Дослідження функції проводиться за чіткою схемою і вимагає від студента твердих знань основних математичних понять, таких як область визначення та значень, безперервність функції, асимптота, точки екстремуму, парність, періодичність тощо. Студент повинен вільно диференціювати функції та вирішувати рівняння, які часом бувають дуже хитромудрими.

Тобто це завдання перевіряє суттєвий пласт знань, будь-яка прогалина в яких стане перешкодою для отримання правильного рішення. Особливо часто складно виникають з побудовою графіків функцій. Ця помилка відразу впадає у вічі викладачеві і може дуже сильно зіпсувати вашу оцінку, навіть якщо все інше було зроблено правильно. Тут ви можете знайти завдання на дослідження функції онлайн: вивчити приклади, скачати рішення, замовити завдання

Дослідити функцію та побудувати графік: приклади та рішення онлайн

Ми приготували для вас безліч готових досліджень функцій, як платних в решільнику, так і безкоштовних розділ Приклади досліджень функцій. На основі цих вирішених завдань ви зможете детально ознайомитись з методикою виконання подібних завдань, за аналогією виконати своє дослідження.

Ми пропонуємо готові приклади повного дослідження та побудови графіка функції найпоширеніших типів: багаточленів, дробово-раціональних, ірраціональних, експоненціальних, логарифмічних, тригонометричних функцій. До кожної вирішеної задачі додається готовий графік із виділеними ключовими точками, асимптотами, максимумами та мінімумами, рішення ведеться за алгоритмом дослідження функції .

Рішені приклади, в будь-якому випадку, стануть для вас гарною підмогою, оскільки охоплюють найпопулярніші типи функцій. Ми пропонуємо вам сотні вже вирішених завдань, але, як відомо, математичних функцій на світі - нескінченна кількість, а викладачі - великі художники вигадувати для бідних студентів все нові й нові хитромудрі завдання. Тож, дорогі студенти, кваліфікована допомога вам не завадить.

Вирішення завдань на дослідження функції на замовлення

На цей випадок наші партнери запропонують вам іншу послугу - повне дослідження функції онлайнна замовлення. Завдання буде виконане для вас з дотриманням усіх вимог до алгоритму вирішення подібних завдань, що дуже потішить вашого викладача.

Ми зробимо вам повне дослідження функції: знайдемо область визначення і область значень, досліджуємо на безперервність і розривність, встановимо парність, перевіримо вашу функцію на періодичність, знайдемо точки перетину з осями координат. Ну і, звичайно ж, далі за допомогою диференціального обчислення: знайдемо асимптоти, обчислимо екстремуми, точки перегину, збудуємо сам графік.

У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність, асимптоти цієї функції.

Схема

1. Область існування (ОДЗ) функції.
2. Перетин функції (якщо є) з осями координат, знаки функції, парність, періодичність.
3. Точки розриву (їх рід). Безперервність. Асимптоти вертикальні.
4. Монотонність та точки екстремуму.
5. Точки перегину. Випуклість.
6. Дослідження функції на нескінченності, на асимптоти: горизонтальні та похилі.
7. Побудова графіка.

Дослідження на монотонність

Теорема.Якщо функція gбезперервна на , диференційована на (а; b)і g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(а; b), то gзростаюча (зменшується) на .

Приклад:

y = 1: 3x3 - 6: 2x2 + 5x.

ОДЗ: хеR

y’ = x 2 + 6x + 5.

Знайдемо проміжки постійних знаків y’. Оскільки y’- елементарна функція, вона може змінювати знаки лише у точках, де вона перетворюється на нуль чи немає. Її ОДЗ: хеR.

Знайдемо точки, похідна яких дорівнює 0 (нулю):

y' = 0;

x = -1; -5.

Отже, yзростаюча на (-∞; -5] і на [-1; +∞), y низхідна на .

Дослідження на екстремуми

Т. x 0називають точкою максимуму (max) на множині Афункції gтоді, коли приймається у цій точці функцією значення найбільше g(x 0) ≥ g(x), xєА.

Т. x 0називають точкою мінімуму (min) функції gна безлічі Атоді, коли приймається у цій точці функцією значення найменше g(x 0) ≤ g(x), xєА.

На безлічі Аточки максимуму (max) і мінімуму (min) називаються точками екстремуму g. Такі екстремуми ще називають абсолютними екстремумами на безлічі .

Якщо x 0- екстремума точка функції gв деякому своєму окрузі, то x 0називається точкою локального або місцевого екстремуму (max або min) функції g.

Теорема (умова необхідна).Якщо x 0- точка екстремуму (локальної) функції g, то похідна не існує або дорівнює цій т. 0 (нулю).

Визначення.Критичними називають точки з неіснуючою або рівною 0 (нулю) похідною. Саме ці точки підозрілі на екстремум.

Теорема (достатня умова № 1).Якщо функція gбезперервна в деякому окрузі т. x 0і символ змінює через цю точку при переході похідна, то ця точка є т. екстремуму g.

Теорема (достатня умова № 2).Нехай функція в деякому окрузі точки диференційована двічі і g' = 0, а g'' > 0 (g''< 0) тоді ця точка є точкою максимуму (max) чи мінімуму (min) функції.

Дослідження на опуклість

Функцію називають опуклою вниз (або увігнутою) на інтервалі (а, b)тоді, коли графік функції розташовується не вище за січну на проміжку для будь-яких x з (а, b), яка проходить через ці точки .

Функція буде опуклою строго вниз на (а, b), якщо - графік лежить нижче січе на проміжку.

Функцію називають опуклою вгору (опуклою) на проміжку (а, b), якщо для будь-яких т очок з (а, b)графік функції на проміжку лежить не нижче за січну, що проходить через абсциси в цих точках .

Функція буде строго опуклою вгору (а, b), якщо - графік на проміжку лежить вище за січну.

Якщо функція в певному окрузі точки безперервна і через т. x 0при переході функція змінює опуклість, то ця точка називається точкою перегину функції.

Дослідження на асимптоти

Визначення.Пряму називають асимптотою g(x)якщо при нескінченному віддаленні від початку координат до неї наближається точка графіка функції: d(M,l).

Асимптоти можуть бути вертикальні, горизонтальні та похилі.

Вертикальна пряма з рівнянням x = x 0 буде асимптотою вертикальної графіки функції g якщо в т. х 0 нескінченний розрив, тобто хоча б одна ліва або права межа в цій точці - нескінченність.

Дослідження функції на відрізку на значення найменше та найбільше

Якщо функція безперервна на , то по теоремі Вейерштрасса існує найбільше значення і значення найменше на цьому відрізку, тобто існують т окуляри, які належать такі, що g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . З теорем про монотонність та екстремуми отримуємо наступну схему дослідження функції на відрізку на найменше та найбільше значення.

План

1. Знайти похідну g’(x).
2. Шукати значення функції gу цих точках та на кінцях відрізка.
3. Знайдені значення порівняти та вибрати найменше та найбільше.

Зауваження.Якщо необхідно провести дослідження функції на кінцевому інтервалі (а, b), або на нескінченному (-∞; b); (-∞; +∞)на max та min значення, то в плані замість значень функції на кінцях проміжку шукають відповідні односторонні межі: замість f(a)шукають f(a+) = limf(x)замість f(b)шукають f(-b). Так можна знайти ОДЗ функції на проміжку, тому що абсолютні екстремуми не обов'язково існують у цьому випадку.

Застосування похідної до вирішення прикладних завдань на екстремум деяких величин

1. Виражають цю величину через інші величини з умови завдання так, щоб вона була функцією тільки від однієї змінної (якщо це можливо).
2. Визначають проміжок цієї змінної.
3. Проводять дослідження функції на проміжку на max та min значення.

Завдання.Потрібно побудувати майданчик прямокутної форми, використавши метрів сітки, біля стіни так, щоб з одного боку вона прилягала до стіни, а з решти трьох була огороджена сіткою. При якому співвідношенні сторін площа такого майданчика буде найбільшою?

S = xy- функція 2 змінних.

S = x(a - 2x)- функція 1-ї змінної ; x є.

S = ax - 2x 2; S = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- Найбільше значення;

S(0) =0.

Знайдемо іншу сторону прямокутника: у = a: 2.

Співвідношення сторін: y: x = 2.

Відповідь.Найбільша площа дорівнюватиме a 2/8якщо сторона, яка паралельна стіні, в 2 рази більша за іншу сторону.

Дослідження функції. Приклади

Приклад 1

Є y=x 3: (1-x) 2 . Провести дослідження.

1. ОДЗ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Загального вигляду функція (ні парна, ні непарна) відносно точки 0 (нуль) не симетрична.
3. Знаки функції. Функція елементарна, тому може змінювати знак лише в точках, де вона дорівнює 0 (нулю), або немає.
4. Функція елементарна, тому безперервна на ОДЗ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Розрив: х = 1;

limx 3: (1-x) 2 = ∞- розрив 2-го роду (нескінченний), тому є вертикальна асимптота у точці 1;

х = 1- Рівняння асимптоти вертикальної.

5. y' = x 2 (3 - x): (1 - x) 3;

ОДЗ (y'): x ≠ 1;

х = 1- точка критична.

y' = 0;

0; 3 - Точки критичні.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4;

Критичні т.: 1, 0;

x = 0 - т. перегину, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- немає горизонтальної асимптоти, але може бути похилою.

k = 1- Число;

b = 2- Число.

Отже, є похила асимптота y = x + 2на + ∞ та на - ∞.

Приклад 2

Дано y = (x 2 + 1): (x - 1). Виконати тадослідження. Побудувати графік.

1. Область існування - вся числова пряма, крім т.п. x = 1.

2. yперетинає OY (якщо це можливо) у т.ч. (0; g (0)). Знаходимо y(0) = -1 - т. перетину OY .

Точки перетину графіка з OXзнаходимо, вирішивши рівняння y = 0. Рівняння коренів дійсних не має, тому ця функція не перетинає OX.

3. Функція неперіодична. Розглянемо вираз

g(-x) ≠ g(x), і g(-x) ≠ -g(x). Це означає, що це загального виду функція (ні парна, ні непарна).

4. Т. x = 1розрив має другого роду. У всіх інших точках функція безперервна.

5. Дослідження функції на екстремум:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2 = y"

і вирішимо рівняння y" = 0.

Отже, 1 - √2, 1 + √2, 1 - Критичні точки або точки можливого екстремуму. Ці точки розбивають числову пряму на чотири інтервали .

На кожному інтервалі похідна має певний знак, який можна встановити методом інтервалів чи обчислення значень похідної окремих точках. На інтервалах (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , Позитивна похідна, значить, функція зростає; якщо xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , то функція зменшується, тому що на цих інтервалах похідна негативна. Через т.п. x 1при переході (рух слід зліва направо) змінює похідна знак з "+" на "-", тому в цій точці є локальний максимум, знайдемо

y max = 2 - 2 √2 .

При переході через x 2змінює похідна знак з "-" на "+", тому в цій точці є локальний мінімум, причому

y mix = 2+2√2.

Т. x = 1не т. Екстремуму.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

на (-∞; 1 ) 0 > y"" , Отже, на цьому інтервалі крива опукла; якщо xє (1 ; ∞) - крива увігнута. В т окуляри 1не визначено функцію, тому ця точка не точка перегину.

7. З результатів пункту 4 випливає, що x = 1- Асимптота вертикальна кривою.

Горизонтальні асимптоти відсутні.

x + 1 = y - асимптота похила даної кривої. Інших асимптот немає.

8. Враховуючи проведені дослідження, будуємо графік (див. рисунок вище).