Üsna sageli seisame probleemide lahendamisel silmitsi suurte arvudega, millest peame välja võtma Ruutjuur. Paljud õpilased otsustavad, et see on viga ja hakkavad kogu näidet lahendama. Mitte mingil juhul ei tohi seda teha! Sellel on kaks põhjust.

1. Juured alates suured numbrid tegelikult esinevad ülesannetes. Eriti tekstis;
2. On olemas algoritm, mille järgi neid juuri peetakse peaaegu verbaalselt.

Me käsitleme seda algoritmi täna. Võib-olla tunduvad mõned asjad teile arusaamatud. Kuid kui sellele õppetükile tähelepanu pöörata, saate kõige võimsama relva vastu ruutjuured.

Algoritm siis:

1. Piirake soovitud juur ülalt ja all 10 kordadega. Seega vähendame otsinguvahemikku 10 numbrini;
2. Nende 10 numbri hulgast rooki välja need, mis kindlasti ei saa olla juured. Selle tulemusena jääb alles 1-2 numbrit;
3. Ruudutage need 1-2 numbrit. Nendest, mille ruut võrdub algarvuga, on juur.

Enne selle algoritmi praktikas rakendamist vaatame iga sammu eraldi.

Juurte piirang

Kõigepealt peame välja selgitama, milliste numbrite vahel meie juur asub. On väga soovitav, et arvud oleksid kümnekordsed:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Saame arvude jada:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Mida need numbrid meile annavad? See on lihtne: me saame piirid. Võtame näiteks arvu 1296. See asub vahemikus 900 kuni 1600. Seetõttu ei saa selle juur olla väiksem kui 30 ja suurem kui 40:

[Joonise pealkiri]

Sama on kõigi teiste numbritega, mille ruutjuure leiate. Näiteks 3364:

Seega saame arusaamatu arvu asemel väga kindla vahemiku, milles asub algjuur. Otsingu ulatuse edasiseks kitsendamiseks minge teise sammu juurde.

Ilmselgelt üleliigsete numbrite kõrvaldamine

Niisiis, meil on 10 numbrit - juure kandidaate. Saime need väga kiiresti kätte, ilma keerulise mõtlemise ja veerus korrutamiseta. On aeg edasi liikuda.

Uskuge või mitte, aga nüüd vähendame kandidaatide arvu kahele – ja jällegi ilma keeruliste arvutusteta! Piisab erireegli tundmisest. Siin see on:

Ruudu viimane number sõltub ainult viimasest numbrist algne number.

Teisisõnu, lihtsalt vaadake viimane number ruut - ja saame kohe aru, kus algne number lõpeb.

Viimasel kohal võib olla ainult 10 numbrit. Proovime välja selgitada, milleks need ruudustamisel muutuvad. Heitke pilk tabelile:

See tabel on veel üks samm juure arvutamise suunas. Nagu näete, osutusid teisel real olevad numbrid viie suhtes sümmeetriliseks. Näiteks:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Nagu näete, on viimane number mõlemal juhul sama. Ja see tähendab, et näiteks 3364 juur lõpeb tingimata numbriga 2 või 8. Teisest küljest mäletame eelmisest lõigust pärit piirangut. Saame:

Punased ruudud näitavad, et me ei tea seda arvu veel. Kuid lõppude lõpuks asub juur 50 ja 60 vahel, millel on ainult kaks numbrit, mis lõppevad numbritega 2 ja 8:

See on kõik! Kõigist võimalikest juurtest jätsime ainult kaks võimalust! Ja seda kõige raskemal juhul, sest viimane number võib olla 5 või 0. Ja siis jääb ainuke juurte kandidaat!

Lõplikud arvutused

Seega on meil jäänud 2 kandidaatnumbrit. Kuidas sa tead, milline neist on juur? Vastus on ilmne: asetage mõlemad numbrid ruutu. See, mis on ruudus, annab algse arvu ja on juur.

Näiteks numbri 3364 jaoks leidsime kaks kandidaatnumbrit: 52 ja 58. Teeme need ruutu:

52 2 \u003d (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

See on kõik! Selgus, et juur on 58! Samas kasutasin arvutuste lihtsustamiseks summa ja vahe ruutude valemit. Tänu sellele ei pidanud te isegi veerus olevaid numbreid korrutama! See on veel üks arvutuste optimeerimise tase, kuid loomulikult on see täiesti vabatahtlik :)

Juurarvutuse näited

Teooria on muidugi hea. Kuid proovime seda praktikas.

[Joonise pealkiri]

Kõigepealt selgitame välja, milliste numbrite vahel asub arv 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Vaatame nüüd viimast numbrit. See on võrdne 6-ga. Millal see juhtub? Ainult siis, kui juur lõpeb numbriga 4 või 6. Saame kaks numbrit:

Jääb iga number ruudustada ja võrrelda originaaliga:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Suurepärane! Esimene ruut osutus esialgse arvuga võrdseks. Nii et see on juur.

Ülesanne. Arvutage ruutjuur:

[Joonise pealkiri]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Vaatame viimast numbrit:

1369 → 9;
33; 37.

Teeme ruudu:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40–3) 2 = 1600–2 40 3 + 9 = 1369.

Siin on vastus: 37.

Ülesanne. Arvutage ruutjuur:

[Joonise pealkiri]

Piirame arvu:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Vaatame viimast numbrit:

2704 → 4;
52; 58.

Teeme ruudu:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Saime vastuse: 52. Teist numbrit ei pea enam ruutu tegema.

Ülesanne. Arvutage ruutjuur:

[Joonise pealkiri]

Piirame arvu:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Vaatame viimast numbrit:

4225 → 5;
65.

Nagu näete, jääb pärast teist sammu alles vaid üks võimalus: 65. See on soovitud juur. Kuid teeme selle ikkagi ruudu ja kontrollime:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Kõik on õige. Kirjutame vastuse üles.

Järeldus

Kahjuks pole parem. Vaatame põhjuseid. Neid on kaks:

• Kalkulaatorite kasutamine tavalistel matemaatikaeksamitel, olgu selleks siis GIA või ühtne riigieksam, on keelatud. Kalkulaatori klassiruumi kaasas kandmise eest saab nad kergesti eksamilt välja visata.
• Ärge olge nagu rumalad ameeriklased. Mis ei ole nagu juured – nad ei saa liita kahte algarvu. Ja murdude nägemisel lähevad nad üldiselt hüsteeriliseks.

Õpilased küsivad alati: „Miks ma ei saa matemaatikaeksamil kalkulaatorit kasutada? Kuidas eraldada arvu ruutjuur ilma kalkulaatorita? Proovime sellele küsimusele vastata.

Kuidas arvutada välja arvu ruutjuur ilma kalkulaatori abita?

Tegevus ruutjuure ekstraheerimine ruudustamise vastand.

√81= 9 9 2 =81

Kui me võtame positiivse arvu ruutjuure ja ruudume tulemuse, saame sama arvu.

Väikestest arvudest, mis on naturaalarvude täpsed ruudud, näiteks 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, saab verbaalselt eraldada ruutjuured. Tavaliselt õpetatakse koolis naturaalarvude ruutude tabelit kuni kahekümneni. Seda tabelit teades on lihtne välja võtta ruutjuured arvudest 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Arvudest, mis on suuremad kui 400, saate mõne näpunäite abil välja võtta valikumeetodi abil. Proovime selle meetodi kaalumiseks näidet.

Näide: Eraldage arvu 676 juur.

Märkame, et 20 2 \u003d 400 ja 30 2 \u003d 900, mis tähendab 20< √676 < 900.

Naturaalarvude täpsed ruudud lõpevad 0-ga; üks; neli; 5; 6; 9.
Arvu 6 annavad 4 2 ja 6 2 .
Seega, kui juur on võetud 676-st, siis on see kas 24 või 26.

Jääb üle kontrollida: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Vastus: √676 = 26 .

Rohkem näide: √6889 .

Alates 80 2 \u003d 6400 ja 90 2 \u003d 8100, siis 80< √6889 < 90.
Arvu 9 annavad 3 2 ja 7 2, siis √6889 on kas 83 või 87.

Kontrollige: 83 2 = 6889.

Vastus: √6889 = 83 .

Kui teil on seda valikumeetodiga raske lahendada, saate juuravaldise faktoriseerida.

Näiteks, leia √893025.

Tegurime arvu 893025, pea meeles, sa tegid seda kuuendas klassis.

Saame: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Rohkem näide: √20736. Faktoriseerime arvu 20736:

Saame √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Muidugi eeldab faktooring jagamiskriteeriumide tundmist ja faktooringuoskusi.

Ja lõpuks on olemas ruutjuure reegel. Vaatame seda reeglit näitega.

Arvuta √279841.

Mitmekohalise täisarvu juure eraldamiseks jagame selle paremalt vasakule tahkudeks, millest igaüks sisaldab 2 numbrit (vasakul äärmisel küljel võib olla üks number). Kirjutage nii 27'98'41

Juure esimese numbri (5) saamiseks eraldame ruutjuure suurimast täpsest ruudust, mis sisaldub esimeses vasakpoolses küljes (27).
Seejärel lahutatakse esimesest tahust juure esimese numbri ruut (25) ja erinevusele omistatakse (lammutatakse) järgmine tahk (98).
Saadud arvust 298 vasakule kirjutavad nad juure kahekohalise numbri (10), jagavad sellega eelnevalt saadud arvu kõigi kümnete arvu (29/2 ≈ 2), kogevad jagatist (102 ∙ 2 = 204 ei tohiks olla suurem kui 298) ja kirjutage (2) pärast juure esimest numbrit.
Seejärel lahutatakse saadud jagatis 204 298-st ja järgmine tahk (41) omistatakse (lammutatakse) erinevusele (94).
Saadud arvust 9441 vasakule kirjutavad nad juure numbrite topeltkorrutise (52 ∙ 2 = 104), jagavad selle korrutisega arvu 9441 kõigi kümnete arvu (944/104 ≈ 9), kogemus jagatis (1049 ∙ 9 = 9441) peaks olema 9441 ja kirjutage see üles (9) pärast juure teist numbrit.

Saime vastuseks √279841 = 529.

Samamoodi ekstrakt kümnendkohtade juured. Ainult radikaalarv tuleb tahkudeks jagada nii, et koma jääks tahkude vahele.

Näide. Leidke väärtus √0,00956484.

Pidage lihtsalt meeles, et kui kümnendmurrus on paaritu arv komakohti, ei võeta sellest ruutjuurt täpselt välja.

Niisiis, nüüd olete näinud juure ekstraheerimiseks kolme võimalust. Valige endale sobivaim ja harjutage. Et õppida probleeme lahendama, peate need lahendama. Ja kui teil on küsimusi,.

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

On aeg lahti võtta juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eriti võrdsusel, mis kehtib iga mitte negatiivne arv b.

Allpool käsitleme omakorda peamisi juurte ekstraheerimise meetodeid.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist – naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.

Kui ruutude, kuubikute jms tabelid. pole käepärast, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab juurarvu lagundamist lihtsateks teguriteks.

Eraldi tasub peatuda, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.

Lõpuks kaaluge meetodit, mis võimaldab teil järjestikku leida juure väärtuse numbrid.

Alustame.

Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.

Kõige rohkem lihtsad juhtumid ruutude, kuubikute jms tabelid võimaldavad juuri välja tõmmata. Mis need tabelid on?

Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hall taust, võimaldab teil teha arvu vahemikus 0 kuni 99, valides konkreetse rea ja veeru. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga selle lahter asub kindla rea ​​ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99 . Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ​​ja ühe veeru 3 ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.

Kuubikute tabelid, arvude 0 kuni 99 neljanda astme tabelid ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.

Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende rakendamise põhimõtet juurte kaevandamisel.

Oletame, et peame arvust a eraldama n-nda astme juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Selle tabeli järgi leiame arvu b nii, et a=b n . Siis , seega on arv b soovitud n-nda astme juur.

Näitena näitame, kuidas kuubitabeli abil eraldatakse 19683 kuupjuur. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on kuup numbrist 27, seega .

On selge, et n-nda astme tabelid on juurte kaevandamisel väga mugavad. Sageli pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab teatud aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel tuleb juurte eraldamiseks kasutada muid meetodeid.

Juurarvu lagundamine algteguriteks

Piisav mugav viis, mis võimaldab naturaalarvust juure eraldada (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on juurarvu lagundamine algteguriteks. Tema olemus on järgmine: pärast seda on üsna lihtne esitada soovitud indikaatoriga kraadina, mis võimaldab teil saada juure väärtuse. Selgitame seda punkti.

Olgu naturaalarvust a eraldatud n-astme juur ja selle väärtus võrdub b-ga. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Arvu b kui mis tahes naturaalarvu saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , …, p m korrutisena kujul p 1 p 2 … p m ja juurarv a on antud juhul (p) 1 p 2 ... p m) n . Kuna arvu lagundamine algteguriteks on kordumatu, näeb juurarvu a lagundamine algteguriteks välja selline (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , mis võimaldab arvutada juure väärtuse kui .

Pange tähele, et kui juurarvu a faktoriseerimist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , siis sellisest arvust a ei eraldata n-nda astme juur täielikult.

Sellega tegeleme näidete lahendamisel.

Näide.

Võtke 144 ruutjuur.

Lahendus.

Kui pöörduda eelmises lõigus toodud ruutude tabeli poole, on selgelt näha, et 144=12 2 , millest selgub, et 144 ruutjuur on 12 .

Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur ekstraheeritakse, lagundades juurarvu 144 algteguriteks. Vaatame seda lahendust.

Laguneme 144 algteguriteks:

See tähendab, et 144 = 2 2 2 2 3 3 . Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Järelikult .

Kasutades juurte astme ja omaduste omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .

Vastus:

Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.

Näide.

Arvutage juurväärtus.

Lahendus.

Juurearvu 243 algfaktorisatsioon on 243=3 5 . Sellel viisil, .

Vastus:

Näide.

Kas juure väärtus on täisarv?

Lahendus.

Sellele küsimusele vastamiseks jagame juurarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubikuna.

Meil on 285 768=2 3 3 6 7 2 . Saadud lagunemist ei esitata täisarvu kuubina, kuna aste peamine tegur 7 ei ole kolme kordne. Seetõttu ei võeta kuupjuurt 285 768 täielikult.

Vastus:

Ei.

Murdarvudest juurte eraldamine

On aeg välja mõelda, kuidas juur on ekstraheeritud murdarv. Olgu murrujuurarv kirjutatud kujul p/q . Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murdosa juure reegel: Murru juur on võrdne jagatisega, mis jagatakse lugeja juure nimetaja juurega.

Vaatame näidet juure murdmisest.

Näide.

Millest on ruutjuur harilik murd 25/169 .

Lahendus.

Ruuttabeli järgi leiame, et algmurru lugeja ruutjuur on 5 ja nimetaja ruutjuur on 13. Siis . See lõpetab juure eraldamise tavalisest fraktsioonist 25/169.

Vastus:

Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast juurarvude asendamist tavaliste murrudega.

Näide.

Võtke kümnendkoha 474.552 kuupjuur.

Lahendus.

Kujutage ette originaali kümnend hariliku murru kujul: 474,552=474552/1000. Siis . Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis ja . Jääb ainult arvutused lõpule viia .

Vastus:

.

Negatiivse arvu juure eraldamine

Eraldi tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juure eksponendiks on paaritu arv, siis negatiivne arv võib olla juure märgi all. Andsime sellistele tähistele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu astendaja jaoks on meil . See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivsest arvust juure eraldamiseks peate eraldama juure vastupidisest positiivsest arvust ja panema tulemuse ette miinusmärgi.

Vaatleme näidislahendust.

Näide.

Leidke juurväärtus.

Lahendus.

Teisendame algse avaldise nii, et juurmärgi alla ilmuks positiivne arv: . Nüüd seganumber asendada tavalise murruga: . Rakendame juure harilikust murdosast eraldamise reeglit: . Jääb välja arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: .

Siin on lahenduse kokkuvõte: .

Vastus:

.

Bitipõhine juurväärtuse leidmine

Üldjuhul on juure all arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid selle tähendust on vaja teada antud juur, vähemalt mingi märgini. Sel juhul saate juure eraldamiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjekindlalt saada soovitud arvu numbrite piisav arv väärtusi.

Esimesel sammul see algoritm peate välja selgitama, mis on juure kõige olulisem osa. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse juurarvu ületav arv. Siis näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõrget järjekorda.

Näiteks võtke ekstraheerimisel arvesse seda algoritmi sammu ruutjuur viiest. Võtame arvud 0, 10, 100, ... ja paneme need ruutudesse, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5 . Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , mis tähendab, et kõige olulisem number on ühikunumber. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juurekstraktsiooni algoritmi järgmistest sammudest.

Kõik algoritmi järgmised sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele täpsustamisele, kuna leitakse juure soovitud väärtuse järgmiste numbrite väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaima. . Näiteks juure väärtus esimeses etapis on 2, teises - 2,2, kolmandas - 2,23 ja nii edasi 2,236067977 ... . Kirjeldame, kuidas bittide väärtused leitakse.

Bittide leidmine toimub nende võimalike väärtuste 0, 1, 2, ..., 9 loendamisega. Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse juurarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, siis loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leituks ja kui seda ei juhtu, siis toimub üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule. siis selle numbri väärtus on 9 .

Selgitame kõiki neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.

Esiteks leidke ühikute numbri väärtus. Kordame väärtusi 0, 1, 2, …, 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, …, 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugavalt esitatud tabeli kujul:

Seega on ühiku numbri väärtus 2 (kuna 2 2<5 , а 2 3 >5). Liigume edasi kümnenda koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi juurarvuga 5:

Alates 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , siis kümnenda koha väärtus on 2 . Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist:

Nii leitakse viie juure järgmine väärtus, see on võrdne 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.

Esiteks määratleme vanem numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2151.186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , seega on kõige olulisem number kümnend.

Määratleme selle väärtuse.

Alates 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , siis kümnendkoha väärtus on 1 . Liigume edasi üksuste juurde.

Seega on ühe koha väärtus 2 . Liigume kümne juurde.

Kuna isegi 12,9 3 on radikaalarvust 2 151,186 väiksem, on kümnenda koha väärtus 9. Jääb teha algoritmi viimane samm, see annab meile juure väärtuse vajaliku täpsusega.

Selles etapis leitakse juure väärtus kuni sajandikuteni: .

Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid viise. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.

Bibliograafia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8 lahtrile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele).

Juure eraldamine on astendamise pöördtehing. See tähendab, et eraldades arvu X juure, saame arvu, mis ruudus annab sama arvu X.

Juure eemaldamine on üsna lihtne toiming. Ruudude tabel võib ekstraheerimist hõlbustada. Sest kõiki ruute ja juuri pole võimalik peast meelde jätta ning numbrid võivad olla suured.

Arvu juure eraldamine

Arvu ruutjuure eraldamine on lihtne. Pealegi saab seda teha mitte kohe, vaid järk-järgult. Võtke näiteks avaldis √256. Esialgu on teadmatul inimesel raske kohe vastust anda. Siis astume samme. Esiteks jagame lihtsalt arvuga 4, millest võtame juurena välja valitud ruudu.

Loosimine: √(64 4), siis võrdub see väärtusega 2√64. Ja nagu teate, korrutustabeli järgi 64 = 8 8. Vastus on 2*8=16.

Registreeruge kursusele "Kiirendada peast loendamist, MITTE peast aritmeetikat", et õppida kiiresti ja õigesti liitma, lahutama, korrutama, jagama, ruutarvud ja isegi juurduma. 30 päeva jooksul õpid kasutama lihtsaid nippe aritmeetiliste toimingute lihtsustamiseks. Iga õppetund sisaldab uusi võtteid, selgeid näiteid ja kasulikke ülesandeid.

Kompleksne juurte ekstraheerimine

Ruutjuurt ei saa arvutada negatiivsetest arvudest, sest iga ruudus on positiivne arv!

Kompleksarv on arv i, mille ruudus on -1. See on i2=-1.

Matemaatikas on arv, mis saadakse, võttes arvu -1 juure.

See tähendab, et on võimalik arvutada negatiivse arvu juur, kuid see kehtib juba kõrgema matemaatika, mitte kooli kohta.

Vaatleme sellise juure ekstraheerimise näidet: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Juurkalkulaator Internetis

Meie kalkulaatori abil saate arvutada ruutjuurest arvu eraldamise:

Juur väljavõtmist sisaldavate avaldiste teisendamine

Radikaalavaldiste teisendamise olemus seisneb radikaalarvu lammutamises lihtsamateks, millest saab välja võtta juure. Näiteks 4, 9, 25 ja nii edasi.

Võtame näite, √625. Jagame radikaalavaldise arvuga 5. Saame √(125 5), kordame toimingut √(25 25), kuid me teame, et 25 on 52. Seega on vastus 5*5=25.

Kuid on numbreid, mille juurt ei saa selle meetodiga arvutada ja peate lihtsalt teadma vastust või omama käepärast ruutude tabelit.

√289=√(17*17)=17

Tulemus

Matemaatika paremaks mõistmiseks oleme kaalunud ainult jäämäe tippu - registreeruge meie kursusele: kiirendage peast loendamist - MITTE peast aritmeetikat.

Kursusel ei õpi sa mitte ainult kümneid nippe lihtsustatud ja kiireks korrutamiseks, liitmiseks, korrutamiseks, jagamiseks, protsentide arvutamiseks, vaid töötad need välja ka spetsiaalsetes ülesannetes ja õppemängudes! Ka vaimne loendamine nõuab palju tähelepanu ja keskendumist, mida treenitakse aktiivselt huvitavate probleemide lahendamisel.

Matemaatika sündis siis, kui inimene teadvustas ennast ja hakkas positsioneerima maailma autonoomse üksusena. Soov mõõta, võrrelda, arvutada seda, mis teid ümbritseb, on meie päeva ühe fundamentaalteaduse aluseks. Alguses olid need elementaarmatemaatika tükid, mis võimaldasid numbreid nende füüsiliste väljenditega seostada, hiljem hakati järeldusi esitama ainult teoreetiliselt (nende abstraktsuse tõttu), kuid mõne aja pärast, nagu üks teadlane ütles, " matemaatika jõudis keerukuse laeni, kui kõik arvud. Mõiste "ruutjuur" ilmus ajal, mil seda sai hõlpsasti toetada empiiriliste andmetega, väljudes arvutustasandist.

Kuidas see kõik algas

Esimest korda mainiti juurt, mida praegu tähistatakse kui √, registreeriti Babüloonia matemaatikute kirjutistes, kes panid aluse kaasaegsele aritmeetikale. Muidugi nägid need välja veidi praegusel kujul – nende aastate teadlased kasutasid esmalt mahukaid tablette. Kuid teisel aastatuhandel eKr. e. nad mõtlesid välja ligikaudse arvutusvalemi, mis näitas ruutjuure võtmist. Alloleval fotol on kivi, millele Babüloonia teadlased nikerdasid väljundprotsessi √2 ja see osutus nii õigeks, et vastuses leiti lahknevus alles kümnenda kümnendkoha täpsusega.

Lisaks kasutati juurt, kui oli vaja leida kolmnurga külg, eeldusel, et teised kaks olid teada. No ruutvõrrandite lahendamisel pole pääsu juure väljavõtmisest.

Koos Babüloonia teostega uuriti artikli objekti Hiina teoses "Matemaatika üheksas raamatus" ja iidsed kreeklased jõudsid järeldusele, et iga arv, millest juurt ilma jäägita ei eraldata, annab irratsionaalse tulemuse.

Selle termini päritolu seostatakse numbri araabiakeelse esitusega: iidsed teadlased uskusid, et suvalise arvu ruut kasvab juurest nagu taim. Ladina keeles kõlab see sõna nagu radix (võib jälgida mustrit - kõik, millel on "juure" semantiline koormus, on kaashäälik, olgu see siis redis või ishias).

Järgmiste põlvkondade teadlased võtsid selle idee üles, nimetades selle Rx-ks. Näiteks 15. sajandil kirjutasid nad selleks, et näidata, et ruutjuur on võetud suvalisest arvust a, R 2 a. Moodsa välimusega tuttav “puuk” √ ilmus tänu Rene Descartes’ile alles 17. sajandil.

Meie päevad

Matemaatiliselt on y ruutjuur arv z, mille ruut on y. Teisisõnu, z 2 =y on ekvivalentne √y=z-ga. See määratlus on aga asjakohane ainult aritmeetilise juure puhul, kuna see eeldab avaldise mittenegatiivset väärtust. Teisisõnu, √y=z, kus z on suurem kui 0 või sellega võrdne.

Üldiselt, mis kehtib algebralise juure määramisel, võib avaldise väärtus olla kas positiivne või negatiivne. Seega tänu sellele, et z 2 =y ja (-z) 2 =y, saame: √y=±z või √y=|z|.

Kuna armastus matemaatika vastu on teaduse arenguga ainult suurenenud, ilmneb selle vastu mitmesuguseid kiindumuse ilminguid, mis ei väljendu kuivades arvutustes. Näiteks koos selliste huvitavate sündmustega nagu pii päev tähistatakse ka ruutjuure pühi. Neid tähistatakse üheksa korda saja aasta jooksul ja nende määramisel järgitakse järgmist põhimõtet: päeva ja kuud tähistavad numbrid peavad olema aasta ruutjuur. Niisiis, järgmine kord tähistatakse seda püha 4. aprillil 2016.

Ruutjuure omadused väljal R

Peaaegu kõigil matemaatilistel avaldistel on geomeetriline alus, see saatus ei läinud mööda ja √y, mis on defineeritud kui ruudu külg pindalaga y.

Kuidas leida arvu juur?

Arvutusalgoritme on mitu. Lihtsaim, kuid samal ajal üsna tülikas on tavaline aritmeetiline arvutus, mis on järgmine:

1) arvust, mille juurt me vajame, lahutatakse omakorda paarituid arve - kuni väljundi jääk on väiksem kui lahutatud üks või võrdub isegi nulliga. Käikude arv muutub lõpuks soovitud arvuks. Näiteks 25 ruutjuure arvutamine:

Järgmine paaritu arv on 11, ülejäänu on: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Sellistel juhtudel on Taylori seeria laiendus:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kus n võtab väärtused vahemikus 0 kuni

+∞ ja |y|≤1.

Funktsiooni z=√y graafiline esitus

Vaatleme reaalarvude väljal R elementaarfunktsiooni z=√y, kus y on nullist suurem või sellega võrdne. Tema diagramm näeb välja selline:

Kõver kasvab lähtepunktist ja ületab tingimata punkti (1; 1).

Funktsiooni z=√y omadused reaalarvude väljal R

1. Vaadeldava funktsiooni määratluspiirkond on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on kaasatud).

2. Vaadeldava funktsiooni väärtuste vahemik on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on jälle kaasatud).

3. Funktsioon võtab minimaalse väärtuse (0) ainult punktis (0; 0). Maksimaalset väärtust pole.

4. Funktsioon z=√y ei ole paaris ega paaritu.

5. Funktsioon z=√y ei ole perioodiline.

6. Funktsiooni z=√y graafikul on ainult üks lõikepunkt koordinaattelgedega: (0; 0).

7. Funktsiooni z=√y graafiku lõikepunkt on ühtlasi selle funktsiooni null.

8. Funktsioon z=√y kasvab pidevalt.

9. Funktsioon z=√y võtab ainult positiivseid väärtusi, mistõttu selle graafik hõivab esimese koordinaatnurga.

Funktsiooni z=√y kuvamise võimalused

Matemaatikas kasutatakse keeruliste avaldiste arvutamise hõlbustamiseks mõnikord ruutjuure kirjutamise astmevormi: √y=y 1/2. See valik on mugav näiteks funktsiooni tõstmisel astmeks: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . See meetod sobib hästi ka integreerimisega diferentseerimiseks, kuna tänu sellele on ruutjuur esindatud tavalise astmefunktsiooniga.

Ja programmeerimises on sümboli √ asenduseks tähtede kombinatsioon sqrt.

Väärib märkimist, et selles piirkonnas on ruutjuur suur nõudlus, kuna see on osa enamikust arvutusteks vajalikest geomeetrilistest valemitest. Loendusalgoritm ise on üsna keeruline ja põhineb rekursioonil (funktsioon, mis kutsub ennast ise).

Ruutjuur kompleksväljal C

Üldiselt oli selle artikli teema see, mis stimuleeris kompleksarvude välja C avastamist, kuna matemaatikuid kummitas küsimus, kuidas saada negatiivsest arvust paaris kraadijuur. Nii tekkis kujuteldav ühik i, mida iseloomustab väga huvitav omadus: selle ruut on -1. Tänu sellele said ruutvõrrandid ja negatiivse diskriminandiga lahenduse. C-s on ruutjuure jaoks olulised samad omadused, mis R-is, ainus asi on see, et juuravaldise piirangud eemaldatakse.