а площиною, паралельною підставі ( Рис. ). Обсяг У. до. дорівнює , де r 1 та r 2 – радіуси основ, h –висота.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Усічений конус" в інших словниках:

Геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною до основи (рис.). Об'єм усіченого конуса дорівнює. * * * УСЕЧЕНИЙ КОНУС УСЕЧЕНИЙ КОНУС, геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною основі. Об `єм… … Енциклопедичний словник

усічений конус- — Тематика нафтогазова промисловість EN truncated cone … Довідник технічного перекладача

УСЕЧЕНИЙ, усічений, усічений; усічений, усічений, усічений. 1. прич. страждань. прош. вр. від усіч (книжн.). 2. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною основі (про конус, піраміду; мат.). Усічений конус. Усічена піраміда … Тлумачний словникУшакова

усічений- ая, ое.; матем. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. У я піраміда ... Словник багатьох виразів

УСЕЧЕНИЙ, ая, ое. У математиці: такий, у якого вершинна частина відокремлена, відсічена площиною, паралельною підставі. У. конус. Усічена піраміда. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

Ая, о. 1. прич. страждань. прош. від усіч. 2. у знач. дод. мат. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. Усічена піраміда. 3. у знач. дод. р., літ. З усіченням (у 2 знач.), що представляє … Малий академічний словник

Прямий круговий конус. Прямий та … Вікіпедія

- (лат. conus, від грецьк. konos) конічна поверхня безліч прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Найпростіший К. круглий, або прямий круговий, що направляє до … Великий енциклопедичний політехнічний словник

- (Лат. conus, від грецьк. konos) (математика), 1) К., або конічна поверхня, геометричне місце прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Велика Радянська Енциклопедія

Навколишній світ динамічний і різноманітний, і далеко не всякий об'єкт можна просто обміряти лінійкою. Для подібного перенесення використовуються спеціальні техніки, як то тріангуляція. Потреба у складанні складних розгорток, як правило, ... Вікіпедія

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Рис. 1. Предмети з життя, що мають форму зрізаного конуса

Як ви вважаєте, звідки в геометрії беруться нові фігури? Все дуже просто: людина в житті стикається зі схожими об'єктами і вигадує, як би їх назвати. Розглянемо тумбу, на якій сидять леви в цирку, шматок моркви, який виходить, коли ми нарізали тільки частину її, вулкан, що діє, і, наприклад, світло від ліхтарика (див. рис. 1).

Рис. 2. Геометричні фігури

Ми бачимо, що всі ці фігури схожої форми – і знизу, і зверху вони обмежені колами, але вони звужуються догори (див. рис. 2).

Рис. 3. Відсікання верхньої частини конуса

Це схоже на конус. Тільки не вистачає верхівки. Подумки уявімо, що ми беремо конус і відсікаємо від нього верхню частину одним помахом гострого меча(Див. рис. 3).

Рис. 4. Усічений конус

Виходить саме наша фігура, називається вона усічений конус (див. рис. 4).

Рис. 5. Перетин, паралельний підставі конуса

Нехай дано конус. Проведемо площину, паралельну площиніоснови цього конуса і конус, що перетинає (див. рис. 5).

Вона розіб'є конус на два тіла: одне з них – конус меншого розміру, а друге і називається усіченим конусом (див. рис. 6).

Рис. 6. Отримані тіла при паралельному перерізі

Таким чином, усічений конус - це частина конуса, укладена між його основою та паралельною основою площиною. Як і у випадку з конусом, усічений конус може мати в основі коло - у цьому випадку його називають круговим. Якщо вихідний конус був прямим, те й усічений конус називають прямим. Як і у випадку з конусами, ми розглядатимемо виключно прямі кругові усічені конуси, якщо спеціально не зазначено, що йдеться про непрямий усічений конус або в його підставах не кола.

Рис. 7. Обертання прямокутної трапеції

Наша глобальна тема – тіла обертання. Усічений конус - не виняток! Згадаймо, що для отримання конуса ми розглядали прямокутний трикутникі обертали його довкола катета? Якщо отриманий конус перетнути площиною, паралельною до основи, то від трикутника залишиться прямокутна трапеція. Її обертання навколо меншого боку і дасть нам усічений конус. Зауважимо знову, що мова, зрозуміло, йдеться тільки про пряме круговому конусі(Див. рис. 7).

Рис. 8. Підстави усіченого конуса

Зробимо кілька зауважень. Основу повного конуса і коло, що утворюється в перерізі конуса площиною, називають основами усіченого конуса (нижнім і верхнім) (див. рис. 8).

Рис. 9. Утворені зрізаного конуса

Відрізки утворюють повного конуса, укладені між основами зрізаного конуса, називають утворюючими зрізаного конуса. Так як всі утворюють вихідного конуса рівні і всі утворюють відсічений конус рівні, то і утворюють усіченого конуса рівні (не плутати відсічений і усічений!). Звідси й випливає рівнобедреність трапеції осьового перерізу (див. рис. 9).

Відрізок осі обертання, укладений усередині зрізаного конуса, називають віссю зрізаного конуса. Цей відрізок, зрозуміло, поєднує центри його основ (див. рис. 10).

Рис. 10. Вісь усіченого конуса

Висота зрізаного конуса - це перпендикуляр, проведений з точки однієї з основ до іншої основи. Найчастіше, як висота зрізаного конуса розглядають його вісь.

Рис. 11. Осьовий переріз усіченого конуса

Осьовий переріз зрізаного конуса - це перетин, що проходить через його вісь. Воно має вигляд трапеції, трохи згодом ми доведемо її рівнобедреність (див. рис. 11).

Рис. 12. Конус із введеними позначеннями

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса. Нехай основи зрізаного конуса мають радіуси і , а твірна дорівнює (див. рис. 12).

Рис. 13. Позначення утворює відсіченого конуса

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса як різницю площ бічних поверхонь вихідного конуса та відсіченого. Для цього позначимо через утворюючу відсіченого конуса (див. рис. 13).

Тоді шукана.

Рис. 14. Подібні трикутники

Залишилося висловити.

Зауважимо, що з подоби трикутників, звідки (див. рис. 14).

Можна було б висловити, розділивши на різницю радіусів, але нам це не потрібно, адже в шуканому виразі якраз фігурує твір. Підставивши замість нього, маємо: .

Нескладно тепер отримати формулу для площі повної поверхні. Для цього достатньо додати площі двох кіл підстав: .

Рис. 15. Ілюстрація до завдання

Нехай усічений конус отриманий обертанням прямокутної трапеції навколо її висоти. Середня лінія трапеції дорівнює, а велика бічна сторони - (див. рис. 15). Знайти площу бічної поверхні отриманого зрізаного конуса.

Рішення

За формулою ми знаємо, що .

Утворюючий конус буде велика сторона вихідної трапеції, тобто Радіуси конуса - це підстави трапеції. Знайти їх ми можемо. Але нам і не треба: потрібна лише їхня сума, а сума підстав трапеції вдвічі більша за її середньої лініїтобто вона дорівнює. Тоді.

Зверніть увагу, що коли ми говорили про конус, ми проводили паралелі між ним і пірамідою - формули були аналогічними. Так само і тут, адже усічений конус дуже схожий на усічену піраміду, так що формули для площ бічної та повної поверхонь усіченого конуса та піраміди (а скоро будуть і формули для об'єму) аналогічні.

Рис. 1. Ілюстрація до завдання

Радіуси підстав усіченого конуса рівні і, а твірна дорівнює. Знайти висоту зрізаного конуса і площу його осьового перерізу (див. рис. 1).

Лекція: Конус. Основа, висота, бічна поверхня, що утворює, розгортка

Конус– це тіло, яке складається з кола, яке знаходиться в основі, з точки рівновіддаленої від усіх точок на колі, а також від прямих, що з'єднують цю точку (вершину) з усіма точками, що лежать на колі.

Декількома питаннями раніше, ми розглядали піраміду. Так ось конус – це окремий випадокпіраміди, в основі якої лежить коло. Майже всі характеристики піраміди підходять і для конуса.

Як можна отримати конус? Згадайте минуле запитання та те, як ми отримали циліндр. Тепер візьміть рівнобедрений трикутник та крутіть його навколо своєї осі – Ви отримаєте конус.

Утворюючі конуси- Це відрізки, укладені між точками кола та вершиною конуса. Утворюючі конуси рівні між собою.

Щоб знайти довжину твірної, слід скористатися формулою:

Якщо всі, що утворюють, з'єднати між собою, можна отримати бічну поверхню конуса. Загальна його поверхня складається з бічної поверхні та основи у вигляді кола.

Конус має висоту. Щоб її отримати, достатньо опустити перпендикуляр з вершини безпосередньо в центр основи.

Щоб знайти площу бічної поверхні, слід скористатися формулою:

Для знаходження повної площі поверхні конуса скористайтеся такою формулою.

Рис. 1. Предмети з життя, що мають форму зрізаного конуса

Як ви вважаєте, звідки в геометрії беруться нові фігури? Все дуже просто: людина в житті стикається зі схожими об'єктами і вигадує, як би їх назвати. Розглянемо тумбу, на якій сидять леви в цирку, шматок моркви, який виходить, коли ми нарізали тільки частину її, вулкан, що діє, і, наприклад, світло від ліхтарика (див. рис. 1).

Рис. 2. Геометричні фігури

Ми бачимо, що всі ці фігури схожої форми – і знизу, і зверху вони обмежені колами, але вони звужуються догори (див. рис. 2).

Рис. 3. Відсікання верхньої частини конуса

Це схоже на конус. Тільки не вистачає верхівки. Подумки уявімо, що ми беремо конус і відсікаємо від нього верхню частину одним помахом гострого меча (див. рис. 3).

Рис. 4. Усічений конус

Виходить саме наша фігура, називається вона усічений конус (див. рис. 4).

Рис. 5. Перетин, паралельний підставі конуса

Нехай дано конус. Проведемо площину, паралельну площині основи цього конуса і конус, що перетинає (див. рис. 5).

Вона розіб'є конус на два тіла: одне з них – конус меншого розміру, а друге і називається усіченим конусом (див. рис. 6).

Рис. 6. Отримані тіла при паралельному перерізі

Таким чином, усічений конус - це частина конуса, укладена між його основою та паралельною основою площиною. Як і у випадку з конусом, усічений конус може мати в основі коло - у цьому випадку його називають круговим. Якщо вихідний конус був прямим, те й усічений конус називають прямим. Як і у випадку з конусами, ми розглядатимемо виключно прямі кругові усічені конуси, якщо спеціально не зазначено, що йдеться про непрямий усічений конус або в його підставах не кола.

Рис. 7. Обертання прямокутної трапеції

Наша глобальна тема – тіла обертання. Усічений конус - не виняток! Згадаймо, що з отримання конуса ми розглядали прямокутний трикутник і обертали навколо катета? Якщо отриманий конус перетнути площиною, паралельною до основи, то від трикутника залишиться прямокутна трапеція. Її обертання навколо меншого боку і дасть нам усічений конус. Зауважимо знову, що мова, зрозуміло, йдеться лише про прямий круговий конус (див. рис. 7).

Рис. 8. Підстави усіченого конуса

Зробимо кілька зауважень. Основу повного конуса і коло, що утворюється в перерізі конуса площиною, називають основами усіченого конуса (нижнім і верхнім) (див. рис. 8).

Рис. 9. Утворені зрізаного конуса

Відрізки утворюють повного конуса, укладені між основами зрізаного конуса, називають утворюючими зрізаного конуса. Так як всі утворюють вихідного конуса рівні і всі утворюють відсічений конус рівні, то і утворюють усіченого конуса рівні (не плутати відсічений і усічений!). Звідси й випливає рівнобедреність трапеції осьового перерізу (див. рис. 9).

Відрізок осі обертання, укладений усередині зрізаного конуса, називають віссю зрізаного конуса. Цей відрізок, зрозуміло, поєднує центри його основ (див. рис. 10).

Рис. 10. Вісь усіченого конуса

Висота зрізаного конуса - це перпендикуляр, проведений з точки однієї з основ до іншої основи. Найчастіше, як висота зрізаного конуса розглядають його вісь.

Рис. 11. Осьовий переріз усіченого конуса

Осьовий переріз зрізаного конуса - це перетин, що проходить через його вісь. Воно має вигляд трапеції, трохи згодом ми доведемо її рівнобедреність (див. рис. 11).

Рис. 12. Конус із введеними позначеннями

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса. Нехай основи зрізаного конуса мають радіуси і , а твірна дорівнює (див. рис. 12).

Рис. 13. Позначення утворює відсіченого конуса

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса як різницю площ бічних поверхонь вихідного конуса та відсіченого. Для цього позначимо через утворюючу відсіченого конуса (див. рис. 13).

Тоді шукана.

Рис. 14. Подібні трикутники

Залишилося висловити.

Зауважимо, що з подоби трикутників, звідки (див. рис. 14).

Можна було б висловити, розділивши на різницю радіусів, але нам це не потрібно, адже в шуканому виразі якраз фігурує твір. Підставивши замість нього, маємо: .

Нескладно тепер отримати формулу для площі повної поверхні. Для цього достатньо додати площі двох кіл підстав: .

Рис. 15. Ілюстрація до завдання

Нехай усічений конус отриманий обертанням прямокутної трапеції навколо її висоти. Середня лінія трапеції дорівнює, а велика бічна сторони - (див. рис. 15). Знайти площу бічної поверхні отриманого зрізаного конуса.

Рішення

За формулою ми знаємо, що .

Утворюючий конус буде велика сторона вихідної трапеції, тобто Радіуси конуса - це підстави трапеції. Знайти їх ми можемо. Але нам і не треба: потрібна лише їхня сума, а сума підстав трапеції вдвічі більша за її середню лінію, тобто вона дорівнює . Тоді.

Зверніть увагу, що коли ми говорили про конус, ми проводили паралелі між ним і пірамідою - формули були аналогічними. Так само і тут, адже усічений конус дуже схожий на усічену піраміду, так що формули для площ бічної та повної поверхонь усіченого конуса та піраміди (а скоро будуть і формули для об'єму) аналогічні.

Рис. 1. Ілюстрація до завдання

Радіуси підстав усіченого конуса рівні і, а твірна дорівнює. Знайти висоту зрізаного конуса і площу його осьового перерізу (див. рис. 1).