Tund ja ettekanne teemal: "Negatiivse näitajaga kraad. Probleemide lahendamise definitsioon ja näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid. Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 8. klassile
Käsiraamat õpikule Muravina G.K. Õpiku käsiraamat Alimova Sh.A.

Kraadi määramine negatiivse eksponendiga

Poisid, me oleme head numbrite suurendamises.
Näiteks: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Teame hästi, et iga number sees null kraadi võrdne ühega. $a^0=1$, $a≠0$.
Tekib küsimus, mis juhtub, kui tõstate arvu negatiivse astmeni? Näiteks millega oleks võrdne arv $2^(-2)$?
Esimesed matemaatikud, kes selle küsimuse esitasid, otsustasid, et ratast ei tasu uuesti leiutada ja hea, et kõik kraadide omadused jäävad samaks. See tähendab, et astmete korrutamisel sama alusega astendajad liidetakse.
Vaatleme seda juhtumit: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Saime, et selliste arvude korrutis peaks andma ühtsuse. Korrutise ühik saadakse pöördarvude korrutamisel, st $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Selline arutluskäik viis järgmise määratluseni.
Definitsioon. Kui $n$ on naturaalarv ja $а≠0$, siis kehtib järgmine võrdsus: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Oluline identiteet, mida sageli kasutatakse: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Eelkõige $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Lahendusnäited

Näide 1
Arvutage: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Lahendus.
Vaatleme iga terminit eraldi.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Jääb teha liitmise ja lahutamise toimingud: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Vastus: $6\frac(1)(4)$.

Näide 2
Väljendage antud arvu astmena algarv$\frac(1)(729)$.

Lahendus.
Ilmselgelt $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Kuid 729 ei ole 9-ga lõppev algarv. Võime eeldada, et see arv on kolme aste. Jagame 729 järjestikku 3-ga.
1) $\frac(729)(3)=243 $;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Kuus toimingut on tehtud, mis tähendab: $729=3^6$.
Meie ülesande jaoks:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Vastus: $3^(-6)$.

Näide 3. Väljendage avaldist astmena: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Lahendus. Esimene tehe tehakse alati sulgudes, seejärel korrutamine $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Vastus: $a$.

Näide 4. Tõesta identiteet:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Lahendus.
Vasakul küljel kaaluge iga sulgudes olevat tegurit eraldi.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Liigume edasi murdosa juurde, millega jagame.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Teeme jagamise.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Saime õige identiteedi, mida oli vaja tõestada.

Tunni lõpus paneme uuesti kirja astmetega toimingute reeglid, siin on eksponendiks täisarv.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

1. Arvutage: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Esitage antud arv algarvu $\frac(1)(16384)$ astmena.
3. Väljendage avaldis kraadina:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Tõestage isikut:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Ühes eelmistes artiklites mainisime juba arvu astet. Täna proovime selle tähenduse leidmise protsessis navigeerida. Teaduslikult rääkides mõtleme välja, kuidas õigesti eksponentsieerida. Saame aru, kuidas see protsess läbi viiakse, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente: loomulik, irratsionaalne, ratsionaalne, tervik.

Niisiis, vaatame lähemalt näidete lahendusi ja uurime, mida see tähendab:

1. Mõiste määratlus.
2. Tõstmine negatiivse kunsti juurde.
3. Kogu skoori.
4. Arvu tõstmine väärtusele ir ratsionaalne aste.

Siin on definitsioon, mis peegeldab täpselt tähendust: "Tasendini tõstmine on arvu astme väärtuse määratlus."

Sellest lähtuvalt on arvu a ehitus Art. r ja astme a väärtuse leidmine eksponendiga r on identsed mõisted. Näiteks kui ülesandeks on arvutada astme väärtus (0,6) 6 ″, siis saab seda lihtsustada avaldisega "Tõstke arv 0,6 astmeni 6".

Pärast seda saate minna otse ehitusreeglite juurde.

Tõstmine negatiivsesse jõudu

Selguse huvides peaksite pöörama tähelepanu järgmisele väljendite ahelale:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 miinus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 miinus 2 sammuga.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 miinus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 kuni miinus 4 kraadi.

Tänu nendele näidetele näete selgelt võimalust arvutada koheselt 10 mis tahes negatiivse võimsusega. Selleks piisab kümnendkomponendi nihutamisest:

• 10 kuni -1 kraadi - enne ühikut 1 null;
• in -3 - kolm nulli enne ühte;
• -9 on 9 nulli ja nii edasi.

Selle skeemi järgi on ka lihtne aru saada, kui palju on 10 miinus 5 spl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuidas tõsta arv loomuliku astmeni

Definitsiooni meenutades võtame arvesse, et naturaalarv a kunstis. n võrdub n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a. Näitame: (a * a * ... a) n, kus n on korrutatud arvude arv. Vastavalt sellele on a tõstmiseks n-ks vaja arvutada järgmise kuju korrutis: a * a * ... ja jagada n-ga.

Siit saab selgeks, et püstitamine looduskunstis. tugineb korrutamise võimele(seda materjali käsitletakse reaalarvude korrutamise peatükis). Vaatame probleemi:

Tõsta -2 kuni 4. spl.

Meil on tegemist loomuliku näitajaga. Vastavalt sellele on otsuse käik järgmine: (-2) art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nüüd jääb üle ainult täisarvude korrutamine: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Saame 16.

Vastus ülesandele:

(-2) artiklis 4=16.

Näide:

Arvutage väärtus: kolm koma kaks seitsmendikku ruudus.

See näide võrdub järgmise korrutisega: kolm koma kaks seitsmendikku korda kolm koma kaks seitsmendikku. Pidades meeles, kuidas segaarvude korrutamine toimub, lõpetame ehituse:

• 3 tervet 2 seitsmendikku korrutatuna iseendaga;
• võrdub 23 seitsmendikuga 23 seitsmendikuga;
• võrdub 529 neljakümne üheksandikuga;
• vähendame ja saame 10 kolmkümmend üheksa nelikümmend üheksandikku.

Vastus: 10 39/49

Seoses irratsionaalsele näitajale tõstmise küsimusega tuleb märkida, et arvutusi hakatakse tegema pärast astme aluse esialgse ümardamise lõpetamist mingi astmeni, mis võimaldaks saada antud väärtusega. täpsust. Näiteks peame panema arvu P (pi) ruutudesse.

Alustuseks ümardame P sajandikuteks ja saame:

P ruudus \u003d (3,14) 2 = 9,8596. Kui aga taandada P kümnetuhandikele, saame P = 3,14159. Siis saab ruutudeks hoopis teise numbri: 9.8695877281.

Siinkohal tuleb märkida, et paljude ülesannete puhul ei ole vaja ir-i konstrueerida ratsionaalsed arvud kraadini. Reeglina sisestatakse vastus kas astme kujul, näiteks 6 juure 3 astmeni, või kui avaldis lubab, viiakse läbi selle teisendus: 5 juur. 7 kraadini \u003d 125 juur 5-st.

Kuidas tõsta arv täisarvuni

See algebraline manipuleerimine on asjakohane võtta arvesse järgmistel juhtudel:

• täisarvude jaoks;
• nullindikaatori jaoks;
• positiivse täisarvu jaoks.

Kuna peaaegu kõik positiivsed täisarvud langevad kokku naturaalarvude massiga, on selle positiivse täisarvu astme määramine sama protsess, mis selle seadmine artiklis Art. loomulik. Oleme seda protsessi kirjeldanud eelmises lõigus.

Nüüd räägime Art. null. Eespool saime juba teada, et arvu a nullvõimsuse saab määrata mis tahes nullist erineva a (reaalne) korral, samas kui a on st. 0 võrdub 1-ga.

Sellest lähtuvalt on mis tahes reaalarvu nulliks konstrueerimine art. annab ühe.

Näiteks 10 st.0=1, (-3.65)0=1 ja 0 st. 0 ei saa määrata.

Täisarvulise astme astendamise lõpuleviimiseks tuleb veel otsustada negatiivsete täisarvu väärtuste valikute üle. Mäletame, et Art. alates a täisarvu eksponendiga -z defineeritakse murdosana. Murru nimetajas on Art. positiivse täisarvuga väärtusega, mille väärtust oleme juba õppinud leidma. Nüüd jääb üle vaid kaaluda ehituse näidet.

Näide:

Arvutage negatiivse täisarvuga kuubitud arvu 2 väärtus.

Lahenduse protsess:

Vastavalt negatiivse indikaatoriga kraadi määratlusele tähistame: kaks miinus 3 spl. võrdub üks kuni kaks kolmanda astmega.

Nimetaja arvutatakse lihtsalt: kaks kuubikut;

3 = 2*2*2=8.

Vastus: kaks kuni miinus 3. spl. = üks kaheksandik.

Võimsuse valemid kasutatakse keeruliste avaldiste taandamise ja lihtsustamise protsessis, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on n-arvu aste a millal:

Tehted kraadidega.

1. Kraadide korrutamisel sama baasiga saadakse nende näitajad kokku:

olena n = a m + n .

2. Sama alusega kraadide jaotuses lahutatakse nende näitajad:

3. Korrutise aste 2 või rohkem tegurid on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a/b) n = a n/bn.

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse eksponendid:

(am) n = a m n .

Iga ülaltoodud valem on õige suunaga vasakult paremale ja vastupidi.

Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab juurarvu tõstmisest selle astmeni:

4. Kui suurendame juure astet sisse nüks kord ja samal ajal tõsta kuni n aste on juurarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui me vähendame juure astet n juur samal ajal n kraadi võrra radikaalarvust, siis juure väärtus ei muutu:

Kraad negatiivse astendajaga. Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui jagamine sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:

Valem olen:a n = a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka kl m< n.

Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Valemile olen:a n = a m - n sai õiglaseks m = n, vajate nullkraadi olemasolu.

Kraad nullastendajaga. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on võrdne ühega.

Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu a mingil määral m/n, peate juure ekstraheerima n aste m selle arvu võimsus a.

Selle materjali raames analüüsime, mis on arvu võimsus. Lisaks põhimääratlustele sõnastame, millised on naturaal-, täisarvu-, ratsionaal- ja irratsionaalastendajatega kraadid. Nagu alati, illustreeritakse kõiki mõisteid ülesannete näidetega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Esiteks sõnastame astme põhidefinitsiooni naturaalastendajaga. Selleks peame meeles pidama korrutamise põhireegleid. Teeme eelnevalt selgeks, et esialgu võtame aluseks reaalarvu (tähistagem seda tähega a) ja indikaatorina - naturaalarvu (tähistatakse tähega n).

Definitsioon 1

A aste naturaalse astendajaga n on n-nda arvu tegurite korrutis, millest igaüks on võrdne arvuga a. Kraad on kirjutatud järgmiselt: a n, ja valemi kujul võib selle koostist esitada järgmiselt:

Näiteks kui astendaja on 1 ja alus on a, siis kirjutatakse a esimene aste kui a 1. Arvestades, et a on teguri väärtus ja 1 on tegurite arv, võime järeldada, et a 1 = a.

Üldiselt võib öelda, et kraad on mugav kuju rekordid suur hulk võrdsed kordajad. Niisiis, vormi rekord 8 8 8 8 saab taandada 8 4 . Samamoodi aitab toode meil vältida suure hulga terminite kirjutamist (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; oleme seda juba analüüsinud naturaalarvude korrutamisele pühendatud artiklis.

Kuidas kraadiõpet õigesti lugeda? Üldtunnustatud variant on "a astmeni n". Või võite öelda "a n-s aste" või "n-s aste". Kui näiteks näites on kirje 8 12 , saame lugeda "8 kuni 12. astmeni", "8 astmeni 12" või "12. astmeni 8".

Arvu teisel ja kolmandal astmel on oma väljakujunenud nimed: ruut ja kuup. Kui näeme näiteks arvu 7 teist astet (7 2), siis võime öelda "7 ruudus" või "arvu 7 ruut". Samamoodi loetakse kolmandat kraadi järgmiselt: 5 3 on "numbri 5 kuup" või "5 kuubik". Siiski on võimalik kasutada ka standardset sõnastust "teisel / kolmandal astmel", see ei ole viga.

Näide 1

Vaatame näidet kraadist, millel on loomulik näitaja: for 5 7 viis on baas ja seitse on indikaator.

Alus ei pea olema täisarv: astme jaoks (4 , 32) 9 alus on murd 4, 32 ja eksponent üheksa. Pöörake tähelepanu sulgudele: selline märge tehakse kõigi kraadide kohta, mille alused erinevad naturaalarvudest.

Näiteks: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Mille jaoks klambrid on ette nähtud? Need aitavad vältida vigu arvutustes. Oletame, et meil on kaks kirjet: (− 2) 3 ja − 2 3 . Esimene neist tähendab negatiivset arvu miinus kaks, mis on tõstetud astmeni, mille naturaalastendaja on kolm; teine ​​on arv, mis vastab astme vastupidisele väärtusele 2 3 .

Mõnikord võite raamatutes leida numbri astme pisut erineva kirjapildi - a^n(kus a on alus ja n on astendaja). Nii et 4^9 on sama mis 4 9 . Kui n on mitmekohaline arv, on see sulgudes. Näiteks 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Kuid me kasutame tähistust a n kui tavalisem.

Kuidas arvutada astme väärtust naturaalastendajaga, on selle definitsioonist lihtne ära arvata: tuleb lihtsalt n-ndat korda korrutada. Kirjutasime sellest lähemalt teises artiklis.

Kraadi mõiste on vastand teisele matemaatilisele mõistele – arvu juurele. Kui teame astendaja ja astendaja väärtust, saame arvutada selle baasi. Kraadil on mõned spetsiifilised omadused, mis on kasulikud probleemide lahendamiseks, mida oleme analüüsinud eraldi materjalis.

Astendajad võivad sisaldada mitte ainult naturaalarve, vaid üldiselt mis tahes täisarvulisi väärtusi, sealhulgas negatiivseid ja nulle, kuna need kuuluvad samuti täisarvude hulka.

2. definitsioon

Positiivse täisarvu eksponendiga arvu astme saab kuvada valemina: .

Lisaks on n mis tahes positiivne täisarv.

Tegeleme nullkraadi mõistega. Selleks kasutame lähenemist, mis võtab arvesse võrdsete alustega astmete jagatise omadust. See on sõnastatud järgmiselt:

3. definitsioon

Võrdsus a m: a n = a m − n on tõene järgmistel tingimustel: m ja n on naturaalarvud, m< n , a ≠ 0 .

Viimane tingimus on oluline, kuna see väldib nulliga jagamist. Kui m ja n väärtused on võrdsed, saame järgmise tulemuse: a n: a n = a n − n = a 0

Kuid samal ajal a n: a n = 1 - võrdsete arvude jagatis a n ja a. Selgub, et mis tahes nullist erineva arvu nullaste on võrdne ühega.

Kuid selline tõestus ei sobi nulli astmele nulli. Selleks vajame veel ühte võimsuste omadust – võrdsete alustega võimsuste korrutiste omadust. See näeb välja selline: a m a n = a m + n .

Kui n on 0, siis a m a 0 = a m(see võrdsus tõestab ka meile seda a 0 = 1). Aga kui ja on samuti võrdne nulliga, saab meie võrdsus kuju 0 m 0 0 = 0 m, See kehtib iga n-i loomuliku väärtuse kohta ja see ei oma tähtsust, mis astme väärtus täpselt on 0 0 , see tähendab, et see võib olla võrdne mis tahes arvuga ja see ei mõjuta võrdsuse kehtivust. Seetõttu vormi rekord 0 0 ei oma erilist tähendust ja me ei omista seda sellele.

Soovi korral on seda lihtne kontrollida a 0 = 1 koondub kraadiomadusega (a m) n = a m n eeldusel, et astme alus ei ole võrdne nulliga. Seega on mis tahes nullist erineva arvu nullastendajaga aste võrdne ühega.

Näide 2

Vaatame näidet konkreetsete numbritega: Niisiis, 5 0 - üksus, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ja väärtus 0 0 määratlemata.

Pärast nullkraadi jääb meile selgeks, mis on negatiivne kraad. Selleks vajame võrdsete alustega astmete korrutise sama omadust, mida oleme juba eespool kasutanud: a m · a n = a m + n.

Toome sisse tingimuse: m = − n , siis a ei tohi olla võrdne nulliga. Sellest järeldub a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Selgub, et a n ja a-n meil on vastastikku vastastikused arvud.

Selle tulemusena ei ole a kuni negatiivse täisarvu võimsus midagi muud kui murd 1 a n .

See sõnastus kinnitab, et negatiivse täisarvulise astendajaga astme puhul kehtivad kõik samad omadused, mis loomuliku astendajaga astmel (eeldusel, et alus ei ole võrdne nulliga).

Näide 3

Negatiivse täisarvuga n võimsust a saab esitada murdarvuna 1 a n . Seega a - n = 1 a n tingimusel a ≠ 0 ja n on mis tahes naturaalarv.

Illustreerime oma ideed konkreetsete näidetega:

Näide 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Lõigu viimases osas püüame kõike öeldut selgelt ühes valemis kujutada:

4. definitsioon

A aste naturaalse astendajaga z on: a z = a z, e c ja z on positiivne täisarv 1, z = 0 ja a ≠ 0, (kui z = 0 ja a = 0 saame 0 0, siis avaldis 0 0 ei ole määratud)   1 a z , kui z on negatiivne täisarv ja a ≠ 0 ( kui z on negatiivne täisarv ja a = 0 saame 0 z , siis on see a n d e n t i o n )

Mis on ratsionaalse astendajaga kraadid

Oleme analüüsinud juhtumeid, kui eksponendiks on täisarv. Siiski saate arvu tõsta ka astmeks, kui selle eksponent on murdarv. Seda nimetatakse kraadiks ratsionaalne näitaja. Selles alajaotuses tõestame, et sellel on samad omadused kui teistel võimsustel.

Mis on ratsionaalsed arvud? Nende komplekt sisaldab nii täisarve kui ka murdarvud, samas kui murdarvu saab esitada tavaliste murdudena (nii positiivsete kui ka negatiivsete). Arvu a astme definitsiooni sõnastame murdeksponentiga m / n, kus n on naturaalarv ja m on täisarv.

Meil on mingi aste murdeksponentiga a m n . Et võimsusomadus astmes kehtiks, peab võrdus a m n n = a m n · n = a m olema tõene.

Arvestades n-nda juure definitsiooni ja seda, et a m n n = a m , võime aktsepteerida tingimust a m n = a m n, kui a m n on m , n ja a väärtuste jaoks mõistlik.

Ülaltoodud täisarvulise astendajaga astme omadused on tõesed tingimusel a m n = a m n .

Peamine järeldus meie arutlusest on järgmine: mõne arvu a aste murdeksponentiga m / n on n-nda astme juur arvust a astmeni m. See on tõsi, kui antud väärtuste m, n ja a puhul on avaldis a m n mõttekas.

1. Saame piirata kraadi aluse väärtust: võtke a, mis m positiivsete väärtuste korral on suurem või võrdne 0-ga ja negatiivsete väärtuste korral on see rangelt väiksem (kuna m ≤ 0 saame 0 m, kuid see aste pole määratletud). Sel juhul näeb astme määratlus murdosa eksponendiga välja järgmine:

Mõne positiivse arvu a murdeksponent m/n on m astmeni tõstetud a n-s juur. Valemi kujul saab seda esitada järgmiselt:

Nullbaasiga kraadi jaoks sobib ka see säte, kuid ainult siis, kui selle eksponendiks on positiivne arv.

Baasnulliga ja positiivse murdeksponentiga m/n saab väljendada järgmiselt

0 m n = 0 m n = 0 positiivse täisarvu m ja loomuliku n tingimusel.

Negatiivse suhtega m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Märgime ühte punkti. Kuna oleme kehtestanud tingimuse, et a on nullist suurem või sellega võrdne, jätsime mõned juhtumid kõrvale.

Avaldis a m n on mõnikord endiselt mõttekas mõne a negatiivse väärtuse ja m mõne negatiivse väärtuse jaoks. Seega on kirjed õiged (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , milles alus on negatiivne.

2. Teine lähenemine on vaadelda eraldi paaris ja paaritu astendajatega juur a m n. Seejärel peame sisse viima veel ühe tingimuse: astet a, mille eksponendis on taandatav harilik murd, loetakse astmeks a, mille eksponendis on vastav taandamatu murd. Hiljem selgitame, miks me seda tingimust vajame ja miks see nii oluline on. Seega, kui meil on kirje a m · k n · k, siis saame selle taandada a m n-ks ja arvutusi lihtsustada.

Kui n on paaritu arv ja m on positiivne ja a on mis tahes mittenegatiivne arv, siis on m n mõtet. Mittenegatiivse a tingimus on vajalik, sest paarisastme juur negatiivne arv ei ekstraheerita. Kui m väärtus on positiivne, võib a olla nii negatiivne kui ka null, sest Paaritu juure võib võtta mis tahes reaalarvust.

Kombineerime kõik definitsiooni kohal olevad andmed ühte kirjesse:

Siin tähendab m/n taandamatu murdosa, m on mis tahes täisarv ja n on mis tahes naturaalarv.

Definitsioon 5

Iga tavalise taandatud murru m · k n · k korral võib astme asendada a m n .

A astet taandamatu murdeksponentiga m / n - saab väljendada kui m n järgmistel juhtudel: - iga reaalarvu a korral täisarv positiivsed väärtused m ja paaritud positiivsed täisarvud n . Näide: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Mis tahes nullist erineva tegeliku a korral on m negatiivsed täisarvud ja n paaritu väärtused, näiteks 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 27

Mis tahes mittenegatiivse a korral on positiivsed täisarvud m ja isegi n, näiteks 2 1 4 = 2 1 4, (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Iga positiivse a , negatiivse täisarvu m ja isegi n korral, näiteks 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Muude väärtuste puhul murdeksponentiga kraadi ei määrata. Näited sellistest võimsustest: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Nüüd selgitame ülalmainitud tingimuse olulisust: miks asendada taandatava astendajaga murd murdosa jaoks taandamatuga. Kui me poleks seda teinud, oleksid sellised olukorrad kujunenud näiteks 6/10 = 3/5. Siis peaks (- 1) 6 10 = - 1 3 5 olema tõene, kuid - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ja (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Esimesena antud astme määratlust murdeksponentiga on praktikas mugavam rakendada kui teist, seega jätkame selle kasutamist.

Definitsioon 6

Seega on positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m / n defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0 . Negatiivse korral a tähistusel a m n pole mõtet. Positiivsete murdeksponentide nullkraad m/n on defineeritud kui 0 m n = 0 m n = 0, negatiivsete murdeksponentide puhul ei määratle me nulli astet.

Järeldustes märgime, et mis tahes murdosa indikaatorit saab kirjutada nagu vormis seganumber, ja kujul kümnendmurd: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Arvutamisel on parem asendada eksponent harilik murd ja seejärel kasutage astme määratlust murdosa astendajaga. Ülaltoodud näidete jaoks saame:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mis on kraadid irratsionaalse ja reaalastendajaga

Mis on reaalarvud? Nende hulk sisaldab nii ratsionaalseid kui ka irratsionaalseid arve. Seetõttu, et mõista, mis on reaalse astendajaga aste, peame defineerima astmed ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga. Ratsionaalsest oleme juba eespool maininud. Käsitleme samm-sammult irratsionaalseid näitajaid.

Näide 5

Oletame, et meil on irratsionaalne arv a ja selle kümnendlähenduste jada a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Näiteks võtame väärtuse a = 1 , 67175331 . . . , siis

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Lähenduste jadasid saame seostada astmete jadaga a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Kui meenutada seda, millest varem rääkisime arvude tõstmisest ratsionaalse astmeni, siis saame nende astmete väärtused ise välja arvutada.

Võtke näiteks a = 3, siis a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . jne.

Kraadide jada saab taandada arvuks, mis saab astme väärtuseks alusega a ja irratsionaalse astendajaga a. Tulemuseks: aste, mille irratsionaalne astendaja on kujul 3 1 , 67175331 . . saab vähendada numbrini 6, 27.

Definitsioon 7

Positiivse arvu a võimsus irratsionaalse astendajaga a kirjutatakse a a . Selle väärtus on jada piir a a 0, a a 1, a a 2,. . . , kus a 0 , a 1 , a 2 , . . . on irratsionaalarvu a järjestikused kümnendarvud. Nullbaasiga kraadi saab määratleda ka positiivsete irratsionaalsete eksponentide jaoks, samas kui 0 a \u003d 0 Niisiis, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Ja negatiivsete puhul ei saa seda teha, kuna näiteks väärtus 0 - 5, 0 - 2 π pole määratletud. Mistahes irratsionaalse astmeni tõstetud ühik jääb näiteks ühikuks ja 1 2 , 1 5 in 2 ja 1 - 5 võrdub 1 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ilmselgelt saab astmetega numbreid liita nagu teisigi suurusi , lisades need ükshaaval koos nende märkidega.

Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Koefitsiendid samade muutujate samad astmed saab liita või lahutada.

Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2 .

Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.

Aga kraadid erinevaid muutujaid ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb lisada, lisades need nende märkidele.

Seega on 2 ja 3 summa 2 + a 3 summa.

On ilmne, et ruut a ja kuup a ei ole kaks korda a ruut, vaid kaks korda suurem kuup a.

A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, ainult et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.

Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Võimsuse korrutamine

Pädevustega arve saab korrutada nagu teisigi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.

Seega on a 3 korrutamise tulemus b 2-ga a 3 b 2 või aaabb.

Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a

Tulemus sisse viimane näide saab tellida sarnaseid muutujaid lisades.
Avaldis on järgmisel kujul: a 5 b 5 y 3 .

Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.

Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Siin on 5 korrutamise tulemuse võimsus, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summa.

Niisiis, a n .a m = a m+n .

A n korral võetakse a teguriks nii mitu korda, kui palju on n võimsus;

Ja a m , võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;

Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada eksponentide liitmise teel.

Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on - negatiivne.

1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on

Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne summaga või nende ruutude erinevus.

Kui kahe arvu summa ja vahe tõstetakse väärtuseni ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadi.

Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Kraadide jaotus

Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades jagajast või paigutades need murru kujul.

Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga a 3 .

Või:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 jagatuna 3-ga kirjutades näeb välja selline $\frac(a^5)(a^3)$. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.

Sama alusega astmete jagamisel lahutatakse nende eksponendid..

Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . See tähendab, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Või:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadi väärtused.
A -5 jagamisel -3-ga saadakse -2 .
Samuti $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Võimude korrutamist ja jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.

Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega

1. Vähendage eksponente väärtuses $\frac(5a^4)(3a^2)$. Vastus: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Vähendage eksponente väärtuses $\frac(6x^6)(3x^5)$. Vastus: $\frac(2x)(1)$ või 2x.

3. Vähendage eksponendid a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine ​​lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 või 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.

5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.

6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).

7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.

9. Jagage (h 3 – 1)/d 4 arvuga (d n + 1)/h.