Matemaatikas on arvude aritmeetiline keskmine (või lihtsalt keskmine) antud hulga kõigi arvude summa jagatud nende arvuga. See on keskmise väärtuse kõige üldistatum ja laialt levinud kontseptsioon. Nagu juba aru saite, peate leidmiseks kokku võtma kõik teile antud numbrid ja jagama tulemuse terminite arvuga.

Mis on aritmeetiline keskmine?

Vaatame näidet.

Näide 1. Arvud on antud: 6, 7, 11. Peate leidma nende keskmise väärtuse.

Lahendus.

Esiteks leiame kõigi antud arvude summa.

Nüüd jagame saadud summa liikmete arvuga. Kuna meil on vastavalt kolm terminit, jagame kolmega.

Seetõttu on 6, 7 ja 11 keskmine 8. Miks 8? Jah, sest 6, 7 ja 11 summa on sama, mis kolm kaheksat. See on joonisel selgelt näha.

Keskmine väärtus meenutab mõnevõrra numbrite jada "joondamist". Nagu näha, on pliiatsihunnikutest saanud üks tasapind.

Mõelge saadud teadmiste kinnistamiseks veel üks näide.

Näide 2 Arvud on antud: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Peate leidma nende aritmeetilise keskmise.

Lahendus.

Leiame summa.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Jagage terminite arvuga (antud juhul 15).

Seetõttu on selle arvude jada keskmine väärtus 22.

Nüüd kaaluge negatiivsed arvud. Tuletagem meelde, kuidas neid kokku võtta. Näiteks on teil kaks numbrit 1 ja -4. Leiame nende summa.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Seda teades kaaluge teist näidet.

Näide 3 Leidke arvude jada keskmine väärtus: 3, -7, 5, 13, -2.

Lahendus.

Arvude summa leidmine.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Kuna liikmeid on 5, jagame saadud summa 5-ga.

Seetõttu on arvude 3, -7, 5, 13, -2 aritmeetiline keskmine 2,4.

Meie tehnoloogia arengu ajal on keskmise väärtuse leidmiseks palju mugavam kasutada arvutiprogrammid. Microsoft Office Excel on üks neist. Keskmise leidmine Excelis on kiire ja lihtne. Lisaks on see programm Microsoft Office'i tarkvarapaketis. Kaaluge lühikesed juhised, väärtus selle programmi abil.

Arvurea keskmise väärtuse arvutamiseks peate kasutama funktsiooni AVERAGE. Selle funktsiooni süntaks on:
=Keskmine(argument1, argument2, ... argument255)
kus argument1, argument2, ... argument255 on kas numbrid või lahtriviited (lahtrid tähendavad vahemikke ja massiive).

Et asi selgem oleks, paneme saadud teadmised proovile.

1. Sisestage numbrid 11, 12, 13, 14, 15, 16 lahtritesse C1 - C6.
2. Valige lahter C7, klõpsates sellel. Selles lahtris kuvame keskmise väärtuse.
3. Klõpsake vahekaarti "Valemid".
4. Avamiseks valige Rohkem funktsioone > Statistiline
5. Valige KESKMINE. Pärast seda peaks avanema dialoogiboks.
6. Dialoogiboksis vahemiku määramiseks valige ja lohistage lahtrid C1-C6 sinna.
7. Kinnitage oma toimingud nupuga "OK".
8. Kui tegite kõik õigesti, peaks lahtris C7 olema vastus - 13.7. Kui klõpsate lahtril C7, kuvatakse valemiribal funktsioon (=Keskmine(C1:C6)).

Seda funktsiooni on väga kasulik kasutada raamatupidamises, arvete esitamisel või siis, kui on vaja lihtsalt leida väga pika numbrivahemiku keskmine. Seetõttu kasutatakse seda sageli kontorites ja suured ettevõtted. See võimaldab hoida arvestust korras ja võimaldab kiiresti midagi välja arvutada (näiteks kuu keskmine sissetulek). Funktsiooni keskmise väärtuse leidmiseks saate kasutada ka Excelit.

Keskmiste tüübid

Liiga keskmine on mis tahes funktsioon, mille argumentide kõigi võimalike väärtuste korral ei ole selle funktsiooni väärtus väiksem kui arvude miinimum ja mitte suurem kui nende arvude maksimum.

Kolmogorovi järgi keskmine reaalarvude puhul - vormi väärtus

kus on pidev rangelt monotoonne funktsioon ja on funktsioon pöördvõrdeline . Kell , Aritmeetiline keskmine saadakse, geomeetrilise keskmise, harmoonilise keskmise, ruutkeskmise, võimsuskeskmise juures.

Sellisel funktsioonil on pidevuse, monotoonsuse ja sümmeetria omadused. Keskmine samad numbrid võrdne nende koguväärtusega.

Mood- kõige sagedamini esinev väärtus vaatluste kogumis. Mõnikord esineb kokkuvõttes rohkem kui üks režiim (näiteks: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; režiim = 6 ja 9). Sel juhul võime öelda, et kollektsioon on multimodaalne. Struktuursetest keskmistest on selline ainult režiimil ainulaadne vara. Üldiselt näitab multimodaalsus, et andmestik ei järgi normaaljaotust.

Režiimi kui keskmist väärtust saab kasutada andmete jaoks, mis ei ole olemuselt numbrilised. Loetletud autovärvide hulgas - valge, must, sinine, valge, sinine, valge- režiim on valge värvi. Eksperthinnangu abil selgitatakse selle abil välja populaarseimad tooteliigid, mida arvestatakse müügi prognoosimisel või nende tootmise planeerimisel.

Mediaan (50. protsentiil, 0,5 kvantiil)- selle tunnuse võimalik väärtus, mis jagab vahemiku üldkogumi (valimi variatsioonirea) kaheks võrdseks osaks: 50% andmerea "madalamatest" ühikutest on tunnuse väärtus, mis ei ületa mediaani, ja " top" 50% funktsiooni väärtus ei ole väiksem kui mediaan.

Keskmised järguskaalas

Kõigist Cauchy keskmistest on järguskaalal vastuvõetavad keskmised ainult variatsioonirea liikmed (järjestusstatistika). Ordinaalskaalal mõõdetud andmete keskmisena võib kasutada eelkõige mediaani (kui valimi suurus on paaritu). Ühtlase helitugevuse korral tuleks kasutada ühte kahest variatsioonirea kesksest liikmest – nagu neid mõnikord nimetatakse, vasakpoolset mediaani või paremat mediaani. Kasutada saab ka režiimi – see on alati variatsioonisarja liige. Kuid te ei saa kunagi arvutada aritmeetilist keskmist, geomeetrilist keskmist jne.

Enamasti koonduvad andmed teatud kindla ümber keskne punkt. Seega piisab mis tahes andmekogumi kirjeldamiseks keskmise väärtuse märkimisest. Vaatleme järjestikku kolme arvulist tunnust, mida kasutatakse jaotuse keskmise väärtuse hindamiseks: aritmeetiline keskmine, mediaan ja moodus.

Keskmine

Aritmeetiline keskmine (mida sageli nimetatakse lihtsalt keskmiseks) on jaotuse keskmise kõige levinum hinnang. See on kõigi vaadeldud arvväärtuste summa jagamise tulemus nende arvuga. Numbrinäidise jaoks X 1, X 2, ..., Xn, valimi keskmine (tähistatud sümboliga ) võrdub \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, või

kus on valimi keskmine, n- näidissuurus, Xi – i-s element proovid.

Laadige alla märge vormingus või vormingus, näited vormingus

Kaaluge 15 investeerimisfondi viie aasta keskmise aastase tootluse aritmeetilise keskmise arvutamist kõrge tase risk (joon. 1).

Riis. 1. 15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi keskmine aastane tootlus

Valimi keskmine arvutatakse järgmiselt:

seda hea sissetulek, eriti võrreldes 3–4% tootlusega, mida pangad või krediidiühistute hoiustajad said samal ajavahemikul. Kui sorteerite tootlusväärtusi, on lihtne näha, et kaheksa fondi tootlus on keskmisest kõrgem ja seitsmel fondi tootlus alla keskmise. Aritmeetiline keskmine toimib tasakaalupunktina, nii et madala sissetulekuga fondid tasakaalustavad vahendeid kõrge sissetulek. Kõik valimi elemendid on kaasatud keskmise arvutamisse. Ühelgi teisel jaotuse keskmise hindajal pole seda omadust.

Millal arvutada aritmeetiline keskmine. Kuna aritmeetiline keskmine sõltub kõigist valimi elementidest, mõjutab äärmuslike väärtuste olemasolu tulemust oluliselt. Sellistes olukordades võib aritmeetiline keskmine arvandmete tähendust moonutada. Seetõttu tuleb äärmuslikke väärtusi sisaldava andmekogumi kirjeldamisel märkida mediaan ehk aritmeetiline keskmine ja mediaan. Näiteks kui võtta valimist välja RS Emerging Growth fondi tootlus, väheneb 14 fondi tootluse valimi keskmine ligi 1% võrra 5,19-le.

Mediaan

Mediaan on järjestatud arvude massiivi keskmine väärtus. Kui massiiv ei sisalda korduvaid numbreid, on pooled selle elementidest mediaanist väiksemad ja pooled rohkem. Kui valim sisaldab äärmuslikke väärtusi, on keskmise hindamiseks parem kasutada mediaani, mitte aritmeetilist keskmist. Valimi mediaani arvutamiseks tuleb see kõigepealt sorteerida.

See valem on mitmetähenduslik. Selle tulemus sõltub sellest, kas arv on paaris või paaritu. n:

• Kui valim sisaldab paaritu arvu üksusi, on mediaan (n+1)/2-th element.
• Kui valim sisaldab paarisarv elemente, jääb mediaan valimi kahe keskmise elemendi vahele ja on võrdne nende kahe elemendi alusel arvutatud aritmeetilise keskmisega.

15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi valimi mediaani arvutamiseks peame esmalt sorteerima algandmed (joonis 2). Siis on mediaan valimi keskmise elemendi numbri vastas; meie näites number 8. Excelil on spetsiaalne funktsioon =MEDIAN(), mis töötab ka järjestamata massiividega.

Riis. 2. Mediaan 15 fondi

Seega on mediaan 6,5. See tähendab, et pooled väga kõrge riskiga fondidest ei ületa 6,5, samas kui teine ​​pool seda teeb. Pange tähele, et mediaan 6,5 on veidi suurem kui mediaan 6,08.

Kui võtta valimist välja RS Emerging Growth fondi kasumlikkus, siis ülejäänud 14 fondi mediaan väheneb 6,2%-ni ehk mitte nii oluliselt kui aritmeetiline keskmine (joonis 3).

Riis. 3. Mediaan 14 fondi

Mood

Selle mõiste võttis esmakordselt kasutusele Pearson aastal 1894. Mood on number, mis esineb valimis kõige sagedamini (kõige moekam). Mood kirjeldab hästi näiteks juhtide tüüpilist reaktsiooni liiklust peatavale fooritulele. Klassikaline näide moe kasutamine - toodetud kingade partii suuruse või tapeedi värvi valik. Kui jaotusel on mitu režiimi, siis öeldakse, et see on multimodaalne või multimodaalne (sellel on kaks või enam tippu). Jaotuse multimodaalsus annab oluline teave uuritava muutuja olemuse kohta. Näiteks kui muutuja esindab sotsioloogilistes uuringutes eelistust või suhtumist millegi suhtes, siis multimodaalsus võib tähendada, et on mitu selgelt erinevat arvamust. Multimodaalsus on ka indikaator, et valim ei ole homogeenne ja et vaatlusi võivad genereerida kaks või enam "kattuvat" jaotust. Erinevalt aritmeetilisest keskmisest ei mõjuta kõrvalekalded režiimi. Pidevalt jaotatud juhuslike muutujate, näiteks investeerimisfondide keskmise aastase tootluse puhul, režiimi mõnikord üldse ei eksisteeri (või pole sellel mõtet). Kuna need näitajad võivad omandada mitmesuguseid väärtusi, on väärtuste kordumine äärmiselt haruldane.

Kvartiilid

Kvartiilid on mõõdikud, mida kasutatakse kõige sagedamini andmete jaotuse hindamiseks suurte numbriliste valimite omaduste kirjeldamisel. Kui mediaan jagab järjestatud massiivi pooleks (50% massiivi elementidest on mediaanist väiksemad ja 50% suuremad), jagavad kvartiilid järjestatud andmestiku neljaks osaks. Q 1 , mediaan ja Q 3 väärtused on vastavalt 25., 50. ja 75. protsentiil. Esimene kvartiil Q 1 on arv, mis jagab valimi kaheks osaks: 25% elementidest on väiksemad kui esimene kvartiil ja 75% on rohkem kui esimene kvartiil.

Kolmas kvartiil Q 3 on arv, mis jagab ka valimi kaheks osaks: 75% elementidest on väiksemad kui ja 25% on rohkem kui kolmas kvartiil.

Kvartiilide arvutamiseks Exceli versioonides enne 2007. aastat kasutati funktsiooni =QUARTILE(massiiv, osa). Alates Excel 2010-st kehtivad kaks funktsiooni:

• =QUARTILE.ON(massiv, osa)
• =QUARTILE.EXC(massiiv, osa)

Need kaks funktsiooni annavad veidi erinevaid tähendusi(joonis 4). Näiteks kvartiilide arvutamisel valimi jaoks, mis sisaldab andmeid 15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi keskmise aastatootluse kohta, on Q 1 = 1,8 või -0,7 vastavalt QUARTILE.INC ja QUARTILE.EXC puhul. Muide, varem kasutatud funktsioon QUARTILE vastab tänapäevasele funktsioonile QUARTILE.ON. Kvartiilide arvutamiseks Excelis ülaltoodud valemite abil võib andmemassiivi jätta järjestamata.

Riis. 4. Arvutage Excelis kvartiilid

Rõhutame veel kord. Excel suudab arvutada ühemuutujate jaoks kvartiile diskreetne seeria, mis sisaldab juhusliku suuruse väärtusi. Sageduspõhise jaotuse kvartiilide arvutamine on toodud allolevas jaotises.

geomeetriline keskmine

Erinevalt aritmeetilisest keskmisest mõõdab geomeetriline keskmine, kui palju muutuja on aja jooksul muutunud. Geomeetriline keskmine on juur n kraad tootest n väärtused (Excelis kasutatakse funktsiooni = CUGEOM):

G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Sarnane parameeter - tulumäära geomeetriline keskmine - määratakse järgmise valemiga:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

kus R i- tulumäär i- ajavahemik.

Oletagem näiteks, et esialgne investeering on 100 000 dollarit. Esimese aasta lõpuks langeb see 50 000 dollarini ja teise aasta lõpuks taastub algse 100 000 dollarini. Selle investeeringu tootlus kahe aasta jooksul aasta periood võrdub 0-ga, kuna vahendite esialgne ja lõppsumma on üksteisega võrdsed. Aasta tulumäärade aritmeetiline keskmine on aga = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 või 25%, kuna esimese aasta tootlus R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 ja teises R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Samal ajal on kahe aasta tulumäära geomeetriline keskmine: G = [(1-0,5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Seega peegeldab geomeetriline keskmine täpsemalt investeeringu mahu muutust (täpsemalt mitte muutust) kahe aasta jooksul kui aritmeetiline keskmine.

Huvitavaid fakte. Esiteks on geomeetriline keskmine alati väiksem kui samade arvude aritmeetiline keskmine. Välja arvatud juhul, kui kõik võetud numbrid on üksteisega võrdsed. Teiseks, võttes arvesse omadusi täisnurkne kolmnurk, saate aru, miks keskmist nimetatakse geomeetriliseks. Täisnurkse kolmnurga kõrgus, mis on langetatud hüpotenuusile, on keskmine proportsionaalne jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusil ja iga jalg on keskmine proportsionaalne hüpotenuusi ja selle projektsiooni vahel hüpotenuusil (joonis 5). See annab geomeetrilise võimaluse kahe (pikkuse) segmendi geomeetrilise keskmise konstrueerimiseks: nende kahe segmendi summale tuleb ehitada ring läbimõõduna, seejärel kõrgusena, mis taastatakse nende ühenduspunktist lõikumispunktini. ring, annab soovitud väärtuse:

Riis. 5. Geomeetrilise keskmise geomeetriline olemus (joonis Vikipeediast)

Arvandmete teine ​​oluline omadus on nende variatsioon iseloomustavad andmete hajutatuse astet. Kaks erinevat proovi võivad erineda nii keskmiste väärtuste kui ka variatsioonide poolest. Kuid nagu on näidatud joonisel fig. 6 ja 7 võib kahel valimil olla sama variatsioon, kuid erinevad keskmised või sama keskmine ja täiesti erinev variatsioon. Hulknurgale B vastavad andmed joonisel fig. 7 muutuvad palju vähem kui andmed, millest hulknurk A ehitati.

Riis. 6. Kaks sümmeetrilist kellukesekujulist jaotust, millel on sama levi ja erinevad keskmised väärtused

Riis. 7. Kaks sümmeetrilist kellakujulist jaotust, millel on samad keskmised väärtused ja erinev hajumine

Andmete varieerumisel on viis hinnangut:

• ulatus,
• interkvartiilne vahemik,
• dispersioon,
• standardhälve,
• variatsioonikoefitsient.

ulatus

Vahemik on erinevus suurima ja väikseimad elemendid näidised:

Pühkimine = XMax-XMin

15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi keskmise aastatootluse andmeid sisaldava valimi vahemikku saab arvutada järjestatud massiivi abil (vt joonis 4): vahemik = 18,5 - (-6,1) = 24,6. See tähendab, et väga kõrge riskiga fondide kõrgeima ja madalaima keskmise aastatootluse vahe on 24,6%.

Vahemik mõõdab andmete üldist levikut. Kuigi valimivahemik on andmete kogulevi väga lihtne hinnang, on selle nõrkus see, et see ei võta täpselt arvesse, kuidas andmed jaotuvad miinimum- ja maksimumelementide vahel. See efekt on hästi näha joonisel fig. 8, mis illustreerib sama ulatusega näidiseid. B-skaala näitab, et kui valim sisaldab vähemalt ühte äärmuslikku väärtust, on valimivahemik väga ebatäpne andmete hajuvuse hinnang.

Riis. 8. Kolme sama vahemikuga proovi võrdlus; kolmnurk sümboliseerib tasakaalu tuge ja selle asukoht vastab valimi keskmisele väärtusele

Interkvartiilne vahemik

Interkvartiil ehk keskmine vahemik on erinevus valimi kolmanda ja esimese kvartiili vahel:

Kvartiilide vahemik \u003d Q 3 - Q 1

See väärtus võimaldab hinnata 50% elementide levikut ja mitte arvestada äärmuslike elementide mõju. 15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi keskmise aastatootluse andmeid sisaldava valimi kvartiilidevahelise vahemiku saab arvutada joonisel fig. 4 (näiteks funktsiooni QUARTILE.EXC jaoks): Kvartiilidevaheline vahemik = 9,8 - (-0,7) = 10,5. Intervalli 9,8 ja -0,7 vahel nimetatakse sageli keskmiseks pooleks.

Tuleb märkida, et Q 1 ja Q 3 väärtused ning seega ka kvartiilidevaheline vahemik ei sõltu kõrvalekallete olemasolust, kuna nende arvutamisel ei võeta arvesse ühtegi väärtust, mis oleks väiksem kui Q 1 või suurem kui Q 3 . Kvantitatiivseid koguomadusi, nagu mediaan, esimene ja kolmas kvartiil ning kvartiilidevaheline vahemik, mida kõrvalekalded ei mõjuta, nimetatakse robustseteks näitajateks.

Kuigi vahemik ja kvartiilidevaheline vahemik annavad hinnangu valimi kogu- ja keskmise hajumise kohta, ei võta kumbki neist hinnangutest täpselt arvesse seda, kuidas andmed on jaotatud. Dispersioon ja standardhälve vaba sellest puudusest. Need näitajad võimaldavad teil hinnata andmete kõikumise astet keskmise ümber. Valimi dispersioon on aritmeetilise keskmise ligikaudne väärtus, mis on arvutatud iga valimielemendi ja valimi keskmise ruudu erinevuste põhjal. X 1 , X 2 , ... X n valimi korral saadakse valimi dispersioon (tähistatud sümboliga S 2) järgmise valemiga:

Üldiselt on valimi dispersioon valimi elementide ja valimi keskmise vaheliste erinevuste ruudus summa, mis on jagatud väärtusega, mis on võrdne valimi suurusega miinus üks:

kus - aritmeetiline keskmine, n- näidissuurus, X i - i-s näidiselement X. Excelis enne versiooni 2007 kasutati valimi dispersiooni arvutamiseks funktsiooni =VAR(), alates versioonist 2010 kasutatakse funktsiooni =VAR.V().

Kõige praktilisem ja laialdasemalt aktsepteeritud andmete hajumise hinnang on standardhälve. Seda indikaatorit tähistatakse sümboliga S ja see on võrdne ruutjuur valimi dispersioonist:

Excelis enne versiooni 2007 kasutati standardhälbe arvutamiseks funktsiooni =STDEV(), alates versioonist 2010 kasutatakse funktsiooni =STDEV.B(). Nende funktsioonide arvutamiseks võib andmemassiivi olla järjestamata.

Valimi dispersioon ega valimi standardhälve ei saa olla negatiivsed. Ainus olukord, kus näitajad S 2 ja S võivad olla nullid, on see, kui kõik valimi elemendid on võrdsed. Selles täielikult uskumatu juhtum vahemik ja kvartiilidevaheline vahemik on samuti null.

Numbrilised andmed on oma olemuselt kõikuvad. Iga muutuja võib võtta komplekti erinevad väärtused. Näiteks erinevatel investeerimisfondidel on erinevad näitajad kasumlikkus ja kahjumid. Arvandmete varieeruvuse tõttu on väga oluline uurida mitte ainult keskmise hinnanguid, mis on olemuselt summeerivad, vaid ka dispersiooni hinnanguid, mis iseloomustavad andmete hajumist.

Dispersioon ja standardhälve võimaldavad meil hinnata andmete levikut keskmise ümber ehk teisisõnu määrata, mitu valimi elementi on keskmisest väiksemad ja kui paljud suuremad. Dispersioonil on mõned väärtuslikud matemaatilised omadused. Selle väärtus on aga mõõtühiku ruut – ruutprotsent, ruutdollar, ruuttoll jne. Seetõttu on dispersiooni loomulik hinnang standardhälve, mida väljendatakse tavalistes mõõtühikutes – protsentides sissetulekust, dollarites või tollides.

Standardhälve võimaldab hinnata valimi elementide kõikumise suurust keskmise väärtuse ümber. Peaaegu kõigis olukordades jääb suurem osa vaadeldud väärtustest keskmisest pluss-miinus ühe standardhälbe piiresse. Seega, teades valimi elementide aritmeetilist keskmist ja valimi standardhälvet, on võimalik määrata intervall, kuhu kuulub suurem osa andmetest.

15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi tootluse standardhälve on 6,6 (joonis 9). See tähendab, et suurema osa fondide kasumlikkus erineb keskmisest väärtusest mitte rohkem kui 6,6% (st kõigub vahemikus alates – S= 6,2 – 6,6 = –0,4 kuni + S= 12,8). Tegelikult sisaldab see intervall viie aasta keskmist aastatootlust 53,3% (8 15-st).

Riis. 9. Standardhälve

Pange tähele, et erinevuste ruudus summeerimisel võtavad keskmisest kaugemal olevad elemendid kaalu rohkem kui lähemal olevad elemendid. See omadus on peamine põhjus, miks jaotuse keskmise hindamiseks kasutatakse kõige sagedamini aritmeetilist keskmist.

Variatsioonikoefitsient

Erinevalt varasematest hajuvushinnangutest on variatsioonikordaja suhteline hinnang. Seda mõõdetakse alati protsentides, mitte algsetes andmeühikutes. Variatsioonikordaja, mida tähistatakse sümbolitega CV, mõõdab andmete hajumist keskmise ümber. Variatsioonikoefitsient võrdub standardhälbega, mis on jagatud aritmeetilise keskmisega ja korrutatud 100%-ga:

kus S- proovi standardhälve, - näidise keskmine.

Variatsioonikoefitsient võimaldab võrrelda kahte valimit, mille elemendid on väljendatud erinevad üksused mõõdud. Näiteks kavatseb postisaateteenuse juhataja uuendada veoautoparki. Pakendite laadimisel tuleb arvestada kahte tüüpi piirangutega: iga pakendi kaal (naelates) ja maht (kuupjalgades). Oletame, et 200 kotist koosnevas proovis on keskmine kaal 26,0 naela, kaalu standardhälve on 3,9 naela, keskmine pakendi maht on 8,8 kuupjalga ja mahu standardhälve on 2,2 kuupjalga. Kuidas võrrelda pakendite kaalu ja mahu levikut?

Kuna kaalu ja mahu mõõtühikud erinevad üksteisest, peab juht võrdlema nende väärtuste suhtelist levikut. Kaalu variatsioonikoefitsient on CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15% ja mahu variatsioonikoefitsient CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25% . Seega on pakettide mahtude suhteline hajuvus palju suurem kui nende kaalu suhteline hajumine.

Jaotusvorm

Valimi kolmas oluline omadus on selle jaotuse vorm. See jaotus võib olla sümmeetriline või asümmeetriline. Jaotuse kuju kirjeldamiseks on vaja arvutada selle keskmine ja mediaan. Kui need kaks mõõdet on samad, siis öeldakse, et muutuja on jaotunud sümmeetriliselt. Kui muutuja keskmine väärtus on mediaanist suurem, on selle jaotus positiivse kaldega (joonis 10). Kui mediaan on keskmisest suurem, on muutuja jaotus negatiivselt kallutatud. Positiivne kalduvus ilmneb siis, kui keskmine tõuseb ebatavaliselt kõrged väärtused. Negatiivne kalduvus tekib siis, kui keskmine väheneb ebatavaliselt väikeste väärtusteni. Muutuja jaotub sümmeetriliselt, kui see ei võta kummaski suunas äärmuslikke väärtusi, nii et muutuja suured ja väikesed väärtused tühistavad üksteist.

Riis. 10. Kolm tüüpi jaotust

A-skaalal kujutatud andmetel on negatiivne kalduvus. Sellel joonisel on kujutatud pikka saba ja vasakpoolset viltu, mis on põhjustatud ebatavaliselt väikestest väärtustest. Need äärmiselt väikesed väärtused nihutavad keskmist väärtust vasakule ja see muutub mediaanist väiksemaks. Skaalal B näidatud andmed on jaotatud sümmeetriliselt. Jaotuse vasak ja parem pool on nende peegelpildid. Suured ja väikesed väärtused tasakaalustavad üksteist ning keskmine ja mediaan on võrdsed. Skaalal B näidatud andmed on positiivselt kaldu. See joonis näitab pikka saba ja kaldu paremale, mis on põhjustatud ebatavaliselt kõrgete väärtuste olemasolust. Need liiga suured väärtused nihutavad keskmist paremale ja see muutub mediaanist suuremaks.

Excelis saab kirjeldavat statistikat hankida lisandmooduli abil Analüüsi pakett. Minge menüüst läbi Andmed → Andmete analüüs, valige avanevas aknas rida Kirjeldav statistika ja klõpsake Okei. Aknas Kirjeldav statistika kindlasti märkige sisestusintervall(joonis 11). Kui soovite näha kirjeldavat statistikat algandmetega samal lehel, valige raadionupp väljundi intervall ja määrake lahter, kuhu soovite kuvatava statistika vasakpoolse ülanurga paigutada (meie näites $C$1). Kui soovite andmeid saata uus leht või uue raamatu juurde, valige lihtsalt sobiv raadionupp. Märkige kõrval olev ruut Lõplik statistika. Soovi korral saate ka valida Raskusaste,k-s väikseim jak-s suurim.

Kui deposiidil Andmed piirkonnas Analüüs te ei näe ikooni Andmete analüüs, peate esmalt installima lisandmooduli Analüüsi pakett(vaata näiteks).

Riis. 11. Väga kõrge riskitasemega fondide viie aasta keskmise aastase tootluse kirjeldav statistika, mis on arvutatud lisandmooduli abil Andmete analüüs Exceli programmid

Excel arvutab terve rida eespool käsitletud statistika: keskmine, mediaan, režiim, standardhälve, dispersioon, vahemik ( intervall), minimaalne, maksimaalne ja valimi suurus ( Kontrollima). Lisaks arvutab Excel meie jaoks välja mõned uued statistikad: standardviga, kurtoos ja kalduvus. standardviga võrdub standardhälbega, mis on jagatud valimi suuruse ruutjuurega. asümmeetria iseloomustab hälvet jaotuse sümmeetriast ja on funktsioon, mis sõltub valimi elementide erinevuste kuubist ja keskmisest väärtusest. Kurtoos on andmete suhtelise kontsentratsiooni mõõt keskmise ja jaotuse sabade ümber ning see sõltub erinevustest valimi ja neljanda astmeni tõstetud keskmise vahel.

Üldrahvastiku kirjeldava statistika arvutamine

Eespool käsitletud jaotuse keskmine, hajuvus ja kuju on valimipõhised omadused. Kui aga andmestik sisaldab kogu populatsiooni arvulisi mõõtmisi, saab selle parameetrid välja arvutada. Need parameetrid hõlmavad üldkogumi keskmist, dispersiooni ja standardhälvet.

Oodatud väärtus võrdub üldkogumi kõigi väärtuste summaga, mis on jagatud üldkogumi mahuga:

kus µ - oodatud väärtus, Xi- i-th muutuv vaatlus X, N- üldrahvastiku maht. Excelis kasutatakse matemaatilise ootuse arvutamiseks sama funktsiooni, mis aritmeetilise keskmise jaoks: =AVERAGE().

Rahvastiku dispersioon võrdne üldkogumi ja mati elementide erinevuste ruudu summaga. ootus jagatud rahvaarvuga:

kus σ2 on üldpopulatsiooni dispersioon. Excel enne versiooni 2007 kasutab populatsiooni dispersiooni arvutamiseks funktsiooni =VAR() alates versioonist 2010 =VAR.G().

populatsiooni standardhälve võrdub populatsiooni dispersiooni ruutjuurega:

Excelis enne versiooni 2007 kasutatakse populatsiooni standardhälbe arvutamiseks =STDEV(), alustades versioonist 2010 =STDEV.Y(). Pange tähele, et üldkogumi dispersiooni ja standardhälbe valemid erinevad valimi dispersiooni ja standardhälbe valemitest. Arvutamisel näidisstatistika S2 ja S murdosa nimetaja on n-1, ja parameetrite arvutamisel σ2 ja σ - üldrahvastiku maht N.

pöidlareegel

Enamikul juhtudel on suur osa vaatlustest koondunud mediaani ümber, moodustades klastri. Positiivse kaldsusega andmehulkades asub see klaster matemaatilisest ootusest vasakul (st allpool) ja negatiivse kaldsusega komplektides asub see klaster matemaatilisest ootusest paremal (st ülalpool). Sümmeetrilistel andmetel on sama keskmine ja mediaan ning vaatlused koonduvad keskmise ümber, moodustades kellakujulise jaotuse. Kui jaotus ei ole väljendunud viltu ja andmed on koondunud teatud raskuskeskme ümber, saab varieeruvuse hindamiseks kasutada rusikareeglit, mis ütleb: kui andmetel on kellakujuline jaotus, siis ligikaudu 68%. vaatlustest jäävad ühe standardhälbe piiresse matemaatilisest ootusest, ligikaudu 95% vaatlustest jäävad oodatava väärtuse kahe standardhälbe piiresse ja 99,7% vaatlustest jäävad oodatava väärtuse kolme standardhälbe piiresse.

Seega aitab standardhälve, mis on hinnang keskmisele kõikumisele matemaatilise ootuse ümber, mõista, kuidas vaatlused jagunevad, ja tuvastada kõrvalekaldeid. Rusikareegel tuleneb, et kellakujuliste jaotuste korral erineb ainult üks väärtus kahekümnest matemaatilisest ootusest rohkem kui kahe standardhälbe võrra. Seetõttu väärtused väljaspool intervalli µ ± 2σ, võib pidada kõrvalekalleteks. Lisaks erinevad vaid kolm 1000-st vaatlusest matemaatilisest ootusest rohkem kui kolme standardhälbe võrra. Seega väärtused väljaspool intervalli µ ± 3σ on peaaegu alati kõrvalekalded. Jaotuste puhul, mis on väga kallutatud või mitte kellakujulised, võib rakendada Biename-Chebyshev rusikareeglit.

Rohkem kui sada aastat tagasi avastasid matemaatikud Bienamay ja Chebyshev iseseisvalt kasulik vara standardhälve. Nad leidsid, et mis tahes andmekogumi puhul, olenemata jaotuse kujust, on vaatluste protsent, mis asetsevad kaugusel, mis ei ületa k standardhälbed matemaatilisest ootusest, mitte vähem (1 – 1/ 2)*100%.

Näiteks kui k= 2, Biename-Chebyshev reegel ütleb, et vähemalt (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% vaatlustest peab jääma intervallisse µ ± 2σ. See reegel kehtib kõigi kohta küle ühe. Biename-Tšebõševi reegel on väga üldine iseloom ja kehtib igasuguste distributsioonide puhul. See näitab minimaalne kogus vaatlused, mille vahemaa matemaatilise ootuseni ei ületa etteantud väärtust. Kui jaotus on aga kellakujuline, hindab rusikareegel täpsemalt andmete kontsentratsiooni keskmise ümber.

Sageduspõhise jaotuse kirjeldava statistika arvutamine

Kui algandmed pole kättesaadavad, muutub sagedusjaotus ainsaks teabeallikaks. Sellistes olukordades saate arvutada jaotuse kvantitatiivsete näitajate ligikaudsed väärtused, nagu aritmeetiline keskmine, standardhälve, kvartiilid.

Kui näidisandmed esitatakse sagedusjaotusena, saab arvutada aritmeetilise keskmise ligikaudse väärtuse, eeldades, et kõik väärtused igas klassis on koondunud klassi keskpunkti:

kus - näidise keskmine, n– vaatluste arv või valimi suurus, Koos- sagedusjaotuse klasside arv, mj- keskpunkt j- klass, fj- sagedus, mis vastab j- klass.

Sagedusjaotuse standardhälbe arvutamiseks eeldatakse ka, et kõik väärtused igas klassis on koondunud klassi keskpunkti.

Et mõista, kuidas seeria kvartiilid sageduste alusel määratakse, vaatleme alumise kvartiili arvutamist 2013. aasta andmete põhjal Venemaa rahvastiku jaotuse kohta keskmise rahasissetuleku järgi elaniku kohta (joonis 12).

Riis. 12. Venemaa elanikkonna osatähtsus rahalise sissetulekuga elaniku kohta keskmiselt kuus, rubla

Intervalli variatsioonirea esimese kvartiili arvutamiseks võite kasutada valemit:

kus Q1 on esimese kvartiili väärtus, xQ1 on esimest kvartiili sisaldava intervalli alumine piir (intervall määratakse akumuleeritud sagedusega, esimene ületab 25%); i on intervalli väärtus; Σf on kogu valimi sageduste summa; tõenäoliselt alati 100%; SQ1–1 on alumist kvartiili sisaldavale intervallile eelneva intervalli kumulatiivne sagedus; fQ1 on alumist kvartiili sisaldava intervalli sagedus. Kolmanda kvartiili valem erineb selle poolest, et kõigis kohtades tuleb Q1 asemel kasutada Q3 ja ¼ asemel asendada ¾.

Meie näites (joonis 12) on alumine kvartiil vahemikus 7000,1 - 10 000, mille kumulatiivne sagedus on 26,4%. Selle intervalli alumine piir on 7000 rubla, intervalli väärtus on 3000 rubla, alumist kvartiili sisaldavale intervallile eelneva intervalli akumuleeritud sagedus on 13,4%, alumist kvartiili sisaldava intervalli sagedus on 13,0%. Seega: I kv \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 = 9677 rubla.

Kirjeldava statistikaga seotud lõksud

Selles märkuses vaatlesime, kuidas kirjeldada andmestikku, kasutades erinevat statistikat, mis hindab selle keskmist, hajumist ja jaotust. järgmine samm on andmete analüüs ja tõlgendamine. Siiani oleme uurinud andmete objektiivseid omadusi ja nüüd pöördume nende subjektiivse tõlgendamise poole. Uurijat ootavad kaks viga: valesti valitud analüüsiobjekt ja tulemuste vale tõlgendamine.

15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi tootluse analüüs on üsna erapooletu. Ta viis täiesti objektiivsetele järeldustele: kõik investeerimisfondid on erineva tootlusega, fondi tootluste hajumine jääb vahemikku -6,1 kuni 18,5 ning keskmine tootlus on 6,08. Andmeanalüüsi objektiivsus on tagatud õige valik jaotuse summaarsed kvantitatiivsed näitajad. Arutati mitmeid meetodeid andmete keskmise ja hajuvuse hindamiseks ning toodi välja nende eelised ja puudused. Kuidas valida õiget statistikat, mis annab objektiivse ja erapooletu analüüsi? Kui andmete jaotus on veidi viltu, kas tuleks valida mediaan aritmeetilise keskmise asemel? Milline näitaja iseloomustab andmete levikut täpsemalt: standardhälve või vahemik? Kas tuleks näidata jaotuse positiivne kalduvus?

Teisest küljest on andmete tõlgendamine subjektiivne protsess. Erinevad inimesed jõuda erinevatele järeldustele, tõlgendades samu tulemusi. Igaühel on oma vaatenurk. Keegi peab 15 väga kõrge riskitasemega fondi keskmist aastatootlust kokku heaks ja on saadud tuluga üsna rahul. Teised võivad arvata, et nende fondide tootlus on liiga madal. Seega peaks subjektiivsust kompenseerima ausus, neutraalsus ja järelduste selgus.

Eetilised probleemid

Andmeanalüüs on lahutamatult seotud eetiliste küsimustega. Kriitiline peaks olema ajalehtede, raadio, televisiooni ja Interneti kaudu levitatava teabe suhtes. Aja jooksul õpid olema skeptiline mitte ainult tulemuste, vaid ka uurimistöö eesmärkide, subjekti ja objektiivsuse suhtes. Kuulus Briti poliitik Benjamin Disraeli ütles seda kõige paremini: "Valet on kolme tüüpi: valed, neetud valed ja statistika."

Nagu märkuses märgitud, tekivad aruandes esitatavate tulemuste valimisel eetilised probleemid. Avaldada tuleks nii positiivsed kui ka negatiivsed tulemused. Lisaks tuleb aruande või kirjaliku aruande tegemisel tulemused esitada ausalt, neutraalselt ja objektiivselt. Eristage halbu ja ebaausaid esitlusi. Selleks on vaja kindlaks teha, millised olid kõneleja kavatsused. Mõnikord jätab kõneleja olulise teabe välja teadmatusest ja mõnikord tahtlikult (näiteks kui ta kasutab soovitud tulemuse saamiseks aritmeetilist keskmist selgelt kallutatud andmete keskmise hindamiseks). Samuti on ebaaus suruda alla tulemusi, mis ei vasta uurija vaatenurgale.

Kasutatud on materjale raamatust Levin jt Statistics for managers. - M.: Williams, 2004. - lk. 178–209

Funktsioon QUARTILE säilitati Exceli varasemate versioonidega joondamiseks

Kauplemisettevõtete jaotust kuukäibe suuruse järgi iseloomustavad järgmised andmed:

Määratlege:

a) keskmine kuukäive ettevõtte kohta;

b) kuukäibe modaal- ja mediaanväärtus;

c) teha järeldusi selle jaotuse olemuse kohta.

Lahendus:

a) Arvutage keskmine käive ettevõtte kohta.

AT see rida keskmistatud atribuudi (käibe) variandid esitatakse mitte ühe numbrina, vaid intervallina "alates - kuni". Pealegi on esimene ja viimane avatud intervallid.

Sellistes seeriates eeldatakse tinglikult, et esimese rühma intervalli väärtus on võrdne järgmise rühma intervalli väärtusega ja viimase rühma intervalli väärtus on võrdne rühma intervalli väärtusega. eelmine. Seega on esimese rühma käive 0 kuni 5 miljonit rubla, viimase käive - 25 kuni 30 miljonit rubla. Rühmitatud andmete keskmine arvutatakse kaalutud aritmeetilise keskmise valemi järgi:

Selle valemi rakendamiseks on vaja tunnuse variandid väljendada ühe arvuna (diskreetne). Sellise diskreetse arvu jaoks võetakse intervalli ülemise ja alumise väärtuse lihtne aritmeetiline keskmine. Nii et esimese rühma jaoks on diskreetne väärtus x võrdne: (0 + 5) / 2 = 2,5 . Edasine arvutamine toimub tavalise aritmeetilise kaalutud keskmise määramise meetodi abil:

Esitame esialgsed ja arvutatud andmed tabelis:

b) Määrame kuukäibe modaal- ja mediaanväärtuse.
Võrdsete intervallidega intervalljaotuse seerias määratakse režiim järgmise valemiga:

x Mo- režiimi sisaldava intervalli algväärtus;
i Mo- modaalintervalli väärtus,
fMo- modaalse intervalli sagedus,
f(Mo-1)- modaalile eelneva intervalli sagedus,
f(Mo+1)- modaalile järgneva intervalli sagedus.

Suurima arvu ettevõtete (26) käibeväärtus on 5–10 miljonit rubla. Seetõttu on see intervall jaotusrea modaalintervall. Tutvustame järgmist tähistust:

x Mo = 5, i Mo = 5, f Mo = 26, f (Mo-1) = 20, f (Mo + 1) = 20.

Asendage need väärtused moevalemis ja tehke arvutused:

Järelikult on suurima arvu ettevõtete käive 7,5 miljonit rubla.

Jaotuse intervallide variatsioonirea mediaan määratakse järgmise valemiga:

kus x Mina- mediaani sisaldava intervalli algväärtus;
i Mina- mediaanintervalli väärtus;
Σf- jada sageduste summa;
S (Mina-1)- mediaanintervallile eelnevate akumuleeritud sageduste summa;
f Mina- mediaanintervalli sagedus.

Esmalt määratleme mediaanintervalli. Kogunenud sageduste summa, mis ületab poole kõigist väärtustest (66), vastab intervallile 10–15. See on mediaanintervall, milles mediaan asub. Määrame selle väärtuse ülaltoodud valemi järgi, kui:

x Mina =10, i Mina =5, Σf = 100, S (Mina-1)=46 ,f Me =20 :

Seega on poolte ettevõtete käive alla 11 miljoni rubla ja ülejäänud ettevõtetel üle 11 miljoni rubla.

c) Sümmeetrilistes jaotussarjades langevad režiimi ja mediaani väärtused kokku keskmise väärtusega ning mõõdukalt asümmeetrilistes korreleeruvad järgmiselt:

Kaubakäibe jaotuskeskuse tunnuste suhe näitab mõõdukat asümmeetriat:
3(12,4-11) ≈12,4-7,5

Mõne suuruse korduva mõõtmisega, mille tegelik väärtus a, teevad n mõõdud. Tulemuseks on ligikaudsete väärtuste jada

Esitame tõelisi absoluutseid vigu kui

Siis võime kirjutada:

Termini kaupa lisades on meil:

,

üksikute mõõtmiste aritmeetiline keskmine.

tõeline väärtus a, väljendas

tegelik absoluutne viga, mis jääb teadmata.

Juhuslike vigade leidmise probleemi lahendas Gauss. Kaalutlus põhineb kahel aksioomil:

Võrdse absoluutväärtusega ja vastupidise märgiga vead on võrdselt tõenäolised.

Mida suurem on vea absoluutväärtus, seda väiksem on selle tõenäosus.

Esimesest aksioomist järeldub, et lõpmatu arvu mõõtmete korral (for
)

ja siis

Kuid praktikas saab teostada ainult piiratud arvu mõõtmisi. Ja see osutub piisavaks, kuna teise aksioomi põhjal on suured vead ebatõenäolised.

Sellest järeldub
palju mõõtmisi ja ülesandeks on hinnata keskmise väärtuse lähendamisastet tõelisele väärtusele.

3. Otseste või otseste mõõtmiste vead

Kui väärtuse mõõtmise tulemusena b saadud väärtused
siis aritmeetiline keskmine

Üksikute mõõtmiste absoluutsed vead
on absoluutväärtuses võrdsed keskmise väärtuse erinevustega ja üksikute mõõtmiste tulemused

,
,…,

keskmine absoluutne mõõtmisviga.

Mõõtmise tulemus esitatakse järgmiselt:

Arvutused tehakse, võttes arvesse ligikaudsete arvutuste reegleid.

Suhteline viga näitab, kui suur osa on keskmise väärtuse absoluutsest veast ja seda väljendatakse tavaliselt protsentides

Väikseim mõõtmisviga ei saa olla väiksem kui instrumendi viga. Viimane on märgitud passi või võtame selle eest poole seadme jagamise hinnast.

Kui mõõtmine tehakse üks kord või mitme kordusega saadakse sama tulemus, siis loetakse mõõtmisveaks instrumendi viga (vastavalt instrumendi passile või täpsusklassile) või see on võrdne poolega instrumendi väikseima jao hind.

Seadme täpsusklass määratakse seadme maksimaalse vea järgi, väljendatuna protsentides skaala täisväärtusest. Näiteks 0,5 täpsusklass tähendab 0,5% viga, kui osuti kaldub täisskaalale. Kui osuti kaldub kõrvale poole skaalast, siis viga kahekordistub ja kui osuti kaldub kõrvale kolmandiku skaalast, siis kolmekordistub.

4. Kaudsete mõõtmiste vead

Kaudsete mõõtmiste korral väärtus x leitakse otse mõõdetud suuruste funktsioonina a, b, Koos. Absoluutsed vead
otsesed mõõtmised põhjustavad absoluutse vea
Kui leiti
kasutage järgmisi teoreeme:

1. Summa absoluutviga (erinevus) võrdub liikmete absoluutsete vigade summaga (vähendatud ja lahutatud)

,

2. Korrutise absoluutviga võrdub esimese teguri korrutiste summaga teise absoluutveaga ja teise teguri korrutistega esimese teguri absoluutveaga

,

3. Jagatise absoluutviga võrdub dividendi jagaja absoluutvea ja jagaja absoluutvea korrutistega, mis on jagatud jagaja ruuduga

,

Suhteline viga

Matemaatiline analüüs näitab seda

Kus x - on mingi funktsioon
jne eksplitsiitselt ja seega saab arvutada selle diferentsiaali logaritmist, mis sisaldab
jne.

Kui asendame saadud avaldises kõik diferentsiaalid väikeste lõplike erinevustega
jne, siis saame suhtelise vea valemi

lõplike erinevuste jaoks

.

Kui a
otsesel mõõtmisel on absoluutsed vead a, b, Koos, siis
on väärtuse absoluutne viga x.

Suhtelise vea leidmise valem kirjutatakse järgmiselt: (kõik terminid võetakse absoluutväärtuses)

.

Protsentuaalseks väljendamiseks peate parem- ja vasakpoolsed osad korrutama 100%.

Seda valemit saab kasutada ka absoluutvea leidmiseks.

Tõesti,

.

Tulemused esitatakse järgmiselt:
.

Kui funktsioon x tähistab keerulist summat või erinevust, siis leitakse vead iga liikme kohta eraldi ja seejärel summeeritakse. Juhtudel, kui väärtuse leidmise valemid x hõlmab ligikaudsete arvudena väljendatud füüsilisi või matemaatilisi võrdlussuurusi, nende vead loetakse pooleks madalaima rea ​​ühikust. Näiteks,