Розглядається відношення паралельності площин, його властивості та застосування.

Наочне уявлення про розташування двох

площин дає моделювання за допомогою площин поверхонь суміжних стін, стелі та підлоги кімнати, двоярусних ліжок, двох скріплених листів бу-

маги тощо (рис. 242–244).

Хоча існує безліч варіантів взаємного розташування різних площин, для встановлення та характеристики яких у подальшому будуть застосовані вимірювання кутів і відстаней, ми спочатку зупинимося на таких, де в основу класифікації (як і прямих з площинами) покладено кількість їх загальних точок.

1. Дві площини мають не менше трьох загальних точок, що не лежать на одній прямій. Такі площини збігаються (аксіомаС 2 §7).

2. Загальні точки двох площин розташовані на одній прямій, що є лінією перетину цих площин (аксіома С 3, § 7). Такі площини перетинаються.

3. Дві площини немає спільних точок.

У у цьому випадку їх називаютьпаралельні-

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Паралельність площин позначається знаком ||: α || β.

Як завжди, при введенні геометричних понятьвиника-

е проблема їх існування. Існування перетинають-

ся площин є характерною ознакою простору,

і цим ми вже багато разів користувалися. Менш очевидним яв-

ється існування паралельних площин. Немає ніякого

сумніви в тому, що, наприклад, площини протилежних гра-

ній куба паралельні, тобто не перетинаються. Але безпосеред-

твенно, за визначенням, це встановити неможливо. Для вирішення

ня поставленого питання, а також інших питань, пов'язаних з

паралельністю площин необхідно мати ознаку паралельності.

Для пошуку ознаки доцільно розглядати площину,

"соткану" з прямих. Очевидно, що кожна пряма однією з

паралельних площин має бути паралельна до іншої.

В іншому випадку площині матимуть спільну точку. Діста-

чи точно паралельність площині β однієї прямої площини α

для того, щоб площини α та β були паралельними? Безумовно

але, ні (обґрунтуйте це!). Практичний досвід свідчить, що

двох таких прямих, що перетинаються, достатньо. Щоб закріпити

на щоглі паралельну землі майданчик, достатньо покласти її

сті паралельні другий площині, то ці площини паралельні.

 Нехай пряміа іb площини α, що перетинаються, паралельні площині β. Доведемо, що площини α і β паралельні методом протилежного. Для цього припустимо, що площини α і β перетинаються прямою

т (рис. 246). Прямі іb перетинати прямують не можуть за умовою. Однак тоді в площині через одну точку проведені дві прямі, не перетинаються з прямойт, тобто паралельні їй. Це протиріччя

та завершує доказ теореми.

Ознакою паралельності площин користуються при горизонтальному розміщенні плоских конструкцій (бетонних плит, підлоги, диска кутомірних приладів і т. п.) за допомогою двох рівнів, розміщених у площині конструкції на прямих, що перетинаються. З цієї ознаки можна здійснити побудова площини, паралельної даної.

Завдання 1. Через точку, що лежить поза цією площиною, провести площину, паралельну даній.

 Нехай дані площину β і точкаМ поза площиною (рис. 247, а). Проведемо через точку М дві прямі, що перетинаються, і b , паралельні площині β. Для цього потрібно взяти в площині β дві прямі, що перетинаються, іd (рис. 247, б). Потім через точку провести прямі а і b , паралельні прямим з і d відповідно

але (рис. 247, в).

Пересічні прямі а і b паралельні площині β, за ознакою паралельності прямої та площини (теорема 1 §11). Вони однозначно визначають площину α. Згідно з доведеною ознакою, α || β.

Приклад 1. Даний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точки М, N, Р - середини реберВС, В 1 С 1, А 1 D 1 відповідно. Встановити взаємне розташуванняплощин: 1)АВВ 1 іPNM; 2) NMA і A 1 C 1 C; 3) A 1 NM

і РC 1 C; 4) МAD 1 і DB 1 C.

 1) Площини ABB 1 і РNM (рис. 248) паралельні, за ознакою паралельності площин (теорема 1). Дійсно, прямі РN і NM перетинаються і паралельні площині ABB 1 за ознакою паралельності прямої та площини (теорема 1 §11), адже відрізки РN і NM з'єднують середини протилежних сторінквадратів, тому вони паралельні сторонам квадратів:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||У 1 B.

2) Площини NMA і A 1 C 1 C перетинаються по прямій AA 1 (рис. 249). Справді, прямі AA 1 і СC 1 паралельні, за ознакою паралельності прямих (AA 1 ||ВB 1 ,ВB 1 ||СC 1 ). Тому пряма AA 1 лежить у площині A 1 C 1 C . Аналогічно обґрунтовується приналежність прямої AA 1 площині NMA.

3) Площини A 1 NM іРC 1 C (рис. 250) паралельні, за ознакою паралельності площин. Справді,NM ||З 1 C . Тому прямаNM паралельна площиніРC 1 C. ВідрізкиРC 1 іA 1 N також паралельні, оскільки чотирикутникРC 1 NA 1 - паралелограм(А 1 P ||NC 1 ,A 1 P =NC 1 ). Таким чином, пряма A 1 N паралельна площині РC 1 C. Прямі A 1 N і NM перетинаються.

4) Площини MAD 1 і DB 1 C перетинаються (рис. 251). Хоча лінію їхнього перетину побудувати непросто, але вказати одну точку цієї лінії неважко. Справді, прямі A 1 D і В 1 C - паралельні, оскільки чотирикутник A 1 B 1 CD – паралелограм (A 1 B 1 =AВ = СD ,A 1 B 1 ||AВ ,AВ ||СD ). Тому пряма A 1 D належить площині DB 1 C. Прямі A 1 D і AD 1 перетинаються в точці, спільної для площин MAD 1 і DB 1 C.

Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим інший площині, то ці площини паралельні.

Користуючись ознакою паралельності прямої та площини (теорема 1 §11), неважко встановити, що з умови теореми 1′ випливає умова теореми 1. Застосування теореми, зворотної ознакою паралельності прямої та площини (теорема 2 §11) завершує обґрунтування еквівалентності умов теорем ′.

Природно виникає питання про однозначність наведеної у задачі 1 побудови. Оскільки нам доведеться не раз скористатися цією властивістю, то виділимо її як окрему теорему. Однак спочатку розглянемо інше твердження.

Теорема 2 (про перетин двох паралельних площин третьої).

Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, лінії перетину площин паралельні.

 Нехай дано паралельні площини α, β і площину γ, що їх перетинає (рис. 252). Позначимо лінії перетину

через а і b. Ці прямі лежать у площині і не перетинаються, оскільки площини і не мають спільних точок. Тому пря-

мої а і b - паралельні.

Теорема 3 (про існування та єдиність площини, паралельної даної).

Через точку, розташовану поза цією площиною, можна провести єдину площину, паралельну даній.

 Побудова такої площини виконана в задачі 1. Однозначність побудови доведемо методом від протилежного. Припустимо, що через точку М проведено дві різні площини α і γ, па-

ралельні площини (рис. 253), і пряма т - лінія їх перетину. Проведемо через точку М площину δ, що перетинається з прямою

т і площиною (як це можна зробити?). Позначимо через іb

лінії перетину площини δ з площинами α і γ, а черезс - лінію перетину площин δ і β(рис. 253). Відповідно до теореми 2,а ||с

та b ||с. Тобто в площині через

точку М проходять дві прямі, паралельні прямойс. Суперечність свідчить про невірність припущення.

Відношення паралельності площин має низку властивостей, що мають аналоги в планіметрії.

Теорема 4 (про відрізки паралельних прямих між паралельними площинами).

Відрізки паралельних прямих, що відсікаються паралельними площинами, рівні між собою.

 Нехай дані дві паралельні площини α і β і відрізкиАВ

і СD паралельних прямих a іd відсікаються цими площинами (рис. 254, а). Проведемо через прямі a іd площину (рис. 254, б). Вона перетинає площини α і β за прямим АС і BD, які, згідно з теоремою 2, паралельні. Тому чотирикутник ABCD - паралелограм, його протилежні сторони АС і BD рівні.

З наведеної властивості випливає, що якщо від усіх точок площини відкласти

по один бік від площини паралельні відрізкиоднакової довжини, то кінці цих відрізків утворюють дві паралельні площини. Саме на цій властивості засновано побудову паралелепіпеда за допомогою відкладення відрізків (рис. 255).

Теорема 5 (про транзитивність відношення паралельності площин).

Якщо кожна з двох площин паралельна третьої, дані дві площини паралельні між собою.

 Нехай площини і β паралельні площині. Припустимо, що

α і β не паралельні. Тоді площини α і β мають спільну точку, і через цю точку проходять дві різні площини, паралельні площині γ, що суперечить теоремі 3. Тому площини α і β не мають спільних точок, тобто вони є паралельними.

Теорема 5 є ще однією ознакою паралельності площин. Вона широко застосовується як у геометрії, так і в практичної діяльності. Наприклад, в багатоповерховому будинкуПаралельність площин підлоги та стелі на кожному поверсі гарантує їхню паралельність і на різних поверхах.

Завдання 2. Довести, що якщо пряма перетинає площину α, то вона перетинає також кожну площину, паралельну площині α.

 Нехай площини α і β паралельні, а пряма перетинає площину α у точці А . Доведемо, що вона перетинає і площину

β. Припустимо, що це не так. Тоді пряма паралельна площині β. Проведемо площину через прямуа і довільну точку площини (рис. 256).

Ця площина перетинає паралельні площини α і β за прямими b іс . З-

гласно теоремі 2, b | с, тобто в площині γ через точку А проходять дві прямі а і b, паралельні прямойс . Це протиріччя доводить твердження.

Спробуйте довести самостійно, що якщо площина α перетинає площину β, вона перетинає також кожну площину, паралельну площині β.

Приклад 2. У тетраедрі АBCD точки K, F, Е - середини ребер DA, DС, DВ, АМ іР - центри мас гранейАВD іВСD відповідно.

1) Встановити взаємне розташування площин KEF і ABC;

DEF та ABC.

2) Побудувати лінію перетину площин AFB та KEC.

3) Знайти площу перерізу тетраедра площиною, паралельною площині АВD і проходить через точку Р, якщо всі ребра тетраедра рівні.

 Побудуємо малюнок, який відповідає умові (рис. 257, а). 1) Площини KEF і ABC паралельні, за ознакою паралельності площин (теорема 1'): прямі KE і KF площини KEF, що перетинаються, паралельні прямим AB і AC площині ABC, що перетинаються, (на них лежать середні лінії відповід-

ших трикутників).

Площини DEF і ABC перетинаються по прямій BC, тому що пряма BC належить обом площинам, а збігатися вони не можуть - точки А, В, З, D не лежать в одній площині.

2) Площина AFB перетинається з площиною KEC по прямій, що містить точку Р , оскільки прямі РЄ і BF , що лежать у цих площинах, знаходяться в площині BCD і перетинаються в точці Р . Іншою точкою є точка перетину Q прямих AF і CK у площині ACD (рис. 257, б). Очевидно, що ця точка є центром мас грані ACD. Шуканим перетином є пряма PQ.

3) Побудуємо перетин, вказаний за умови, користуючись ознакою паралельності площин. Проведемо через точки P і Q прямі, паралельні прямим DB і DA відповідно (рис. 257, в). Ці прямі перетинають відрізок CD у точці L. Останнє випливає з якості центру мас трикутника - він ділить медіани трикутника щодо 2:1, рахуючи від вершини. Залишилося застосувати теорему Фалеса. Таким чином, площини PLQ і BDA паралельні. Шуканим перетином є трикутник LSN.

За побудовою, трикутники BCD і SCL подібні до коефіцієнта подібності CE CP =3 2 . Тому LS = 3 2 BD. Аналогічно вуста-

наливаються рівності: LN = 3 2 AD, NS = 3 2 AB. Звідси випливає, що трикутники LSN і ABD подібні до коефіцієнта подоби3 2 . За властивостями площ подібних трикутників,

S LNS = 4 9 S ABD. Залишилося знайти площу трикутника ABD. По-

скільки, за умовою, всі ребра тетраедра дорівнюють а , то S ABD =4 3 a 2 .

Шукана площа дорівнює 3 1 3 a 2 .

Доречно звернути увагу, що відповідь залежить лише від площі грані ABD. Тому рівність всіх ребер є лише засобом знайти цю площу. Таким чином, дане завданняможна суттєво узагальнити.

Відповідь. 1) KEF | | ABC; 3)3 1 3 a 2 .

 Контрольні питання

1. Чи вірно, що дві площини є паралельними, якщо кожна пряма, що лежить в одній площині, паралельна іншій площині?

2. Площини α та β паралельні. Чи існують прямі, що схрещуються, що лежать у цих площинах?

3. Дві сторони трикутника паралельні до деякої площини. Чи паралельна цій площині третя сторона трикутника?

4. Дві сторони паралелограма паралельні до деякої площини. Чи правильно, що площина паралелограма паралельна даній площині?

5. Чи можуть бути нерівними відрізки двох прямих, що відсікаються паралельними площинами?

6. Чи може перетином куба бути рівнобока трапеція? Чи може перетином куба бути правильний п'ятикутник? Чи вірно, що дві площини, паралельні до однієї і тієї ж прямої, паралельні між собою?

Лінії перетину площин α і β площиною γ паралельні між собою. Чи паралельні площині α та β?

Чи можуть три грані куба бути паралельними до однієї площини?

Графічні вправи

1. На рис.258 зображено куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точки М, N, K, L, Р - середини відповідних ребер. Заповніть таблицю за наведеним зразком, вибравши необхідне розташування площин α і β.

Взаємне

розташування

α || β α = β

α × β α || β α = β

2. На рис. 259 зображено тетраедр ABCD, точки K, F, M, N, Q - середини відповідних ребер. Вкажіть:

1) площину, що проходить через точку K паралельно площині ABC;

2) площину, що проходить через пряму BD паралельно площині MNQ.

3. Визначте, чим є переріз фігури площиною, що проходить через дані три точки, зображені на рисун-

ках 260, а)-д) і 261, а)-г).

4. Побудуйте малюнок за наведеними даними.

1) З вершин паралелограма ABCD, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведені паралельні прямі, що перетинають другу площину відповідно в точках A 1 B 1 C 1 D 1 .

2) Трикутник A 1 B 1 C 1 є проекцією трикутника ABC на паралельну йому площину α. ТочкаМ - серединаВС,М1 - проекція точкиМ на площину α.

207. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки О ,О 1 - центри граней ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 відповідно, М - середина ребраАВ.

1°) Визначте взаємне розташування площин МО 1

і ADD 1 ,ABD 1 і СО 1 З 1 .

2°) Побудуйте точку перетину площини DCC 1 і прямою МО 1 і лінію перетину площин МСС 1 і A 1 D 1 C 1 .

3) Знайдіть площу перерізу куба площиною, паралельною площині AD 1 C 1 і проходить через точку О 1 , якщо ребро куба дорівнює.

208. У тетраедрі ABCD точки K, L, Р - центри мас граней ABD, BDC, ABC відповідно, а М - середина ребра AD.

1°) Визначте взаємне розташування площин ACD

і KLP; МLK і ABC.

2°) Побудуйте точку перетину площини ABC і прямої МL та лінію перетину площин МKL та ABC.

3) Знайдіть площу перерізу тетраедра площиною, що проходить через точки K ,L іМ паралельно прямій AD, якщо всі ребра тетраедра рівні.

209. Даний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки L, M, M 1 - середини ребер AB, AD і A 1 D 1 відповідно.

1°) Визначте взаємне розташування площин B 1 D 1 D

та LMM1 .

2) Побудуйте площину, що проходить через точку М паралельно площині ACC 1 .

3) Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через точку M 1 паралельно площині CDD 1 .

4) Визначте взаємне розташування площин МА 1 В 1

та CDМ1.

5) Побудуйте площину, що проходить через пряму C 1 D 1 паралельно площині CDM 1 .

210. У правильній чотирикутній піраміді SABCD усі ребра рівні між собою. Точки L, M і N - середини ребер AS, BS, CS відповідно.

1°) Визначте взаємне розташування: прямих LM і BC; прямийLN та площиниABD; площин LMN і BDC.

2°) Доведіть, що трикутники ABC і LMN подібні.

3) Побудуйте переріз піраміди площиною AMN; площиною LMN; площиною LBC.

4*) Який із перерізів піраміди, що проходять через вершину S , має найбільшу площу?

Паралельність прямих та площин

У тетраедрі SABC усі грані – правильні трикутники. Точки L, M і N - середини ребер AS, BS, CS відповідно. 1°) Визначте взаємне розташування прямих LM і ВС. 2°) Визначте взаємне розташування прямої LN і площині АВС.

3) Доведіть, що трикутники LMN і AВС подібні.

Побудуйте переріз куба, що є: 1°) рівностороннім трикутником; 2) п'ятикутником.

217. Побудуйте перетин тетраедра, що є паралелограмом.

218 °. Доведіть, що протилежні граніПаралелепіпеди паралельні.

219. Доведіть, що безліч усіх прямих, що проходять через дану точкуі паралельних даній площині, утворює площину, паралельну даній.

220. Дано чотири точки A, B, C, D, що не лежать в одній площині. Доведіть, що кожна площина, паралельна прямим AB і CD, перетинає прямі AC, AD, BD, BC у вершинах паралелограма.

221. Доведіть, що площина і пряма, що не належить цій площині, є паралельними між собою, якщо обидві вони паралельні одній і тій самій площині.

222. Через точку перетину діагоналей куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена площина паралельно грані ABCD. Ця площина перетинає ребра BB 1 і CC 1 у точках M і N відповідно. Доведіть, що кут MON - прямий.

223. Доведіть, що дві площини паралельні між собою тоді і тільки тоді, коли кожна пряма, що перетинає одну з площин, перетинає і другу.

224*. У трикутній піраміді SABC через відрізки AD і CE, де D – середина SB, а E – середина SA, проведіть перерізи піраміди, паралельні між собою.

225. Знайдіть геометричні місця:

1) середини всіх відрізків з кінцями на двох даних паралельних площинах; 2*) середин відрізків з кінцями на двох даних прямих, що схрещуються.

226*. Сторона АВ трикутника АВС, що лежить у площині α, паралельна площині β. Рівносторонній трикутник А 1 В 1 С 1 є паралельною проекцією трикутника АВС на площину β; АВ = 5, ВС = 6, АС = 9.

1) Встановіть взаємне розташування прямих АВ і А 1 В 1 ,

ВС та В1 С1 , А1 С1 та AC.

2) Знайдіть площу трикутника А 1 В 1 С 1 .

227*. Дано дві схрещувальні прямі. Вкажіть безліч усіх точок простору, через які можна провести пряму, яка перетинає кожну з двох даних прямих.

Основне визначення

Дві площини називають-

ються паралельними,

якщо вони не мають спільних точок.

Основні твердження

Ознака парал- Якщо дві перетинають двох прямі одноплощин площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці плос-

кістки паралельні.

Теорема про пе- Якщо дві паралель-посічні дві площини пе-паралельных ресікаються третьоюплощин площиною, то лініїтретьої перетину плоскос-

тій паралельні.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β,М β

Готуємося до тематич-

кому оцінювання на тему «Паралельність прямих і площин»

Завдання для самоконтролю

1. Чотири точки не належать до однієї площини. Чи можуть деякі з них лежати на одній прямій?

2. Можуть літри різні плоскості мати рівно дві спільні крапки?

3. Чи можуть дві прямі, що схрещуються, бути одночасно паралельними третій прямій?

4. Чи вірно, що пряміа і b не паралельні, якщо не існує прямойс , паралельна і b ?

5. Чи можуть рівні відрізки мати нерівні проекції?

6. Чи може промінь бути паралельною проекцією прямою?

7. Чи може бути квадрат зображенням куба?

8. Чи правильно, що через цю точку простору можна провести лише одну площину, паралельну даній прямій?

9. Чи завжди через дану точку можна провести пряму, паралельну двом даним площинам, які не містять цієї точки?

10. Чи можна через дві прямі, що схрещуються, провести паралельні площини?

Відповіді до завдань для самоконтролю

Зразок контрольної роботи

Два паралелограми АBCD і АBC 1 D 1 лежать у різних площинах.

1°) Визначте взаємне розташування прямих CD і C 1 D 1 .

2°) Визначте взаємне розташування прямої C 1 D 1 та площини

3°) Побудуйте лінію перетину площин DD 1 С 1 іВСС 1 .

4°) Визначте взаємне розташування площин АDD 1 і ВCC 1 .

5) Через точку М , що ділить відрізок АВ щодо 2:1, рахуючи від точки А , проведіть площину α, паралельну площині 1ВС. 6) Побудуйте точку перетину прямої АС з площиною α і знайдіть відношення, в якому ця точка ділить відрізок АС.

Взаємне розташування прямих і плоскостей у просторі

Тригонометричні

З тригонометричними функціями ви вже мали справу на уроках геометрії. До цих пір їх застосування, в основному, обмежувалися розв'язком трикутників, тобто йшлося про знаходження одних елементів трикутника по інших. З історії математики відомо, що виникнення тригонометрії пов'язане з виміром довжин та кутів. Однак тепер сфера

її додатків набагато ширше, ніж у давнину.

Слово «тригонометрія» походить від грецьких τριγωνον

(trigonon) - трикутник і µετρεω (metreo) - міряю, змі-

ряю. Буквально воно означає вимір трикутників.

У цьому розділі систематизується матеріал, вже відомий вам з курсу геометрії, продовжується вивчення тригонометричних функційта їх додатків для характеристики періодичних процесів, зокрема, обертального руху, коливальних процесів тощо.

Більшість застосувань тригонометрії стосуються саме періодичних процесів, тобто процесів, що повторюються через рівні проміжки часу. Схід і захід Сонця, зміни пір року, обертання колеса – це найпростіші приклади таких процесів. Механічні та електромагнітні коливання є також важливими прикладами періодичних процесів. Тому дослідження періодичних процесів – важливе завдання. І роль математики у його рішенні є визначальною.

готуємося до вивчення теми «Тригонометричні функції»

Вивчення теми «Тригонометричні функції» доцільно розпочати з повторення визначень та властивостей тригонометричних функцій кутів трикутників та їх застосування для розв'язання як прямокутних, так і довільних трикутників.

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів прямокутного

трикутника

Таблиця 24

Синусом гострого кута називають ставлення протилежного катета до гіпотенузи:

sin α = a c.

Косинусом гострого кута називають ставлення прилеглого катетадо гіпотенузи:

cosα = bc.

Тангенсом гострого кута називають ставлення протилежного катета до прилеглого:

tg α = a b.

Котангенсом гострого кута називають відношення прилеглого катета до протилежного:

ctgα = a b.

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів від 0 ° до 180 °

Таблиця 25

sin α = R y; cosα = R x;

tg α = x y; ctgα = x y.

(х;у) - координати точки А, розташованої на верхньому півкола, α - Кут, утворений радіусом ОАкола з віссю х.

Значення синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу

деяких кутів

Таблиця 26

Кут t

Рішення довільних трикутників

Таблиця 27

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

sin aα = sin bβ = sin cγ .

Теорема косінусів

Квадрат довільної сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного твору цих сторін на косинус кута між ними:

c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ , b2 = a2 + c2 − 2 ac cos β , a2 = b2 + c2 − 2 bc cos α .

Площа трикутника дорівнює половині твору двох його сторін та синуса кута між ними:

S=1 2 absinγ = 1 2 acsinβ = 1 2 bcsinα .

Основні тригонометричні тотожності

5. Порівняйте суму синусів гострих кутівдовільного прямокутного трикутника (позначимо її черезА) з одиницею.

< 1. Б.А= 1.

> 1. р.Порівняти неможливо. Розташуйте за зростанням числа: а= sin 30 °, b= cos 30 °,

= tg 30 °.

< b<c.Б.a<c<b

15. Вкажіть координати точкиА, що лежить на колі радіусу 1 (див. рис.).

(−1; 0).Б.(1; 0).

(0; − 1). р.(0; 1).А.Ст.

Паралельність площин є поняттям, яке вперше з'явилося в евклідовій геометрії понад дві тисячі років тому.

Народження цієї наукової дисципліни пов'язане з найвідомішою працею давньогрецького мислителя Евкліда, який написав третьому столітті до нашої ери памфлет «Початку». Поділені на тринадцять книг, «Початки» були найвищим досягненням усієї античної математики та викладали фундаментальні постулати, пов'язані з властивостями плоских постатей.

Класична умова паралельності площин була сформульована наступним чином: дві площини можуть бути паралельними, якщо вони між собою не мають спільних точок. Про це говорив п'ятий постулат евклідової праці.

Властивості паралельних площин

В евклідовій геометрії їх виділяють, як правило, п'ять:

• Властивість перша(Описує паралельність площин та їх єдиність). Через одну точку, що лежить поза конкретною даною площиною, ми можемо провести одну і лише одну паралельну їй площину

• Властивість третя(іншими словами воно називається властивістю прямої, що перетинає паралельність площин). Якщо окремо взята пряма лінія перетинає одну з цих паралельних площин, вона перетне і іншу.

• Властивість четверта(Властивість прямих ліній, висічених на площинах, паралельних одна одній). Коли дві паралельні площини перетинаються третьою (під будь-яким кутом), лінії їхнього перетину також є паралельними

• Властивість п'ята(Властивість, що описує відрізки різних паралельних прямих, що укладені між площинами, паралельними один одному). Відрізки тих паралельних прямих, укладених між двома паралельними площинами, обов'язково рівні.

Паралельність площин у неевклідових геометріях

Такими підходами є геометрія Лобачевського і Рімана. Якщо геометрія Евкліда реалізовувалася на плоских просторах, то Лобачевського в негативно викривлених просторах (вигнутих попросту кажучи), а Рімана вона знаходить свою реалізацію в позитивно викривлених просторах (іншими словами - сферах). Існує дуже поширена стереотипна думка, що у Лобачевського паралельні площини (і лінії теж) перетинаються.

Однак це не так. Дійсно народження гіперболічної геометрії було пов'язане з доказом п'ятого постулату Евкліда і зміною поглядів на нього, проте саме визначення паралельних площин і прямих передбачає, що вони не можуть перетнутися ні у Лобачевського, ні у Рімана, в яких просторах вони не реалізовувалися б. А зміна поглядів та формулювань полягала в наступному. На зміну постулату про те, що лише одну паралельну площину можна провести через точку, що не лежить на даній площині, прийшло інше формулювання: через точку, яка не лежить на даній конкретній площині, можуть проходити дві, принаймні, прямі, які лежать у однієї площини з цією і не перетинають її.

е властивість па ралельних прямих, зване транзитивністю паралельності:

• Якщо дві прямі а і b паралельні до третьої прямої с, то вони паралельні ні один одному.

Але довести цю властивість у стереометрії складніше. На площині непаралельні прямі повинні перетинатися і тому можуть бути одночасно паралельні третьої (інакше порушується аксіома паралельних). У проподорожі існують непаралельні і притом прямі, що не перетинаютьсяякщо вони лежать у різних площинах. Про таких прямих кажуть, що вони схрещуються.

На рис. 4 зображений куб; прямі АВ та ВС перетинаються, АВ та CDпаралельні, а АВ та В З схрещуються. Надалі ми часто вдаватимемося до допомоги куба, щоб ілюспоняття та факти стереометрії. Наш куб склеєний із шести граней-квадратів. Виходячи з цього, ми виводитимемо й інші його властивості. Наприклад, можна стверджувати, що пряма АВ паралельна CD,тому що обидві вони паралельні спільній стороні CD зітримають їх квадратів.

У стереометрії відношення паралельності розглядається і для площин: дві пл.скості або пряма та площина паралельні, якщо вони не мають спільних точок. Пряму і площину зручно вважати паралельними у тому випадку, коли лежить у площині. Для площин і прямих справедливі теореми про транзитивність:

• Якщо дві площини паралельні до третьої площини, то вони паралельні між собою.
• Якщо пряма і площина паралельні до деякої прямої (або площини), то вони паралельні один одному.

Найбільш важливий окремий випадок другої теореми - ознака паралельності прямої та площини:

• Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна до деякої прямої в цій площині.

А ось ознака паралельності площин:

• Якщо дві прямі, що перетинаються, в одній площині відповідно паралельні двом перетинаються прямим в іншій площині, то і площини паралельні.

Часто використовується і така проста теорема:

• Прямі, якими дві паралельні площини перетинаються третьої, паралельні одне одному.

Подивимося ще раз на куб (рис. 4). З ознаки паралельності прямої та площини випливає, наприклад, що пряма А У паралельна площині АВСD (оскільки вона паралельна прямий АВ у цій площині), а протилежні грані куба, зокрема А У З D та ABCD, паралельні за ознакою паралельності площин: прямі A B та B З в одній грані відповідно паралельні прямим АВ та ВС в іншій. І трохи менш простий приклад. Площина, що містить паралельні прямі AA та СС, перетинають паралельні площини АВСD та A B C D по прямих АС та А З, отже, ці прямі паралельні: аналогічно, паралельні прямі С та А D. Отже, паралельні площини АВ С та А DC, що перетинають куб трикутниками.

ІІІ. Зображення просторових фігур.

Є такий афоризм.це спокусаство правильно міркувати на неправильному кресленні. Справді, якщо повернутися до зложенным вище міркуванням, то виявиться:

єдина користь, яку ми витягли з малюнку куба, що їх супроводжував, полягає в тому, що він заощадив нам місце на поясіні позначень. З тим самим успіхом можна було зобразити його, як тіло на рис. 4, я, хоч, очевидно, представлене на ньому щось не тільки не куб, а й не багатогранник. І все ж у наведеному афоризмі міститься лише частина правди. Адже перш ніж міркувативикладати готовий доказ, треба його задумати. А для цього потрібно ясно уявляти задану фігуру, співвідношення між її елементами. Виробити таку виставу допомагає хороший креслення. Більше того, як ми побачимо, у стереометрії вдалий креслення мохоче стати не просто ілюстрацією, а основою розв'язання задачі.

Художник (вірніше, художник-реаліст) намалює наш куб таким, яким ми його бачимо (рис. 5, б), тобто в перспективі, або центральної проекції. При центральній проекції з точки О (центр проекції) на площину а продовільна точка Х зображується точкою X, у якій перетинається з прямою ОХ (рис. 6). Центральна проекція зберігає прямолінейное розташування точок, але, зазвичай, переводить паралельні прямі в пересекані, не кажучи вже про те, що змінює відстані та кути. Вивчення її властивостей привело до появи важливого розділу геометрії.

Але в геометричних кресленнях використовується інша проекція. Можна сказати, що вона виходить з центральної коли центр О видаляється в нескінченність і прямі ОХ стають папаралельними.

Виберемо площину а і пряму, що її перетинає, l. Проведемо через точку Х пряму, параллельну l. Точка X, у якій ця пряма зустрічається з а, є паралельна проекція Х на площину, а вздовж прямої l (рис. 7). Проекція фігури складається з проекцій усіх її точок. У геометрії під зображенням постаті розуміють її паралельну проекцію.

Зокрема, зображення прямої лініїце пряма лінія або (у винятковому случаї, коли пряма паралельна до напрямку проекції) точка. На зображенні паралель

Дві площини у просторі можуть бути паралельними або можуть перетинатися, як показано в таблиці нижче.

Ознаки паралельності двох площин

Перша ознака паралельності двох площин. Якщо дві прямі, що перетинаютьсяпрямі, що перетинаються, що лежать в одній площині, відповідно паралельніпаралельнідвом прямим, що лежать в іншій площині, такі площини паралельні.

Доведення . Розглянемо малюнок 1, на якому зображені площини α та β

Прямі a і b лежать у площині і перетинаються в точці K . Прямі c і d лежать у площині і паралельні прямим a і b відповідно.

Будемо доводити першу ознаку паралельності двох площин методом «від неприємного». Для цього припустимо, що площини і β не паралельні. Отже, площини α і β повинні перетинатися, причому перетинатися деякою прямою. Позначимо пряму лінію, якою перетинаються площини α і β буквою l (рис.2) і скористаємося ознакою паралельності прямий і площині .

Площина проходить через пряму a, паралельну прямий c, і перетинає площину по прямій l. Звідси, з , укладаємо, що прямі a і l паралельні. У той же час площина проходить через пряму b, паралельну прямій d, і перетинає площину по прямій l. Звідси, з ознаки паралельності прямий і площині , укладаємо, що прямі b і l паралельні. Таким чином, ми отримали, що на площині через точку K проходять дві прямі, а саме, прямі a і b , які паралельні прямий l. Отримана суперечність з аксіомою про паралельні прямідає можливість стверджувати, що припущення про те, що площини і β перетинаються, є неправильним. Доказ першої ознаки паралельності двох площин завершено.

Друга ознака паралельності двох площин. Якщо дві прямі, що перетинаються, лежать в одній площині, паралельні іншій площині, то такі площини паралельні.

Доведення . Розглянемо малюнок 3, на якому зображені площини α та β.

На цьому малюнку також зображені прямі a і b, які лежать у площині і перетинаються в точці K. За умовою кожна з прямих a і b паралельна площині. Потрібно довести, що площини α та β паралельні.

Доказ цього твердження аналогічний доказу першої ознаки паралельності двох площин, і ми його залишаємо читачеві як корисну вправу.

На нашому сайті можна також ознайомитись із розробленими викладачами навчального центру «Резольвента» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики.

У цій статті будуть вивчені питання паралельності площин. Дамо визначення площин, які паралельні між собою; позначимо ознаки та достатні умови паралельності; розглянемо теорію на ілюстраціях та практичних прикладах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Паралельні площини– площини, які мають загальних точок.

Щоб позначити паралельність застосовують такий символ: . Якщо задані дві площини: α і β , що є паралельними, короткий запис буде виглядати так: α ‖ β .

На кресленні, як правило, площини, паралельні один одному, відображаються як два рівні паралелограми, що мають зміщення відносно один одного.

У мові паралельність можна позначити так: площини α і β паралельні, а також – площина α паралельна площині β або площина β паралельна площині α.

Паралельність площин: ознака та умови паралельності

У процесі вирішення геометричних завдань найчастіше виникає питання: а чи паралельні задані площини між собою? Для отримання відповіді це питання використовують ознака паралельності, який також є достатньою умовою паралельності площин. Запишемо його як теорему.

Теорема 1

Площини є паралельними, якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині.

Доказ цієї теореми наводиться у програмі геометрії за 10 – 11 клас.

У практиці докази паралельності, зокрема, застосовують дві такі теореми.

Теорема 2

Якщо одна з паралельних площин паралельна третій площині, то інша площина або паралельна цій площині, або збігається з нею.

Теорема 3

Якщо дві несхожі площини перпендикулярні до деякої прямої, то вони паралельні.

На основі цих теорем і самої ознаки паралельності доводиться факт паралельності будь-яких двох площин.

Розглянемо докладніше необхідну та достатню умову паралельності площин α і β, заданих у прямокутній системі координат тривимірного простору.

Припустимо, що у певній прямокутній системі координат задана площина α, якій відповідає загальне рівняння A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а також задана площина β , яку визначає загальне рівняння виду A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Теорема 4

Для паралельності заданих площин α і β необхідно і достатньо, щоб система лінійних рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не мала рішення (Була несумісною).

Доведення

Припустимо, що задані площини, що визначаються рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 є паралельними, а отже, не мають спільних точок . Отже, немає жодної точки у прямокутної системі координат тривимірного простору, координати якої відповідали б умовам одночасно обох рівнянь площин, тобто. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 немає рішення. Якщо зазначена система немає рішень, тоді немає жодної точки у прямокутної системі координат тривимірного простору, чиї координати одночасно відповідали б умовам обох рівнянь системи. Отже, площини, задані рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 немає жодної спільної точки, тобто. вони паралельні.

Розберемо використання необхідної та достатньої умови паралельності площин.

Приклад 1

Задано дві площини: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 і 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0. Необхідно визначити, чи є вони паралельними.

Рішення

Запишемо систему рівнянь із заданих умов:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Перевіримо, чи можна вирішити отриману систему лінійних рівнянь.

Ранг матриці 2 3 1 2 3 1 1 3 дорівнює одному, оскільки мінори другого порядку дорівнюють нулю. Ранг матриці 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 дорівнює двом, оскільки мінор 2 1 2 3 - 4 відмінний від нуля. Таким чином, ранг основної матриці системи рівнянь менший, ніж ранг розширеної матриці системи.

Разом з цим, з теореми Кронекера-Капеллі випливає: система рівнянь 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не має розв'язків. Цим фактом доводиться, що площини 2 x + 3 y + z - 1 = 0 та 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 є паралельними.

Зазначимо, що, якби ми застосували для вирішення системи лінійних рівнянь метод Гаусса, це дало б результат.

Відповідь:задані площини паралельні.

Необхідну і достатню умову паралельності площин можна описати по-іншому.

Теорема 5

Щоб дві несхожі площини α і β були паралельні один одному необхідно і достатньо, щоб нормальні вектори площин α і β були колінеарними.

p align="justify"> Доказ сформульованої умови базується на визначенні нормального вектора площини.

Припустимо, що n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) і n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) є нормальними векторами площин α і β відповідно. Запишемо умову колінеарності даних векторів:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , де t - якесь дійсне число.

Таким чином, щоб незрівнянні площини α і β із заданими вище нормальними векторами були паралельні, необхідно і достатньо, щоб мало місце дійсне число t для якого вірна рівність:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2

Приклад 2

У прямокутній системі координат тривимірного простору задані площини і . Площина проходить через точки: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Площина β описується рівнянням x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необхідно довести паралельність заданих площин.

Рішення

Впевнимося, що задані площини не збігаються. Справді так і є, оскільки координати точки A не відповідають рівнянню площини β .

Наступним кроком визначимо координати нормальних векторів n 1 → і n 2 → відповідні площинам α і β. Також перевіримо умову колінеарності цих векторів.

Вектор n 1 → можна встановити, взявши векторний добуток векторів A B → і A C → . Їх координати відповідно: (- 3, 0, 1) і (-2, 2, - 2). Тоді:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Для отримання координат нормального вектора площини x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 наведемо це рівняння до загального рівняння площини:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Таким чином: n 2 → = 1 12 2 3 1 4 .

Здійснимо перевірку, чи виконується умова колінеарності векторів n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) та n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Оскільки - 1 = t · 1 12 - 8 = t · 2 3 - 3 = t · 1 4 ⇔ t = - 12 , то вектори n 1 → і n 2 → пов'язані рівністю n 1 ​​→ = - 12 · n 2 → , тобто. є колінеарними.

Відповідь: площини і β не збігаються; їх нормальні вектори колінеарні. Таким чином, площини і β паралельні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter