Tunni eesmärgid:

• Õpitud materjali analüüsimise oskuste ja probleemide lahendamisel rakendamise oskuste kujundamine;
• Näidake uuritavate mõistete tähtsust;
• Areng kognitiivne tegevus ja iseseisvus teadmiste hankimisel;
• Teema vastu huvi tõstmine, ilumeel.

Tunni eesmärgid:

• Kujundada oskused etteantud nurga konstrueerimiseks skaalajoonlaua, sirkli, nurgamõõturi ja joonistuskolmnurga abil.
• Kontrollige õpilaste võimet probleeme lahendada.

Tunniplaan:

1. Kordamine.
2. Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine.
3. Analüüs.
4. Esimese näite konstrueerimine.
5. Teise näite konstrueerimine.

Kordamine.

Nurk.

tasane nurk- piiramatu geomeetriline kujund, mis on moodustatud ühest punktist (nurga tipust) väljuvast kahest kiirest (nurga küljest).

Nurka nimetatakse ka kujundiks, mille moodustavad kõik nende kiirte vahele jäävad tasandi punktid (üldiselt vastavad kaks sellist kiirt kahele nurgale, kuna need jagavad tasandi kaheks osaks. Ühte neist nurkadest nimetatakse tinglikult sisemiseks ja muud välised.
Mõnikord nimetatakse nurka lühiduse huvides nurgamõõduks.

Nurga tähistamiseks on üldtunnustatud sümbol: , mille pakkus välja 1634. aastal prantsuse matemaatik Pierre Erigon.

Nurk- see on geomeetriline kujund (joonis 1), mille moodustavad kaks kiirt OA ja OB (nurgaküljed), mis väljuvad ühest punktist O (nurgatipp).

Nurka tähistatakse sümboli ja kolme tähega, mis näitavad kiirte otste ja nurga tippu: AOB (pealegi on tipu täht keskmine). Nurki mõõdetakse kiir OA pöörlemiskiiruse järgi ümber tipu O, kuni kiir OA läheb asendisse OB. Nurkade mõõtmiseks kasutatakse tavaliselt kahte ühikut: radiaanid ja kraadid. Nurkade radiaani mõõtmise kohta vt allpool jaotist "Kaare pikkus" ja ka peatükki "Trigonomeetria".

Nurkade mõõtmise kraadisüsteem.

Siin on mõõtühikuks kraad (selle tähis on °) - see on tala pöörlemine 1/360 täispöörde võrra. Seega on tala täispööre 360 ​​o. Üks kraad jaguneb 60 minutiks (tähistus ‘); üks minut - vastavalt 60 sekundit (tähistus “). Nurka 90 ° (joonis 2) nimetatakse paremale; nurka alla 90° (joonis 3) nimetatakse teravaks; nurka, mis on suurem kui 90 ° (joonis 4), nimetatakse nüriks.

Täisnurga moodustavaid sirgeid nimetatakse üksteisega risti. Kui sirged AB ja MK on risti, siis tähistatakse seda: AB MK.

Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine.

Enne ehituse alustamist või mis tahes probleemi lahendamist, olenemata teemast, on vaja läbi viia analüüs. Saage aru, milles ülesanne on, lugege seda mõtlikult ja aeglaselt. Kui pärast esimest korda on kahtlusi või midagi ei olnud selge või selge, kuid mitte täielikult, on soovitatav see uuesti lugeda. Kui teete tunnis ülesannet, võite küsida õpetajalt. Vastasel juhul ei pruugita teie valesti aru saanud ülesannet õigesti lahendada või leiate midagi, mis pole see, mida teilt nõuti ja see loetakse ebaõigeks ja peate selle uuesti tegema. Minu jaoks - parem on kulutada ülesande õppimisele veidi rohkem aega, kui ülesande uuesti teha.

Analüüs.

Olgu a antud kiir tipuga A ja (ab) soovitud nurk. Kiirtel a ja b valime vastavalt punktid B ja C. Ühendades punktid B ja C, saame kolmnurga ABC. Võrdsetes kolmnurkades on vastavad nurgad võrdsed ja seega järgneb konstruktsioonimeetod. Kui punktid C ja B on valitud mingil sobival viisil antud nurga külgedel, siis konstrueeritakse antud kiirest antud pooltasandini kolmnurk AB 1 C 1, mis on võrdne ABC-ga (ja seda saab teha, kui kõik nurga küljed kolmnurk on teada), siis probleem lahendatakse.

Mis tahes läbiviimisel konstruktsioonid Olge äärmiselt ettevaatlik ja proovige kõiki konstruktsioone hoolikalt läbi viia. Kuna igasugune ebakõla võib põhjustada mingisuguseid vigu, kõrvalekaldeid, mis võivad viia vale vastuseni. Ja kui seda tüüpi ülesannet tehakse esimest korda, on viga väga raske leida ja parandada.

Esimese näite konstrueerimine.

Joonistage ring, mille keskpunkt on antud nurga tipus. Olgu B ja C ringi lõikepunktid nurga külgedega. Joonistage ring raadiusega AB, mille keskpunkt on punkt A 1 - selle kiire alguspunkt. Selle ringi lõikepunkti antud kiirega tähistatakse tähega B 1 . Kirjeldame ringjoont keskpunktiga B 1 ja raadiusega BC. Konstrueeritud ringide lõikepunkt C 1 määratud pooltasandil asub nõutava nurga küljel.

Kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 on kolmel küljel võrdsed. Nurgad A ja A 1 on nende kolmnurkade vastavad nurgad. Seetõttu ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Suurema selguse huvides võime vaadelda samu konstruktsioone üksikasjalikumalt.

Teise näite konstrueerimine.

Ülesandeks jääb ka edasi lükata antud pooljoonelt antud pooltasandile nurk, mis on võrdne see nurk.

Ehitus.

Samm 1. Joonistame suvalise raadiusega ringi, mille keskpunktid on antud nurga tipus A. Olgu B ja C ringi lõikepunktid nurga külgedega. Ja joonistage lõik BC.

2. samm Joonistage ring raadiusega AB, mille keskpunkt on punkt O, selle poolsirge alguspunkt. Tähistame ringi lõikepunkti kiirega B 1 .

3. samm Nüüd kirjeldame ringi keskpunkti B 1 ja raadiusega BC. Olgu punkt C 1 konstrueeritud ringjoonte lõikepunkt määratud pooltasandil.

4. samm Joonistame kiiri punktist O läbi punkti C 1 . Nurk C 1 OB 1 on soovitud nurk.

Tõestus.

Kolmnurgad ABC ja OB 1 C 1 on kongruentsed vastavate külgedega kolmnurkadena. Seetõttu on nurgad CAB ja C 1 OB 1 võrdsed.

Huvitav fakt:

Numbrites.

Teid ümbritseva maailma objektides märkate kõigepealt nende individuaalseid omadusi, mis eristavad üht objekti teisest.

Konkreetsete, üksikute omaduste rohkus jätab varju absoluutselt kõikidele objektidele omased üldised omadused ja seetõttu on selliseid omadusi alati keerulisem avastada.

Objektide üks olulisemaid ühiseid omadusi on see, et kõiki objekte saab loendada ja mõõta. Me peegeldame seda ühisvara objektid arvu mõistes.

Inimesed õppisid loendamisprotsessi, see tähendab arvu mõistet, väga aeglaselt, sajandeid, kangekaelses võitluses oma olemasolu eest.

Loendamiseks ei pea olema mitte ainult loendatavaid objekte, vaid neil peab olema juba võimalus neid objekte kaaludes hajutada nende kõigist muudest omadustest, välja arvatud arv, ning see võime on pika ajaloolise arengu tulemus. kogemuse põhjal.

Iga inimene õpib nüüd juba lapsepõlves märkamatult arvude abil lugema, peaaegu samaaegselt kõnelema hakkamisega, kuid see meile harjumuspärane loendamine on läbinud pika arengutee ja võtnud erinevaid vorme.

Oli aeg, mil objektide loendamiseks kasutati ainult kahte numbrit: üks ja kaks. Numbrisüsteemi edasise laiendamise protsessi kaasati osad Inimkeha ja ennekõike näpud ja kui selliseid “numbreid” väheks jäi, siis ka pulgad, kivikesed ja muu.

N. N. Miklukho-Maclay tema raamatus "Reisid" räägib naljakast loendusviisist, mida kasutavad Uus-Guinea põliselanikud:

Küsimused:

1. Mis on nurga määratlus?
2. Millised on nurkade tüübid?
3. Mis vahe on läbimõõdul ja raadiusel?

Kasutatud allikate loetelu:

1. Mazur K. I. "M. I. Scanavi toimetatud kogumiku põhiliste võistlusülesannete lahendamine matemaatikas"
2. Matemaatiline leidlikkus. B.A. Kordemski. Moskva.
3. L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geomeetria, 7-9: õpik haridusasutustele"

Tunni kallal töötas:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Esitage küsimus selle kohta kaasaegne haridus, väljendage ideed või lahendage kiireloomuline probleem Haridusfoorum, kus edasi rahvusvahelisel tasemel koguneb värske mõtte ja tegevuse haridusnõukogu. Olles loonud blogi, Sa mitte ainult ei paranda oma staatust pädeva õpetajana, vaid annad olulise panuse ka tulevikukooli arengusse. Haridusjuhtide gild avab ukse tippspetsialistidele ja kutsub koostööd tegema maailma parimate koolide loomise suunas.

Ehitusprobleemide korral arvestame ehitusega geomeetriline kujund mida saab teha joonlaua ja sirkliga.

Joonlauaga saate:

suvaline rida;

antud punkti läbiv suvaline sirge;

kahte etteantud punkti läbiv sirgjoon.

Kompassi abil saate kirjeldada etteantud raadiusega ringi antud keskpunktist.

Kompassi saab kasutada antud punktist antud sirgele lõigu joonistamiseks.

Mõelge ehituse peamistele ülesannetele.

Ülesanne 1. Koostage kolmnurk antud külgedega a, b, c (joonis 1).

Lahendus. Joonlaua abil tõmmake suvaline sirge ja võtke sellele suvaline punkt B. Kui kompassi ava on võrdne a-ga, kirjeldame ringjoont, mille keskpunkt on B ja raadius a. Olgu C tema ja sirge lõikepunkt. Kui kompassi ava on võrdne c-ga, kirjeldame ringjoont keskpunktist B ja kompassi avaga b - ringi keskpunktist C. Olgu A nende ringide lõikepunkt. Kolmnurga ABC küljed on võrdsed a, b, c.

Kommenteeri. Selleks, et kolm lõiku saaksid olla kolmnurga külgedena, on vajalik, et suurem neist oleks väiksem kui kahe teise joone summa (ja< b + с).

2. ülesanne.

Lahendus. See nurk koos tipuga A ja tala OM on näidatud joonisel 2.

Joonistage suvaline ring, mille keskpunkt on antud nurga tipus A. Olgu B ja C ringi lõikepunktid nurga külgedega (joon. 3, a). Joonistame raadiusega AB ringi, mille keskpunkt on punktis O - selle kiire alguspunkt (joon. 3, b). Selle ringi lõikepunkti antud kiirega tähistatakse kui С 1 . Kirjeldame ringjoont keskpunktiga C 1 ja raadiusega BC. Kahe ringi lõikepunkti punkt B 1 asub soovitud nurga küljel. See tuleneb võrdsusest Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (kolmnurkade võrdsuse kolmas kriteerium).

3. ülesanne. Konstrueerige antud nurga poolitaja (joonis 4).

Lahendus. Antud nurga tipust A, nagu ka keskpunktist, joonistame suvalise raadiusega ringi. Olgu B ja C selle lõikepunktid nurga külgedega. Sama raadiusega punktidest B ja C kirjeldame ringjooni. Olgu D nende lõikepunkt, mis erineb A-st. Kiir AD jagab nurga A pooleks. See tuleneb võrdsusest ΔABD = ΔACD (kolmnurkade võrdsuse kolmas kriteerium).

4. ülesanne. Joonistage selle lõiguga risti mediaan (joonis 5).

Lahendus. Suvalise, kuid identse kompassi avaga (suur 1/2 AB) kirjeldame kahte kaare keskpunktidega punktides A ja B, mis lõikuvad teineteisega mõnes punktis C ja D. Sirge CD on nõutav risti. Tõepoolest, nagu konstruktsioonist näha, on kõik punktid C ja D võrdselt kaugel A-st ja B-st; seetõttu peavad need punktid asuma lõigu AB poolitaja risti.

5. ülesanne. Jagage see osa pooleks. See lahendatakse samamoodi nagu ülesanne 4 (vt joonis 5).

6. ülesanne. Läbi etteantud punkti tõmmake joon, mis on antud sirgega risti.

Lahendus. Võimalikud on kaks juhtumit:

1) antud punkt O asub antud sirgel a (joonis 6).

Punktist O joonistame suvalise raadiusega ringi, mis lõikub sirgega a punktides A ja B. Punktidest A ja B joonestame sama raadiusega ringid. Olgu О 1 nende lõikepunkt, mis erineb О-st. Saame ОО 1 ⊥ AB. Tõepoolest, punktid O ja O 1 on lõigu AB otstest võrdsel kaugusel ja seetõttu asuvad selle lõiguga risti poolitajal.

Kodukujundusprojektide ehitamisel või arendamisel on sageli vaja ehitada nurk, mis on võrdne juba olemasolevaga. Appi tulevad mallid ja kooliteadmised geomeetriast.

Juhend

• Nurga moodustavad kaks sirget, mis väljuvad samast punktist. Seda punkti nimetatakse nurga tipuks ja jooned on nurga küljed.
• Kasutage nurkade tähistamiseks kolme tähte: üks ülaosas, kaks külgedel. Nad kutsuvad nurka, alustades ühel küljel olevast tähest, seejärel kutsuvad nad üleval olevat tähte ja seejärel teisel pool olevat tähte. Kasutage nurkade märgistamiseks muid viise, kui soovite teisiti. Mõnikord kutsutakse ainult ühte tähte, mis on üleval. Ja nurki saate tähistada kreeka tähtedega, näiteks α, β, γ.
• On olukordi, kus on vaja joonistada nurk nii, et see oleks võrdne juba etteantud nurgaga. Kui joonise konstrueerimisel ei ole võimalik kasutada kraadiklaasi, saab läbi vaid joonlaua ja sirkliga. Oletame, et sirgel, mida joonisel tähistatakse tähtedega MN, peate punktis K moodustama nurga, nii et see võrdne nurgaga B. See tähendab, et punktist K on vaja tõmmata sirgjoon, mis moodustab nurga joonega MN, mis on võrdne nurgaga B.
• Kõigepealt märgi selle nurga mõlemale küljele punkt, näiteks punktid A ja C, seejärel ühenda punktid C ja A sirgjoonega. Hankige kolmnurk ABC.
• Nüüd konstrueerige sama kolmnurk sirgel MN nii, et selle tipp B on sirgel punktis K. Kasutage reeglit kolmnurga konstrueerimiseks kolmest küljest. Jätke lõik KL punktist K kõrvale. See peab olema võrdne segmendiga BC. Hankige punkt L.
• Joonistage punktist K ring, mille raadius on võrdne lõiguga BA. L-st joonistage ring raadiusega CA. Ühendage saadud punkt (P) kahe ringi lõikepunktist K-ga. Hankige kolmnurk KPL, mis on võrdne kolmnurgaga ABC. Nii saad nurga K. See võrdub nurgaga B. Selle konstruktsiooni mugavamaks ja kiiremaks muutmiseks eraldage tipust B võrdsed lõigud, kasutades ühte kompassi lahendust, ilma jalgu liigutamata, kirjeldage ringi sama raadiusega punktist K.

Mis tahes joonise ehitamiseks või detaili tooriku tasapinnaliseks märgistamiseks enne selle töötlemist on vaja läbi viia mitmeid graafilisi toiminguid - geomeetrilisi konstruktsioone.

Joonisel fig. 2.1 näitab lamedat osa - plaati. Selle joonise joonistamiseks või terasribale kontuuri märkimiseks hilisemaks valmistamiseks on vaja seda teha konstruktsioonitasandil, millest peamised on nummerdatud kursorinooltele kirjutatud numbritega. Numbriline 1 vastastikku risti asetsevate joonte ehitamine, mida tuleb teostada mitmes kohas, on tähistatud numbriga 2 - paralleeljoonte, numbrite joonistamine 3 - nende paralleelsete sirgete konjugeerimine teatud raadiusega kaarega, arvuga 4 - etteantud raadiusega kaare ja sirge konjugatsioon, mis sisse sel juhul võrdne 10 mm, number 5 - kahe kaare sidumine teatud raadiusega kaarega.

Nende ja teiste geomeetriliste konstruktsioonide tulemusena joonistatakse detaili kontuur.

Geomeetriline ehitus kutsuge üles ülesande lahendamise meetod, mille puhul vastus saadakse graafiliselt ilma arvutusteta. Konstruktsioonid teostatakse võimalikult täpselt joonistus- (või märgistus)vahenditega, sest sellest sõltub lahenduse täpsus.

Probleemi tingimustes määratletud jooned, samuti konstruktsioonid, on täispeenikesed ja ehituse tulemused on kindlad põhilised.

Joonistamist või märgistamist alustades tuleb esmalt kindlaks teha, milliseid geomeetrilisi konstruktsioone tuleb sel juhul rakendada, s.t. analüüsida pildi graafilist kompositsiooni.

Riis. 2.1.

Pildi graafilise kompositsiooni analüüs nimetatakse joonise täitmise jagamise protsessiks eraldi graafilisteks operatsioonideks.

Joonise koostamiseks vajalike toimingute tuvastamine muudab selle sooritamise viiside valimise lihtsamaks. Kui teil on vaja joonistada näiteks joonisel fig. 2.1, siis selle kujutise kontuuri analüüs viib meid järeldusele, et peame rakendama järgmisi geomeetrilisi konstruktsioone: viiel juhul tõmmake üksteisega risti olevad keskjooned (arv 1 ringis), neljal juhul joonista paralleelsed jooned(number 2 ), tõmmake kaks kontsentrilist ringi (0 50 ja 70 mm), kuuel juhul konstrueerige kahe paralleelse sirge konjugatsioonid etteantud raadiusega (arv) kaarega 3 ) ja neljas - kaare ja sirge kaare konjugatsioon raadiusega 10 mm (joonis 4 ), konstrueerige neljal juhul kahe kaare konjugatsioon, mille kaar on raadiusega 5 mm (arv 5 ringis).

Nende konstruktsioonide teostamiseks on vaja meeles pidada või korrata nende õpikust joonistamise reegleid.

Sel juhul on soovitav valida ratsionaalne joonistamise viis. Probleemi lahendamiseks ratsionaalse viisi valimine vähendab tööle kuluvat aega. Näiteks ehitamisel Võrdkülgne kolmnurk, mis on sisse kirjutatud ringi, on ratsionaalsem viis, kui konstrueerida T-ruudu ja 60° nurgaga ruuduga, ilma kolmnurga tippe eelnevalt kindlaks määramata (vt joonis 2.2, a, b). Vähem ratsionaalne on sama ülesande lahendamise viis, kasutades kompassi ja T-ruutu koos kolmnurga tippude esialgse määratlusega (vt joonis 2.2, sisse).

Segmentide jagamine ja nurkade ehitamine

Täisnurkade ehitus

Ratsionaalne on ehitada 90 ° nurk T-ruudu ja ruudu abil (joonis 2.2). Selleks piisab, kui tõmmake sirgjoon, kui seada sellele ruudu abil risti (joonis 2.2, a). Ratsionaalne on ehitada kaldlõike segmendiga risti, liigutades seda (joonis 2.2, b) või pööramine (joonis 2.2, sisse) ruut.

Riis. 2.2.

Nüri- ja teravnurkade ehitus

Ratsionaalsed meetodid nurkade 120, 30 ja 150, 60 ja 120, 15 ja 165, 75 ja 105,45 ja 135° konstrueerimiseks on näidatud joonisel fig. 2.3, mis näitab ruutude asukohti nende nurkade konstrueerimiseks.

Riis. 2.3.

Nurga jagamine kaheks võrdseks osaks

Nurga tipust kirjeldage suvalise raadiusega ringikaare (joonis 2.4).

Riis. 2.4.

Punktidest ΜηΝ kaare ristumiskoht nurga külgedega kompassilahendusega, mis on suurem kui pool kaarest ΜΝ, teha kaks punktis ristuvat AGA serifid.

antud punkti kaudu AGA ja nurga tipp tõmbab sirge (nurgapoolitaja).

Täisnurga jagamine kolmeks võrdseks osaks

Pealtpoolt täisnurk kirjeldage suvalise raadiusega ringjoone kaare (joonis 2.5). Ilma kompassi lahendust muutmata tehakse seriifid kaare ja nurga külgede lõikepunktidest. Saadud punktide kaudu M ja Ν ja nurga tipp on tõmmatud sirgjoontega.

Riis. 2.5.

Sel viisil saab ainult täisnurgad jagada kolmeks võrdseks osaks.

Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine. Pealtpoolt O etteantud nurga korral tõmmake suvalise raadiusega kaar R, nurga küljed punktides lõikuvad M ja N(Joonis 2.6, a). Seejärel tõmmatakse sirge segment, mis toimib uue nurga ühe küljena. Ühest punktist O 1 sellel real sama raadiusega R punkti saamiseks joonistage kaar Ν 1 (joonis 2.6, b). Sellest punktist kirjeldage raadiusega kaare R 1, võrdne akordiga MN. Kaarte ristumiskoht annab punkti Μ 1, mis on sirgjoonega ühendatud uue nurga ülaosaga (joonis 2.6, b).

Riis. 2.6.

Joonesegmendi jagamine kaheks võrdseks osaks. Antud lõigu otstest kompasslahendusega, üle poole selle pikkusest, kirjeldatakse kaare (joon. 2.7). Saadud punkte ühendav sirgjoon M ja Ν, jagab sirglõigu kaheks võrdseks osaks ja on sellega risti.

Riis. 2.7.

Perpendikulaari konstrueerimine sirglõigu lõpus. Lõigu üle võetud suvalisest punktist O AB, kirjeldada punkti läbivat ringi AGA(joonelõigu lõpp) ja lõikuvad joonega punktis M(joonis 2.8).

Riis. 2.8.

antud punkti kaudu M ja keskus O ringid tõmbavad sirge joone, kuni nad kohtuvad vastaspool ring mingis punktis N. Punkt Nühendage joon punktiga AGA.

Joonelõigu jagamine mis tahes arvuga võrdsetes osades. Lõigu mis tahes otsast, näiteks punktist AGA, all kulutama teravnurk sirgjoon sellele. Sellele asetatakse mõõtekompassiga kõrvale vajalik arv võrdseid suvalise suurusega segmente (joonis 2.9). Viimane punkt on ühendatud antud segmendi teise otsaga (punktiga AT). Kõigist jaotuspunktidest tõmmake joonlaua ja ruudu abil sirgjoonega paralleelsed sirgjooned 9B, mis jagavad lõigu AB etteantud arvuks võrdseteks osadeks.

Riis. 2.9.

Joonisel fig. 2.10 näitab, kuidas seda konstruktsiooni rakendada, et märgistada aukude keskpunktid ühtlaselt sirgjoonel.