Vastuses on lubatud kirjutada x = 11.

Vastus: x = 11

Näide 3: Otsustama x 2 – 8x+72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 –4, 1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminant on negatiivne, reaalarvudes lahendus puudub.

Vastus: lahendust pole

Diskriminant on negatiivne. Lahendus on olemas!

Siin räägime võrrandi lahendamisest juhul, kui saadakse negatiivne diskriminant. Kas sa tead kompleksarvudest midagi? Miks ja kus need tekkisid ning mis on nende konkreetne roll ja vajalikkus matemaatikas, ma siinkohal täpsemalt ei hakka kirjeldama, see on suure eraldi artikli teema.

Kompleksarvu mõiste.

Natuke teooriat.

Kompleksarv z on vormi arv

z = a + bi

kus a ja b on reaalarvud, siis i on nn imaginaarühik.

a+bi on ÜKS NUMBER, mitte lisand.

Imaginaarne ühik on võrdne miinus ühe juurega:

Nüüd kaaluge võrrandit:

Hankige kaks konjugeeritud juurt.

Mittetäielik ruutvõrrand.

Mõelge erijuhtudele, kui koefitsient "b" või "c" on võrdne nulliga (või mõlemad on võrdsed nulliga). Need on kergesti lahendatavad, ilma igasuguste diskrimineerimisvahenditeta.

Juhtum 1. Koefitsient b = 0.

Võrrand on järgmisel kujul:

Muutame:

Näide:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Juhtum 2. Koefitsient c = 0.

Võrrand on järgmisel kujul:

Teisendada, faktoriseerida:

*Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.

Näide:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 või x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Juhtum 3. Koefitsiendid b = 0 ja c = 0.

Siin on selge, et võrrandi lahendus on alati x = 0.

Kasulikud omadused ja koefitsientide mustrid.

On omadusi, mis võimaldavad lahendada suurte koefitsientidega võrrandeid.

ax 2 + bx+ c=0 võrdsus

a + b+ c = 0, siis

— kui võrrandi kordajate puhul ax 2 + bx+ c=0 võrdsus

a+ koos =b, siis

Need omadused aitavad lahendada teatud tüüpi võrrandit.

Näide 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koefitsientide summa on 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, seega

Näide 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Võrdsus a+ koos =b, tähendab

Koefitsientide seaduspärasused.

1. Kui võrrandis ax 2 + bx + c \u003d 0 on koefitsient "b" (a 2 +1) ja koefitsient "c" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Kui võrrandis ax 2 - bx + c \u003d 0 on koefitsient "b" (a 2 +1) ja koefitsient "c" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Kui võrrandis ax 2 + bx - c = 0 koefitsient "b" võrdub (a 2 – 1) ja koefitsient “c” arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured võrdsed

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.

4. Kui võrrandis ax 2 - bx - c \u003d 0 on koefitsient "b" võrdne (a 2 - 1) ja koefitsient c on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "a", siis on selle juured

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Näide. Vaatleme võrrandit 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 = 1/10

Vieta teoreem.

Vieta teoreem on oma nime saanud kuulsa prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi. Vieta teoreemi kasutades saab väljendada suvalise KU juurte summat ja korrutist selle koefitsientide kaudu.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kokkuvõttes annab arv 14 ainult 5 ja 9. Need on juured. Teatud oskusega saate esitatud teoreemi kasutades palju ruutvõrrandeid kohe suuliselt lahendada.

Vieta teoreem, pealegi. mugav, sest pärast ruutvõrrandi lahendamist tavalisel viisil(diskriminandi kaudu) saab saadud juuri kontrollida. Soovitan seda teha kogu aeg.

ÜLEKANDMISMEETOD

Selle meetodi korral korrutatakse koefitsient "a" vaba liikmega, justkui "ülekantakse" sellele, mistõttu seda nimetatakse ülekande meetod. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui võrrandi juuri on Vieta teoreemi abil lihtne leida ja mis kõige tähtsam, kui diskriminant on täpne ruut.

Kui a a± b+c≠ 0, siis kasutatakse ülekandetehnikat, näiteks:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Vastavalt Vieta teoreemile võrrandis (2) on lihtne kindlaks teha, et x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Saadud võrrandi juured tuleb jagada 2-ga (kuna need kaks “visati” x 2-st), saame

x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.

Mis on selle põhjendus? Vaata, mis toimub.

Võrrandite (1) ja (2) diskriminandid on järgmised:

Kui vaadata võrrandite juuri, siis saadakse ainult erinevad nimetajad ja tulemus sõltub täpselt koefitsiendist x 2 juures:

Teised (modifitseeritud) juured on 2 korda suuremad.

Seetõttu jagame tulemuse 2-ga.

*Kui veeretame kolmekesi, siis jagame tulemuse 3-ga jne.

Vastus: x 1 = 5 x 2 = 0,5

ruut ur-ie ja eksam.

Selle tähtsuse kohta ütlen lühidalt - OTSUSTADA PEAKS kiiresti ja mõtlemata, juurte ja eristaja valemeid on vaja peast teada. Paljud USE ülesannete osaks olevad ülesanded taanduvad ruutvõrrandi lahendamisele (kaasa arvatud geomeetrilised).

Mida tasub tähele panna!

1. Võrrandi vorm võib olla "kaudne". Näiteks on võimalik järgmine kirje:

15+ 9x 2 - 45x = 0 või 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 või 15 -5x + 10x 2 = 0.

Peate selle viima standardvormile (et mitte lahendamisel segadusse sattuda).

2. Pidage meeles, et x on tundmatu väärtus ja seda saab tähistada mis tahes muu tähega - t, q, p, h ja teised.

Ruutvõrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Ruutvõrrandite tüübid

Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Tähtajaliselt ruutvõrrand märksõna on "ruut". See tähendab, et võrrandis tingimata seal peab olema x-i ruut. Lisaks sellele võib võrrandis olla (või mitte olla!) Lihtsalt x (esimese astmeni) ja ainult arv (vabaliige). Ja kraadides, mis on suuremad kui kaks, ei tohiks x-e olla.

Matemaatilises mõttes on ruutvõrrand järgmise kujuga võrrand:

Siin a, b ja c- mõned numbrid. b ja c- absoluutselt ükskõik, aga a- kõike muud kui null. Näiteks:

Siin a =1; b = 3; c = -4

Siin a =2; b = -0,5; c = 2,2

Siin a =-3; b = 6; c = -18

No saate aru...

Nendes ruutvõrrandites vasakul on täiskomplekt liikmed. x ruudus koefitsiendiga a, x koefitsiendiga esimese astmeni b ja vaba liige

Selliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielik.

Mis siis kui b= 0, mida me saame? Meil on X kaob esimeses astmes. See juhtub nulliga korrutamisest.) Selgub näiteks:

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Jne. Ja kui mõlemad koefitsiendid b ja c on nulliga, siis on veelgi lihtsam:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Selliseid võrrandeid, kus midagi on puudu, nimetatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mis on üsna loogiline.) Pange tähele, et x ruudus esineb kõigis võrrandites.

Muide, miks a null ei saa olla? Ja asendate selle asemel a null.) X ruudust kaob! Võrrand muutub lineaarseks. Ja seda tehakse teisiti...

See on kõik ruutvõrrandite peamised tüübid. Täielik ja mittetäielik.

Ruutvõrrandite lahendus.

Täielike ruutvõrrandite lahendus.

Ruutvõrrandeid on lihtne lahendada. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimeses etapis on vaja antud võrrand viia standardkujule, s.o. vaatele:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema.) Peaasi on kõik koefitsiendid õigesti määrata, a, b ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja järgmine:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Temast aga lähemalt allpool. Nagu näete, kasutame x leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c sellesse valemisse ja loenda. Asendaja oma märkidega! Näiteks võrrandis:

a =1; b = 3; c= -4. Siin me kirjutame:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Kõik on väga lihtne. Ja mis sa arvad, sa ei saa valesti minna? No jah, kuidas...

Levinumad vead on segadus väärtuste märkidega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus on seal segadusse sattuda?), vaid asendamisega negatiivsed väärtused juurte arvutamise valemisse. Siin salvestatakse valemi üksikasjalik kirje konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, nii tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.

Noh, ära ole laisk. Lisarea kirjutamine võtab aega 30 sekundit ja vigade arv langeb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:

Tundub uskumatult raske nii hoolikalt maalida. Aga ainult näib. Proovi seda. No või vali. Kumb on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt värvida. See saab lihtsalt õigeks. Eriti kui kasutate praktilisi võtteid, mida kirjeldatakse allpool. See kuri näide hunniku miinustega lahendatakse lihtsalt ja vigadeta!

Kuid sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Kas teadsite?) Jah! seda mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendus.

Neid saab lahendada ka üldvalemiga. Peate lihtsalt õigesti välja mõtlema, mis on siin võrdne a, b ja c.

Sai aru? Esimeses näites a = 1; b = -4; a c? Seda pole üldse olemas! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Asendage valemis selle asemel null c, ja kõik saab meie jaoks korda. Samamoodi ka teise näitega. Ainult nulli meil siin pole Koos, a b !

Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab palju lihtsamalt lahendada. Ilma ühegi valemita. Mõelge esimesele mittetäielikule võrrandile. Mida saab teha vasakul küljel? Võite X-i sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.

Ja mis sellest? Ja see, et korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on võrdne nulliga! Ei usu? Mõelge siis välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
Ei tööta? Midagi...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Kui asendada ükskõik milline neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus üldvalemist palju lihtsam. Märgin muide, milline X on esimene ja milline teine ​​- see on täiesti ükskõik. Lihtne järjekorras kirjutada x 1- olenevalt sellest, kumb on väiksem x 2- see, mis on rohkem.

Ka teist võrrandit saab kergesti lahendada. Liigume 9 paremale küljele. Saame:

Jääb üle juur 9-st välja tõmmata ja ongi kõik. Hankige:

ka kaks juurt . x 1 = -3, x 2 = 3.

Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas võttes x sulgudest välja või lihtne ülekanne numbrid paremale, millele järgneb juure ekstraheerimine.
Neid meetodeid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate X-st juure välja võtma, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta ...

Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.

Maagiline sõna diskrimineeriv ! Harv gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas "otsustage diskrimineerija kaudu" on rahustav ja rahustav. Sest pole vaja oodata diskrimineerija trikke! Selle käsitlemine on lihtne ja probleemivaba.) Tuletan teile kõige rohkem meelde üldine valem lahenduste jaoks ükskõik milline ruutvõrrandid:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskriminandiks. Diskriminanti tähistatakse tavaliselt tähega D. Diskrimineeriv valem:

D = b2-4ac

Ja mis on selles väljendis nii erilist? Miks see väärib erilist nime? Mida diskrimineerija tähendus? Pealegi -b, või 2a selles valemis ei nimeta nad konkreetselt ... tähti ja tähti.

Asi on selles. Selle valemi abil ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik ainult kolm juhtumit.

1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et saate sellest juure eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine ​​küsimus. Oluline on see, mida põhimõtteliselt kaevandatakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Kuna lugejas nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid lihtsustatud versioonis on tavaks rääkida üks lahendus.

3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivne arv ei võta ruutjuurt. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.

Kui aus olla, siis kl lihtne lahendus ruutvõrrandid, ei ole diskriminandi mõiste eriti nõutav. Asendame valemis koefitsientide väärtused ja arvestame. Seal selgub kõik iseenesest ja kaks juurt ja üks, mitte ükski. Keerulisemate ülesannete lahendamisel aga teadmisteta tähendus ja diskrimineeriv valem mitte piisavalt. Eriti - parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on aerobaatika GIA ja ühtse riigieksami jaoks!)

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskrimineerija, mis sulle meelde jäi. Või õppinud, mis pole samuti halb.) Sa tead, kuidas õigesti tuvastada a, b ja c. Kas sa tead, kuidas hoolikalt asendage need juurvalemis ja hoolikalt loe tulemust. Kas saite aru, et võtmesõna siin on - hoolikalt?

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Just need, mis on tingitud tähelepanematusest ... mille pärast see on siis valus ja solvav ...

Esimene vastuvõtt . Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist, et viia see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast mis tahes teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurte valemit kirjutama! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Ehitage näide õigesti. Kõigepealt x ruudus, siis ilma ruuduta, siis vabaliige. Nagu nii:

Ja veelkord, ärge kiirustage! Miinus enne x ruutu võib teid palju häirida. Selle unustamine on lihtne... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Ja nüüd võite julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskrimineerija ja täiendada näidet. Otsustage ise. Peaksite jõudma juurtega 2 ja -1.

Teine vastuvõtt. Kontrolli oma juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge muretsege, ma selgitan kõike! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. see, mille järgi kirjutasime üles juurte valemi. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, kontrollige juuri lihtsalt. Piisab nende korrutamisest. Peaks saama vaba tähtaja, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! vaba liige oma märgiga . Kui see ei õnnestunud, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi ajanud. Otsige viga.

Kui see õnnestus, peate juured kokku voltima. Viimane ja viimane kontroll. Peaks olema suhe b Koos vastupidine märk. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne x, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas, koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Kõik vähem vigu saab.

Vastuvõtt kolmas . Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand arvuga ühine nimetaja, nagu on kirjeldatud õppetükis "Kuidas lahendada võrrandeid? Identiteedi teisendused". Murdudega töötades tekivad vead mingil põhjusel ...

Muide, ma lubasin lihtsustamiseks kurja näite hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.

Et mitte miinustes segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:

See on kõik! Otsustamine on lõbus!

Nii et võtame teema kokku.

Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi tüüpvormile, ehitame selle õige.

2. Kui ruudus x ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.

4. Kui x ruudus on puhas, on selle koefitsient võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemiga. Tee seda!

Nüüd saate otsustada.)

Lahenda võrrandid:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastused (segaduses):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - suvaline arv

x 1 = -3
x 2 = 3

lahendusi pole

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Kas kõik sobib? Suurepärane! Ruutvõrrandid pole teie omad peavalu. Esimesed kolm osutusid, aga ülejäänud mitte? Siis pole probleem ruutvõrrandites. Probleem seisneb võrrandite identsetes teisendustes. Vaata linki, see on abiks.

Ei tööta päris? Või ei tööta see üldse? Siis aitab sind paragrahv 555. Seal on kõik need näited kontide järgi sorteeritud. Kuvatakse peamine vead lahenduses. Loomulikult kirjeldatakse ka identsete teisenduste rakendamist erinevate võrrandite lahendamisel. Aitab palju!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.