Polünoomide faktoriseerimine on identne teisendus, mille tulemusena polünoom muudetakse mitme teguri korrutiseks - polünoomideks või monomideks.

Polünoomide faktoriseerimiseks on mitu võimalust.

Meetod 1. Ühisteguri sulgudesse lisamine.

See teisendus põhineb korrutamise jaotusseadusel: ac + bc = c(a + b). Teisenduse olemus seisneb kahes vaadeldavas komponendis esiletõstmises ühine tegur ja võtke see sulgudest välja.

Teguristame polünoomi 28x 3 - 35x 4.

Lahendus.

1. Leiame ühise jagaja elementidele 28x3 ja 35x4. 28 ja 35 puhul on see 7; x 3 ja x 4 - x 3 jaoks. Teisisõnu, meie ühine tegur on 7x3.

2. Esitame iga elementi tegurite korrutisena, millest üks
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Ühisteguri sulgudes
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

2. meetod. Lühendatud korrutamisvalemite kasutamine. Selle meetodi valdamise "meisterlikkus" seisneb väljendis ühe lühendatud korrutamise valemi märkamises.

Teguristame polünoomi x 6 - 1.

Lahendus.

1. Sellele avaldisele saame rakendada ruutude erinevuse valemit. Selleks esitame x 6 kui (x 3) 2 ja 1 kui 1 2, st. 1. Väljend on järgmisel kujul:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Saadud avaldisele saame rakendada kuubikute summa ja erinevuse valemit:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Niisiis,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Meetod 3. Rühmitamine. Rühmitamise meetod seisneb polünoomi komponentide kombineerimises nii, et nendega on lihtne tehteid teha (liitmine, lahutamine, ühisteguri väljavõtmine).

Teguristame polünoomi x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Lahendus.

1. Rühmitage komponendid järgmiselt: 1. koos 2. ja 3. koos 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Saadud avaldises võtame sulgudest välja ühised tegurid: esimesel juhul x 2 ja teisel juhul 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Võtame välja ühisteguri x - 3 ja saame:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Niisiis,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x) 2 + 5).

Parandame materjali.

Korrutage polünoom a 2 - 7ab + 12b 2 .

Lahendus.

1. Esitame monoomi 7ab summana 3ab + 4ab. Väljend on järgmisel kujul:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Avame sulgud ja saame:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Rühmitage polünoomi komponendid nii: 1. 2. ja 3. 4. komponendiga. Saame:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Toome välja tavalised tegurid:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Võtame välja ühisteguri (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Niisiis,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a-3b)-4b(a-3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Polünoom on avaldis, mis koosneb monomialide summast. Viimased on konstandi (arvu) ja avaldise juure (või juurte) korrutis astmega k. Sel juhul räägitakse k-astme polünoomist. Polünoomi dekomponeerimine hõlmab avaldise teisendamist, milles terminid asendatakse teguritega. Vaatleme selle ümberkujundamise peamisi viise.

Meetod polünoomi laiendamiseks ühisteguri eraldamise teel

See meetod põhineb jaotusseaduse seadustel. Niisiis, mn + mk = m * (n + k).

• Näide: laiendada 7a 2 + 2uy ja 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7 a 2 + 2 u = y * (7 a + 2 u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l).

Seetõttu ei pruugita alati leida tegurit, mis on tingimata olemas igas polünoomides seda meetodit ei ole universaalne.

Polünoomi laiendamise meetod, mis põhineb lühendatud korrutusvalemitel

Lühendatud korrutusvalemid kehtivad mis tahes astme polünoomile. AT üldine vaade teisendusavaldis näeb välja selline:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kus k on naturaalarvud.

Kõige sagedamini kasutatakse praktikas teise ja kolmanda järgu polünoomide valemeid:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Näide: laiendada 25p 2 - 144b 2 ja 64m 3 - 8l 3 .

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64 m 3 - 8 l 3 = (4 m) 3 - (2 l) 3 = (4 m - 2 l) ((4 m) 2 + 4 m * 2 l + (2 l) 2) = (4 m - 2 l) (16 m 2 + 8 ml + 4 l 2 ).

Polünoomdekompositsiooni meetod - avaldise terminite rühmitamine

See meetod kordab mingil moel ühise teguri tuletamise tehnikat, kuid sellel on mõningaid erinevusi. Eelkõige tuleks enne ühise teguri eraldamist monoomiid rühmitada. Rühmitamine põhineb assotsiatiivsete ja kommutatiivsete seaduste reeglitel.

Kõik avaldises esitatud monomiaalid on jagatud rühmadesse, millest igaühes üldine tähendus nii, et teine ​​tegur on kõigis rühmades sama. Üldiselt võib sellist lagunemismeetodit esitada avaldisena:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• Näide: laiendada 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14 min + 16 ln - 49 m - 56 l = (14 min - 49 m) + (16 ln - 56 l) = 7 m * (2n - 7) + 8 l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7).

Polünoomide lagunemise meetod – täisruudu moodustumine

See meetod on polünoomide lagunemise käigus üks tõhusamaid. Algstaadiumis on vaja kindlaks määrata monoomid, mida saab "voldida" erinevuse või summa ruutu. Selleks kasutatakse ühte järgmistest seostest:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Näide: laiendage avaldist u 4 + 4u 2 – 1.

Selle monomialide hulgast eristame terminid, mis moodustavad täieliku ruudu: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Lõpetage teisendus, kasutades lühendatud korrutamise reegleid: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

See. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Mida teha, kui probleemi lahendamisel eksamilt või edasi sisseastumiseksam matemaatikas, kas saite polünoomi, mida ei saa arvestada koolis õpitud standardmeetoditega? Selles artiklis räägib matemaatikaõpetaja ühest tõhusast viisist, mille uurimine on kaugemalgi kooli õppekava, kuid mille abil polünoomi faktoriseerida ei saa eriline töö. Lugege see artikkel lõpuni ja vaadake lisatud videoõpetust. Saadud teadmised aitavad teid eksamil.

Polünoomi faktoriseerimine jagamismeetodil

Kui saite teisest astmest suurema polünoomi ja suutsite ära arvata muutuja väärtuse, mille juures see polünoom võrdub nulliga (näiteks see väärtus võrdub), siis tea! Selle polünoomi saab ilma jäägita jagada .

Näiteks on lihtne näha, et neljanda astme polünoom kaob . See tähendab, et seda saab jagada ilma jäägita, saades seega kolmanda astme polünoomi (alla ühe). See tähendab, et pane see kujule:

kus A, B, C ja D- mõned numbrid. Laiendame sulgusid:

Kuna samade astmete koefitsiendid peavad olema samad, saame:

Nii et saime:

Liigu edasi. Piisab sorteerida mitu väikest täisarvu, et näha, et kolmanda astme polünoom jagub jälle arvuga . Selle tulemuseks on teise astme polünoom (vähem kui üks). Seejärel liigume edasi uue rekordi juurde:

kus E, F ja G- mõned numbrid. Sulgusid uuesti avades jõuame järgmise väljendini:

Jällegi samade võimsuste koefitsientide võrdsuse tingimusest saame:

Siis saame:

See tähendab, et algset polünoomi saab arvutada järgmiselt:

Põhimõtteliselt saab soovi korral ruutude erinevuse valemit kasutades tulemust esitada ka järgmisel kujul:

Nii lihtne ja tõhus meetod polünoomide faktoriseerimine. Pidage meeles, see võib kasuks tulla eksamil või matemaatikaolümpiaadil. Kontrollige, kas olete õppinud seda meetodit kasutama. Proovige järgmine probleem ise lahendada.

Polünoomi faktoriseerimine:

Kirjutage oma vastused kommentaaridesse.

Valmistas Sergei Valerievich

Väga sageli on murdosa lugejaks ja nimetajaks algebralised avaldised, mis tuleb esmalt teguriteks lagundada ja seejärel, olles nende hulgast sama leidnud, jagada neisse nii lugeja kui ka nimetaja, see tähendab murdosa vähendada. Terve peatükk 7. klassi algebra õpikust on pühendatud ülesannetele polünoomi faktoriseerimiseks. Faktooringut saab teha 3 viisi, samuti nende meetodite kombinatsioon.

1. Lühendatud korrutusvalemite rakendamine

Nagu teada polünoomi korrutamine polünoomiga, peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega ja liitma saadud korrutised. Kontseptsioonis sisaldub vähemalt 7 (seitse) tavalist polünoomide korrutamise juhtumit. Näiteks,

Tabel 1. Faktoriseerimine 1. viisil

2. Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

See meetod põhineb korrutamise jaotusseaduse rakendamisel. Näiteks,

Jagame algse avaldise iga liikme teguriga, mille me välja võtame, ja samal ajal saame avaldise sulgudes (st sulgudesse jääb tulemus, kui jagame selle, mis oli väljavõetud). Esiteks on vaja kordaja õigesti määrama, mis peab olema sulgudes.

Sulgudes olev polünoom võib olla ka tavaline tegur:

„Faktoorika“ ülesande täitmisel tuleb ühisteguri sulgudest välja võtmisel olla märkidega eriti ettevaatlik. Iga termini märgi muutmiseks sulgudes (b–a), võtame välja ühisteguri -1 , samas kui iga sulgudes olev termin on jagatud -1-ga: (b - a) = - (a - b) .

Kui sulgudes olev avaldis on ruudus (või mõne paarisastmega), siis sulgudes olevaid numbreid saab vahetada täiesti tasuta, kuna sulgudest välja võetud miinused muutuvad korrutamisel ikkagi plussiks: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 ja nii edasi…

3. Rühmitamise meetod

Mõnikord ei ole kõigil avaldise terminitel ühist tegurit, vaid ainult mõnel. Siis saab proovida rühma terminid sulgudes, et igaühest saaks mõne teguri välja võtta. Rühmitamise meetod on ühiste tegurite topeltsulgumine.

4. Mitme meetodi kasutamine korraga

Mõnikord peate polünoomi teguriteks korraga faktoriseerimiseks kasutama mitte ühte, vaid mitut võimalust.

See on teema kokkuvõte. "faktoriseerimine". Valige järgmised sammud:

• Minge järgmise kokkuvõtte juurde:

Kaaluge konkreetseid näiteid kuidas polünoomi faktoriseerida.

Laiendame polünoomid vastavalt .

Faktoringpolünoomid:

Kontrollige, kas on ühine tegur. jah, see on võrdne 7 cd-ga. Võtame selle sulgudest välja:

Sulgudes olev väljend koosneb kahest terminist. Ühist tegurit enam pole, avaldis ei ole kuubikute summa valem, mis tähendab, et lagunemine on lõpetatud.

Kontrollige, kas on ühine tegur. Ei. Polünoom koosneb kolmest liikmest, seega kontrollime, kas on olemas täisruutvalem. Kaks liiget on avaldiste ruudud: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², kolmas liige on võrdne nende avaldiste kahekordse korrutisega: 2∙5x∙3y=30xy. Nii et see polünoom on täisruut. Kuna topelttoode on miinusmärgiga, siis see on:

Kontrollime, kas ühistegurit on võimalik sulgudest välja võtta. On ühine tegur, see on võrdne a. Võtame selle sulgudest välja:

Sulgudes on kaks terminit. Kontrollime, kas ruutude või kuubikute erinevuse kohta on valem. a² on a ruut, 1=1². Niisiis saab sulgudes oleva avaldise kirjutada ruutude erinevuse valemi järgi:

On ühine tegur, see on 5. Võtame selle sulgudest välja:

sulgudes on kolm terminit. Kontrollige, kas avaldis on täiuslik ruut. Kaks liiget on ruudud: 16=4² ja a² on a ruut, kolmas liige on 4 ja a kahekordne korrutis: 2∙4∙a=8a. Seetõttu on see täiuslik ruut. Kuna kõik terminid on märgiga "+", on sulgudes olev avaldis summa täisruut:

Ühine tegur -2x võetakse sulgudest välja:

Sulgudes on kahe termini summa. Kontrollime, kas antud avaldis on kuubikute summa. 64 = 4³, x³-kuubik x. Seega saab binoomi laiendada vastavalt valemile:

On ühine tegur. Kuid kuna polünoom koosneb 4 liikmest, võtame kõigepealt ja alles siis ühisteguri sulgudest välja. Rühmitame esimese termini neljandaga, teise - kolmandaga:

Esimestest sulgudest võtame välja ühise teguri 4a, teisest - 8b:

Ühist kordajat veel pole. Selle saamiseks võtame teistest sulgudest välja sulud “-”, samas kui iga märk sulgudes muutub vastupidiseks:

Nüüd võtame sulgudest välja ühisteguri (1-3a):

Teistes sulgudes on ühine tegur 4 (see on sama tegur, mida me näite alguses sulgudest välja ei võtnud):

Kuna polünoom koosneb neljast liikmest, teostame rühmitamise. Esimese liikme rühmitame teisega, kolmanda neljandaga:

Esimestes sulgudes ühistegurit pole, kuid ruutude erinevuse jaoks on valem, teistes sulgudes on ühistegur -5:

Ühine tegur (4m-3n) on ilmnenud. Võtame selle sulgudest välja.