Урок та презентація на тему: "Застосування формул приведення під час вирішення завдань"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу
1С: Школа. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
1С: Школа. Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10–11 класів

Що вивчатимемо:
1. Трохи повторимо.
2. Правила формул приведення.
3. Таблиця перетворень для формул приведення.
4. Приклади.

Повторення тригонометричних функцій

Діти, з формулами привида ви вже стикалися, але так їх ще не називали. Як думаєте, де?

Подивіться наші малюнки. Правильно, коли вводили визначення тригонометричних функцій.

Правило для формул наведення

Давайте введемо основне правило: Якщо під знаком тригонометричної функції міститься число виду π×n/2 + t, де n – будь-яке ціле число, нашу тригонометричну функцію можна привести до більш простому вигляду, яка міститиме лише аргумент t. Такі формули називають формулами привида.

Згадаймо деякі формули:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tg(t + π*k) = tg(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

формул привида дуже багато, давайте складемо правило за яким визначатимемо наші тригонометричні функції при використанні формул привиду:

• Якщо під знаком тригонометричної функції містяться числа виду: π + t, π - t, 2π + t і 2π - t, то функція не зміниться, тобто, наприклад, синус залишиться синусом, котанген залишиться котангенсом.
• Якщо під знаком тригонометричної функції містяться числа виду: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t і 3π/2 - t, то функція зміниться на споріднену, тобто синус стане косинусом, котангенс стане тангенсом.
• Перед функцією, що вийшла, треба поставити той знак, який мала б перетворювана функція за умови 0

Ці правила застосовні, і коли аргумент функції заданий у градусах!

Також ми можемо скласти таблицю перетворень тригонометричних функцій:

Приклади застосування формул приведення

1.Перетворимо cos(π + t). Найменування функції залишається, тобто. отримаємо cos(t). Далі припустимо, що π/2

2. Перетворимо sin(π/2 + t). Найменування функції змінюється, тобто. отримаємо cos(t). Далі припустимо, що 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Перетворимо tg(π + t). Найменування функції залишається, тобто. отримаємо tg(t). Далі припустимо, що 0

4. Перетворимо ctg(270 0 + t). Найменування функції змінюється, тобто отримаємо tg(t). Далі припустимо що 0

Завдання з формулами приведення для самостійного вирішення

Діти, перетворіть самостійно, використовуючи наші правила:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Ця стаття присвячена докладному вивченню тригонометричних формулприведення. Дан повний списокформули приведення, показані приклади їх використання, наведено доказ вірності формул. Також у статті наведено мнемонічне правило, яке дозволяє виводити формули наведення, не запам'ятовуючи кожну формулу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули наведення. перелік

Фомули приведення дозволяють наводити основні тригонометричні функції кутів довільної величини до функцій кутів, що лежать в інтервалі від 0 до 90 градусів (від 0 до π 2 радіан). Оперувати кутами від 0 до 90 градусів набагато зручніше, ніж працювати зі скільки завгодно великими значеннямитому формули приведення широко застосовуються при розв'язанні задач тригонометрії.

Перш, ніж ми запишемо самі формули, уточнимо кілька важливих розуміння моментів.

• Аргументами тригонометричних функцій у формулах приведення є угди виду ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Тут z – будь-яке ціле число, а α – довільний кут повороту.
• Не обов'язково вивчати всі формули приведення, кількість яких є досить переконливою. Існує мнемонічне правило, яке дозволяє легко вивести потрібну формулу. Йдеться про мнемонічне правило піде пізніше.

Тепер перейдемо безпосередньо до формул приведення.

Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і скільки завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів. запишемо усі формули у вигляді таблиці.

Формули наведення

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

У даному випадкуФормули записані з радіанами. Однак можна записати їх із використанням градусів. Достатньо лише перевести радіани на градуси, замінивши π на 180 градусів.

Приклади використання формул приведення

Покажемо, як користуватись формулами наведення та як зазначені формули застосовуються при вирішенні практичних прикладів.

Кут під знаком тригонометричної функції можна уявити не одним, а безліччю способів. Наприклад, аргумент тригонометричної функції може бути представлений у видах ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Продемонструємо це.

Візьмемо кут α = 16 π 3 . Цей кут можна записати так:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π · 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π · 3 ​​α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Залежно від уявлення кута використовується відповідна формула приведення.

Візьмемо той самий кут α = 16 π 3 і обчислимо його тангенс

Приклад 1. Використання формул наведення

α = 16 π 3 , t g α = ?

Представимо кут α = 16 π 3 у вигляді α = π + π 3 + 2 π · 2

Цьому уявленню кута буде відповідати формула приведення

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π · 2 = t g π 3

Скориставшись таблицею, вкажемо значення тангенсу

Тепер використовуємо інше уявлення кута α = 16 π 3 .

Приклад 2. Використання формул наведення

α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π · 3 ​​t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π · 3 ​​= - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Нарешті, для третьої вистави кута запишемо

Приклад 3. Використання формул наведення

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Тепер наведемо приклад на використання формул приведення складніше

Приклад 4. Використання формул наведення

Представимо sin 197° через синус та косинус гострого кута.

Для того, щоб можна було застосовувати формули наведення, потрібно уявити кут α = 197° в одному з видів

±α+360°·z, 90°±α+360°·z, 180°±α+360°·z, 270°±α+360°·z. Відповідно до умови завдання, кут має бути гострим. Відповідно, ми маємо два способи для його представлення:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Отримуємо

sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)

Тепер подивимося на формули приведення для синусів та виберемо відповідні

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° · z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° · z) = - cos 73 °

Мнемонічне правило

Формул приведення багато, і, на щастя, немає необхідності заучувати їх напам'ять. Існують закономірності, за якими можна виводити формули приведення для різних кутівта тригонометричних функцій. Ці закономірності називаються мнемонічним правилом. Мнемоніка – мистецтво запам'ятовування. Мнемонічне правило складається з трьох частин, або містить три етапи.

Мнемонічне правило

1. Аргумент вихідної функції представляється одному з видів

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Кут має лежати в межах від 0 до 90 градусів.

2. Визначається символ вихідної тригонометричної функції. Такий самий знак матиме функція, що записується у правій частині формули.

3. Для кутів ± α + 2 πz і π ± α + 2 πz назва вихідної функції залишається незмінною, а для кутів π 2 ± α + 2 πz і 3 π 2 ± α + 2 πz відповідно змінюється на "кофункцію". Синус – на косинус. Тангенс – на котангенс.

Щоб користуватися мнемонічним праїлом для формул приведення, потрібно вміти визначати знаки тригонометричних функцій по чвертях одиничного кола. Розберемо приклади застосування мнемонічного правила.

Приклад 1. Використання менімонічного правила

Запишемо формули приведення для cos π 2 - α + 2 πz і t g π - α + 2 πz. α - видаток першої чверті.

1. Оскільки за умовою α - видаток першої чверті, ми пропускаємо перший пункт правила.

2. Визначимо знаки функцій cosπ 2 - α + 2 πz і t g π - α + 2 πz. Кут π 2 - α + 2 πz також є кутом першої чверті, а кут π - α + 2 πz знаходиться у другій чверті. У першій чверті функція косинуса є позитивною, а тангенс у другій чверті має знак мінус. Запишемо, як виглядатимуть формули, що шукаються на цьому етапі.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Згідно з третім пунктом для кута π 2 - α + 2 π назва функції змінюється на конфуцію, а для кута π - α + 2 πz залишається незмінною. Запишемо:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

А тепер заглянемо до формул, наведених вище, і переконаємося в тому, що менімонічне правило працює.

Розглянемо приклад із конкретним кутом α = 777°. Наведемо синус альфа до тригонометричної функції гострого кута.

Приклад 2. Використання менімонічного правила

1. Представимо кут α = 777 ° в необхідному вигляді

777 ° = 57 ° + 360 ° · 2 777 ° = 90 ° - 33 ° + 360 ° · 2

2. Вихідний кут – кут першої чверті. Отже, синус кута має позитивний знак. У результаті маємо:

3. sin 777 ° = sin (57 ° + 360 ° · 2) = sin 57 ° sin 777 ° = sin (90 ° - 33 ° + 360 ° · 2) = cos 33 °

Тепер розглянемо приклад, який показує, як важливо правильно визначити знак тригонометричної функції та правильно уявити кут під час використання мнемонічного правила. Повторимо ще раз.

Важливо!

Кут α має бути гострим!

Обчислимо тангенс кута 5 π 3 . З таблиці значень основних тригонометричних функцій можна відразу взяти значення t g 5 π 3 = - 3 але ми застосуємо мнемонічне правило.

Приклад 3. Використання менімонічного правила

Представимо кут α = 5 π 3 у необхідному вигляді та скористаємося правилом

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Якщо ж уявити кут альфа як 5 π 3 = π + 2 π 3 , то результат застосування мнемонічного правила буде неправильним.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Невірний результат обумовлений тим, що кут 2 π 3 не є гострим.

Доказ формул приведення ґрунтується на властивостях періодичності та симетричності тригонометричних функцій, а також на властивості зсуву на кути π 2 та 3 π 2 . Доказ справедливості всіх формул приведення можна проводити без урахування доданку 2 πz , оскільки воно позначає зміна кута на ціле число повних оборотів і якраз відображає властивість періодичності.

Перші 16 формул випливають безпосередньо з властивостей основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангансу.

Наведемо доказ формул приведення для синусів та косинусів

sin π 2 + α = cos α і cos π 2 + α = - sin α

Подивимося на одиничне коло, початкова точка якого після повернення на кут α перейшла до точки A 1 x , y , а після повороту на кут π 2 + α - до точки A 2 . З обох точок проведемо перпендикуляри до осі абсцис.

Два прямокутний трикутник O A 1 H 1 і O A 2 H 2 рівні по гіпотенузі і кутам, що прилягають до неї. З розташування точок на колі та рівності трикутників можна зробити висновок про те, що точка A 2 має координати A 2 - y x . Використовуючи визначення синуса та косинуса, запишемо:

sin α = y , cos α = x , sin π 2 + α = x , cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α , cos π 2 + α = - sin α

З урахуванням основних тотожностей тригонометрії та щойно доведеного, можна записати

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α

Для доказу формул приведення з аргументом π 2 - α його необхідно подати у вигляді π 2 + (- α) . Наприклад:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

У доказі використовуються властивості тригонометричних функцій з аргументами, протилежними за знаком.

Усі інші формули наведення можна довести з урахуванням записаних вище.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Тригонометрія. Формули приведення.

Формули приведення не потрібно вивчати їх потрібно зрозуміти. Зрозуміти алгоритм їхнього виведення. Це дуже легко!

Візьмемо одиничне коло і розставимо всі градусні заходи (0 °; 90 °; 180 °; 270 °; 360 °) на ній.

Розберемо у кожній чверті функції sin(a) та cos(a).

Запам'ятаємо, що функцію sin(a) дивимося по осі Y, а функцію cos(a) по осі X.

У першій чверті видно, що функція sin(a)>0
І функція cos(a)>0
Першу чверть можна описати через градусний захід, як (90-α) або (360+α).

У другій чверті видно, що функція sin(a)>0тому, що вісь Y позитивна в цій чверті.
А функція cos(a) , тому що вісь X негативна у цій чверті.
Другу чверть можна описати через градусну міру як (90+α) або (180-α).

У третій чверті видно, що функції sin(a) Третю чверть можна описати через градусну міру, як (180+α) або (270-α).

У четвертій чверті видно, що функція sin(a) , тому що вісь Y є негативною в цій чверті.
А функція cos(a)>0тому, що вісь X позитивна в цій чверті.
Четверту чверть можна описати через градусну міру як (270+α) або (360-α).

Тепер розглянемо формули приведення.

Запам'ятаємо простий алгоритм:
1. Чверть.(Завжди дивіться, у якій ви чверті знаходитесь).
2. Знак.(Щодо чверті дивіться позитивні або негативні функції косинуса або синуса).
3. Якщо у вас є в дужках (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція змінюється.

І так почнемо розбирати по чвертях цей алгоритм.

З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз cos(90-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.


Буде cos(90-α) = sin(α)

З'ясуй чому дорівнюватиме вираз sin(90-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.


Буде sin(90-α) = cos(α)

З'ясуй чому дорівнюватиме вираз cos(360+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
2. У першій чверті знак функції косинуса позитивний.

Буде cos(360+α) = cos(α)

З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз sin(360+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть перша.
2. У першій чверті знак функції синуса позитивний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде sin(360+α) = sin(α)

З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз cos(90+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.

3. У дужках є (90° або π/2), то функція змінюється з косинуса на синус.
Буде cos(90+α) = -sin(α)

З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз sin(90+α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.

3. У дужках є (90° або π/2), то функція змінюється із синуса на косинус.
Буде sin(90+α) = cos(α)

З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз cos(180-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
2. У другій чверті знак функції косинуса негативний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде cos(180-α) = cos(α)

З'ясуйте чому дорівнюватиме вираз sin(180-α)
Розмірковуємо за алгоритмом:
1. Чверть друга.
2. У другій чверті знак функції синуса позитивний.
3. У дужках немає (90° або π/2) та (270° або 3π/2), то функція не змінюється.
Буде sin(180-α) = sin(α)

Розмірковую про третю та четверту чверть подібним чиномскладемо таблицю:

Підписуйтесь на канал на YOUTUBEі дивіться відео, підготуйтеся до іспитів з математики та геометрії з нами.

Як запам'ятати формули наведення тригонометричних функцій? Це легко, якщо використовувати асоціацію. Ця асоціація придумана не мною. Як мовилося раніше, хороша асоціація має «чіпляти», тобто викликати яскраві емоції. Не можу назвати емоції, викликані цією асоціацією, позитивними. Але вона дає результат — дає змогу запам'ятовувати формули наведення, а отже, має право на існування. Зрештою, якщо вона вам не сподобається, ви її можете не використовувати, правильно?

Формули приведення мають вигляд: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Запам'ятовуємо, що +α дає рух проти годинникової стрілки — α — рух за годинниковою стрілкою.

Для роботи з формулами наведення потрібні два пункти:

1) ставимо знак, який має початкова функція (у підручниках пишуть: наведена. Але щоб не заплутатися, краще назвати її початковою), якщо вважати α кутом I чверті, тобто маленьким.

2) Горизонтальний діаметр – π±α, 2π±α, 3π±α… – загалом, коли немає дробу – назва функції не змінює. Вертикальний ?

Тепер, власне, асоціація:

вертикальний діаметр (є дріб)

п'яний стоїть. Що з ним станеться рано

чи пізно? Правильно, впаде.

Назва функції зміниться.

Якщо діаметр горизонтальний — п'яний вже лежить. Спить, мабуть. З ним уже нічого не станеться, він уже прийняв горизонтальне становище. Відповідно, назва функції не змінюється.

Тобто sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) тощо. дають ±cosα,

а sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … – ±sinα.

Як вже знаємо.

Як це працює? Дивимось на прикладах.

1) cos(π/2+α)=?

Стаємо на π/2. Оскільки +α — отже, йдемо вперед проти годинникової стрілки. Потрапляємо у ІІ чверть, де косинус має знак «-«. Назва функції змінюється («п'яний стоїть», отже – впаде). Отже,

cos(π/2+α)=-sin α.

Стаємо на 2π. Оскільки -α - йдемо назад, тобто за годинниковою стрілкою. Потрапляємо до IV чверть, де тангенс має знак «-«. Назва функції не змінюється (діаметр горизонтальний, п'яний вже лежить). Таким чином, tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Приклади, у яких функція зводиться парний ступінь, вирішуються ще простіше. Четний ступінь «-» прибирає, тобто треба лише з'ясувати, змінюється назва функції чи залишається. Діаметр вертикальний (є дріб, «п'яний стоїть», впаде), назва функції змінюється. Отримуємо: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

Визначення. Формулами приведення називають формули, які дозволяють перейти від тригонометричних функцій виду до функцій аргументу. З їх допомогою синус, косинус, тангенс та котангенс довільного кута можна привести до синуса, косінусу, тангенсу та котангенсу кута з інтервалу від 0 до 90 градусів (від 0 до радіан). Таким чином, формули приведення дозволяють переходити до роботи з кутами в межах 90 градусів, що, безсумнівно, дуже зручно.

Формули наведення:

Для використання формул приведення є два правила.

1. Якщо кут можна подати у вигляді (π/2 ±a) або (3*π/2 ±a), то назва функції змінюється sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Якщо ж кут можна уявити у вигляді (π ±a) або (2*π ±a), то назва функції залишається без змін.

Подивіться на малюнок нижче, там схематично зображено, коли слід міняти знак, а коли ні

2. Знак наведеної функції залишається тим самим. Якщо вихідна функція мала знак плюс, то і наведена функція має знак плюс. Якщо вихідна функція мала знак мінус, то і наведена функція має знак мінус.

На малюнку нижче подано знаки основних тригонометричних функцій залежно від чверті.

Приклад:

Обчислити

Скористаємося формулами приведення:

Sin(150˚) знаходиться у другій чверті, на малюнку бачимо що знак sin у цій чверті дорівнює "+". Отже, у наведеної функції теж буде знак «+». Це ми застосували друге правило.

Тепер 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ це π/2. Тобто маємо справу з випадком π/2+60, отже, за першим правилом змінюємо функцію з sin на cos. У результаті отримуємо Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.