Tavalised murdarvud kohtuvad koolilastega esmakordselt 5. klassis ja saadavad neid kogu elu, kuna igapäevaelus on sageli vaja mõnda objekti käsitleda või kasutada mitte täielikult, vaid eraldi tükkidena. Selle teema uurimise algus - jaga. Aktsiad on võrdsed osad milleks objekt on jagatud. Alati ei ole ju võimalik näiteks toote pikkust või hinda täisarvuna väljendada, arvesse tuleks võtta mis tahes mõõdu osasid või osasid. Moodustati tegusõnast "purustama" - osadeks jagama ja millel on araabia juured, ilmus VIII sajandil vene keeles sõna "fraktsioon".

Murdlauseid on pikka aega peetud matemaatika kõige raskemaks osaks. 17. sajandil, kui ilmusid esimesed matemaatikaõpikud, hakati neid nimetama "katkiseteks numbriteks", mida oli inimeste arusaamises väga raske kuvada.

moodne välimus Lihtsad fraktsioonijäägid, mille osad on eraldatud täpselt horisontaalse joonega, panustati esmakordselt Fibonacci - Leonardo of Pisa. Tema kirjutised pärinevad aastast 1202. Kuid selle artikli eesmärk on lihtsalt ja selgelt selgitada lugejale, kuidas toimub erinevate nimetajatega segamurdude korrutamine.

Erinevate nimetajatega murdude korrutamine

Esialgu on vaja kindlaks teha murdude sordid:

• õige;
• vale;
• segatud.

Järgmisena peate meeles pidama, kuidas korrutamine toimub. murdarvud Koos samad nimetajad. Selle protsessi reeglit on lihtne iseseisvalt sõnastada: samade nimetajatega lihtmurdude korrutamise tulemus on murdosa avaldis, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nende murdude nimetajate korrutis. . See tähendab, et tegelikult on uus nimetaja esialgu ühe olemasoleva nimetaja ruut.

Korrutamisel lihtmurrud erinevate nimetajatega kahe või enama teguri puhul reegel ei muutu:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ainus erinevus seisneb selles, et murdvarba all moodustatud arv on erinevate arvude korrutis ja loomulikult ei saa seda nimetada ühe arvavaldise ruuduks.

Tasub kaaluda erinevate nimetajatega murdude korrutamist näidete abil:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Näidetes kasutatakse võimalusi murdavaldiste vähendamiseks. Nimetaja numbritega saab vähendada ainult lugeja numbreid, murdvarba kohal või all olevaid külgnevaid tegureid ei saa vähendada.

Lihtsate murdarvude kõrval on ka segamurdude mõiste. Segaarv koosneb täisarvust ja murdosast, see tähendab, et see on nende arvude summa:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kuidas korrutamine toimib?

Kaalumiseks on toodud mitu näidet.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Näites kasutatakse arvu korrutamist tavaline murdosa, saate selle toimingu reegli valemiga üles kirjutada:

a* b/c = a*b /c.

Tegelikult on selline korrutis identsete murdjääkide summa ja terminite arv näitab seda naturaalarvu. erijuhtum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Arvu murdosa jäägiga korrutamise lahendamiseks on veel üks võimalus. Peate lihtsalt nimetaja selle arvuga jagama:

d* e/f = e/f: d.

Seda tehnikat on kasulik kasutada siis, kui nimetaja jagatakse naturaalarvuga ilma jäägita või, nagu öeldakse, täielikult.

Teisendage segaarvud valedeks murdudeks ja hankige korrutis eelnevalt kirjeldatud viisil:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

See näide hõlmab viisi segamurru esitamiseks sobimatu murdena, seda saab esitada ka kui üldine valem:

a bc = a*b+ c / c, kus uue murdosa nimetaja moodustatakse, korrutades täisarvu nimetajaga ja lisades selle algse murdosa lugejale ning nimetaja jääb samaks.

See protsess toimib ka tagakülg. Täisarvulise osa ja murdosa valimiseks peate vale murdu lugeja jagama selle nimetajaga nurgaga.

Vale murdude korrutamine toodetakse tavapärasel viisil. Kui kirje läheb ühe murrurea alla, peate vajadusel murde vähendama, et seda meetodit kasutades arvusid vähendada ja tulemust on lihtsam arvutada.

Internetis on palju abilisi isegi keeruliste matemaatiliste ülesannete lahendamiseks erinevaid variatsioone programmid. Piisav hulk selliseid teenuseid pakub oma abi nimetajates erineva arvuga murdude korrutamise arvutamisel - nn võrgukalkulaatorid murdude arvutamiseks. Nad on võimelised mitte ainult korrutama, vaid sooritama ka kõiki muid lihtsaid aritmeetilisi tehteid tavaliste murdude ja segaarvudega. Sellega töötamine pole keeruline, saidi lehel täidetakse vastavad väljad, valitakse matemaatilise toimingu märk ja vajutatakse “arvuta”. Programm loeb automaatselt.

Murdarvudega aritmeetiliste tehteteema on aktuaalne kogu kesk- ja vanema kooliõpilase hariduses. Keskkoolis ei arvestata enam kõige lihtsamate liikidega, vaid täisarvu murdosa avaldised, kuid varem saadud teadmisi teisendus- ja arvutusreeglitest rakendatakse algsel kujul. hästi seeditav põhiteadmised anda täielik enesekindlus hea otsus enamus väljakutseid pakkuvad ülesanded.

Kokkuvõtteks on mõttekas tsiteerida Lev Tolstoi sõnu, kes kirjutas: “Inimene on murdosa. Inimese võimuses ei ole suurendada oma lugejat - oma teeneid, kuid igaüks võib vähendada oma nimetajat - oma arvamust iseendast ja jõuda selle vähenemisega lähemale oma täiuslikkusele.

§ 87. Murdude liitmine.

Murdude lisamisel on palju sarnasusi täisarvude liitmisega. Murdude liitmine on toiming, mis seisneb selles, et mitu antud arvu (terminit) liidetakse üheks arvuks (summaks), mis sisaldab kõiki terminiühikute ühikuid ja murde.

Vaatleme järjestikku kolme juhtumit:

1. Samade nimetajatega murdude liitmine.
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
3. Segaarvude liitmine.

1. Samade nimetajatega murdude liitmine.

Vaatleme näidet: 1/5 + 2/5.

Võtke segment AB (joonis 17), võtke see ühikuna ja jagage 5-ga võrdsetes osades, siis on selle segmendi osa AC võrdne 1/5 segmendiga AB ja sama lõigu CD osa 2/5 AB.

Jooniselt on näha, et kui võtame lõigu AD, siis võrdub see 3/5 AB; kuid segment AD on täpselt segmentide AC ja CD summa. Seega võime kirjutada:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Arvestades neid termineid ja saadud summat, näeme, et summa lugeja saadi terminite lugejate liitmisel ja nimetaja jäi muutumatuks.

Siit saame järgmine reegel: Samade nimetajatega murdude lisamiseks tuleb lisada nende lugejad ja jätta sama nimetaja.

Kaaluge näidet:

2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.

Liidame murrud: 3/4 + 3/8 Kõigepealt tuleb need vähendada väikseimaks ühine nimetaja:

Keskmine 6 / 8 + 3 / 8 ei saanud kirjutada; oleme selle suurema selguse huvides siia kirjutanud.

Seega tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks need esmalt viia väikseima ühisnimetajani, lisada nende lugejad ja allkirjastada ühisnimetaja.

Vaatleme näidet (vastavate murdude kohale kirjutame täiendavad tegurid):

3. Segaarvude liitmine.

Liidame numbrid kokku: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Toome esmalt oma arvude murdosad ühise nimetaja juurde ja kirjutame need uuesti ümber:

Nüüd lisage järjestikku täis- ja murdosad:

§ 88. Murdude lahutamine.

Murdude lahutamine on defineeritud samamoodi nagu täisarvude lahutamine. See on toiming, mille abil leitakse kahe liikme ja neist ühe liikme summast teine ​​liige. Vaatleme järjestikku kolme juhtumit:

1. Samade nimetajatega murdude lahutamine.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
3. Segaarvude lahutamine.

1. Samade nimetajatega murdude lahutamine.

Kaaluge näidet:

13 / 15 - 4 / 15

Võtame lõigu AB (joonis 18), võtame selle ühikuna ja jagame 15 võrdseks osaks; siis on selle lõigu AC osa 1/15 AB-st ja sama lõigu AD osa vastab 13/15 AB-le. Jätame kõrvale veel ühe lõigu ED, mis on võrdne 4/15 AB.

Peame 13/15-st lahutama 4/15. Joonisel tähendab see, et lõigust AD tuleb lahutada lõik ED. Selle tulemusena jääb alles segment AE, mis moodustab 9/15 segmendist AB. Nii et võime kirjutada:

Meie tehtud näide näitab, et erinevuse lugeja saadi lugejate lahutamisel ja nimetaja jäi samaks.

Seetõttu peate samade nimetajatega murdude lahutamiseks lahutama alaosa lugeja minuendi lugejast ja jätma sama nimetaja.

2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.

Näide. 3/4 - 5/8

Esiteks vähendame need murded väikseima ühisnimetajani:

Vahelink 6 / 8 - 5 / 8 on siin selguse mõttes kirjas, kuid selle võib edaspidi vahele jätta.

Seega tuleb murdosast murdosa lahutamiseks viia need esmalt väikseima ühisnimetajani, seejärel lahutada minuendi lugejast alaosa lugeja ja kirjutada ühisnimetaja nende erinevuse alla.

Kaaluge näidet:

3. Segaarvude lahutamine.

Näide. 10 3/4-7 2/3.

Toome minuendi ja alamosa murdosad väikseima ühisnimetajani:

Lahutasime tervikust terviku ja murdosast murdosa. Kuid on juhtumeid, kus alamjaotuse murdosa on suurem kui minulõpu murdosa. Sellistel juhtudel tuleb redutseeritud täisarvust võtta üks ühik, jagada see osadeks, milles väljendatakse murdosa, ja lisada redutseeritud osa murdosale. Ja siis tehakse lahutamine samamoodi nagu eelmises näites:

§ 89. Murdude korrutamine.

Murdude korrutamise uurimisel kaalume järgmisi küsimusi:

1. Murru korrutamine täisarvuga.
2. Antud arvu murdosa leidmine.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
4. Murru korrutamine murdosaga.
5. Segaarvude korrutamine.
6. Huvi mõiste.
7. Antud arvu protsentide leidmine. Vaatleme neid järjestikku.

1. Murru korrutamine täisarvuga.

Murru korrutamisel täisarvuga on sama tähendus kui täisarvu korrutamisel täisarvuga. Murru (kordisti) korrutamine täisarvuga (kordistiga) tähendab identsete liikmete summa koostamist, kus iga liige on võrdne kordajaga ja liikmete arv on võrdne kordajaga.

Seega, kui teil on vaja 1/9 korrutada 7-ga, saab seda teha järgmiselt:

Tulemuse saime lihtsalt, kuna tegevus taandus samade nimetajatega murdude lisamisele. Järelikult

Selle toimingu arvessevõtmine näitab, et murdosa korrutamine täisarvuga võrdub selle murdosa suurendamisega nii mitu korda, kui täisarvus on ühikuid. Ja kuna murdosa suurenemine saavutatakse kas selle lugeja suurendamisega

või selle nimetajat vähendades , siis saame lugeja kas korrutada täisarvuga või jagada nimetaja sellega, kui selline jagamine on võimalik.

Siit saame reegli:

Murru korrutamiseks täisarvuga peate korrutama lugeja selle täisarvuga ja jätma nimetaja samaks või võimalusel jagama nimetaja selle arvuga, jättes lugeja muutmata.

Korrutamisel on võimalikud lühendid, näiteks:

2. Antud arvu murdosa leidmine. On palju probleeme, mille puhul peate leidma või arvutama antud arvu osa. Nende ülesannete erinevus teistest seisneb selles, et need annavad mingite objektide või mõõtühikute arvu ja tuleb leida osa sellest arvust, mida siin ka teatud murdosaga tähistatakse. Mõistmise hõlbustamiseks toome esmalt selliste probleemide näiteid ja seejärel tutvustame nende lahendamise meetodit.

Ülesanne 1. Mul oli 60 rubla; 1/3 sellest rahast kulutasin raamatute ostmisele. Kui palju raamatud maksid?

2. ülesanne. Rong peab läbima linnade A ja B vahelise vahemaa, mis on võrdne 300 km-ga. 2/3 sellest distantsist on ta juba läbinud. Mitu kilomeetrit see on?

3. ülesanne. Külas on 400 maja, neist 3/4 on telliskivi, ülejäänud puit. Kui palju telliskivimajad?

Siin on mõned paljudest probleemidest, millega peame tegelema antud arvu murdosa leidmiseks. Neid nimetatakse tavaliselt antud arvu murdosa leidmise ülesanneteks.

Probleemi 1 lahendus. Alates 60 rubla. Kulutasin 1/3 raamatutele; Nii et raamatute maksumuse leidmiseks peate jagama arvu 60 3-ga:

Ülesande 2 lahendus. Probleemi tähendus on see, et peate leidma 2/3 300 km-st. Arvutage esimene 1/3 300-st; see saavutatakse 300 km jagamisel 3-ga:

300: 3 = 100 (see on 1/3 300-st).

Kahe kolmandiku 300 leidmiseks peate saadud jagatise kahekordistama, st korrutama 2-ga:

100 x 2 = 200 (see on 2/3 300-st).

Ülesande 3 lahendus. Siin peate määrama telliskivimajade arvu, mis on 3/4 400-st. Leiame kõigepealt 1/4 400-st,

400: 4 = 100 (see on 1/4 400-st).

Kolmveerand 400 arvutamiseks tuleb saadud jagatis kolmekordistada, see tähendab korrutada 3-ga:

100 x 3 = 300 (see on 3/4 400-st).

Nende probleemide lahenduse põhjal saame tuletada järgmise reegli:

Antud arvu murdosa väärtuse leidmiseks tuleb see arv jagada murdosa nimetajaga ja korrutada saadud jagatis selle lugejaga.

3. Täisarvu korrutamine murdosaga.

Varem (§ 26) on kindlaks tehtud, et täisarvude korrutamist tuleb mõista kui identsete terminite liitmist (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Selles lõikes (lõige 1) tehti kindlaks, et murdosa korrutamine täisarvuga tähendab selle murdosaga võrdsete liikmete summa leidmist.

Mõlemal juhul seisnes korrutamine identsete liikmete summa leidmises.

Nüüd jätkame täisarvu korrutamist murdosaga. Siin kohtume näiteks korrutamisega: 9 2/3. On üsna ilmne, et eelmine korrutamise definitsioon antud juhul ei kehti. See ilmneb sellest, et me ei saa sellist korrutamist asendada võrdsete arvude liitmisega.

Seetõttu peame andma korrutamise uue definitsiooni, st vastama küsimusele, mida tuleks mõista murdosaga korrutamise all, kuidas seda tegevust mõista.

Täisarvu murdosaga korrutamise tähendus on selge järgmisest definitsioonist: täisarvu (kordisti) korrutamine murdosaga (kordisti) tähendab kordaja selle murdosa leidmist.

Nimelt tähendab 9 korrutamine 2/3-ga 2/3 leidmist üheksast ühikust. Eelmises lõigus sellised probleemid lahendati; seega on lihtne aru saada, et saame lõpuks 6.

Nüüd aga tekib huvitav ja oluline küsimus: miks esmapilgul sellised erinevaid tegevusi, kuna võrdsete arvude summa leidmist ja arvu murdosa leidmist nimetatakse aritmeetikas sama sõna "korrutamiseks"?

See juhtub seetõttu, et eelmine toiming (arvu mitmekordne kordamine terminitega) ja uus tegevus (arvu murdosa leidmine) annavad vastuse homogeensetele küsimustele. See tähendab, et lähtume siin kaalutlustest, et homogeensed küsimused või ülesanded lahendatakse ühe ja sama tegevusega.

Selle mõistmiseks kaaluge järgmist probleemi: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 4 m sellist riiet?

See probleem lahendatakse, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (4), st 50 x 4 = 200 (rubla).

Võtame sama probleemi, kuid selles väljendatakse riide kogust murdarvuna: “1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 3/4 m sellist riiet?

Ka see probleem tuleb lahendada, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (3/4).

Samuti saab selles olevaid numbreid mitu korda muuta ilma ülesande tähendust muutmata, näiteks võtta 9/10 m või 2 3/10 m jne.

Kuna need ülesanded on sama sisuga ja erinevad vaid numbrite poolest, nimetame nende lahendamisel kasutatavaid toiminguid sama sõnaga – korrutamine.

Kuidas korrutatakse täisarv murdosaga?

Võtame viimases ülesandes esinenud numbrid:

Definitsiooni järgi peame leidma 3/4 50-st. Kõigepealt leiame 1/4 50-st ja seejärel 3/4.

1/4 50-st on 50/4;

3/4 50-st on .

Järelikult.

Vaatleme teist näidet: 12 5/8 = ?

1/8 12-st on 12/8,

5/8 arvust 12 on .

Järelikult

Siit saame reegli:

Täisarvu korrutamiseks murdosaga tuleb täisarv korrutada murru lugejaga ja muuta see korrutis lugejaks ning nimetajaks märkida antud murdosa nimetaja.

Selle reegli kirjutame tähtede abil:

Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega korrutamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38

Tuleb meeles pidada, et enne korrutamist peaksite tegema (võimaluse korral) kärped, näiteks:

4. Murru korrutamine murdosaga. Murru korrutamisel murdosaga on sama tähendus, mis täisarvu korrutamisel murdosaga, see tähendab, et murdosa korrutamisel murdosaga peate leidma kordaja murdosa esimesest murrust (kordistist).

Nimelt tähendab 3/4 korrutamine 1/2-ga (poolega) poole 3/4 leidmist.

Kuidas korrutada murdosa murdosaga?

Võtame näite: 3/4 korda 5/7. See tähendab, et 3/4-st tuleb leida 5/7. Leidke kõigepealt 1/7 3/4-st ja seejärel 5/7

1/7 3/4-st oleks väljendatud järgmiselt:

5/7 numbrid 3/4 väljendatakse järgmiselt:

Sellel viisil,

Teine näide: 5/8 korda 4/9.

1/9/5/8 on ,

4/9 numbrid 5/8 on .

Sellel viisil,

Nendest näidetest saab järeldada järgmise reegli:

Murru korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga ning muutma esimese korrutise lugejaks ja teise korrutise korrutise nimetajaks.

See on reegel üldine vaade võib kirjutada nii:

Korrutamisel on vaja (võimalusel) teha vähendusi. Mõelge näidetele:

5. Segaarvude korrutamine. Kuna segaarvusid saab kergesti asendada valede murdudega, kasutatakse seda asjaolu tavaliselt segaarvude korrutamisel. See tähendab, et juhtudel, kui kordaja, kordaja või mõlemad tegurid on väljendatud segaarvudena, asendatakse need valede murdudega. Korrutage näiteks segaarvud: 2 1/2 ja 3 1/5. Muudame neist kõik valeks murdeks ja seejärel korrutame saadud murded vastavalt reeglile, mille kohaselt korrutatakse murdosa murdosaga:

Reegel. Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt teisendama valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt reeglile, mille kohaselt korrutatakse murd murdosaga.

Märge. Kui üks teguritest on täisarv, saab jaotusseaduse alusel korrutada järgmiselt:

6. Huvi mõiste.Ülesannete lahendamisel ja erinevate praktiliste arvutuste tegemisel kasutame kõikvõimalikke murde. Kuid tuleb meeles pidada, et paljud kogused ei võimalda nende jaoks mitte ühtegi, vaid loomulikku alajaotust. Näiteks võite võtta ühe sajandiku (1/100) rubla, see on peni, kaks sajandikku on 2 kopikat, kolm sajandikku on 3 kopikat. Võite võtta 1/10 rubla, see on "10 kopikat ehk peenraha. Võite võtta veerand rubla, s.o 25 kopikat, pool rubla, s.o 50 kopikat (viiskümmend kopikat). Aga nad praktiliselt ei tee seda. 'ära võta näiteks 2/7 rubla, sest rubla ei jagune seitsmendikuteks.

Kaalu mõõtühik, st kilogramm, võimaldab ennekõike jaotada kümnendkohti, näiteks 1/10 kg või 100 g. Ja selliseid kilogrammi murdosasid nagu 1/6, 1/11, 1/ 13 on haruldased.

Üldiselt on meie (meetrilised) mõõdud kümnendkohad ja võimaldavad kümnendsüsteemi alajaotust.

Siiski tuleb märkida, et väga erinevatel juhtudel on äärmiselt kasulik ja mugav kasutada sama (ühtset) koguste osadeks jagamise meetodit. Paljude aastate kogemused on näidanud, et selline hästi põhjendatud jaotus on "sajandike" jaotus. Vaatleme mõnda näidet, mis on seotud inimtegevuse kõige erinevamate valdkondadega.

1. Raamatute hind on langenud 12/100 varasemast hinnast.

Näide. Raamatu eelmine hind on 10 rubla. Ta langes 1 rubla võrra. 20 kop.

2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele aasta jooksul välja 2/100 säästudesse pandavast summast.

Näide. 500 rubla pannakse kassasse, aasta tulu sellest summast on 10 rubla.

3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5/100 õpilaste üldarvust.

NÄIDE Koolis õppis vaid 1200 õpilast, neist 60 lõpetas kooli.

Arvu sajandikku nimetatakse protsendiks..

Sõna "protsent" on laenatud ladina keel ja selle tüvi "sent" tähendab sada. Koos eessõnaga (pro centum) tähendab see sõna "saja eest". Selle väljendi tähendus tuleneb asjaolust, et algselt oli Vana-Roomas intress raha, mille võlgnik maksis laenuandjale “iga saja eest”. Sõna "sent" kuuleb sellistes tuttavates sõnades: tsentner (sada kilogrammi), sentimeeter (nad ütlevad sentimeeter).

Näiteks selle asemel, et öelda, et tehas tootis 1/100 kõigist viimase kuu jooksul toodetud toodetest, ütleme nii: tehas tootis viimase kuu jooksul ühe protsendi jäätmetest. Selle asemel, et öelda: tehas tootis 4/100 toodet rohkem kui kehtestatud plaan, ütleme: tehas ületas plaani 4 protsendiga.

Ülaltoodud näiteid saab väljendada erinevalt:

1. Raamatute hind on langenud 12 protsenti varasemast hinnast.

2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele 2 protsenti aastas säästudesse pandud summast.

3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5 protsenti kooli kõigi õpilaste arvust.

Tähe lühendamiseks on kombeks sõna "protsent" asemel kirjutada % märk.

Siiski tuleb meeles pidada, et % märki arvutustes tavaliselt ei kirjutata, selle saab kirjutada ülesandepüstitusse ja lõpptulemusesse. Arvutuste tegemisel peate selle ikooniga täisarvu asemel kirjutama murdosa, mille nimetaja on 100.

Peate suutma asendada täisarvu määratud ikooniga murdosaga, mille nimetaja on 100:

Ja vastupidi, peate harjuma täisarvu kirjutama näidatud ikooniga, mitte murdu, mille nimetaja on 100:

7. Antud arvu protsentide leidmine.

Ülesanne 1. Kool sai 200 kuupmeetrit. m küttepuid, millest 30% moodustab kaseküttepuid. Kui palju kasepuitu seal oli?

Selle probleemi mõte seisneb selles, et kaseküttepuud moodustasid vaid osa kooli tarnitud küttepuudest ja see osa on väljendatud murdosana 30/100. Niisiis seisame silmitsi ülesandega leida arvu murdosa. Selle lahendamiseks peame korrutama 200 30 / 100-ga (arvu murdosa leidmise ülesanded lahendatakse arvu korrutamisega murdosaga.).

Nii et 30% 200-st võrdub 60-ga.

Selles probleemis esinevat murdosa 30/100 saab vähendada 10 võrra. Seda vähendamist oleks võimalik teha algusest peale; probleemi lahendus ei muutuks.

2. ülesanne. Laagris oli 300 erinevas vanuses last. 11-aastaseid oli 21%, 12-aastaseid 61% ja lõpuks 13-aastaseid 18%. Mitu last igas vanuses laagris oli?

Selles ülesandes peate tegema kolm arvutust, st leidma järjestikku 11-aastaste, seejärel 12-aastaste ja lõpuks 13-aastaste laste arvu.

Niisiis, siin on vaja kolm korda leida murdosa arvust. Teeme seda:

1) Mitu last oli 11 aastat vana?

2) Mitu last oli 12-aastaseid?

3) Mitu last oli 13 aastat vana?

Pärast ülesande lahendamist on kasulik leitud numbrid liita; nende summa peaks olema 300:

63 + 183 + 54 = 300

Samuti peaksite tähelepanu pöörama asjaolule, et probleemi tingimuses antud protsentide summa on 100:

21% + 61% + 18% = 100%

See viitab sellele koguarv laagris viibinud lapsed võeti 100%-ks.

3 ja da cha 3. Tööline sai 1200 rubla kuus. Neist 65% kulutas ta toidule, 6% korterile ja küttele, 4% gaasile, elektrile ja raadiole, 10% kultuurivajadustele ning 15% säästis. Kui palju raha kulus ülesandes märgitud vajadustele?

Selle ülesande lahendamiseks tuleb 5 korda leida murdosa arvust 1200. Teeme ära.

1) Kui palju raha kulub toidule? Ülesanne ütleb, et see kulu on 65% kogu sissetulekust, s.o 65/100 arvust 1200. Teeme arvutuse:

2) Kui palju raha maksti küttega korteri eest? Vaieldes nagu eelmine, jõuame järgmise arvutuseni:

3) Kui palju raha maksite gaasi, elektri ja raadio eest?

4) Kui palju raha kulub kultuurivajadustele?

5) Kui palju töötaja raha säästis?

Kontrollimiseks on kasulik lisada nendes 5 küsimuses leitud numbrid. Summa peaks olema 1200 rubla. Kõik sissetulekud on 100%, mida on lihtne kontrollida, liites kokku probleemiavalduses toodud protsendid.

Oleme lahendanud kolm probleemi. Vaatamata sellele, et need ülesanded puudutasid erinevaid asju (küttepuude tarnimine kooli, eri vanuses laste arv, töömehe kulutused), lahendati need ühtemoodi. See juhtus seetõttu, et kõikides ülesannetes oli vaja leida mõni protsent etteantud arvudest.

§ 90. Murdude jagamine.

Murdude jaotuse uurimisel kaalume järgmisi küsimusi:

1. Jagage täisarv täisarvuga.
2. Murru jagamine täisarvuga
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
4. Murru jagamine murdosaga.
5. Segaarvude jagamine.
6. Arvu leidmine selle murdosa järgi.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.

Vaatleme neid järjestikku.

1. Jagage täisarv täisarvuga.

Nagu täisarvude osas märgitud, on jagamine toiming, mis seisneb selles, et kahe teguri (dividendi) ja ühe neist teguritest (jagaja) korrutises leitakse teine ​​tegur.

Täisarvu jagamine täisarvuga, mida vaatlesime täisarvude osakonnas. Seal kohtasime kahte jagamise juhtumit: jagamine ilma jäägita või "täielikult" (150: 10 = 15) ja jagamine jäägiga (100: 9 = 11 ja 1 jäägiga). Seega võime öelda, et täisarvude valdkonnas ei ole täpne jagamine alati võimalik, sest dividend ei ole alati jagaja ja täisarvu korrutis. Pärast murdosaga korrutamise kasutuselevõttu võime pidada võimalikuks mis tahes täisarvude jagamise juhtu (ainult nulliga jagamine on välistatud).

Näiteks 7 jagamine 12-ga tähendab arvu leidmist, mille korrutis korrutis 12 oleks 7. See arv on murdosa 7/12, sest 7/12 12 = 7. Teine näide: 14: 25 = 14/25, sest 14/25 25 = 14.

Seega tuleb täisarvu jagamiseks täisarvuga teha murd, mille lugeja on võrdne dividendiga ja nimetaja on jagaja.

2. Murru jagamine täisarvuga.

Jagage murd 6/7 3-ga. Vastavalt ülaltoodud jagamise definitsioonile on siin korrutis (6/7) ja üks teguritest (3); tuleb leida selline teine ​​tegur, mis korrutades 3-ga annaks antud korrutise 6/7. Ilmselgelt peaks see olema kolm korda väiksem kui see toode. See tähendab, et meie ette seatud ülesanne oli vähendada murdosa 6/7 3 korda.

Teame juba, et murdosa saab vähendada kas selle lugejat vähendades või nimetajat suurendades. Seetõttu võite kirjutada:

AT sel juhul lugeja 6 jagub 3-ga, seega tuleks lugejat 3 korda vähendada.

Võtame veel ühe näite: 5/8 jagatud 2-ga. Siin lugeja 5 ei jagu 2-ga, mis tähendab, et nimetaja tuleb selle arvuga korrutada:

Selle põhjal saame öelda reegli: Murru jagamiseks täisarvuga peate jagama murdosa lugeja selle täisarvuga(kui võimalik), jättes sama nimetaja või korrutage murdosa nimetaja selle arvuga, jättes sama lugeja.

3. Täisarvu jagamine murdosaga.

Olgu nõutav 5 jagamine 1/2-ga, st leida arv, mis pärast 1/2-ga korrutamist annab korrutiseks 5. Ilmselgelt peab see arv olema suurem kui 5, kuna 1/2 on õige murd, ja arvu korrutamisel korraliku murdosaga peab korrutis olema väiksem kui korrutis. Et see oleks selgem, kirjutame oma tegevused järgmiselt: 5: 1 / 2 = X , seega x 1/2 \u003d 5.

Peame sellise numbri leidma X , mis 1/2-ga korrutades annaks 5. Kuna teatud arvu korrutamine 1/2-ga tähendab 1/2 leidmist sellest arvust, siis seega 1/2 tundmatust arvust X on 5 ja täisarv X kaks korda rohkem, st 5 2 \u003d 10.

Seega 5: 1/2 = 5 2 = 10

Kontrollime:

Vaatleme veel ühte näidet. Olgu nõutav 6 jagamine 2/3-ga. Proovime esmalt leida soovitud tulemust kasutades joonist (joonis 19).

Joonis 19

Joonistage segment AB, mis on võrdne 6-ga mõnest ühikust, ja jagage iga üksus kolmeks võrdseks osaks. Igas üksuses on kolm kolmandikku (3/3) kogu segmendis AB 6 korda suurem, s.o. e. 18/3. Me ühendame väikeste sulgude abil 18 saadud segmenti 2; Seal on ainult 9 segmenti. See tähendab, et murdosa 2/3 sisaldub b ühikutes 9 korda ehk teisisõnu, murd 2/3 on 9 korda väiksem kui 6 täisarvu ühikut. Järelikult

Kuidas saada see tulemus ilma jooniseta, kasutades ainult arvutusi? Vaidleme järgmiselt: 6 on vaja jagada 2/3-ga, st on vaja vastata küsimusele, mitu korda 2/3 sisaldub 6-s. Uurime kõigepealt välja: mitu korda on 1/3 sisaldub 6? Terves ühikus - 3 kolmandikku ja 6 ühikus - 6 korda rohkem, st 18 kolmandikku; selle arvu leidmiseks peame korrutama 6 3-ga. Seega sisaldub 1/3 b ühikutes 18 korda ja 2/3 sisaldub b ühikutes mitte 18 korda, vaid poole vähem, st 18: 2 = 9 Seetõttu tegime 6 jagamisel 2/3-ga järgmist:

Siit saame täisarvu murdosaga jagamise reegli. Täisarvu jagamiseks murdosaga peate selle täisarvu korrutama antud murru nimetajaga ja muutes selle korrutise lugejaks, jagama selle antud murru lugejaga.

Kirjutame reegli tähtede abil:

Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega jagamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38. Pange tähele, et seal saadi sama valem.

Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:

4. Murru jagamine murdosaga.

Olgu nõutav 3/4 jagamine 3/8-ga. Mis tähistab jagamise tulemusel saadavat arvu? See vastab küsimusele, mitu korda sisaldub murdosa 3/8 murdosas 3/4. Selle probleemi mõistmiseks teeme joonise (joonis 20).

Võtke segment AB, võtke see ühikuna, jagage see 4 võrdseks osaks ja märkige 3 sellist osa. Segment AC on võrdne 3/4 segmendist AB. Jagame nüüd kõik neli algset lõiku pooleks, seejärel jagatakse lõik AB 8 võrdseks osaks ja iga selline osa on võrdne 1/8 lõigust AB. Ühendame 3 sellist segmenti kaaredega, siis on iga segment AD ja DC võrdne 3/8 segmendiga AB. Joonis näitab, et segment, mis võrdub 3/8, sisaldub segmendis, mis võrdub 3/4 täpselt 2 korda; Seega saab jagamise tulemuse kirjutada järgmiselt:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Vaatleme veel ühte näidet. Olgu nõutav 15/16 jagamine 3/32-ga:

Võime arutleda järgmiselt: peame leidma arvu, mis pärast 3/32-ga korrutamist annab korrutise 15/16. Kirjutame arvutused järgmiselt:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 tundmatu number X meik 15/16

1/32 tundmatu number X on ,

32/32 numbrid X meik .

Järelikult

Seega tuleb murdosa jagamiseks murdosaga korrutada esimese murru lugeja teise nimetajaga ja korrutada esimese murru nimetaja teise murdosa lugejaga ning muuta esimene korrutis lugejaks ja teiseks nimetaja.

Kirjutame reegli tähtede abil:

Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:

5. Segaarvude jagamine.

Segaarvude jagamisel tuleb need esmalt teisendada valedeks murdudeks ja seejärel jagada saadud murrud vastavalt murdarvude jagamise reeglitele. Kaaluge näidet:

Segaarvude teisendamine valedeks murdudeks:

Nüüd jagame:

Seega, segaarvude jagamiseks peate need teisendama valedeks murdudeks ja seejärel jagama vastavalt murdude jagamise reeglile.

6. Arvu leidmine selle murdosa järgi.

Erinevate murdudega seotud ülesannete hulgas on mõnikord selliseid, kus on antud tundmatu arvu mõne murdosa väärtus ja see arv tuleb leida. Seda tüüpi ülesanne on pöördvõrdeline antud arvu murdosa leidmise probleemiga; seal anti arv ja nõuti selle arvu murdosa leidmist, siin on antud arvu murdosa ja nõutakse selle arvu enda leidmist. See mõte saab veelgi selgemaks, kui pöördume seda tüüpi probleemi lahendamise poole.

Ülesanne 1. Esimesel päeval klaasid klaasid 50 akent, mis on 1/3 kõigist ehitatud maja akendest. Mitu akent sellel majal on?

Lahendus. Probleem ütleb, et 50 klaasitud akent moodustavad 1/3 kõigist maja akendest, mis tähendab, et aknaid on kokku 3 korda rohkem, st.

Majal oli 150 akent.

2. ülesanne. Poes müüdi 1500 kg jahu, mis on 3/8 kogu poe jahuvarust. Milline oli poe esialgne jahuvaru?

Lahendus. Probleemi seisukorrast on näha, et müüdud 1500 kg jahu moodustab 3/8 kogu varust; see tähendab, et 1/8 sellest varust on 3 korda väiksem, st selle arvutamiseks peate 1500 vähendama 3 korda:

1500: 3 = 500 (see on 1/8 aktsiast).

Ilmselgelt on kogu varu 8 korda suurem. Järelikult

500 8 \u003d 4000 (kg).

Jahu algne varu poes oli 4000 kg.

Selle probleemi kaalumisel võib järeldada järgmise reegli.

Arvu leidmiseks selle murdosa etteantud väärtuse järgi piisab, kui jagada see väärtus murru lugejaga ja korrutada tulemus murdosa nimetajaga.

Arvu leidmisel, võttes arvesse selle murdosa, lahendasime kaks ülesannet. Sellised ülesanded, nagu on eriti hästi näha viimasest, lahendatakse kahe toiminguga: jagamine (kui leitakse üks osa) ja korrutamine (kui leitakse täisarv).

Kuid pärast seda, kui oleme uurinud murdude jagamist, saab ülaltoodud ülesandeid lahendada ühe toiminguga, nimelt: murdosaga jagamine.

Näiteks saab viimase ülesande lahendada ühe toiminguga järgmiselt:

Tulevikus lahendame probleemi murdosa järgi arvu leidmise ühes toimingus - jagamises.

7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.

Nendes ülesannetes peate leidma numbri, teades mõnda protsenti sellest numbrist.

Ülesanne 1. Selle aasta alguses sain hoiukassast 60 rubla. tulu summast, mille ma aasta tagasi säästudesse panin. Kui palju raha ma hoiukassasse panin? (Kassakontorid annavad hoiustajatele 2% aastas sissetulekust.)

Probleemi mõte seisneb selles, et panin teatud summa raha hoiukassasse ja lebas seal aasta. Aasta pärast sain temalt 60 rubla. tulu, mis on 2/100 rahast, mille panin. Kui palju raha ma sisse kandsin?

Seega, teades selle raha osa, väljendatuna kahel viisil (rublades ja murdosades), peame leidma kogu seni teadmata summa. See on tavaline probleem arvu leidmisel, arvestades selle murdosa. Järgmised ülesanded lahendatakse jagamise teel:

Niisiis pandi 3000 rubla hoiukassasse.

2. ülesanne. Kahe nädalaga täitsid kalurid kuuplaani 64%, valmistades ette 512 tonni kala. Mis oli nende plaan?

Probleemi olukorrast on teada, et kalurid täitsid osa plaanist. See osa võrdub 512 tonniga, mis on 64% plaanist. Mitu tonni kala on kava järgi vaja korjata, me ei tea. Ülesande lahendus seisneb selle numbri leidmises.

Sellised ülesanded lahendatakse jagades:

Nii et plaani järgi tuleb ette valmistada 800 tonni kala.

3. ülesanne. Rong sõitis Riiast Moskvasse. Kui ta 276. kilomeetrit läbis, küsis üks reisija mööduvalt konduktorilt, kui suure osa teekonnast nad on juba läbinud. Selle peale vastas dirigent: "Me oleme juba läbinud 30% kogu teekonnast." Kui kaugel on Riia Moskvast?

Probleemi seisukorrast on näha, et 30% teekonnast Riiast Moskvasse on 276 km. Peame leidma kogu nende linnade vahelise kauguse, st selle osa jaoks leidma terviku:

§ 91. Vastastikused numbrid. Jagamise asendamine korrutamisega.

Võtke murd 2/3 ja asetage lugeja ümber nimetaja kohale, saame 3/2. Saime murdosa, selle pöördarvu.

Et saada antud murdarvu pöördarvu, peate nimetaja asemele panema selle lugeja ja lugeja asemel nimetaja. Sel viisil saame murdosa, mis on mis tahes murru pöördväärtus. Näiteks:

3/4, tagurpidi 4/3; 5/6, tagurpidi 6/5

Nimetatakse kahte murdu, millel on omadus, et esimese lugeja on teise nimetaja ja esimese nimetaja teise lugeja. vastastikku pöördvõrdeline.

Nüüd mõtleme, milline murdosa on 1/2 pöördväärtus. Ilmselgelt on see 2/1 või lihtsalt 2. Otsides selle pöördarvu, saime täisarvu. Ja see juhtum ei ole üksik; vastupidi, kõigi murdude puhul, mille lugeja on 1 (üks), on pöördarvud täisarvud, näiteks:

1/3, pöördväärtus 3; 1/5, tagurpidi 5

Kuna pöördarvude leidmisel kohtusime ka täisarvudega, siis edaspidi ei räägi me retsiprooksidest, vaid pöördarvudest.

Mõelgem välja, kuidas kirjutada täisarvu pöördarvu. Murdude puhul lahendatakse see lihtsalt: lugeja asemele tuleb panna nimetaja. Samamoodi saate täisarvu pöördarvu, kuna iga täisarvu nimetaja võib olla 1. Seetõttu on 7 pöördarvuks 1/7, sest 7 \u003d 7 / 1; arvu 10 puhul on pöördväärtus 1/10, kuna 10 = 10/1

Seda ideed saab väljendada ka muul viisil: antud arvu pöördväärtus saadakse ühe jagamisel antud arvuga. See väide kehtib mitte ainult täisarvude, vaid ka murdude kohta. Tõepoolest, kui soovite kirjutada arvu, mis on murdarvu 5/9 pöördväärtus, siis võime võtta 1 ja jagada selle 5/9-ga, st.

Nüüd juhime tähelepanu ühele vara vastastikku vastastikused numbrid, mis on meile kasulikud: vastastikku pöördarvude korrutis on võrdne ühega. Tõepoolest:

Seda omadust kasutades saame pöördarvud leida järgmisel viisil. Leiame pöördarvu 8.

Tähistame seda tähega X , siis 8 X = 1, seega X = 1/8. Leiame teise numbri, 7/12 pöördväärtuse, tähistame seda tähega X , siis 7/12 X = 1, seega X = 1:7 / 12 või X = 12 / 7 .

Tutvustame siin pöördarvude mõistet, et veidi täiendada teavet murdude jagamise kohta.

Kui jagame arvu 6 3/5-ga, teeme järgmist:

Maksma Erilist tähelepanu avaldisele ja võrdle seda antud avaldisega: .

Kui võtta avaldis eraldi, ilma seoseta eelmisega, siis on võimatu lahendada küsimust, kust see tuli: 6 jagamisest 3/5-ga või 6 korrutamisest 5/3-ga. Mõlemal juhul on tulemus sama. Nii et võime öelda et ühe arvu jagamise teisega saab asendada dividendi korrutamisega jagaja pöördarvuga.

Allpool toodud näited kinnitavad seda järeldust täielikult.

Murru murdosa või murdosa arvuga korrektseks korrutamiseks peate teadma lihtsad reeglid. Nüüd analüüsime neid reegleid üksikasjalikult.

Murru korrutamine murdosaga.

Murru korrutamiseks murdosaga peate arvutama nende murdude lugejate ja nimetajate korrutise.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Kaaluge näidet:
Korrutame esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja korrutame ka esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ korda 3) (7 \ korda 3) = \frac(4) (7)\\\)

Murd \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) on vähendatud 3 võrra.

Murru korrutamine arvuga.

Alustame reeglist mis tahes arvu saab esitada murdena \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Kasutame seda reeglit korrutamiseks.

\(5 \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ korda 4) (1 \ korda 7) = \ frac (20) (7) = 2\frac(6) (7)\\\)

Vale murd \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) teisendati segafraktsioon.

Teisisõnu, Arvu korrutamisel murdosaga korrutage arv lugejaga ja jätke nimetaja muutmata. Näide:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Segamurdude korrutamine.

Segamurdude korrutamiseks peate esmalt esitama iga segamurru valemurruna ja seejärel kasutama korrutamisreeglit. Lugeja korrutatakse lugejaga, nimetaja korrutatakse nimetajaga.

Näide:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ korda 6) = \frac(3 \ korda \värv(punane) (3) \ korda 23) (4 \ korda 2 \ korda \värv(punane) (3)) = \frac(69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Vastastikuste murdude ja arvude korrutamine.

Murd \(\bf \frac(a)(b)\) on murdosa \(\bf \frac(b)(a)\ pöördväärtus, tingimusel et a≠0,b≠0.
Murrud \(\bf \frac(a)(b)\) ja \(\bf \frac(b)(a)\) nimetatakse pöördarvudeks. Vastastikuste murdude korrutis on 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Näide:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Seotud küsimused:
Kuidas korrutada murdosa murdosaga?
Vastus: harilike murdude korrutis on lugeja korrutis lugejaga, nimetaja nimetajaga. Segafraktsioonide korrutise saamiseks peate need teisendama valeks fraktsiooniks ja korrutama vastavalt reeglitele.

Kuidas korrutada erinevate nimetajatega murde?
Vastus: vahet pole, kas need on samad või erinevad nimetajad murdude puhul toimub korrutamine vastavalt reeglile, mille kohaselt leitakse lugeja korrutis lugejaga, nimetaja nimetajaga.

Kuidas segatud murde korrutada?
Vastus: kõigepealt peate segamurru teisendama valeks murruks ja seejärel leidma korrutise vastavalt korrutamisreeglitele.

Kuidas korrutada arvu murdosaga?
Vastus: Korrutame arvu lugejaga ja nimetaja jätame samaks.

Näide nr 1:
Arvutage korrutis: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7) (11)\) b) \(\frac(2) (15) \times \frac(10) (13) \ )

Lahendus:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \ korda 2 \ korda \värv( punane) (5)) (3 \ korda \värv (punane) (5) \ korda 13) = \frac(4) (39)\)

Näide nr 2:
Arvutage arvu ja murru korrutis: a) \(3 \times \frac(17) (23)\) b) \(\frac(2) (3) \times 11\)

Lahendus:
a) \(3 \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ korda 17) (1 \ korda 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11) (3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Näide nr 3:
Kirjutage \(\frac(1)(3)\) pöördväärtus?
Vastus: \(\frac(3)(1) = 3\)

Näide nr 4:
Arvutage kahe vastastikuse murdarvu korrutis: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Lahendus:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Näide nr 5:
Kas vastastikku pöördmurrud võivad olla:
a) mõlemad pärismurrud;
b) samaaegselt ebaõiged murded;
c) naturaalarvud korraga?

Lahendus:
a) Esimesele küsimusele vastamiseks kasutame näidet. Murd \(\frac(2)(3)\) on õige, selle pöördväärtus on võrdne \(\frac(3)(2)\) - vale murd. Vastus: ei.

b) peaaegu kõigis murdude loendustes ei ole see tingimus täidetud, kuid on mõned arvud, mis täidavad samaaegselt mitte olemise tingimust õige murdosa. Näiteks vale murd on \(\frac(3)(3)\) , selle pöördarvuks on \(\frac(3)(3)\). Saame kaks vale murdu. Vastus: mitte alati teatud tingimustel, kui lugeja ja nimetaja on võrdsed.

c) naturaalarvud on arvud, mida kasutame loendamisel, näiteks 1, 2, 3, .... Kui võtame arvu \(3 = \frac(3)(1)\), siis on selle pöördarvuks \(\frac(1)(3)\). Murd \(\frac(1)(3)\) ei ole naturaalarv. Kui me käime läbi kõik arvud, on pöördarvuks alati murd, välja arvatud 1. Kui võtame arvu 1, siis on selle pöördarvuks \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Arv 1 on naturaalarv. Vastus: need võivad olla samaaegselt naturaalarvud ainult ühel juhul, kui see arv on 1.

Näide nr 6:
Sooritage segamurdude korrutis: a) \(4 korda 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \ korda 3\frac(2) (7)\ )

Lahendus:
a) \(4 korda 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \ korda \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Näide nr 7:
Kas kaks vastastikust arvu võivad olla samaaegselt segaarvud?

Vaatame näidet. Võtame segamurru \(1\frac(1)(2)\, leiame selle pöördarvu, selleks teisendame selle valeks murruks \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Selle pöördväärtus on võrdne \(\frac(2)(3)\) . Murd \(\frac(2)(3)\) on õige murd. Vastus: Kaht vastastikku pöördmurdu ei saa korraga segada.

Teine tehe, mida saab teha tavaliste murdudega, on korrutamine. Püüame selgitada selle põhireegleid ülesannete lahendamisel, näidata, kuidas harilik murd korrutatakse naturaalarvuga ja kuidas õigesti korrutada kolm või enam harilikku murru.

Paneme kõigepealt kirja põhireegli:

Definitsioon 1

Kui me korrutame ühe harilik murd, siis on saadud murru lugeja võrdne algsete murdude lugejate korrutisega ja nimetaja nende nimetajate korrutisega. Sõnasõnalises vormis saab seda kahe murdosa a / b ja c / d korral väljendada kujul a b · c d = a · c b · d.

Vaatame näidet selle reegli õige rakendamise kohta. Oletame, et meil on ruut, mille külg on võrdne ühe arvühikuga. Siis on joonise pindala 1 ruut. üksus. Kui jagame ruudu võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on arvulise ühiku 1 4 ja 1 8, saame, et see koosneb nüüd 32 ristkülikust (sest 8 4 = 32). Sellest lähtuvalt on igaühe pindala võrdne 1 32-ga kogu joonise pindalast, s.o. 132 ruutmeetrit ühikut.

Meil on varjutatud fragment, mille küljed on võrdsed 5 8 arvühikuga ja 3 4 numbriühikuga. Sellest lähtuvalt on selle pindala arvutamiseks vaja esimene murdosa korrutada teisega. See võrdub 5 8 3 4 ruutmeetriga. ühikut. Kuid võime lihtsalt kokku lugeda, mitu ristkülikut fragmendis on: neid on 15, seega kogupindala on 1532 ruutühikut.

Kuna 5 3 = 15 ja 8 4 = 32, saame kirjutada järgmise võrrandi:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

See on kinnitus reeglile, mille oleme sõnastanud harilike murdude korrutamiseks, mis on väljendatud kujul a b · c d = a · c b · d. See toimib ühtmoodi nii õigete kui ka sobimatute murdude puhul; Seda saab kasutada erinevate ja samade nimetajatega murdude korrutamiseks.

Analüüsime mitme ülesande lahendusi harilike murdude korrutamiseks.

Näide 1

Korrutage 7 11 9 8-ga.

Lahendus

Alustuseks arvutame näidatud murdude lugejate korrutise, korrutades 7 9-ga. Meil on 63. Seejärel arvutame nimetajate korrutise ja saame: 11 8 = 88 . Koostame vastuse kahest arvust: 63 88.

Kogu lahenduse saab kirjutada järgmiselt:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Vastus: 7 11 9 8 = 63 88 .

Kui vastuses saime taandatava murdosa, peame arvutuse lõpule viima ja selle vähendamise tegema. Kui saame vale murdu, peame valima sellest kogu osa.

Näide 2

Arvutage murdarvude korrutis 4 15 ja 55 6 .

Lahendus

Eespool uuritud reegli kohaselt peame korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Lahenduse kirje näeb välja selline:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Oleme saanud vähendatud murdosa, s.o. see, millel on 10-ga jaguvuse märk.

Vähendame murdosa: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 = 22 9. Selle tulemusena saime vale murru, millest valime kogu osa ja saame segaarvu: 22 9 \u003d 2 4 9.

Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Arvutamise mugavuse huvides saame enne korrutustehte sooritamist ka algseid murde vähendada, selleks peame murde viima kujule a · c b · d. Jagame muutujate väärtused peamised tegurid ja me vähendame samu.

Selgitame, kuidas see välja näeb, kasutades konkreetse probleemi andmeid.

Näide 3

Arvutage korrutis 4 15 55 6 .

Lahendus

Kirjutame arvutused korrutusreegli alusel. Meil on võimalik:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Kuna 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 ja 6 = 2 3 , siis 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Arvulisel avaldisel, milles toimub harilike murdude korrutamine, on kommutatiivne omadus, st vajadusel saame tegurite järjekorda muuta:

a b c d = c d a b = a c b d

Kuidas korrutada murdosa naturaalarvuga

Paneme põhireegli kohe kirja ja proovime siis seda praktikas selgitada.

2. definitsioon

Tavalise murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama selle murru lugeja selle arvuga. Sel juhul on lõpliku murru nimetaja võrdne algse hariliku murru nimetajaga. Mõne murdosa a b korrutamise naturaalarvuga n saab kirjutada valemiga a b · n = a · n b .

Seda valemit on lihtne mõista, kui mäletate, et mis tahes naturaalarvu saab esitada tavalise murdena, mille nimetaja on võrdne ühega, see tähendab:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

Selgitagem oma ideed konkreetsete näidetega.

Näide 4

Arvutage 2 27 korda 5 korrutis.

Lahendus

Kui korrutada algmurru lugeja teise teguriga, saame 10. Ülaltoodud reegli kohaselt saame tulemuseks 10 27. Kogu lahendus on toodud selles postituses:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Vastus: 2 27 5 = 10 27

Kui korrutame naturaalarvu hariliku murruga, peame sageli tulemust vähendama või esitama selle segaarvuna.

Näide 5

Tingimus: Arvutage korrutis 8 korda 5 12 .

Lahendus

Ülaltoodud reegli kohaselt korrutame naturaalarvu lugejaga. Selle tulemusena saame, et 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Lõplikul murdosal on 2-ga jaguvuse märgid, seega peame seda vähendama:

LCM (40, 12) \u003d 4, seega 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

Nüüd jääb vaid valida täisarvuline osa ja valmis vastus kirja panna: 10 3 = 3 1 3.

Selles kirjes näete kogu lahendust: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Samuti saaksime murdosa vähendada, arvutades lugeja ja nimetaja algteguriteks ja tulemus oleks täpselt sama.

Vastus: 5 12 8 = 3 1 3 .

Numbriavaldisel, milles naturaalarv on korrutatud murdosaga, on ka nihke omadus, see tähendab, et tegurite järjekord ei mõjuta tulemust:

a b n = n a b = a n b

Kuidas korrutada kolm või enam harilikku murru

Harilike murdude korrutamisele saame laiendada samu omadusi, mis on iseloomulikud naturaalarvude korrutamisele. See tuleneb nende mõistete definitsioonist.

Tänu assotsiatiivsete ja kommutatiivsete omaduste tundmisele on võimalik korrutada kolm või enam harilikku murru. Suurema mugavuse huvides on lubatud tegurid kohati ümber paigutada või paigutada sulgud viisil, mis hõlbustab loendamist.

Näitame näidet, kuidas seda tehakse.

Näide 6

Korrutage neli harilikku murru 1 20 , 12 5 , 3 7 ja 5 8 .

Lahendus: Esmalt salvestame töö. Saame 1 20 12 5 3 7 5 8 . Peame kõik lugejad ja nimetajad kokku korrutama: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .

Enne korrutamise alustamist saame selle enda jaoks veidi lihtsamaks teha ja mõned arvud edasiseks vähendamiseks algteguriteks lagundada. See on lihtsam kui sellest tuleneva valmisfraktsiooni vähendamine.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Vastus: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

Näide 7

Korrutage 5 arvu 7 8 12 8 5 36 10.

Lahendus

Mugavuse huvides saame rühmitada murdarvu 7 8 numbriga 8 ja arvu 12 murdarvuga 5 36, kuna see teeb meile edaspidised vähendamised selgeks. Selle tulemusena saame:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 = 3 5 3 10 116 2 3

Vastus: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

) ja nimetaja nimetaja järgi (saame korrutise nimetaja).

Murru korrutamise valem:

Näiteks:

Enne lugejate ja nimetajate korrutamist on vaja kontrollida murdarvu vähendamise võimalust. Kui teil õnnestub murdosa vähendada, on teil lihtsam arvutuste tegemist jätkata.

Hariliku murru jagamine murdosaga.

Naturaalarvu hõlmavate murdude jagamine.

See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murduks, mille nimetajas on ühik. Näiteks:

Segamurdude korrutamine.

Murdude (segatud) korrutamise reeglid:

• teisendada segafraktsioonid sobimatuteks;
• korrutada murdude lugejad ja nimetajad;
• vähendame murdosa;
• kui saame valemurru, siis teisendame valemurru segamurruks.

Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt viima valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.

Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.

Mugavam on kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.

Märge! Murru korrutamiseks naturaalarvuga on vaja murdosa nimetaja selle arvuga jagada ja lugeja jätta muutmata.

Ülaltoodud näitest on selge, et seda valikut on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.

Mitmetasandilised murrud.

Keskkoolis leitakse sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:

Et viia selline murdosa tuttav pilk, kasutage jagamist kahe punkti vahel:

Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.

Märge, näiteks:

Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult ümberpööratud:

Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:

1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on mustandisse paar lisarida kirja panna, kui peas arvutustes segadusse sattuda.

2. Ülesannetes koos erinevad tüübid murrud - mine tavaliste murdude kujule.

3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.

4. Toome mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi 2 punkti.

5. Me jagame ühiku mõttes murdosa, lihtsalt murru ümber pöörates.