Вигин при розподіленому навантаженні. Чистий вигин. Поперечний вигин. Загальні концепції. Обчислюємо моменти інерції та сил

Вигин при розподіленому навантаженні. Чистий вигин. Поперечний вигин. Загальні концепції. Обчислюємо моменти інерції та сил

20.06.2020 Комплектуючі

При побудові епюри згинальних моментівМ у будівельниківприйнято: ординати, які виражають у певному масштабі позитивнізначення згинальних моментів, відкладати з боку розтягнутихволокон, тобто. - вниз, а негативні - вгорувід осі балки. Тому кажуть, що будівельники будують епюри на розтягнутих волокнах. У механіківпозитивні значення і поперечної сили та згинального моменту відкладаються вгору.Механіки будують епюри на стислихволокнах.

Головні напруження при згинанні. Еквівалентна напруга.

У випадку прямого вигину в поперечних перерізах балки виникають нормальніі дотичнінапруги. Ці напруги змінюються як у довжині, і по висоті балки.

Таким чином, у разі вигину має місце плоский напружений стан.

Розглянемо схему, де балка навантажена силою Р

Найбільші нормальнінапруги виникають у крайніх,найбільш віддалених від нейтральної лінії точках, а дотичні напруги у них відсутні.Таким чином, для крайніхволокон ненульовими головними напругами є нормальні напругиу поперечному перерізі.

На рівні нейтральної лініїу поперечному перерізі балки виникають найбільші дотичні напруги,а нормальні напруги дорівнюють нулю. отже, у волокнах нейтральногошару Основні напруги визначаються значеннями дотичних напруг.

У цій розрахунковій схемі верхні волокна балки будуть розтягнуті, а нижні – стиснуті. Для визначення головної напруги використовуємо відомий вираз:

Повний аналіз напруженого станупредставимо на малюнку.

Аналіз напруженого стану при згинанні

Найбільша напруга σ 1знаходиться на верхніхкрайніх волокнах та одно нулю на нижніх крайніх волокнах. Головна напруга σ 3має найбільше за абсолютною величиною значення нижніх волокнах.

Траєкторія головних напругзалежить від типу навантаженняі способу закріплення балки.

При вирішенні завдань достатньо окремоперевірити нормальніі окремо дотичні напруги.Однак іноді найбільш напруженимивиявляються проміжніволокна, в яких є і нормальні, і дотичні напруги. Це відбувається у перерізах, де одночасно і згинальний момент, і поперечна сила досягають великих значень- це може бути в закладенні консольної балки, на опорі балки з консоллю, в перерізах під зосередженою силою або в перерізах з різко мінливою шириною. Наприклад, у двотавровому перерізі найбільш небезпечні місця примикання стінки до полиці- там є значні та нормальні, і дотичні напруження.

Матеріал знаходиться в умовах плоского напруженого стану і потрібний перевірка за еквівалентною напругою.

Умови міцності балок із пластичних матеріалівпо третьою(Теорії найбільших дотичних напруг) і четвертою(Теорія енергії формозмін) теоріям міцності.

Як правило, в прокатних балках еквівалентна напруга не перевищує нормальних напруг у крайніх волокнах і спеціальної перевірки не потрібно. Інша справа - складові металеві балки,в яких стінка тонша, ніж у прокатних профілів за тієї ж висоти. Найчастіше застосовуються зварні складові балки із сталевих листів. Розрахунок подібних балок на міцність: а) підбір перерізу - висоти, товщини, ширини та товщини поясів балки; б) перевірка міцності за нормальними і дотичними напругами; в) перевірка міцності за еквівалентними напругами.

Визначення дотичних напруг у двотавровому перерізі. Розглянемо перетин двотавра. S x = 96,9 см 3; Yх = 2030 см 4; Q=200 кН

Для визначення дотичної напруги застосовується формуладе Q - поперечна сила в перерізі, S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x - момент інерції всього поперечного перерізу, b - ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга

Обчислимо максимальнедотична напруга:

Обчислимо статичний момент для верхньої полиці:

Тепер обчислимо дотичні напруги:

Будуємо епюру дотичних напруг:

Розглянемо переріз стандартного профілю у вигляді двотавраі визначимо дотичні напруги, що діють паралельно поперечній силі:

Розрахуємо статичні моментипростих фігур:

Цю величину можна обчислити та інакше, Використовуючи ту обставину, що для двотаврового та коритного перерізу в даний статичний момент половини перерізу. Для цього необхідно відняти від відомої величини статичного моменту величину статичного моменту до лінії А 1 В 1:

Дотичні напруги в місці примикання полиці до стінки змінюються стрибкоподібно, так як різкозмінюється товщина стінки від t стдо b.

Епюри дотичних напруг у стінках коритного, порожнистого прямокутного та інших перерізів мають той самий вигляд, що й у разі двотаврового перерізу. У формулу входить статичний момент заштрихованої частини перерізу щодо осі Х, а в знаменнику ширина перерізу (нетто) у тому шарі, де визначається дотична напруга.

Визначимо дотичні напруги для круглого перерізу.

Так як у контуру перерізу дотичні напруги повинні бути спрямовані по дотичній до контуру,то в точках Аі Ув кінці якої-небудь паралельної діаметру хорді АВ,дотичні напруги спрямовані перпендикулярно радіусам ОАі ВВ.Отже, напрямкидотичних напруг у точках А, В, Ксходяться в деякій точці Нна осі Y.

Статичний момент відсіченої частини:

Тобто дотичні напруження змінюються по параболічномузакону і будуть максимальні на рівні нейтральної лінії, коли у 0 = 0

Формула для визначення дотичних напруг (формула)

Розглянемо прямокутний перетин

На відстані у 0від центральної осі проведемо перетин 1-1і визначимо дотичні напруги. Статичний момент площівідсіченої частини:

Слід пам'ятати, що важливо байдужебрати статичний момент площі заштрихованої чи решти частинипоперечного перерізу. Обидва статичні моменти рівні та протилежні за знакомтому їх сума,яка представляє статичний момент площі всього перерізущодо нейтральної лінії, а саме центральної осі х, дорівнюватиме нулю.

Момент інерції прямокутного перерізу:

Тоді дотичні напругиза формулою

Змінна у 0 входить у формулу другийступеня, тобто. дотичні напруги в прямокутному перерізі змінюються по закону квадратної параболи.

Дотичні напруги досягнуто максимумулише на рівні нейтральної лінії, тобто. коли у 0 = 0:

, де А-площа всього перерізу.

Умова міцності за дотичною напругоюмає вигляд:

, де S x 0- Статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x- момент інерції всього поперечного перерізу, b- Ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга, Q-поперечна сила, τ - дотична напруга, [τ] - Допускна дотична напруга.

Ця умова міцності дозволяє виробляти тривиду розрахунку (три типи завдань при розрахунку на міцність):

1. Перевірочний розрахунок або перевірка міцності щодо дотичних напруг:

2. Підбір ширини перерізу (для прямокутного перерізу):

3.Визначення допустимої поперечної сили (для прямокутного перерізу):

Для визначення дотичнихнапруг розглянемо балку, навантажену силами.

Завдання визначення напруг завжди статично невизначената вимагає залучення геометричнихі фізичнихрівнянь. Однак можна прийняти такі гіпотези про характер розподілу напруг, що завдання стане статично визначимою.

Двома нескінченно близькими поперечними перерізами 1-1 та 2-2 виділимо елемент dz,зобразимо його у великому масштабі, потім проведемо поздовжній переріз 3-3.

У перерізах 1–1 та 2–2 виникають нормальні σ 1 , σ 2 напруги, Які визначаються за відомими формулами:

де М - згинальний моменту поперечному перерізі, dМ - збільшеннязгинального моменту на довжині dz

Поперечна силау перерізах 1–1 та 2–2 спрямована вздовж головної центральної осі Y і, очевидно, представляє суму вертикальних складових внутрішніх дотичних напруг, розподілених за перерізом. У опорі матеріалів зазвичай приймається припущення про рівномірне їх розподіл за шириною перерізу.

Для визначення величини дотичних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу, розташованого на відстані у 0від нейтральної осі Х, проведемо через цю точку площину, паралельну до нейтрального шару (3-3), і винесемо відсічений елемент. Визначатимемо напругу, що діє по майданчику АВСД.

Спроектуємо всі сили на вісь Z

Рівнодія внутрішніх поздовжніх сил по правій грані дорівнюватиме:

де А 0 – площа фасадної грані, S x 0 – статичний момент відсіченої частини щодо осі Х. Аналогічно на лівій грані:

Обидві рівнодіючі спрямовані назустріч один одному,оскільки елемент знаходиться в стиснутоюзоні балки. Їхня різниця врівноважується дотичними силами на нижній грані 3-3.

Припустимо, що дотичні напруги τрозподілені за шириною поперечного перерізу балки b рівномірно. Таке припущення тим ймовірніше, що менше ширина проти висотою перерізу. Тоді рівнодіюча дотичних сил dTдорівнює значенню напруг, помноженому на площу грані:

Складемо тепер рівняння рівноваги Σz=0:

або, звідки

Згадаймо диференціальні залежностізгідно з якими Тоді отримуємо формулу:

Ця формула отримала назву формули. Ця формула отримана 1855 р. Тут S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу,розташованої по одну сторону від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x – момент інерціївсього поперечного перерізу, b – ширина перерізутам, де визначається дотична напруга, Q-поперечна силау перерізі.

- Умова міцності при вигині,де

- максимальний момент (по модулю) з епюри згинальних моментів; - осьовий момент опору перерізу, геометрична характеристика; - допустима напруга (σ adm)

- максимальна нормальна напруга.

Якщо розрахунок ведеться за методом граничних станів,то в розрахунок замість напруги, що допускається, вводиться розрахунковий опір матеріалу R.

Типи розрахунків на міцність при згинанні

1. Перевірочнийрозрахунок або перевірка міцності за нормальними напругами

2. Проектнийрозрахунок або підбір перерізу

3. Визначення допустимоїнавантаження (визначення вантажопідйомністьта або експлуатаційної несучоюможливості)

При виведенні формули для обчислення нормальних напруг розглянемо такий випадок вигину, коли внутрішні сили в перерізах балки наводяться лише до згинальний момент, а поперечна сила виявляється рівною нулю. Цей випадок вигину зветься чистого вигину. Розглянемо середню ділянку балки, що піддається чистому вигину.

У навантаженому стані балка прогинається так, що її нижні волокна подовжуються, а верхні коротшають.

Оскільки частина волокон балки розтягується, частина стискається, причому перехід від розтягнення до стиску відбувається плавно, без стрибків, в середньоїчастини балки знаходиться шар, волокна якого тільки викривляються, але не відчувають ні розтягування, ні стискування.Такий шар називають нейтральнимшаром. Лінія, якою нейтральний шар перетинається з поперечним перерізом балки, називається нейтральною лінієюабо нейтральною віссюперерізу. Нейтральні лінії нанизані на вісь балки. Нейтральна лінія- це лінія, в якій нормальні напруги дорівнюють нулю.

Лінії, проведені на бічній поверхні балки перпендикулярно до осі, залишаються плоскимипри згинанні. Ці дослідні дані дозволяють покласти в основу висновків формул гіпотезу плоских перерізів (гіпотеза). Згідно з цією гіпотезою перерізу балки плоскі та перпендикулярні до її осі до вигину, залишаються плоскими і виявляються перпендикулярними до вигнутої осі балки при її вигині.

Допущення для виведення формул нормальної напруги: 1) Виконується гіпотеза плоских перерізів. 2) Поздовжні волокна один на одного не тиснуть (гіпотеза про ненатискання) і, отже, кожне з волокон знаходиться в стані одновісного розтягування або стиснення. 3) Деформації волокон не залежить від їх положення за шириною перерізу. Отже, і нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються по ширині однаковими. 4) Балка має хоча б одну площину симетрії, і всі зовнішні сили лежать у цій площині. 5) Матеріал балки підпорядковується закону Гука, причому модуль пружності при розтягуванні та стисканні однаковий. 6) Співвідношення між розмірами балки такі, що вона працює в умовах плоского вигину без жолоблення або скручування.

Розглянемо балку довільного перерізу, але має вісь симетрії. Згинальний моментявляє собою результуючий момент внутрішніх нормальних сил, що виникають на нескінченно малих майданчиках і можуть бути виражені в інтегральномувигляді: (1), де y - плече елементарної сили щодо осі х

Формула (1) висловлює статичнубік задачі про згин прямого бруса, але по ній за відомим згинальним моментом не можна визначити нормальні напруги, доки встановлено закон їх розподілу.

Виділимо на середній ділянці балки та розглянемо ділянку довжиною dz,що піддається вигину. Зобразимо його у укрупненому масштабі.

Перерізи, що обмежують ділянку dz, паралельні один одному до деформації, а після застосування навантаження обернуться навколо своїх нейтральних ліній на кут . Довжина відрізка волокон нейтрального шару при цьому не змінитьсяі дорівнюватиме: , де це радіус кривизнивигнутої осі балки. А ось будь-яке інше волокно, що лежить нижче або вищенейтрального шару, змінить свою довжину. Обчислимо відносне подовження волокон, що від нейтрального шару з відривом у.Відносне подовження - це відношення абсолютної деформації до початкової довжини, тоді:

Скоротимо на і наведемо подібні члени, тоді отримаємо: (2) Ця формула висловлює геометричнубік завдання про чистий вигин: деформації волокон прямо пропорційні їх відстані до нейтрального шару.

Тепер перейдемо до напруженням, тобто. будемо розглядати фізичнубік завдання. відповідно до припущенням про ненатисканняволокон використовуємо при осьовому розтягуванні-стисканні:, тоді з урахуванням формули (2) маємо (3), тобто. нормальні напруженняпри вигині за висотою перерізу розподіляються за лінійним законом. На крайніх волокнах нормальні напруги досягають максимального значення, а центрі тяжкості перерізу дорівнюють нулю. Підставимо (3) у рівняння (1) і винесемо за знак інтеграла дріб як постійну величину, тоді маємо . Але вираз – це осьовий момент інерції перерізу щодо осі х - I х. Його розмірність см 4 , м 4

Тоді звідки (4) ,де - це кривизна вигнутої осі балки, а - жорсткість перерізу балки при згинанні.

Підставимо отриманий вираз кривизни (4)на вираз (3) і отримаємо формулу для обчислення нормальних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу: (5)

Т.о. максимальнінапруги виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії.Ставлення (6) називають осьовим моментом опору перерізу. Його розмірність см 3 , м 3. Момент опору характеризує вплив форми та розмірів поперечного перерізу на величину напруги.

Тоді максимальна напруга: (7)

Умова міцності при згинанні: (8)

При поперечному згині діють не тільки нормальні, а й дотичні напруги,т.к. є поперечна сила. Дотичні напруження ускладнюють картину деформування, вони призводять до викривленняпоперечних перерізів балки, внаслідок чого порушується гіпотеза плоских перерізів. Однак дослідження показують, що спотворення, які привносять дотичні напруги, незначновпливають на нормальні напруги, підраховані за формулою (5) . Таким чином, при визначенні нормальних напруг у разі поперечного вигину теорія чистого вигину цілком застосовна.

нейтральна лінія. Питання про становище нейтральної лінії.

При згинанні відсутня поздовжня сила, тому можна записати Підставимо сюди формулу нормальних напруг (3) і отримаємо Так як модуль поздовжньої пружності матеріалу балки не дорівнює нулю і вигнута вісь балки має кінцевий радіус кривизни, залишається покласти, що цей інтеграл є статичний момент площіпоперечного перерізу балки щодо нейтральної лінії-осі х , і, оскільки він дорівнює нулю, то нейтральна лінія проходить через центр тяжкості перерізу.

Умова (відсутність моменту внутрішніх сил щодо силової лінії) дасть або з урахуванням (3) . З тих самих міркувань (див. вище) . У підінтегральному вираженні - відцентровий момент інерції перерізу щодо осей х і у дорівнює нулю, отже, ці осі є головними та центральнимиі становлять прямийкут. Отже, силова і нейтральна лінії при прямому згині взаємно перпендикулярні.

Встановивши положення нейтральної лінії, нескладно збудувати епюру нормальних напругза висотою перерізу. Її лінійнийхарактер визначається рівнянням першого ступеня.

Характер епюри для симетричних перерізів щодо нейтральної лінії, М<0

Для консольної балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м і зосередженим моментом кН/м (рис. 3.12), потрібно: побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів , підібрати балку круглого поперечного перерізу при допустимій нормальній напрузі кН/см2 і перевірити дотичній напруги при допущеній дотичній напрузі кН/см2. Розміри балки м; м; м.

Розрахункова схема для завдання на прямий поперечний вигин

Рис. 3.12

Розв'язання задачі "прямий поперечний вигин"

Визначаємо опорні реакції

Горизонтальна реакція в закладенні дорівнює нулю, оскільки зовнішні навантаження у напрямку осі z на балку не діють.

Вибираємо напрями решти реактивних зусиль, що виникають у закладенні: вертикальну реакцію направимо, наприклад, вниз, а момент – протягом годинної стрілки. Їх значення визначаємо з рівнянь статики:

Складаючи ці рівняння, вважаємо момент позитивним при обертанні проти ходу годинникової стрілки, а проекцію позитивної сили, якщо її напрямок збігається з позитивним напрямом осі y.

З першого рівняння знаходимо момент у закладенні:

З другого рівняння – вертикальну реакцію:

Отримані нами позитивні значення для моменту та вертикальної реакції у закладенні свідчать про те, що ми вгадали їхні напрямки.

Відповідно до характеру закріплення та навантаження балки, розбиваємо її довжину на дві ділянки. По межах кожної з цих ділянок намітимо чотири поперечні перерізи (див. рис. 3.12), в яких ми і будемо методом перерізів (РОЗУ) обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів.

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Замінимо її дію на ліву частину , що залишилася , що перерізує силою і згинальним моментом . Для зручності обчислення їх значень закриємо відкинуту нами праву частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка з перерізом, що розглядається.

Нагадаємо, що сила, що перерізує, що виникає в будь-якому поперечному перерізі, повинна врівноважити всі зовнішні сили (активні і реактивні), які діють на частину балки, що розглядається (тобто видиму) нами. Тому сила, що перерізує, повинна дорівнювати алгебраїчній сумі всіх сил, які ми бачимо.

Наведемо і правило знаків для сили, що перерізує: зовнішня сила, що діє на розглянуту частину балки і прагне «повернути» цю частину щодо перерізу по ходу годинної стрілки, викликає в перерізі позитивну перерізуючу силу. Така зовнішня сила входить у суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

У нашому випадку ми бачимо лише реакцію опори, яка обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (щодо краю аркуша паперу) проти перебігу годинникової стрілки. Тому

кн.

Згинальний момент у будь-якому перерізі повинен урівноважити момент, створюваний видимими нами зовнішніми зусиллями, щодо перерізу, що розглядається. Отже, він дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зусиль, які діють на частину балки, що розглядається нами, щодо аналізованого перерізу (іншими словами, щодо краю листка паперу). При цьому зовнішнє навантаження, що згинає розглянуту частину балки опуклістю вниз, викликає в перерізі позитивний згинальний момент. І момент, створюваний таким навантаженням, входить в суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

Ми бачимо два зусилля: реакцію та момент у закладенні. Однак у сили плече щодо перерізу 1 дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Знак «плюс» нами взятий тому, що реактивний момент згинає видиму частину балки опуклістю вниз.

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер, на відміну першого перетину, у сили з'явилося плече: м. Тому

кН; кН·м.

Перетин 3. Закриваючи праву частину балки, знайдемо

кН;

Перетин 4. Закриємо листком ліву частину балки. Тоді

кН·м.

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.12, б) і згинальних моментів (рис. 3.12, в).

Під незавантаженими ділянками епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по похилій прямій вгору. Під опорною реакцією на епюрі є стрибок вниз величину цієї реакції, тобто на 40 кН.

На епюрі згинальних моментів ми бачимо злам під опорною реакцією. Кут зламу спрямований назустріч реакції опори. Під розподіленим навантаженням q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, в цьому місці проходить тут через нульове значення.

Визначаємо необхідний діаметр поперечного перерізу балки

Умова міцності за нормальними напругами має вигляд:

де - момент опору балки при згинанні. Для балки круглого поперечного перерізу він дорівнює:

Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент виникає в третьому перерізі балки: кН · див.

Тоді необхідний діаметр балки визначається за формулою

див.

Приймаємо мм. Тоді

кН/см2 кН/см2.

«Перенапруження» складає

що допускається.

Перевіряємо міцність балки за найбільшою дотичною напругою

Найбільші дотичні напруги, що виникають у поперечному перерізі балки круглого перерізу, обчислюються за формулою

де - Площа поперечного перерізу.

Згідно з епюрою, найбільше за величиною алгебри значення перерізуючої сили дорівнює кн. Тоді

кН/см2 кН/см2

тобто умова міцності і з дотичних напруг виконується, причому, з великим запасом.

Приклад розв'язання задачі "прямий поперечний вигин" №2

Умова прикладу завдання на прямий поперечний вигин

Для шарнірно опертої балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м, зосередженою силою кН і зосередженим моментом кН·м (рис. 3.13), потрібно побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів і підібрати балку двотаврового поперечного перерізу при допусканому нормальному допустимій дотичній напрузі кН/см2. Проліт балки м.

Приклад завдання на прямий вигин – розрахункова схема

Рис. 3.13

Розв'язання прикладу задачі на прямий вигин

Визначаємо опорні реакції

Для заданої шарнірно опертої балки необхідно знайти три опорні реакції: , і . Оскільки на балку діють лише вертикальні навантаження, перпендикулярні до осі, горизонтальна реакція нерухомої шарнірної опори A дорівнює нулю: .

Напрямки вертикальних реакцій і вибираємо довільно. Направимо, наприклад, обидві вертикальні реакції вгору. Для обчислення їх значень складемо два рівняння статики:

Нагадаємо, що рівнодіюча погонної навантаження , рівномірно розподіленої на ділянці довжиною l, дорівнює , тобто дорівнює площі епюри цього навантаження і прикладена вона в центрі тяжкості цієї епюри, тобто посередині довжини.

;

кн.

Робимо перевірку: .

Нагадаємо, що сили, напрямок яких збігається з позитивним напрямком осі y, проектуються (проектуються) на цю вісь зі знаком плюс:

тобто вірно.

Будуємо епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів

Розбиваємо довжину балки окремі ділянки. Межами цих ділянок є точки докладання зосереджених зусиль (активних та/або реактивних), а також точки, що відповідають початку та закінченню дії розподіленого навантаження. Таких ділянок у нашому завданні виходить три. По межах цих ділянок намітимо шість поперечних перерізів, в яких ми і будемо обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів (рис. 3.13, а).

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Для зручності обчислення сили, що перерізує, і згинального моменту , що виникають у цьому перерізі, закриємо відкинуту нами частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка паперу з самим перетином.

Перерізувальна сила в перерізі балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил (активних і реактивних), які ми бачимо. У разі ми бачимо реакцію опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малої довжині. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кн.

Знак «плюс» взятий тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (краю листка паперу) протягом годинної стрілки.

Згинальний момент у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо, щодо розглянутого перерізу (тобто щодо краю листка паперу). Ми бачимо реакцію опори та погонне навантаження q, розподілене на нескінченно малій довжині. Однак у сили плече дорівнює нулю. Рівнодія погонного навантаження також дорівнює нулю. Тому

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер ми бачимо реакцію та навантаження q, що діє на ділянці завдовжки . Рівнодія погонного навантаження дорівнює. Вона прикладена посередині ділянки завдовжки. Тому

Нагадаємо, що при визначенні знака згинального моменту ми подумки звільняємо видиму нами частину балки від усіх фактичних опорних закріплень і представляємо її як би защемленою в розрізі (тобто лівий край листка паперу нами подумки є жорстким закладенням).

Перетин 3. Закриємо праву частину. Отримаємо

Перетин 4. Закриваємо листком праву частину балки. Тоді

Тепер для контролю правильності обчислень закриємо листком паперу ліву частину балки. Ми бачимо зосереджену силу P, реакцію правої опори та погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малу довжину. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Тобто все правильно.

Перетин 5. Як і раніше, закриємо ліву частину балки. Будемо мати

кН;

кН·м.

Перетин 6. Знову закриємо ліву частину балки. Отримаємо

кН;

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.13, б) і згинальних моментів (рис. 3.13, в).

Переконуємося в тому, що під незавантаженою ділянкою епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по прямій, що має нахил вниз. На епюрі є три стрибки: під реакцією - на 37,5 кН, під реакцією - на 132,5 кН і під силою P - вниз на 50 кН.

На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P і під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням інтенсивністю q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. Під зосередженим моментом – стрибок на 60 кН · м, тобто величину самого моменту. У перерізі 7 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, для цього перерізу проходить через нульове значення (). Визначимо відстань від перерізу 7 до лівої опори.

Вигином називається вид деформації, при якому викривляється поздовжня вісь бруса. Прямі бруси, що працюють на вигин, називаються балками. Прямим вигином називається вигин, при якому зовнішні сили, що діють на балку, лежать в одній площині (силовій площині), що проходить через поздовжню вісь балки та головну центральну вісь інерції поперечного перерізу.

Вигин називається чистимякщо в будь-якому поперечному перерізі балки виникає тільки один згинальний момент.

Вигин, при якому в поперечному перерізі балки одночасно діють згинальний момент і поперечна сила, називається поперечним. Лінія перетину силової площини та площини поперечного перерізу називається силовою лінією.

Внутрішні силові фактори при згинанні балки.

При плоскому поперечному згині в перерізах балки виникають два внутрішні силові фактори: поперечна сила Q і згинальний момент М. Для їх визначення використовують метод перерізів (див. лекцію 1). Поперечна сила Q в перерізі балки дорівнює сумі алгебри проекцій на площину перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від розрізу.

Правило знаків для поперечних сил Q:

Згинальний момент М у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів щодо центру тяжкості цього перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від аналізованого перерізу.

Правило знаків для згинальних моментів M:

Диференційні залежності Журавського.

Між інтенсивністю q розподіленого навантаження, виразами для поперечної сили Q та згинального моменту М встановлені диференціальні залежності:

На основі цих залежностей можна виділити такі загальні закономірності епюр поперечних сил Q і згинальних моментів М:

Особливості епюр внутрішніх силових факторів при згинанні.

1. На ділянці балки, де немає розподіленого навантаження, епюра Q представлена прямою лінією , паралельній базі епюре, а епюра М - похилої прямої (рис. а).

2. У перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q має бути стрибок , що дорівнює значенню цієї сили, а на епюрі М - точка перелому (Рис. А).

3. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, значення Q не змінюється, а епюра М має стрибок , що дорівнює значенню цього моменту, (рис. 26, б).

4. На ділянці балки з розподіленим навантаженням інтенсивності q епюра Q змінюється за лінійним законом, а епюра М - за параболічним, причому опуклість параболи спрямована назустріч напрямку розподіленого навантаження (Рис. в, г).

5. Якщо в межах характерної ділянки епюра Q перетинає базу епюри, то в перерізі, де Q = 0, момент, що згинає, має екстремальне значення M max або M min (рис. г).

Нормальна напруга при згинанні.

Визначаються за такою формулою:

Моментом опору перерізу вигину називається величина:

Небезпечним перетиномпри згинанні називається поперечний переріз бруса, в якому виникає максимальна нормальна напруга.

Дотичні напруження при прямому згині.

Визначаються за формулі Журавського для дотичних напруг при прямому згинанні балки:

де S отс - статичний момент поперечної площі відсіченого шару поздовжніх волокон щодо нейтральної лінії.

Розрахунки на міцність при згинанні.

1. При перевірочному розрахунку визначається максимальна розрахункова напруга, яка порівнюється з напругою, що допускається:

2. При проектному розрахунку підбір перерізу бруса проводиться з умови:

3. При визначенні допустимого навантаження допустимий згинальний момент визначається за умови:

Переміщення при згинанні.

Під впливом навантаження при згині вісь балки викривляється. При цьому спостерігається розтягнення волокон на опуклій і стиск - на увігнутій частинах балки. Крім того, відбувається вертикальне переміщення центрів ваги поперечних перерізів та їх поворот щодо нейтральної осі. Для характеристики деформації при згинанні використовують такі поняття:

Прогин балки Y- переміщення центру тяжкості поперечного перерізу балки у напрямі, перпендикулярному до її осі.

Прогин вважають позитивним, якщо переміщення центру тяжкості відбувається нагору. Величина прогину змінюється довжиною балки, тобто. y = y(z)

Кут повороту перерізу- Кут θ, на який кожен перетин повертається по відношенню до свого початкового положення. Кут повороту вважають позитивним при повороті перерізу проти перебігу годинникової стрілки. Розмір кута повороту змінюється по довжині балки, будучи функцією θ = θ (z).

Найпоширенішими способами визначення переміщень є метод Мореі правило Верещагіна.

Метод мору.

Порядок визначення переміщень методом Мора:

1. Будується «допоміжна система» та навантажується одиничним навантаженням у точці, де потрібно визначити переміщення. Якщо визначається лінійне переміщення, то його напрямі прикладається одинична сила, щодо кутових переміщень – одиничний момент.

2. Для кожної ділянки системи записуються вирази згинальних моментів М f від прикладеного навантаження і М 1 від одиничного навантаження.

3. По всіх ділянках системи обчислюють і підсумовують інтеграли Мора, отримуючи в результаті переміщення:

4. Якщо обчислене переміщення має позитивний знак, це означає, що його напрямок збігається з напрямком одиничної сили. Негативний знак вказує на те, що дійсне переміщення протилежне до напрямку одиничної сили.

Правило Верещагіна.

Для випадку, коли епюра згинальних моментів від заданого навантаження має довільне, а від одиничного навантаження – прямолінійне обрис, зручно використовувати графоаналітичний спосіб або правило Верещагіна.

де A f - площа епюри згинального моменту М f від заданого навантаження; y c - ордината епюри від одиничного навантаження під центром тяжкості епюри М f; EI x – жорсткість перерізу ділянки балки. Обчислення за цією формулою проводяться по ділянках, на кожному з яких прямолінійна епюра має бути без переломів. Величина (A f * y c) вважається позитивною, якщо обидві епюри розташовуються по одну сторону від балки, негативною, якщо вони розташовуються по різні боки. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається із напрямком одиничної сили (або моменту). Складна епюра М f повинна бути розбита на прості постаті (застосовується так зване "розшарування епюри"), для кожної з яких легко визначити ординату центру тяжкості. У цьому площа кожної фігури множиться на ординату під її центром тяжкості.

29-10-2012: Андрій

Допущена друкарська помилка у формулі згинального моменту для балки з жорстким затисканням на опорах (3-я знизу): довжина повинна бути в квадраті. Допущено друкарську помилку у формулі максимального прогину для балки з жорстким защемленням на опорах (3-я знизу): повинно бути без "5".

29-10-2012: Лікар Лом

Так, дійсно, були допущені помилки під час редагування після копіювання. На даний момент помилки виправлені, дякую за уважність.

01-11-2012: Вік

помилка у формулі в п'ятому зверху прикладі (переплутані ступеня поряд з іксом та ель)

01-11-2012: Лікар Лом

І це правда. Виправив. Дякую за уважність.

10-04-2013: flicker

У формулі Т.1 2.2 Mmax, схоже, бракує квадрата після a.

11-04-2013: Лікар Лом

Правильно. Цю формулу я скопіював з "Довідника з опору матеріалів" (під ред. С.П. Фесіка, 1982р, стор. 80) і навіть не звернув уваги, що при такому записі навіть розмірність не дотримується. Зараз перерахував усе особисто, справді відстань "а" буде у квадраті. Таким чином виходить, що наборщик пропустив маленьку двійку, а я повівся на цю пшонку. Виправив. Дякую за уважність.

02-05-2013: Тімко

Добрий день хотів би спитати у вас у таблиці 2, схема 2.4, цікавить формула "момент у прольоті" де не зрозумілий індекс Х -? не могли б ви відповісти)

02-05-2013: Лікар Лом

Для консольних балок таблиці 2 рівняння статичної рівноваги складалося ліворуч, тобто. початком координат вважалася точка на твердій опорі. Однак якщо розглядати дзеркальну консольну балку, у якої жорстка опора буде праворуч, то для такої балки рівняння моменту в прольоті буде набагато простіше, наприклад, для 2.4 Мх = qx2/6, точніше -qx2/6, тому що зараз вважається, що якщо епюра моментів розташована зверху, то момент у своїй негативний.
З погляду сопромата знак моменту - досить умовне поняття, так як у поперечному перерізі, для якого визначається згинальний момент все одно діють як стискаючі, так і напруги, що розтягують. Головне розуміти, що якщо епюра розташована зверху, то напруги, що розтягують, діятимуть у верхній частині перерізу і навпаки.
У таблиці мінус для моментів на жорсткій опорі не проставлено, проте напрямок дії моменту враховувалося при складанні формул.

25-05-2013: Дмитро

Скажіть, будь ласка, при якому співвідношенні довжини балки до її діаметру справедливі ці формули?
Я хочу дізнатися чи це підкодить тільки для довгих балок, які у будівництві будівель, або можна застосовувати також для розрахунку прогинів валів, довжиною до 2 м. Будь ласка, відповісти так.

25-05-2013: Лікар Лом

Дмитре, я вам уже казав, для обертових валів розрахункові схеми будуть інші. Тим не менш, якщо вал у нерухомому стані, то його можна розглядати як балку, причому не важливо, який у неї перетин: круглий, квадратний, прямокутний або якийсь ще. Дані розрахункові схеми найбільш точно відображають стан балки при l/D>10 при співвідношенні 5

25-05-2013: Дмитро

Спасибі за відповідь. Чи можете ще назвати літературу, на яку я можу послатися, у своїй роботі?
Ви маєте на увазі, що для обертових валів схеми будуть інші через обертальний момент? Не знаю наскільки це важливо, тому що в книзі по техмашу написано, що у разі токарної обробки прогин, що вноситься обертальним моментом на валу, дуже малий у порівнянні з прогином від радіальної складової сили різання. Що думаєте?

25-05-2013: Лікар Лом

Не знаю, яке саме завдання ви вирішуєте, і тому вести предметну розмову важко. Спробую пояснити свою думку інакше.
Розрахунок будівельних конструкцій, деталей машин і т.п., зазвичай складається з двох етапів: 1. розрахунок за граничними станами першої групи - так званий розрахунок на міцність, 2. розрахунок за граничними станами другої групи. Одним із видів розрахунку за граничними станами другої групи є розрахунок на прогин.
У вашому випадку, на мій погляд, важливішим буде розрахунок на міцність. Більше того на сьогоднішній день існують 4 теорії міцності та розрахунок за кожною з цих теорій - різний, але у всіх теоріях при розрахунку враховується вплив як згинального, так і крутного моменту.
Прогин при дії моменту, що крутить, відбувається в іншій площині, але все одно при розрахунках враховується. А вже малий цей прогин чи великий – розрахунок покаже.
Я не спеціалізуюся на розрахунках деталей машин та механізмів і тому авторитетну літературу з цього питання вказати не зможу. Втім, у будь-якому довіднику інженера-конструктора вузлів та деталей машин ця тема має бути належним чином розкрита.

25-05-2013: Дмитро

Чи можна тоді з вами поспілкуватися через mail чи Skype? Я вам розповім, що за роботу я роблю і для чого були попередні питання.
mail: [email protected]
Skype: dmytrocx75

25-05-2013: Лікар Лом

Можете написати мені, адреси електронної пошти на сайті знайти не важко. Але одразу попереджу, жодними розрахунками я не займаюся і партнерські контракти не підписую.

08-06-2013: Віталій

Питання таблиці 2, варіант 1.1, формула прогину. Прохання уточнити розмірність.
Q – у кілограмах.
l – у сантиметрах.
E - кгс/см2.
I – см4.
Все вірно? Щось дивні результати виходять.

09-06-2013: Лікар Лом

Все вірно, на виході виходять сантиметри.

20-06-2013: Євген Борисович

Добрий день. Допоможіть прикинути. У нас біля ДК стоїть сцена літня дерев'яна, розмір 12,5 х 5.5 метрів, кутами стійки - металеві труби діаметром 100 мм. Примушують робити дах типу ферми (шкода, що не можна малюнок прикріпити) покриття полікарбонад, ферми виготовляти з профільної труби (квадрат або прямокутник) стоїть питання про мою роботу. Не робитимеш звільнити. Я кажу, що не піде, а адміністрація разом із моїм начальником кажуть усе піде. Як бути?

20-06-2013: Лікар Лом

22-08-2013: Дмитро

Якщо балка (подушка під колоною) лежить на щільному грунті (точніше закопана нижче за глибину промерзання), то якою схемою слід скористатися для розрахунку такої балки? Інтуїція підказує, що варіант "на двох опорах" не підходить і що згинальний момент має бути істотно меншим.

22-08-2013: Лікар Лом

Розрахунок фундаментів – окрема велика тема. До того ж не зовсім зрозуміло про яку балку йдеться. Якщо мається на увазі подушка під колону стовпчастого фундаменту, то основою розрахунку такої подушки є міцність ґрунту. Завдання подушки – перерозподілити навантаження від колони на основу. Чим менша міцність, тим більша площа подушки. Або чим більше навантаження, тим більша площа подушки при тій же міцності ґрунту.
Якщо йдеться про ростверку, то залежно від способу його стійкості, він може розраховуватися як балка на двох опорах або як балка на пружній основі.
Загалом при розрахунку стовпчастих фундаментів слід керуватися вимогами СНіП 2.03.01-84.

23-08-2013: Дмитро

Мається на увазі подушка під колону стовпчастого фундаменту. Довжина та ширина подушки вже визначені виходячи з навантаження та міцності ґрунту. Але ось висота подушки та кількість арматури в ній під питанням. Хотів порахувати за аналогією зі статтею "Розрахунок залізобетонної балки", але вважаю, що вважати згинальний момент у подушці, що лежить на ґрунті, як у балці на двох шарнірних опорах буде не зовсім правильно. Питання - за якою розрахунковою схемою вважати згинальний момент у подушці.

24-08-2013: Лікар Лом

Висота та переріз арматури у вашому випадку визначаються як для консольних балок (по ширині та по довжині подушки). Схема 2.1. Тільки у вашому випадку опорна реакція – це навантаження на колону, точніше частина навантаження на колону, а рівномірно розподілене навантаження – це відсіч ґрунту. Інакше кажучи, зазначену розрахункову схему необхідно перевернути.
Крім того, якщо навантаження на фундамент передається від позацентрово навантаженої колони або не тільки від колони, то на подушку діятиме додатковий момент. При розрахунках слід враховувати.
Але ще раз повторю, не займайтеся самолікуванням, керуйтеся вимогами вказаного СНіПу.

10-10-2013: Ярослав

Добрий вечір. Допоможіть будь ласка, підібрати метал. балку для прольоту 4.2 метра. Житловий будинок у два поверхи, цоколь перекритий пустотілими плитами довжиною 4.8 метра, зверху несуча стіна в 1.5 цегли довжиною в 3.35 м заввишки 2.8 м. далі дверний пройом. . з іншого 2.8 метра на плитах знову несуча стіна як поверхом нижче і зверху дерев'яні балки 20 на 20см завдовжки 5м.6 штук і завдовжки 3 метри 6 штук підлогу з дощок 40мм.25м2. Інших навантажень немає. Прохання підказати якусь двотавру брати щоб спати спокійно. Поки що все це коштує вже 5 років.

10-10-2013: Лікар Лом

Перегляньте в розділі: "Розрахунок металевих конструкцій" статтю "Розрахунок металевої перемички для несучих стін" в ній досить докладно описаний процес підбору перерізу балки в залежності від навантаження, що діє.

04-12-2013: Кирило

Підкажіть, будь ласка, де можна ознайомитись з висновком формул максимального прогину балки для п.п. 1.2-1.4 Табл.1

04-12-2013: Лікар Лом

Виведення формул для різних варіантів застосування навантажень на моєму сайті не наводиться. Загальні принципи, на яких заснований висновок подібних рівнянь, ви можете переглянути у статтях "Основи сопромату, розрахункові формули" та "Основи сопромату, визначення прогину балки".
Однак у зазначених вами випадках (крім 1.3) максимальний прогин може бути не посеред балки, тому визначення відстані від початку балки до перерізу, де буде максимальний прогин - окреме завдання. Нещодавно подібне питання обговорювалося у темі "Розрахункові схеми для статично невизначених балок", подивіться там.

24-03-2014: Сергій

припущена помилка в 2.4 табл. 1. не дотримується навіть розмірності

24-03-2014: Лікар Лом

Жодних помилок, а тим більше недотримання розмірності у вказаній вами розрахунковій схемі не бачу. Уточніть, у чому саме помилка.

09-10-2014: Санич

Добрий день. А у М та Мmax різні одиниці виміру?

09-10-2014: Санич

Таблиця 1. Розрахунок 2.1. Якщо l зводиться в квадрат, то Мmax буде в кг*м2 ?

09-10-2014: Лікар Лом

Ні, у М та Mmax єдина одиниця виміру кгм або Нм. Так як розподілене навантаження вимірюється в кг/м (або Н/м), значення моменту буде кгм або Нм.

12-10-2014: Павло

Вечір добрий. Працюю я на виробництві м'яких меблів і директор підкинув мені завдання. Прошу вашої допомоги, т.к. не хочеться вирішувати її "на око".
Суть проблеми така: в основі дивана планується металева рама із профільованої труби 40х40 або 40х60, що лежить на двох опорах відстань між якими 2200 мм. ПИТАННЯ: чи вистачить перерізу профілю при навантаженнях від власної ваги дивана + візьмемо 3 особи по 100 кг?

12-10-2014: Лікар Лом

Це залежить від багатьох факторів. До того ж, товщину труби ви не вказали. Наприклад, при товщині 2 мм момент опору труби W = 3.47 см3. Відповідно максимальний згинальний момент, який може витримати труба M = WR = 3.47x2000 = 6940 кгсм або 69.4 кгм, тоді максимально допустиме навантаження для 2 труб q = 2х8M/l^2 = 2х8х69.4/2.2^2 = 229. (при шарнірних опорах і без урахування моменту, що крутить, який може виникнути при передачі навантаження не по центру тяжкості перерізу). І це при статичному навантаженні, а навантаження швидше за все буде динамічним, а то й ударним (залежно від конструкції дивана та активності дітей, мої по диванах стрибають так, що дух захоплює), так що вважайте самі. Стаття "Розрахункові значення для прямокутних профільних труб" вам допоможе.

20-10-2014: учень

Док, допоможіть будь ласка.
Жорстко закріплена балка, проліт 4 м, спирання по 0,2 м. Навантаження: розподілена 100 кг/м по балці плюс розподілена 100 кг/м на ділянці 0-2 м плюс зосереджена 300 кг посередині (на 2 м). Визначив опорні реакції: А – 0,5 т; В - 0,4 т. Далі я завис: для визначення згинального моменту під зосередженим навантаженням необхідно порахувати суму моментів усіх сил праворуч і ліворуч від неї. Плюс виникає момент на опорах.
Як вважаються навантаження у цьому випадку? Чи потрібно привести всі розподілені навантаження до зосереджених і підсумовувати (відняти з опорної реакції * відстань) згідно з формулами розрахункової схеми? У статті про ферми розкладка всіх сил зрозуміла, а тут я не можу в'їхати в методику визначення діючих сил.

21-10-2014: Лікар Лом

Для початку, жорстко закріплена балка та опорні ділянки - поняття несумісні, перегляньте статтю "Види опор, яку розрахункову схему вибрати". Судячи з вашого опису, у вас або однопролітна шарнірно оперта балка з консолями (див. таблицю 3), або трипрогонова жорстко защемлена балка з 2 додатковими опорами і нерівними прольотами (у цьому випадку рівняння трьох моментів вам на допомогу). Але у будь-якому разі опорні реакції при симетричному навантаженні будуть однаковими.

21-10-2014: учень

Я зрозумів. По периметру першого поверху армопояс 200х300х, зовнішній периметр 4400х4400. У нього заанкерено 3 швелери, з кроком 1 м. Проліт без стійок, на одному з них найважчий варіант, навантаження несиметричне. тобто. рахувати балку як шарнірну?

21-10-2014: Лікар Лом

22-10-2014: учень

взагалі так. Я так розумію, що прогин швелера проверне і сам армопояс у місці кріплення, тому вийде шарнірна балка?
Максимальний момент посередині виходить M=Q+2q+від несиметричного навантаження по максимуму 1,125q. Тобто. я склав усі 3 навантаження, це правильно?

22-10-2014: Лікар Лом

Не зовсім так, спочатку ви визначаєте момент від дії зосередженого навантаження, потім момент від рівномірно розподіленого навантаження по всій довжині балки, потім момент, що виникає при дії рівномірно розподіленого навантаження, що діє на деякій ділянці балки. І тільки потім складаєте значення моментів. Для кожного з навантажень буде своя розрахункова схема.

07-02-2015: Сергій

Чи не помилка у формулі Mmax для випадку 2.3 у таблиці 3? Балка з консоллю, напевно плюс замість мінуса має бути у дужках

07-02-2015: Лікар Лом

Ні, не помилка. Навантаження на консоль зменшує момент у прольоті, а чи не збільшує. Втім, це видно і щодо епюрі моментів.

17-02-2015: Антон

Здрастуйте, по-перше дякую за формули, зберіг у закладках. Підкажіть, будь ласка, є брус над прольотом, на брус лягають чотири лаги, відстані: 180мм, 600мм, 600мм, 600мм, 325мм. З епюрою, що згинає моментом розібрався, не можу зрозуміти як зміниться формула прогину (таблиця 1, схема 1,4), якщо максимальний момент на третій лазі.

17-02-2015: Лікар Лом

Я вже відповідав кілька разів на подібні запитання у коментарях до статті "Розрахункові схеми для статично невизначених балок". Але вам пощастило, для наочності я здійснив розрахунок за даними з вашого питання. Перегляньте статтю "Загальний випадок розрахунку балки на шарнірних опорах при дії кількох зосереджених навантажень", можливо з часом я її доповню.

22-02-2015: Роман

Док, я взагалі не можу подужати всі ці незрозумілі для мене формули. Тож прошу у вас допомоги. Хочу зробити в будинку консольні сходи (сходи із залізобетону замурувати при будівництві стіни). Стіна - ширина 20см, цегла. Довжина виступаючої сходинки 1200 * 300мм Хочу, щоб сходинки були правильної форми (не клином). Розумію інтуїтивно, що арматура буде "чим-толще" щоб сходи були чим-то тоншими? Але чи впорається із залізобетон товщиною до 3см навантаженням у 150кг на краю? Допоможіть будь ласка, так не хочеться балатися. Буду дуже вдячний, якщо допоможете розрахувати...

22-02-2015: Лікар Лом

Те, що ви не можете подужати досить прості формули – це ваші проблеми. У розділі "Основи сопромату" все це досить докладно розжовано. Тут скажу, що ваш проект абсолютно не реальний. По-перше, стіна або завширшки 25 см або шлакоблочна (втім, можу помилятися). По-друге, ні цегляна ні шлакоблочна стіна не забезпечать достатнього затискання сходів при зазначеній ширині стіни. Крім того, таку стіну слід прораховувати на згинальний момент, що виникає від консольних балок. По-третє, 3 см - неприпустима товщина для залізобетонної конструкції з урахуванням того, що мінімальний захисний шар повинен становити в балках не менше 15 мм. І так далі.
Якщо не готові все це подужати, то краще зверніться до професійного проектувальника - вийде дешевше.

26-02-2015: Роман

02-04-2015: Віталій

що означає х у другій таблиці, 2.4

02-04-2015: Віталій

Добридень! Яку схему (алгоритм) потрібно підібрати для розрахунку балконної плити, консоль, защемлена з одного боку, як правильно розрахувати моменти на опорі та в прольоті? Чи можна її розрахувати як консольну балку, за схемами з таблиці 2, а саме пунктів 1,1 2.1. Дякую!

02-04-2015: Лікар Лом

x у всіх таблицях означає відстань від початку відліку до досліджуваної точки, в якій ми збираємося визначити згинальний момент або інші параметри.

Так вашу балконну плиту, якщо вона суцільна і на неї діють навантаження, як у вказаних схемах, можна за цими схемами розраховувати. Для консольних балок максимальний момент завжди на опорі, тому великої потреби визначати момент у прольоті немає.

03-04-2015: Віталій

Велике спасибі! Ще хотів уточнити. Я так зрозумів, якщо розраховувати по 2 табл. схема 1.1 (навантаження прикладена на кінець консолі) тоді у мене х = L, і відповідно в прольоті М = 0. Як бути, якщо у мене це навантаження ще й по торцях плити? І за схемою 2.1 я вважаю момент на опорі, плюсую його до моменту за схемою 1.1 і за правильним для того, щоб заармувати мені потрібно знайти момент у прольоті. Якщо у мене виліт плити 1,45 м (у світлі), як мені розрахувати "х" щоб знайти момент у прольоті?

03-04-2015: Лікар Лом

Момент у прольоті змінюватиметься від Ql на опорі до 0 у точці докладання навантаження, що по епюрі моментів. Якщо у вас навантаження прикладено у двох точках на кінцях плити, то в цьому випадку доцільніше передбачити балки, що сприймають навантаження по краях. При цьому плиту можна розраховувати як балку на двох опорах - балках або плиту з опиранням по 3 сторонам.

03-04-2015: Віталій

Дякую! На мить я вже зрозумів. Ще одне питання. Якщо балконна плита спирається із двох сторін, літерою "Г". Катою тоді розрахунковою схемою потрібно скористатися?

04-04-2015: Лікар Лом

В цьому випадку у вас буде пластина, защемлена по 2 сторони і на моєму сайті прикладів розрахунку подібної плити немає.

27-04-2015: Сергій

Шановний докторе Лом!
Підкажіть, будь ласка, за якою схемою потрібно розрахувати прогин балки такого механізму https://yadi.sk/i/MBmS5g9kgGBbF. Або може бути, не вдаючись у розрахунки, чи підкажіть підійде для стріли 10 або 12 двотавр, максимальний вантаж 150-200 кг, висота підйому 4-5 метрів. Стійка – труба d=150, поворотний механізм або піввісь, або передня маточина Газелі. Укос можна зробити жорстким із того ж двотавра, а не тросом. Дякую.

27-04-2015: Лікар Лом

Оцінювати надійність подібної конструкції без розрахунків не стану, а розрахувати ви її можете за такими критеріями:
1. Стрілу можна розглядати як двопрогонову нерозрізну балку з консоллю. Опорами для цієї балки будуть не лише стійка (це середня опора), а й вузли кріплення троса (крайні опори). Це статично невизначена балка, але для спрощення розрахунків (що призведе до невеликого підвищення запасу міцності) стрілу можна розглядати як просто однопрогонову балку з консоллю. Перша опора – вузол кріплення троса, друга – стійка. Тоді ваші розрахункові схеми 1.1 (для вантажу – тимчасового навантаження) та 2.3 (власна вага стріли – постійне навантаження) у таблиці 3. А якщо вантаж буде посередині прольоту, то 1.1 у таблиці 1.
2. При цьому не можна забувати, що тимчасове навантаження у вас буде не статичним, а як мінімум динамічним (див. статтю "Розрахунок на ударні навантаження").
3. Для визначення зусиль у тросі потрібно розділити опорну реакцію у місці кріплення троса на синус кута між тросом та балкою.
4. Вашу стійку можна розглядати як металеву колону з однією опорою - жорстким затиском внизу (див. статтю "Розрахунок металевих колон"). До цієї колони навантаження буде додане з дуже великим ексцентриситетом, якщо не буде контрвантажу.
5. Розрахунок вузлів сполучення стріли та стійки та інші тонкощі розрахунку вузлів машин та механізмів на даному сайті поки не розглядаються.

05-06-2015: учень

Док, а де Вам можна показати картинку?

05-06-2015: учень

А у Вас начебто ще форум був?

05-06-2015: Лікар Лом

Був, але часу на розгрібання спаму в пошуках нормальних питань у мене немає. Тому поки що так.

06-06-2015: учень

Док, моє посилання https://yadi.sk/i/GardDCAEh7iuG
Яка розрахункова схема в результаті виходить для балки перекриття та консольної балки, а також чи вплине на зменшення прогину балки перекриття (рожева) консольна балка (коричневий колір)?
стіна - піноблок D500, висота 250 ширина 150, балка армопояса (блакитна): 150х300, армування 2х?12, верх і низ, додатково низ у прольоті вікна і верху в місцях спирання балки на проріз вікна - сітки? 5, комірка. кутах бетонні колони 200х200, проліт балки армопоясу 4000 без стін.
перекриття: швелер 8П (рожевий), для розрахунку брав 8У, вварений і заанкерен з арматурою балки армопояса, забетонований, від низу балки до швелера 190 мм, від верху 30, проліт 4050.
ліворуч від консолі – отвір для сходів, спирання швелера на трубу?50 (зелена), проліт до балки 800.
праворуч від консолі (жовтий) - санвузол (душ, туалет) 2000х1000, підлога - заливка армованої ребристої поперечної плити, габарити 2000х1000 висота 40 - 100 на незнімній опалубці (профлист, хвиля 60) + плитка на кле. Решта підлоги - дошка 25, фанера, лінолеум.
У точках стрілок спирання стояків бака з водою, 200л.
Стіни 2 поверхи: обшивка дошкою 25 із двох сторін, з утеплювачем, висота 2000, спирання на армопояс.
дах: крокви – трикутна арка із затяжкою, вздовж балки перекриття, з кроком 1000, спирання на стіни.
консоль: швелер 8П, проліт 995, зварена з арматурою з посиленням, забетонована в балку, приварена до швелера перекриття. проліт праворуч та ліворуч по балці перекриття – 2005.
Поки варю арматурний каркас, є можливість зрушити консоль вправо-вліво, але вліво начебто нема за що?

07-06-2015: Лікар Лом

Вибір розрахункової схеми залежатиме від того, чого ви хочете: простоти та надійності чи наближення до реальної роботи конструкції шляхом послідовних наближень.
У першому випадку балку перекриття можна розглядати як шарнірно оперту двопрогонову балку з проміжною опорою - трубою, а швелер, який ви називаєте консольною балкою, взагалі не враховувати. Ось, власне, і весь розрахунок.
Далі, щоб просто перейти до балки з жорстким затисканням на крайніх опорах, слід спочатку розрахувати армопояс на дію моменту, що крутить, і визначити кут повороту поперечного перерізу армопояса з урахуванням навантаження від стін 2 поверху і деформацій матеріалу стін під дією крутного моменту. І таким чином розраховувати двопрогонову балку з урахуванням цих деформацій.
Крім того в цьому випадку слід врахувати можливе просідання опори - труби, так як вона спирається не на фундамент, а на залізничну плиту (як я зрозумів з малюнка) і ця плита буде деформуватися. Та й сама труба зазнаватиме деформації стиснення.
У другому випадку, якщо ви хочете врахувати можливу роботу коричневого швелера, вам слід розглядати його як додаткову опору для балки перекриття і таким чином спочатку розраховувати 3пролетную балку (опорна реакція на додатковій опорі і буде навантаженням на консольну балку), потім визначати величину прогину на кінці консольної балки, перераховувати основну балку з урахуванням просідання опори і крім іншого також враховувати кут повороту і прогин армопояса в місці кріплення коричневого швелера. І це ще не все.

07-06-2015: учень

Док, спасибі. Мені потрібні простота та надійність. Ця ділянка-найнавантаженіша. Я подумував навіть про те, щоб зав'язати стійку бака на затяжку крокв, для зниження навантаження на перекриття з огляду на те, що на зиму вода зливатиметься. У такі нетрі розрахунків мені не залізти. У загальному випадку консоль знижуватиме прогин?

07-06-2015: учень

Доку, ще питання. консоль виходить у середині прольоту вікна, чи має сенс усунення до краю? З повагою

07-06-2015: Лікар Лом

У загальному випадку консоль знижуватиме прогин, але як я вже говорив наскільки сильно у вашому випадку - велике питання, та й зсув до центру віконного отвору буде зменшувати роль консолі. І ще, якщо це у вас найнавантаженіша ділянка, то може бути просто підсилити балку, наприклад ще одним таким же швелером? Я ваших навантажень не знаю, але навантаження від 100 кг води і половини ваги бака не здається мені таким вже значним, а ось швелера 8П з точки зору прогину при 4 м прольоті чи проходять з урахуванням динамічного навантаження при ходьбі?

08-06-2015: учень

Доку, дякую за добру пораду. Після вихідних перерахую балку як двопрогонову на шарнірах. Якщо буде більша динаміка при ходьбі, я конструктивно закладаю можливість зменшення кроку балок перекриття. Будиночок дачний, тож динаміка терпима. Більше впливає поперечне зміщення швелерів, але це лікується установкою поперечних зв'язків чи кріпленням настилу. Єдине, чи не посипатиметься бетонна заливка? припускаю її опору на верхню та нижню полиці швелера плюс зварна арматура в ребрах та сітка поверху.
Для розрахунку консолі та установки краще взяти половину прольоту від стійки до балки (4050-800-50=3200/2=1600-40/2=1580) або від краю вікна (1275-40=1235. Та й навантаження на балку як віконне) перекриття доведеться перерахувати, але у Вас є такі приклади: Єдине, навантаження брати як прикладену на балку зверху, чи буде перерозподіл навантаження, прикладеного майже по осі баки?

08-06-2015: Лікар Лом

Я вам уже казав, на консоль не варто розраховувати.
Ви припускаєте спирання плит перекриття на нижню полицю швелера, але як бути з іншого боку? У вашому випадку двотавр був би більш прийнятним варіантом (або по 2 швелери як балка перекриття).

09-06-2015: учень

Доку, я зрозумів.
З іншого боку проблем немає-куточок на закладних у тілі балки. З розрахунком двопрогонової балки з різними прольотами та різними навантаженнями поки не впорався, спробую перештудувати Вашу статтю з розрахунку багатопрогонової балки методом моментів.

29-06-2015: Сергій

Добрий день. Хотілося б у Вас поцікавитися: відливали фундамент: палі з бетону завглибшки 1.8м, а потім відливали бетоном стрічку завглибшки 1м. Питання ось у чому: навантаження передається тільки на палі чи воно рівномірно розподіляється і на палі та на стрічку?

29-06-2015: Лікар Лом

Як правило, палі робляться при слабких грунтах, щоб навантаження на основу передавалося через палі, тому ростверки по палях розраховуються, як балки на опорах-палях. Тим не менш, якщо ви заливали ростверк по ущільненому ґрунту, то частина навантаження передаватиметься підставі через ростверк. У цьому випадку ростверк розглядається як балка, що лежить на пружній основі, і є звичайним стрічковим фундаментом. Приблизно так.

29-06-2015: Сергій

Дякую. Просто на ділянці виходить суміш глини, піску. Причому шар глини дуже твердий: шар можна зняти лише за допомогою брухту тощо, т.п.

29-06-2015: Лікар Лом

Я всіх ваших умов не знаю (відстань між палями, поверховість та ін.). За вашим описом виходить, що ви зробили звичайний стрічковий фундамент та палі для надійності. Тому вам достатньо визначити, чи достатньо ширини фундаменту для передачі навантаження від будинку підставі.

05-07-2015: Юрій

Доброго дня! Потрібна Ваша допомога у розрахунку. Металева воротина 1,5х1,5 м вагою 70 кг кріпиться на металевій трубі, забетонованій на глибину 1,2 м і обкладеній цеглою (стовп 38 на 38 см). Якого перетину та товщини має бути труба, щоб не було вигину?
Я розрахував за табл. 2, п. 1.1. (#comments) як прогин консольної балки з навантаженням 70 кг, плечем 1,8 м, труба квадратна 120х120х4 мм, моментом інерції 417 см4. У мене вийшов прогин – 1,6 мм? Правильно чи ні?

05-07-2015: Лікар Лом

Ви правильно припустили, що вашу стійку слід розглядати як консольну балку. І навіть із розрахунковою схемою ви майже вгадали. Справа в тому, що на вашу трубу діятимуть 2 сили (на верхньому та нижньому навісі) і значення цих сил залежатиме від відстані між навісами. Більше подробиць у статті "Визначення зусилля, що вириває (чому дюбель не тримається в стіні)". Таким чином у вашому випадку слід виконати 2 розрахунку прогину за розрахунковою схемою 1.2, а потім отримані результати скласти з урахуванням знаків (простіше кажучи від одного значення відняти інше).
P.S. А точність розрахунків я не перевіряю, тут тільки на себе сподівайтеся.

05-07-2015: Юрій

Спасибі за відповідь. Тобто. мною розрахунок зроблений максимум з великим запасом, і знову розрахована величина прогину всяко буде менше?

06-07-2015: Лікар Лом

01-08-2015: Павло

Підкажіть, будь ласка, на схемі 2.2 таблиці 3, як визначити прогин у точці C, якщо довжини консольних ділянок різні?

01-08-2015: Лікар Лом

В цьому випадку вам потрібно пройти повний цикл. Чи є в цьому потреба чи ні, я не знаю. Наприклад, подивіться статтю, присвячену розрахунку балки на дію кількох рівномірно зосереджених навантажень (посилання на статтю перед таблицями).

04-08-2015: Юрій

До мого питання від 05 липня 2015р. Чи є якесь правило мінімальної величини затискання в бетоні даної металевої консольної балки 120х120х4 мм з коміром 70 кг.- (наприклад, не менше 1/3 довжини)

04-08-2015: Лікар Лом

Взагалі розрахунок затискання - окрема велика тема. Справа в тому, що опір бетону стиску - це одне, а деформації ґрунту, на який тисне бетон фундаменту - це зовсім інше. Якщо коротко, то чим більше довжина профілю і чим більше площа, що контактує з ґрунтом, тим краще.

05-08-2015: Юрій

Дякую! У моєму випадку металева стійка воріт заливатиметься в бетонну палю діаметром 300 мм завдовжки 1 м., а палі по верху будуть з'єднані бетонним ростверком з арматурним каркасом? бетон скрізь М 300. Тобто. деформації ґрунту не буде. Хотілося б знати приблизне, хай із великим запасом міцності, співвідношення.

05-08-2015: Лікар Лом

Тоді справді 1/3 довжини для створення жорсткого затискання має вистачити. Перегляньте приклад статтю "Види опор, яку розрахункову схему вибрати".

05-08-2015: Юрій

20-09-2015: Карла

21-09-2015: Лікар Лом

Можна спочатку розрахувати балку окремо на кожне навантаження за представленими тут розрахунковими схемами, а потім отримані результати скласти з урахуванням знаків.
Можна відразу складати рівняння статичної рівноваги системи та вирішувати ці рівняння.

08-10-2015: Наталя

Здрастуйте лікарю)))
У мене балка за схемою 2.3. У таблиці дана формула для розрахунку прогину в середині прольоту l/2, а за якою формулою можна прорахувати прогин на кінці консолі? Прогин у середині прольоту буде максимальним? Порівнювати з гранично допустимим прогином по СНиП "Навантаження та впливу" отриманий за цією формулою результат треба використовуючи величину l - відстань між точками А і В? Заздалегідь дякую, я щось заплуталася зовсім. І ще, не можу знайти першоджерело, з якого взято ці таблиці - чи можна назва вказати?

08-10-2015: Лікар Лом

Як я зрозумів, ви ведете про балку з таблиці 3. Для такої балки максимальний прогин буде не посередині прольоту, а ближче до опори А. В цілому величина прогину і відстань х (до точки максимального прогину) залежать від довжини консолі, тому у вашому У разі слід скористатися рівняннями початкових параметрів, наведених на початку статті. Максимальний прогин у прольоті буде у точці, де кут повороту похилого перерізу дорівнює нулю. Якщо консоль досить довга, то прогин на кінці консолі може бути навіть більшим, ніж у прольоті.
Коли ви порівнюєте отриманий результат прогину в прольоті зі СНіПовкським, то довжина прольоту - це відстань l між А і В. Для консолі замість l приймається відстань 2а (подвійний виліт консолі).
Дані таблиці я склав сам, скориставшись різними довідниками з теорії опору матеріалів, перевіряючи при цьому дані на предмет можливих друкарських помилок, а також загальними методами розрахунку балок, коли необхідні на мій погляд схеми в довідниках були відсутні, тому першоджерел багато.

22-10-2015: Олександр

22-10-2015: Іван

Дякую Вам за ваші роз'яснення. Має бути купа робіт по своєму будинку. Мiсце для вiдпочинку в саду, навеси, опори. Спробую згадати те, що свого часу старанної проспав, а потім випадково здав у Сов.ВТУЗ-е.

27-11-2015: Михайло

А хіба не в СІ всі розмірності? (див. комент 08-06-2013 від Віталія)

27-11-2015: Лікар Лом

Які саме ви використовуватимете одиниці кгс чи Ньютони, кгс/см^2 чи Паскалі, немає принципового значення. У результаті ви все одно отримаєте на виході сантиметри (або метри). Див коментар 09-06-2013 від Доктора Лома.

28-04-2016: Денис

Здрастуйте у мене балка за схемою 1.4. яка формула для знаходження поперечної сили

28-04-2016: Лікар Лом

Для кожної ділянки балки значення поперечної сили будуть різні (що втім видно по відповідній епюрі поперечних сил). На першій ділянці 0< x < a, поперечная сила будет равна опорной реакции А. На втором участке a < x < l-b, поперечная сила будет равна А-Q и так далее, больше подробностей смотрите в статье "Основы сопромата. Расчетные формулы".

31-05-2016: Віталій

Велике дякую, ви великий молодець!

14-06-2016: Денис

Під час натрапив на ваш сайт. Мало не промахнувся з розрахунками завжди думав що консольна балка з навантаженням на кінці балки буде прогинатися сильніше ніж з рівномірно розподіленим навантаженням, а формули 1.1 і 2.1 у таблиці 2 показують зворотне. Дякую за вашу працю

14-06-2016: Лікар Лом

Взагалі-то порівнювати зосереджену навантаження з рівномірно розподіленою має сенс лише тоді, коли одне навантаження приведено до іншого. Наприклад при Q = ql формула визначення прогину за розрахунковою схемою 1.1 набуде вигляду f = ql^4/3EI, тобто. прогин буде в 8/3 = 2.67 рази більше, ніж за просто рівномірно розподіленого навантаження. Так що формули для розрахункових схем 1.1 і 2.1 нічого зворотного не показують і спочатку ви мали рацію.

16-06-2016: інженер гарін

Добридень! ось все-таки ніяк не можу збагнути-буду дуже вдячний, якщо допоможете раз і назавжди розібратися-при розрахунку (будь-якому) звичайної двотаврової балки з звичайним розподіленим навантаженням по довжині який момент інерції використовувати - Iy або Iz і чому? в жодному підручнику сопромату не можу знайти- всюди пишуть, що перетин має прагнути квадрата і брати треба найменший момент інерції. Ніяк не можу вхопити за хвіст фізичний сенс - чи можна це якось на пальцях витрактувати?

16-06-2016: Лікар Лом

Я вам раджу для початку подивитися статті "Основи сопромату" і "До розрахунку гнучких стрижнів на дію позацентрового навантаження, що стискає", там все досить докладно і наочно роз'яснено. Тут же додам, що мені здається, що ви плутаєте розрахунки на поперечний і поздовжній вигин. Тобто. коли навантаження перпендикулярна нейтральній осі стрижня, то визначається прогин (поперечний вигин), коли навантаження паралельна нейтральній осі балки, визначається стійкість, іншими словами, вплив поздовжнього вигину на несучу здатність стрижня. Звичайно ж, при розрахунках на поперечне навантаження (вертикальне навантаження для горизонтальної балки) момент інерції слід приймати в залежності від того, яке положення має балка, але в будь-якому випадку це буде Iz. А при розрахунках на стійкість, за умови, що навантаження прикладене по центру тяжкості перерізу, розглядається найменший момент інерції, тому що ймовірність втрати стійкості саме в цій площині значно більша.

23-06-2016: Денис

Доброго дня, таке питання чому в таблиці 1 для формул 1.3 і 1.4 формули прогину по суті однакові і розмір b. у формулі 1.4 ні як не відображено?

23-06-2016: Лікар Лом

При несиметричному навантаженні формула прогину для розрахункової схеми 1.4 буде досить громіздкою, але при цьому слід пам'ятати, що прогин у будь-якому випадку буде меншим, ніж при додатку симетричного навантаження (звісно ж за умови b

03-11-2016: vladimir

у таблиці 1 для формул 1.3 та 1.4 формули прогину замість Qa^3/24EI має бути Ql^3/24EI. Довго не міг зрозуміти чому прогин із кристалом не сходиться

03-11-2016: Лікар Лом

Все вірно, ще одна друкарська помилка через неуважного редагування (сподіваюся, що остання, але не факт). Виправив, дякую за уважність.

16-12-2016: Іван

Доброго дня, Докторе Лом. Питання наступне: переглядав фото з будівництва і помітив одну річ: Зб заводська перемичка 30*30 см приблизно, оперта на тришарову зб панель сантиметрів на 7. (Жб панель трохи підпилили для спирання на неї перемички). Проріз під балконну раму 1,3 м, по верху перемички армопояс та плити перекриття горища. Чи критичні ці 7 см, спирання іншого кінця перемички більше 30 см, все стоїть нормально.

16-12-2016: Лікар Лом

Якщо є ще й армопояс, навантаження на перемичку може значно знизитися. Думаю, все буде нормально і там навіть за 7 см досить великий запас по міцності на опорному майданчику. Але взагалі треба звісно ж рахувати.

25-12-2016: Іван

Лікар, а якщо припустити, ну чисто теоретично
що арматура в армопоясі над балкою повністю зруйнована, армопояс трісне та ляже на балку разом із плитами перекриття? Чи вистачить цих 7 см опорного майданчика?

25-12-2016: Лікар Лом

Думаю, навіть у цьому випадку нічого не станеться. Але повторю, для точної відповіді потрібен розрахунок.

09-01-2017: Андрій

У таблиці 1 у формулі 2.3 для обчислення прогину замість "q" зазначено "Q". Формула 2.1 для обчислення прогину, будучи окремим випадком формули 2.3, при вставленні відповідних значень (a=c=l, b=0) набуває іншого вигляду.

09-01-2017: Лікар Лом

Все вірно була помилка, але тепер це не має значення. Формулу прогину для такої розрахункової схеми я брав із довідника Фесіка С.П. як найбільш коротку для окремого випадку х = а. Але як ви правильно помітили – ця формула не проходить перевірки на граничні умови, тож я її взагалі прибрав. Залишив тільки формулу визначення початкового кута повороту, щоб спростити визначення прогину за методом початкових параметрів.

02-03-2017: Лікар Лом

У навчальних посібниках, наскільки я знаю, такий окремий випадок не розглядається. Тут допоможе лише програмне забезпечення, наприклад, Ліра.

24-03-2017: Єаген

Добрий день у формулі прогину 1.4 у першій таблиці - значення в дужках завжди виходить негативним

24-03-2017: Лікар Лом

Все правильно, у всіх наведених формулах негативний знак у формулі прогину означає, що балка прогинається вниз по осі.

29-03-2017: Оксана

Доброго дня, докторе лом. Не могли б Ви написати статейку про момент, що крутить, в металевій балці - коли він взагалі виникає, при яких розрахункових схемах, ну і, звичайно ж, розрахунок хотілося б від Вас побачити з прикладами. У мене - мет балка шарнірно оперта, один консольний край і на нього приходить зосереджена навантаження, а по всій балці розподілена від ж.б. тонкої плити 100 мм та стіни огорожі. Ця балка крайня. З ж.б. плитою з'єднується привареними до балки із кроком 600 мм стрижнями 6 мм. Не можу зрозуміти чи буде там крутний момент, якщо так - як його знайти і розрахувати перетин балки у зв'язку з ним?

Лікар Лом

Вікторе, емоційні погладжування - це звичайно добре, але їх на хліб не намажаєш і сім'ю ними не прогодуєш. Для відповіді на ваше запитання потрібні розрахунки, розрахунки – це час, а час – це не емоційні погладжування.

13-11-2017: 1

У таблиці 2 приклад №1.1 помилка у формулі для тета(ікс)

04-06-2019: Антон

Здрастуйте, шановний лікар у мене питання методу початкових параметрів. На початку статті, у вас написано, що формулу прогину балки можна отримати - двічі належним чином проінтегрувавши рівняння згинального моменту, розділивши результат на EI і додавши до цього результату інтегрування кута повороту.
Допустимо я не знаю прогин балки розрахункової схеми 2.1 (табл. 1). Я двічі проінтегрую згинальний момент ∫q*l2/8dx=q*l3/24;∫q*l3/24dx=q*l4/96.
Після розділю значення на EI. q*l4/(96*EI).
І додам до нього результат інтегрування кута повороту це ∫q*l3/24dx=q*l4/96. q*l4/(96*EI)+q*l4/(96*EI)=q*l4/(48*EI).
Ви отримуєте значення -5*q*l4/(384*EI).
Підкажіть будь ласка. Де я припустився помилки?

05-06-2019: Лікар Лом

Помилка в тому, що ви інтегрували не рівняння моментів, а результат розв'язання цього рівняння для точки посередині балки, а це різні речі. Крім того, при додаванні слід уважно стежити за знаком "+" або "-". Якщо ви уважно проаналізуєте формулу прогину, що наводиться для даної розрахункової схеми, зрозумієте про що мова. А ще при інтегруванні кута повороту результат q*l4/48, а не q*l4/96 і в остаточній формулі він йтиме з мінусом, так як такий початковий кут повороту призводитиме до прогину балку нижче осі х.

09-07-2019: Олександр

Вітаю, у Т.1 2.3 формули для моментів, що приймається за X? Середина розподіленого навантаження?

09-07-2019: Лікар Лом

Для всіх таблиць, відстань х - це відстань від точки початку координат (як правило опора А) до точки, що розглядається на нейтральній осі балки. Тобто. наведені формули дозволяють визначити значення моменту будь-якого поперечного перерізу балки.

Розрахунок балки на вигин «вручну», по-дідівськи, дозволяє пізнати один із найважливіших, найкрасивіших, чітко математично вивірених алгоритмів науки опір матеріалів. Використання численних програм на кшталт «ввів вихідні дані...

...- Отримай відповідь» дозволяє сучасному інженеру сьогодні працювати набагато швидше, ніж його попередникам сто, п'ятдесят і навіть двадцять років тому. Однак за такого сучасного підходу інженер змушений повністю довіряти авторам програми і згодом перестає «відчувати фізичний зміст» розрахунків. Але автори програми – це люди, а людям властиво помилятися. Якби це було не так, то не було б численних патчів, релізів, латок практично до будь-якого програмного забезпечення. Тому, на мою думку, будь-який інженер повинен вміти іноді «вручну» перевірити результати розрахунків.

Довідка (шпаргалка, пам'ятка) для розрахунків балок на згин представлена на малюнку.

Давайте на простому життєвому прикладі спробуємо скористатися. Припустимо, я вирішив зробити у квартирі турнік. Визначено місце – коридор завширшки один метр двадцять сантиметрів. На протилежних стінах на необхідній висоті навпроти один одного надійно закріплюю кронштейни, до яких кріпитиметься балка-перекладина – пруток зі сталі Ст3 із зовнішнім діаметром тридцять два міліметри. Чи витримає ця балка моя вага плюс додаткові динамічні навантаження, що виникнуть під час виконання вправ?

Рисуємо схему для розрахунку балки на вигин. Очевидно, що найбільш небезпечною буде схема застосування зовнішнього навантаження, коли я почну підтягуватися, зачепившись однією рукою за середину перекладини.

Початкові дані:

F1 = 900 н – сила, що діє на балку (моя вага) без урахування динаміки

d = 32 мм – зовнішній діаметр прутка, з якого виготовлена балка

E = 206000 н/мм^2 - модуль пружності матеріалу балки сталі Ст3

[σі] = 250 н/мм^2 — допустима напруга вигину (межа плинності) для матеріалу балки сталі Ст3

Граничні умови:

Мx (0) = 0 н * м - момент у точці z = 0 м (перша опора)

Мx (1,2) = 0 н * м - момент у точці z = 1,2 м (друга опора)

V (0) = 0 мм – прогин у точці z = 0 м (перша опора)

V (1,2) = 0 мм – прогин у точці z = 1,2 м (друга опора)

Розрахунок:

1. Спочатку обчислимо момент інерції Ix і момент опору Wx перерізу балки. Вони нам знадобляться у подальших розрахунках. Для кругового перерізу (яким є переріз прутка):

Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4

Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3

2. Складаємо рівняння рівноваги для обчислення реакцій опор R1 та R2:

Qy = -R1 + F1-R2 = 0

Мx (0) = F1 * (0-b2) -R2 * (0-b3) = 0

З другого рівняння: R2 = F1 * b2 / b3 = 900 * 0.6 / 1.2 = 450 н

З першого рівняння: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н

3. Знайдемо кут повороту балки у першій опорі при z = 0 із рівняння прогину для другої ділянки:

V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/

U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =

= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/

/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚

4. Складаємо рівняння для побудови епюр для першої ділянки (0

Поперечна сила: Qy(z) = -R1

Згинальний момент: М x (z) = -R1 * (z-b1)

Кут повороту: Ux(z) = U(0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix)

Прогин: Ви (z) = V (0) + U (0) * z + (-R1 * ((z-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix)

z = 0 м:

Qy(0) = -R1 = -450 н

Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад

Ви(0) = V(0) = 0 мм

z = 0,6 м:

Qy (0,6) = -R1 = -450 н

Мx (0,6) = -R1 * (0,6-b1) = -450 * (0,6-0) = -270 н * м

Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) =

0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад

Ви (0,6) = V (0) + U (0) * 0,6 + (-R1 * ((0,6-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix) =

0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м

Балка прогнеться центром на 3 мм під вагою мого тіла. Думаю, це прийнятний прогин.

5. Пишемо рівняння епюр для другої ділянки (b2

Поперечна сила: Qy(z) = -R1+F1

Згинальний момент: Мx(z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2)

Кут повороту: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix)

Прогин: Ви (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/( E*Ix)

z = 1,2 м:

Qy (1,2) = -R1 + F1 = -450 +900 = 450 н

Мx (1,2) = 0 н * м

Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E* Ix) =

0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/

/(206000*5,147/100) = -0.00764 рад

Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м

6. Будуємо епюри, використовуючи дані, отримані вище.

7. Розраховуємо напруги вигину в найбільш навантаженому перерізі - посередині балки і порівнюємо з допустимою напругою:

σі = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2

σі = 84 н/мм^2< [σи] = 250 н/мм^2

За міцністю на вигин розрахунок показав триразовий запас міцності – турнік можна сміливо робити з наявного дроту діаметром тридцять два міліметри та завдовжки тисяча двісті міліметрів.

Таким чином, ви тепер легко можете розрахувати балки на вигин «вручну» і порівняти з результатами, отриманими при розрахунку за будь-якою з численних програм, представлених в Мережі.

Прошу шановних праць автора ПІДПИСАТИСЯ на анонси статей.