See - iidne geomeetriline probleem.

Samm-sammuline juhendamine

1. viis. - "Kuldse" või "Egiptuse" kolmnurga abil. Selle kolmnurga külgedel on kuvasuhe 3:4:5 ja nurk on rangelt 90 kraadi. Seda omadust kasutasid laialdaselt iidsed egiptlased ja teised pra-kultuurid.

Joonis 1. Kuldse ehk Egiptuse kolmnurga ehitamine

• Meie teeme kolm mõõtu (või köiskompassid - köis kahel naelal või pulgal) pikkusega 3; neli; 5 meetrit. Vanad inimesed kasutasid mõõtühikutena sageli sõlmede sidumise meetodit, mille vahel oli võrdne vahemaa. Pikkuse ühik on " sõlm».
• Sõidame punktis O naela sisse, klammerdume selle külge mõõtu “R3 - 3 sõlme”.
• Sirutame köie mööda teadaolevat piiri - kavandatud punkti A suunas.
• Piirjoone - punkti A pinge hetkel sõidame naela sisse.
• Seejärel - jälle punktist O, venitame mõõtu R4 - piki teist piiri. Me ei aja veel pulka sisse.
• Pärast seda venitame mõõtu R5 - punktist A punktini B.
• Mõõtmiste R2 ja R3 ristumiskohas sõidame pulga sisse. - See on soovitud punkt B - kuldse kolmnurga kolmas tipp, külgedega 3;4;5 ja täisnurgaga punktis O.

2. viis. Ringi abil.

Ring võib olla köis või sammulugeja kujul. cm:

Meie kompassi sammulugeja samm on 1 meeter.

Joonis 2. Kompassi sammulugeja

Ehitus - ka vastavalt Ill.1.

• Võrdluspunktist - punktist O - naabri nurgast - joonistame suvalise pikkusega lõigu - kuid rohkem kui kompassi raadius = 1m - igas suunas keskelt (lõik AB).
• Panime kompassi jala punkti O.
• Joonistame ringi raadiusega (kompassi samm) = 1m. Piisab, kui joonistada lühikesed kaared - igaüks 10-20 sentimeetrit, ristumiskohtades tähistatud segmendiga (läbi punktide A ja B). Selle toiminguga leidsime keskusest võrdsel kaugusel asuvad punktid- A ja B. Kaugus keskusest ei oma siin tähtsust. Saate need punktid lihtsalt mõõdulindiga märkida.
• Järgmiseks tuleb joonistada kaared, mille keskpunktid on punktides A ja B, kuid mille raadius on veidi (suvaliselt) suurem kui R = 1m. Meie kompassi on võimalik ümber seadistada suurema raadiusega, kui sellel on reguleeritav samm. Aga nii väikese praeguse ülesande puhul ei tahaks seda “tõmmata”. Või kui regulatsioon puudub. Saab teha poole minutiga köiskompassid.
• Asetame esimese naela (või kompassi jala, mille raadius on suurem kui 1 m) vaheldumisi punktidesse A ja B. Ja teise naela tõmbame - köie pinges olekus - kaks kaare, nii et need lõikuvad üksteist. See on võimalik kahes punktis: C ja D, kuid piisab ühest - C. Ja jällegi piisab lühikestest serifidest punktis C ristumiskohas.
• Joonistame sirge (lõigu) läbi punktide C ja D.
• Kõik! Saadud segment ehk sirgjoon on täpne suund põhjas :). Vabandust, - täisnurga all.
• Joonisel on kaks naabri saidi piiride mittevastavuse juhtumit. Joonisel 3a on kujutatud juhtum, kui naabri tara liigub enda kahjuks soovitud suunast eemale. 3b – ta ronis teie saidile. Olukorras 3a on võimalik konstrueerida kaks “juhtpunkti”: nii C kui ka D. Olukorras 3b ainult C.
• Asetage pulk nurgale O ja ajutine pulk punkti C ning venitage nöör punktist C krundi tagaküljele. - Nii et juhe puudutab vaevu tihvti O. Mõõtes punktist O - suunas D, külje pikkus vastavalt üldplaanile, saate saidi usaldusväärse tagumise parema nurga.

Joonis 3. Hoone täisnurk- naabrinurgast, kasutades sammulugeja kompassi ja köiekompassi

Kui sul on kompassiga sammulugeja, siis saate ilma köieta hakkama. Köis eelmises näites joonistasime sammulugejast suurema raadiusega kaare. Rohkem sellepärast, et need kaared peavad kuskil lõikuma. Selleks, et kaared saaks tõmmata sammulugejaga sama raadiusega - 1m nende ristumiskoha garantiiga, on vajalik, et punktid A ja B oleksid ringi c R = 1m sees.

• Seejärel mõõtke need võrdsel kaugusel olevad punktid rulett- kesklinnast erinevates suundades, kuid alati mööda AB joont (naabri aia joon). Mida lähemal on punktid A ja B tsentrile, seda kaugemal on sellest juhtpunktid: C ja D ning seda täpsemad on mõõtmised. Joonisel on selleks vahemaaks võetud umbes veerand sammulugeja raadiusest = 260mm.

Joonis 4. Täisnurga konstrueerimine sammulugeja kompassi ja mõõdulindiga

• See tegevusskeem pole vähem oluline mis tahes ristküliku, eriti ristkülikukujulise vundamendi kontuuri ehitamisel. Saate selle täiuslikuks. Selle diagonaale tuleb muidugi kontrollida, aga kas pingutused ei vähene? - Võrreldes sellega, kui vundamendi kontuuri diagonaalid, nurgad ja küljed liiguvad edasi-tagasi, kuni nurgad kohtuvad.

Tegelikult oleme lahendanud geomeetrilise ülesande kohapeal. Selleks, et teie tegevused saidil oleksid enesekindlamad, harjutage paberil - tavalise kompassi abil. Mis põhimõtteliselt ei erine.

Tihti on vaja joonistada (“ehitada”) nurk, mis oleks võrdne etteantud nurgaga ning ehitamine peab toimuma ilma nurgamõõturi abita, vaid kasutades ainult sirklit ja joonlauda. Teades, kuidas ehitada kolmnurka kolmest küljest, saame selle probleemi lahendada. Laske sirgjoonel MN(dev. 60 ja 61) tuleb punkti ehitada K nurk, võrdne nurgaga B. See tähendab, et see on asjakohane K tõmmake moodustav sirgjoon MN nurk võrdne B.

Selleks märgime mõlemal küljel antud nurk näiteks punkti järgi AGA ja FROM ja ühendage AGA ja FROM sirgjoon. Hankige kolmnurk ABC. Ehitame nüüd sirgjoonele MN see kolmnurk nii, et selle tipp AT oli punktis To: siis selle punkti nurk on nurgaga võrdne AT. Ehitage kolmnurk kolmest küljest Päike, VA ja AC saame: edasi lükata (dev. 62) punktist To joonelõik kl, võrdne päike; saa punkti L; ümber K, nagu keskpunkti lähedal, kirjeldame raadiusega ringi VA, ja ümber L- raadius SA. Punkt Rühendage ringide ristumiskohad To ja Z, - saame kolmnurga KPL, kolmnurkne ABC; sellel on nurk To= ang. AT.

See konstruktsioon on kiirem ja mugavam, kui ülalt AT eraldage võrdsed lõigud (ühe kompassi lahustamisega) ja kirjeldage ilma jalgu liigutamata sama raadiusega punkti ümber ringjoont TO, nagu kesklinna lähedal.

Kuidas nurka pooleks lõigata

Olgu nõutav nurga jagamine AGA(joonis 63) kaheks võrdseks osaks, kasutades kompassi ja joonlauda, ​​ilma nurgamõõturit kasutamata. Näitame teile, kuidas seda teha.

Pealtpoolt AGA joonistage nurga külgedele võrdsed segmendid AB ja AC(Joonis 64; seda tehakse kompassi ühe lahustamisega). Seejärel paneme kompassi otsa punktidesse AT ja FROM ja kirjeldada võrdse raadiusega punktis lõikuvaid kaarte D.ühendav sirgjoon AGA ja D jagab nurga AGA pooleks.

Selgitame, miks. Kui punkt Dühendust looma AT ja C (joonis 65), siis saad kaks kolmnurka ADC ja adb, u millel on ühine pool AD; pool AB võrdne küljega AC, a BD on võrdne CD. Kolmnurgad on kolmest küljest võrdsed, seega on nurgad võrdsed. halb ja DAC, asetsevad võrdsete külgede vastas BD ja CD. Seetõttu sirgjoon AD jagab nurka SINA pooleks.

Rakendused

12. Konstrueerige nurk 45° ilma kraadiklaasita. Kell 22°30'. 67°30' juures.

Lahendus Jagades täisnurga pooleks, saame nurga 45 °. Jagades nurga 45° pooleks, saame nurga 22°30'. Konstrueerides nurkade summa 45° + 22°30', saame nurga 67°30'.

Kuidas joonistada kolmnurka, millel on kaks külge ja nendevaheline nurk

Olgu maapinnal nõutav kahe verstaposti vahelise kauguse väljaselgitamine AGA ja AT(seade 66), eraldatud läbimatu sooga.

Kuidas seda teha?

Saame seda teha: soo kõrvalt valime sellise punkti FROM, kust on näha mõlemad verstapostid ja on võimalik mõõta vahemaid AC ja Päike. Nurk FROM mõõdame spetsiaalse goniomeetrilise seadme (nn astrolabi) abil. Nende andmete järgi, st mõõdetud külgede järgi AC ja päike ja nurk FROM nende vahele ehitage kolmnurk ABC kuskil sobivas kohas järgmiselt. Olles mõõtnud näiteks ühe teadaoleva külje sirgjooneliselt (joon. 67). AC, ehitage sellega punktis FROM nurk FROM; selle nurga teisel küljel mõõdetakse teadaolevat külge Päike. Teadaolevate külgede otsad ehk punktid AGA ja ATühendatud sirgjoonega. Selgub kolmnurk, mille kahel küljel ja nendevahelisel nurgal on eelnevalt määratud mõõtmed.

Konstruktsioonimeetodist nähtub, et kahe külje ja nendevahelise nurga all saab konstrueerida ainult ühe kolmnurga. seega, kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdsed teise kahe küljega ja nende külgede vahelised nurgad on samad, siis võivad sellised kolmnurgad olla kõigi punktidega üksteise peale asetatud, st nende kolmandad küljed ja muud nurgad peavad samuti olema võrdsed . See tähendab, et kolmnurkade kahe külje võrdsus ja nendevaheline nurk võib olla nende kolmnurkade täieliku võrdsuse märgiks. Lühidalt öeldes:

Kolmnurgad on kahe külje all võrdsed ja nendevahelised nurgad.

Mis tahes joonise ehitamiseks või detaili tooriku tasapinnaliseks märgistamiseks enne selle töötlemist on vaja läbi viia mitmeid graafilisi toiminguid - geomeetrilisi konstruktsioone.

Joonisel fig. 2.1 näidatud lame tükk- plaat. Selle joonise joonistamiseks või terasribale kontuuri märkimiseks hilisemaks valmistamiseks on vaja seda teha konstruktsioonitasandil, millest peamised on nummerdatud kursorinooltele kirjutatud numbritega. Numbriline 1 vastastikku risti asetsevate joonte ehitamine, mida tuleb teostada mitmes kohas, on tähistatud numbriga 2 - paralleeljoonte, numbrite joonistamine 3 - nende paralleelsete sirgete konjugeerimine teatud raadiusega kaarega, arvuga 4 - etteantud raadiusega kaare ja sirge konjugatsioon, mis sisse sel juhul võrdne 10 mm, number 5 - kahe kaare sidumine teatud raadiusega kaarega.

Nende ja teiste geomeetriliste konstruktsioonide tulemusena joonistatakse detaili kontuur.

Geomeetriline ehitus kutsuge üles ülesande lahendamise meetod, mille puhul vastus saadakse graafiliselt ilma arvutusteta. Konstruktsioonid teostatakse võimalikult täpselt joonestus- (või märgistus)vahenditega, sest sellest sõltub lahenduse täpsus.

Probleemi tingimustes määratletud jooned, samuti konstruktsioonid, on täispeenikesed ja ehituse tulemused on kindlad põhilised.

Joonistamist või märgistamist alustades tuleb esmalt kindlaks teha, milliseid geomeetrilisi konstruktsioone tuleb sel juhul rakendada, s.t. analüüsida pildi graafilist kompositsiooni.

Riis. 2.1.

Pildi graafilise kompositsiooni analüüs nimetatakse joonise täitmise jagamise protsessiks eraldi graafilisteks operatsioonideks.

Joonise koostamiseks vajalike toimingute tuvastamine muudab selle sooritamise viiside valimise lihtsamaks. Kui teil on vaja joonistada näiteks joonisel fig. 2.1, siis selle kujutise kontuuri analüüs viib meid järeldusele, et peame rakendama järgmisi geomeetrilisi konstruktsioone: viiel juhul tõmmake üksteisega risti olevad keskjooned (arv 1 ringis), neljal juhul joonista paralleelsed jooned(number 2 ), tõmmake kaks kontsentrilist ringi (0 50 ja 70 mm), kuuel juhul konstrueerige kahe paralleelse sirge konjugatsioonid etteantud raadiusega (arv) kaarega 3 ) ja neljas - kaare ja sirge kaare konjugatsioon raadiusega 10 mm (joonis 4 ), konstrueerige neljal juhul kahe kaare konjugatsioon, mille kaar on raadiusega 5 mm (arv 5 ringis).

Nende konstruktsioonide teostamiseks on vaja meeles pidada või korrata nende õpikust joonistamise reegleid.

Sel juhul on soovitav valida ratsionaalne joonistamise viis. Probleemi lahendamiseks ratsionaalse viisi valimine vähendab tööle kuluvat aega. Näiteks ehitamisel Võrdkülgne kolmnurk, mis on sisse kirjutatud ringi, on ratsionaalsem viis, kui konstrueerida T-ruudu ja 60° nurgaga ruuduga, ilma kolmnurga tippe eelnevalt kindlaks määramata (vt joonis 2.2, a, b). Vähem ratsionaalne on sama ülesande lahendamise viis, kasutades kompassi ja T-ruutu koos kolmnurga tippude esialgse määratlusega (vt joonis 2.2, sisse).

Segmentide jagamine ja nurkade ehitamine

Täisnurkade ehitus

Ratsionaalne on ehitada 90 ° nurk T-ruudu ja ruudu abil (joonis 2.2). Selleks piisab, kui tõmmake sirgjoon, kui seada sellele ruudu abil risti (joonis 2.2, a). Ratsionaalne on ehitada kaldlõike segmendiga risti, liigutades seda (joonis 2.2, b) või pööramine (joonis 2.2, sisse) ruut.

Riis. 2.2.

Nüri- ja teravnurkade ehitus

Ratsionaalsed meetodid nurkade 120, 30 ja 150, 60 ja 120, 15 ja 165, 75 ja 105,45 ja 135° konstrueerimiseks on näidatud joonisel fig. 2.3, mis näitab ruutude asukohti nende nurkade konstrueerimiseks.

Riis. 2.3.

Nurga jagamine kaheks võrdseks osaks

Nurga tipust kirjeldage suvalise raadiusega ringikaare (joonis 2.4).

Riis. 2.4.

Punktidest ΜηΝ kaare ristumiskoht nurga külgedega kompassilahendusega, mis on suurem kui pool kaarest ΜΝ, teha kaks punktis ristuvat AGA serifid.

antud punkti kaudu AGA ja nurga tipp tõmbab sirge (nurgapoolitaja).

Täisnurga jagamine kolmeks võrdseks osaks

Täisnurga tipust kirjeldage suvalise raadiusega ringikaare (joon. 2.5). Ilma kompassi lahendust muutmata tehakse seriifid kaare ja nurga külgede lõikepunktidest. Saadud punktide kaudu M ja Ν ja nurga tipp on tõmmatud sirgjoontega.

Riis. 2.5.

Sel viisil saab ainult täisnurgad jagada kolmeks võrdseks osaks.

Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine. Pealtpoolt O etteantud nurga korral tõmmake suvalise raadiusega kaar R, ristuvad punktides nurga külgi M ja N(Joonis 2.6, a). Seejärel tõmmatakse sirge segment, mis toimib uue nurga ühe küljena. Ühest punktist O 1 sellel real sama raadiusega R punkti saamiseks joonistage kaar Ν 1 (joonis 2.6, b). Sellest punktist kirjeldage raadiusega kaare R 1, võrdne akordiga MN. Kaarte ristumiskoht annab punkti Μ 1, mis on sirgjoonega ühendatud uue nurga ülaosaga (joonis 2.6, b).

Riis. 2.6.

Joonesegmendi jagamine kaheks võrdseks osaks. Antud lõigu otstest kompasslahendusega, üle poole selle pikkusest, kirjeldatakse kaare (joon. 2.7). Saadud punkte ühendav sirgjoon M ja Ν, jagab sirglõigu kaheks võrdseks osaks ja on sellega risti.

Riis. 2.7.

Perpendikulaari konstrueerimine sirglõigu lõpus. Lõigu üle võetud suvalisest punktist O AB, kirjeldada punkti läbivat ringi AGA(joonelõigu lõpp) ja lõikuvad joonega punktis M(joonis 2.8).

Riis. 2.8.

antud punkti kaudu M ja keskus O ringid tõmbavad sirge joone, kuni nad kohtuvad vastaspool ring mingis punktis N. Punkt Nühendage joon punktiga AGA.

Joonelõigu jagamine suvaliseks arvuks võrdseteks osadeks. Lõigu mis tahes otsast, näiteks punktist AGA, all kulutama teravnurk sirgjoon sellele. Sellele asetatakse mõõtekompassiga kõrvale vajalik arv võrdseid suvalise suurusega segmente (joonis 2.9). Viimane punkt on ühendatud antud segmendi teise otsaga (punktiga AT). Kõigist jaotuspunktidest tõmmake joonlaua ja ruudu abil sirgjoonega paralleelsed sirgjooned 9B, mis jagavad lõigu AB etteantud arvuks võrdseteks osadeks.

Riis. 2.9.

Joonisel fig. 2.10 näitab, kuidas seda konstruktsiooni rakendada, et märgistada aukude keskpunktid ühtlaselt sirgjoonel.

Ehitusprobleemide korral arvestame ehitusega geomeetriline kujund mida saab teha joonlaua ja sirkliga.

Joonlauaga saate:

suvaline rida;

antud punkti läbiv suvaline sirge;

kahte etteantud punkti läbiv sirgjoon.

Kompassi abil saate kirjeldada etteantud raadiusega ringi antud keskpunktist.

Kompassi saab kasutada antud punktist antud sirgele lõigu joonistamiseks.

Mõelge ehituse peamistele ülesannetele.

Ülesanne 1. Koostage kolmnurk antud külgedega a, b, c (joonis 1).

Lahendus. Joonlaua abil tõmmake suvaline sirge ja võtke sellele suvaline punkt B. Kui kompassi ava on võrdne a-ga, kirjeldame ringjoont, mille keskpunkt on B ja raadius a. Olgu C tema ja sirge lõikepunkt. Kui kompassi ava on võrdne c-ga, kirjeldame ringjoont keskpunktist B ja kompassi avaga b - ringi keskpunktist C. Olgu A nende ringide lõikepunkt. Kolmnurga ABC küljed on võrdsed a, b, c.

Kommenteeri. Selleks, et kolm lõiku saaksid olla kolmnurga külgedena, on vajalik, et suurem neist oleks väiksem kui kahe teise joone summa (ja< b + с).

2. ülesanne.

Lahendus. See nurk koos tipuga A ja tala OM on näidatud joonisel 2.

Joonistage suvaline ring, mille keskpunkt on antud nurga tipus A. Olgu B ja C ringi lõikepunktid nurga külgedega (joon. 3, a). Joonistame raadiusega AB ringi, mille keskpunkt on punktis O - selle kiire alguspunkt (joon. 3, b). Selle ringi lõikepunkti antud kiirega tähistatakse kui С 1 . Kirjeldame ringjoont keskpunktiga C 1 ja raadiusega BC. Kahe ringi lõikepunkti punkt B 1 asub soovitud nurga küljel. See tuleneb võrdsusest Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (kolmnurkade võrdsuse kolmas kriteerium).

3. ülesanne. Konstrueerige antud nurga poolitaja (joonis 4).

Lahendus. Antud nurga tipust A, nagu ka keskpunktist, joonistame suvalise raadiusega ringi. Olgu B ja C selle lõikepunktid nurga külgedega. Sama raadiusega punktidest B ja C kirjeldame ringjooni. Olgu D nende lõikepunkt, mis erineb A-st. Kiir AD jagab nurga A pooleks. See tuleneb võrdsusest ΔABD = ΔACD (kolmnurkade võrdsuse kolmas kriteerium).

4. ülesanne. Joonistage selle lõiguga risti mediaan (joonis 5).

Lahendus. Suvalise, kuid identse kompassi avaga (suur 1/2 AB) kirjeldame kahte kaare keskpunktidega punktides A ja B, mis lõikuvad teineteisega mõnes punktis C ja D. Sirge CD on nõutav risti. Tõepoolest, nagu konstruktsioonist näha, on kõik punktid C ja D võrdselt kaugel A-st ja B-st; seetõttu peavad need punktid asuma lõigu AB poolitaja risti.

5. ülesanne. Jagage see osa pooleks. See lahendatakse samamoodi nagu ülesanne 4 (vt joonis 5).

6. ülesanne. Läbi etteantud punkti tõmmake joon, mis on antud sirgega risti.

Lahendus. Võimalikud on kaks juhtumit:

1) antud punkt O asub antud sirgel a (joonis 6).

Punktist O joonistame suvalise raadiusega ringi, mis lõikub sirgega a punktides A ja B. Punktidest A ja B joonestame sama raadiusega ringid. Olgu О 1 nende lõikepunkt, mis erineb О-st. Saame ОО 1 ⊥ AB. Tõepoolest, punktid O ja O 1 on lõigu AB otstest võrdsel kaugusel ja seetõttu asuvad selle lõiguga risti poolitajal.