Конус (з грецької "konos")- Соснова шишка. Конус знайомий людям з давнину. У 1906 році була виявлена ​​книга «Про метод», написана Архімедом (287-212 рр. до н. е..), в цій книзі дається розв'язання задачі про обсяг загальної частини циліндрів, що перетинаються. Архімед каже, що це відкриття належить давньогрецькому філософуДемокриту (470-380 рр. е.), який з допомогою даного принципу отримав формули обчислення обсягу піраміди і конуса.

Конус (круговий конус) – тіло, що складається з кола – основа конуса, точки, що не належить площині цього кола, – вершини конуса та всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса та точки кола основи. Відрізки, які з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називають утворюючими конуса. Поверхня конуса складається з основи та бічної поверхні.

Конус називається прямим, якщо пряма, яка з'єднує вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи. Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, отримане під час обертання прямокутного трикутникадовкола його катета як осі.

Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром основи. Осі прямого конуса називається пряма, що містить його висоту.

Перетин конуса площиною, що проходить через утворює конуса і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною конуса.

Площина, перпендикулярна до осі конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса.

Площина перпендикулярна осі конуса відсікає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається усіченим конусом.

Обсяг конуса дорівнює третині твору висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.

Площу бічної поверхні конуса можна знайти за формулою:

S бік = πRl,

Площа повної поверхні конуса знаходиться за формулою:

S кон = πRl + πR 2 ,

де R - радіус основи, l - Довжина утворює.

Об'єм кругового конуса дорівнює

V = 1/3 πR 2 H,

де R – радіус основи, Н – висота конуса

Площа бічної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою:

S бік = π(R + r)l,

Площу повної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

де R – радіус нижньої основи, r – радіус верхньої основи, l – довжина утворює.

Об'єм усіченого конуса можна знайти таким чином:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

де R – радіус нижньої основи, r – радіус верхньої основи, Н – висота конуса.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Усічений конус виходить, якщо від конуса відсікти менший конус площиною, паралельною до основи (рис. 8.10). У усіченому конусі дві основи: "нижня" - основа вихідного конуса - і "верхня" - основа конуса, що відсікається.По теоремі про переріз конуса - основи усіченого конуса подібні.

Висотою зрізаного конуса називається перпендикуляр, опущений з точки однієї основи на площину іншого. Усі такі перпендикуляри дорівнюють (див. п. 3.5). Висотою називають також їх довжину, тобто відстань між площинами основ.

Усічений конус обертання виходить із конуса обертання (рис. 8.11). Тому його основи і всі паралельні їм його перерізи – кола з центрами на одній прямій – на осі. Усічений конус обертання виходить обертанням прямокутної трапеції навколо її бічної сторони, перпендикулярної основ, або обертанням

рівнобедреної трапеції навколо осі симетрії (рис. 8.12).

Бічна поверхня зрізаного конуса обертання

Це частина бічної поверхні конуса обертання, з якого він отриманий. Поверхня зрізаного конуса обертання (або його повна поверхня) складається з його основ та його бічної поверхні.

8.5. Зображення конусів обертання та усічених конусів обертання.

Прямий круговий конус малюють так. Спочатку малюють еліпс, що зображує коло основи (рис. 8.13). Потім знаходять центр основи - точку Про вертикально проводять відрізок РВ, який зображує висоту конуса. З точки Р проводять до еліпсу дотичні (опорні) прямі (практично це роблять на око, прикладаючи лінійку) і виділяють відрізки РА та РВ цих прямих від точки Р до точок дотику А та В. Зверніть увагу, що відрізок АВ – це не діаметр основи конуса, а трикутник АРВ – не осьовий перетин конуса. Осьовий переріз конуса – це трикутник АРС: відрізок АС проходить через точку О. Невидимі лінії малюють штрихами; відрізок ОР часто не малюють, а лише подумки намічають, щоб зобразити вершину конуса Р над центром підстави - точкою Про.

Зображуючи зрізаний конус обертання, зручно намалювати спочатку той конус, з якого виходить зрізаний конус (рис. 8.14).

8.6. Конічні перерізи. Ми вже говорили, що бічну поверхню циліндра обертання площину перетинає еліпсом (п. 6.4). Також і переріз бічної поверхні конуса обертання площиною, що не перетинає його основу, є еліпсом (рис. 8.15). Тому еліпс називається конічним перетином.

До конічних перерізів відносяться й інші добре відомі криві – гіперболи та параболи. Розглянемо необмежений конус, що утворюється при продовженні бічної поверхні конуса обертання (рис. 8.16). Перетнемо його площиною а, що не проходить через вершину. Якщо ж перетинає всі утворюючі конуси, то в перерізі, як уже сказано, отримуємо еліпс (рис. 8.15).

Повертаючи площину ОС, можна домогтися того, щоб вона перетинала всі конуса К, що утворюють, крім однієї (який ОС паралельна). Тоді у перерізі отримаємо параболу (рис. 8.17). Нарешті, обертаючи площину ОС далі, переведемо її в таке положення, що а, перетинаючи частину утворюючих конуса К, не перетинає вже безліч інших його утворюючих і паралельна двом з них (рис. 8.18). Тоді в перерізі конуса К з площиною а отримуємо криву, яку називають гіперболою (точніше, одну її "гілка"). Так, гіпербола, яка є графіком функції окремий випадокгіперболи - рівнобічна гіпербола, подібно до того як коло є окремим випадком еліпса.

Будь-які гіперболи можна отримати з рівнобічних за допомогою проектування, аналогічно тому, як еліпс виходить паралельним проектуванням кола.

Щоб отримати обидві гілки гіперболи, треба взяти перетин конуса, що має дві "порожнини", тобто конуса, утвореного не променями, а прямими, що містять утворюють бічній поверхні конуса обертання (рис. 8.19).

Конічні перерізи вивчали ще давньогрецькі геометри, та його теорія була однією з вершин античної геометрії. Найбільш повне дослідженняконічних перерізів у давнину було проведено Аполлонієм Пергським (III ст. до н.е.).

Є ряд важливих властивостей, що поєднують в один клас еліпси, гіперболи та параболи. Наприклад, ними вичерпуються "невироджені", тобто не зводяться до точки, прямої або парі прямих, криві, які задаються на площині декартових координатахрівняннями виду

Конічні перерізи відіграють важливу роль у природі: по еліптичних, параболічних та гіперболічних орбіт рухаються тіла в полі тяжіння (згадайте закони Кеплера). Чудові властивості конічних перерізів часто використовуються в науці та техніці, наприклад, при виготовленні деяких оптичних приладів або прожекторів (поверхня дзеркала в прожекторі виходить обертанням дуги параболи навколо осі параболи). Конічні перерізи можна спостерігати як межі тіні від круглих абажурів (рис. 8.20).

Отримане об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Далі розглядатиметься саме цей випадок, якщо не обговорено протилежне. Якщо основа конуса є багатокутником, конус стає пірамідою.

"== Пов'язані визначення ==

• Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
• Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
• Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
• Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) та ортогональна проекціявершини конуса на площину основи збігаються з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
• Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
• Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
• Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
• Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
• Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом.

Властивості

• Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.
• Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

• Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

• Об'єм кругового конуса дорівнює

• Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних перерізів (у невироджених випадках – еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Узагальнення

В геометрії алгебри конус- це довільне підмножина векторного простору над полем, для якого для будь-якого

Див. також

• Конус (топологія)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Конус (геометрична фігура)" в інших словниках:

Конус: У математиці Конус геометрична фігура. Конус над топологічним простором. Конус (Теорія категорій). У техніці Конус інструментальний метод сполучення інструменту та шпинделя у верстатах. Конусний пристрій вузол… … Вікіпедія

Геометрія розділу математики, тісно пов'язаний з поняттям простору; залежно від форм опису цього поняття виникають різні видигеометрії. Передбачається, що читач, приступаючи до читання цієї статті, має деякі… Енциклопедія Кольєра

Візуалізація зображення на екрані дисплея (монітора). На відміну від відтворення зображення на папері або іншому носії, зображення, створене на екрані, можна майже негайно стерти або підправити, стиснути або розтягнути, … Енциклопедичний словник

Історія науки … Вікіпедія

Історія науки За тематикою Математика Природні науки… Вікіпедія

- (грец. geodaisia, від ge Земля і daio ділю, поділяю), наука про визначення положення об'єктів на земній поверхні, про розміри, форму та гравітаційне поле Землі та інших планет. Це галузь прикладної математики, тісно пов'язана з геометрією, … Енциклопедія Кольєра

а площиною, паралельною підставі ( Мал. ). Обсяг У. до. дорівнює , де r 1 і r 2 – радіуси основ, h –висота.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Усічений конус" в інших словниках:

Геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною до основи (рис.). Об'єм усіченого конуса дорівнює. * * * УСЕЧЕНИЙ КОНУС УСЕЧЕНИЙ КОНУС, геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною основі. Об `єм… … Енциклопедичний словник

усічений конус- — Тематика нафтогазова промисловість EN truncated cone … Довідник технічного перекладача

УСЕЧЕНИЙ, усічений, усічений; усічений, усічений, усічений. 1. прич. страждань. прош. вр. від усіч (книжн.). 2. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною підставі (про конус, піраміду; мат.). Усічений конус. Усічена піраміда … Тлумачний словникУшакова

усічений- ая, ое.; матем. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. У я піраміда ... Словник багатьох виразів

УСЕЧЕНИЙ, ая, ое. У математиці: такий, у якого вершинна частина відокремлена, відсічена площиною, паралельною підставі. У. конус. Усічена піраміда. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

Ая, о. 1. прич. страждань. прош. від усіч. 2. у знач. дод. мат. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. Усічена піраміда. 3. у знач. дод. р., літ. З усіченням (у 2 знач.), що представляє … Малий академічний словник

Прямий круговий конус. Прямий та … Вікіпедія

- (лат. conus, від грецьк. konos) конічна поверхня безліч прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Найпростіший К. круглий, або прямий круговий, що направляє до … Великий енциклопедичний політехнічний словник

- (Лат. conus, від грецьк. konos) (математика), 1) К., або конічна поверхня, геометричне місце прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Велика Радянська Енциклопедія

Навколишній світ динамічний і різноманітний, і далеко не всякий об'єкт можна просто обміряти лінійкою. Для подібного перенесення використовуються спеціальні техніки, як то тріангуляція. Потреба у складанні складних розгорток, як правило, ... Вікіпедія