Детальний доказ теореми про ортогональну проекцію багатокутника

Якщо - проекція плоского n -кутника на площину, то де - кут між площинами багатокутників і. Іншими словами, площа проекції плоского багатокутника дорівнює добутку площі багатокутника, що проектується, на косинус кута між площиною проекції і площиною проектованого багатокутника.

Доведення. I етап. Проведемо доказ спочатку для трикутника. Розглянемо 5 випадків.

1 випадок. лежать у площині проекції .

Нехай – проекції точок на площину відповідно. У нашому випадку. Припустимо, що. Нехай - висота, тоді за теоремою про три перпендикуляри ми можемо укласти, що - висота (- проекція похилої, - її основа і пряма проходить через основу похилої, причому).

Розглянемо. Він прямокутний. За визначенням косинуса:

З іншого боку, оскільки, тоді за визначенням - лінійний кут двогранного кута, утвореного напівплощинами площин і з граничною прямою, а, отже, його міра є також і мірою кута між площинами проекції трикутника і самого трикутника, тобто.

Знайдемо відношення площі до:

Зауважимо, що формула залишається правильною навіть коли. В цьому випадку

2 випадок. Тільки лежить у площині проекції та паралельна площині проекції .

Нехай – проекції точок на площину відповідно. У нашому випадку.

Проведемо через точку пряму. У разі пряма перетинає площину проекції, отже, по лемі, і пряма перетинає площину проекції. Нехай це буде в точці Так, то точки лежать в одній площині, а так як паралельна площині проекції, то за наслідком з ознаки паралельності прямої і площини слід, що. Отже, – паралелограм. Розглянемо в. Вони рівні за трьома сторонами (- загальна, як протилежні сторони паралелограма). Зауважимо, що чотирикутник - прямокутник і дорівнює (по катету та гіпотенузі), отже, дорівнює по трьох сторонах. Тому в.

Для застосуємо 1 випадок: , тобто.

3 випадок. Тільки лежить у площині проекції і не паралельна площині проекції .

Нехай точка - точка перетину прямої із площиною проекції. Зауважимо, що в. З 1 випадку: і. Таким чином отримуємо, що

4 випадок. Вершини не лежать у площині проекції . Розглянемо перпендикуляри. Візьмемо серед цих перпендикулярів найменший. Нехай це буде перпендикуляр. Може виявитися, що або тільки, або тільки. Тоді все одно беремо.

Відкладемо від точки на відрізку точку, так, щоб і від точки на відрізку точку, так, щоб. Така побудова можлива, оскільки найменший з перпендикулярів. Зауважимо, що є проекцією і за побудовою. Доведемо, що й рівні.

Розглянемо чотирикутник. За умовою - перпендикуляри до однієї площини, отже, за теоремою, тому. Так як за побудовою, тоді за ознакою паралелограма (по паралельним і рівним сторонам протилежним) ми можемо укласти, що - паралелограм. Отже, . Аналогічно доводиться, що . Отже, і дорівнюють по трьох сторонах. Тож. Зауважимо, що і як протилежні сторони паралелограмів, отже, за ознакою паралельності площин, . Так як ці площини паралельні, то вони утворюють той самий кут з площиною проекції.

Для застосування попередніх випадків:.

5 випадок. Площина проекції перетинає сторони . Розглянемо прямі. Вони перпендикулярні до площини проекції, тому за теоремою вони є паралельними. На сонаправленных променях з початками у точках відповідно відкладемо рівні відрізки, таким чином, щоб вершини лежали поза площиною проекції. Зауважимо, що є проекцією і за побудовою. Покажемо, що дорівнює.

Так як і, за побудовою, тоді. Отже, за ознакою паралелограма (по двох рівних та паралельних сторонах), - паралелограм. Аналогічно доводиться, що й – паралелограми. Але тоді, і (як протилежні сторони), тому дорівнює трьом сторонам. Отже, .

Крім того, і тому, за ознакою паралельності площин. Так як ці площини паралельні, то вони утворюють той самий кут з площиною проекції.

Для застосування 4 випадок:.

II етап. Розіб'ємо плоский багатокутник на трикутники за допомогою діагоналей, проведених з вершини: Тоді з попередніх випадків для трикутників: .

Що і потрібно було довести.

У завданнях з геометрії успіх залежить тільки від знання теорії, а й від якісного креслення.
З плоскими кресленнями все більш-менш зрозуміло. А в стереометрії справа складніша. Адже зобразити треба тривимірнетіло на плоскомукресленні, причому так, щоб і ви самі, і той, хто дивиться на ваше креслення, побачили б те ж об'ємне тіло.

Як це зробити?
Звісно, ​​будь-яке зображення об'ємного тіла на площині буде умовним. Проте є певний набір правил. Існує загальноприйнятий спосіб побудови креслень. паралельне проектування.

Візьмемо об'ємне тіло.
Виберемо площина проекції.
Через кожну точку об'ємного тіла проведемо прямі, паралельні один одному і проекції, що перетинають площину, під яким-небудь кутом. Кожна з цих прямих перетинає площину проекції будь-якої точки. А всі разом ці точки утворюють проекціюоб'ємного тіла на площину, тобто його плоске зображення.

Як будувати проекції об'ємних тіл?
Уявіть, що у вас є каркас об'ємного тіла призми, піраміди або циліндра. Висвітлюючи його паралельним пучком світла, отримуємо зображення – тінь на стіні чи екрані. Зауважимо, що в різних ракурсах виходять різні зображення, але деякі закономірності все ж таки присутні:

Проекцією відрізка буде відрізок.

Звичайно, якщо відрізок перпендикулярний до площини проекції — він відобразиться в одну точку.

Проекцією кола у випадку виявиться еліпс.

Проекцією прямокутника – паралелограм.

Ось як виглядає проекція куба на площину:

Тут передня та задня грані паралельні площині проекції

Можна зробити по-іншому:

Який би ракурс ми не вибрали, проекціями паралельних відрізківна кресленні теж будуть паралельні відрізки. Це один із принципів паралельного проектування.

Малюємо проекції піраміди,

циліндра:

Ще раз повторимо основний принцип паралельного проектування. Вибираємо площину проекції та через кожну точку об'ємного тіла проводимо паралельні один одному прямі. Ці прямі перетинають площину проекції під будь-яким кутом. Якщо цей кут дорівнює 90° — йдеться про прямокутному проектуванні. За допомогою прямокутного проектування будуються креслення об'ємних деталей у техніці. У цьому випадку ми говоримо про вид зверху, вид спереду і вид збоку.

Розділ IV. Прямі та площини у просторі. Багатогранники

§ 55. Площа проекції багатокутника.

Нагадаємо, що кутом між прямою та площиною називається кут між даною прямою та її проекцією на площину (рис. 164).

Теорема. Площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює площі багатокутника, що проектується, помноженої на косинус кута, утвореного площиною багатокутника і площиною проекції.

Кожен багатокутник можна розбити на трикутники, сума площ яких дорівнює площі багатокутника. Тому теорему достатньо довести для трикутника.

Нехай /\ АВС проектується на площину р. Розглянемо два випадки:
а) одна із сторін /\ АВС паралельна площині р;
б) жодна із сторін /\ АВС не паралельна р.

Розглянемо перший випадок: нехай [АВ] || р.

Проведемо через (АВ) площину р 1 || рі спроектуємо ортогонально /\ АВС на р 1 і на р(Рис. 165); отримаємо /\ АВС 1 та /\ А "В" С".
За якістю проекції маємо /\ АВС 1 /\ А "В" С", і тому

S /\ ABC1 = S /\ A"B"C"

Проведемо _|_ та відрізок D 1 C 1 . Тоді _|_ , a = φ є величина кута між площиною /\ АВС та площиною р 1 . Тому

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

і, отже, S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Перейдемо до розгляду другого випадку. Проведемо площину р 1 || рчерез ту вершину /\ АВС, відстань від якої до площини рнайменше (нехай це буде вершина А).
Спроектуємо /\ АВС на площині р 1 і р(рис. 166); нехай його проекціями будуть відповідно /\ АВ 1 З 1 та /\ А "В" С".

Нехай (НД) p 1 = D. Тоді

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1 - S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Завдання.Через бік основи правильної трикутної призмипроведено площину під кутом φ = 30° до площини її основи. Знайти площу утвореного перерізу, якщо сторона основи призми а= 6 див.

Зобразимо переріз цієї призми (рис. 167). Оскільки призма правильна, її бічні ребра перпендикулярні площині основания. Значить, /\ АВС є проекція /\ АDС, тому