а площиною, паралельною підставі ( Рис. ). Обсяг У. до. дорівнює , де r 1 і r 2 – радіуси основ, h –висота.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Усічений конус" в інших словниках:

Геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною до основи (рис.). Об'єм усіченого конуса дорівнює. * * * УСЕЧЕНИЙ КОНУС УСЕЧЕНИЙ КОНУС, геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною основі. Об `єм… … Енциклопедичний словник

усічений конус- — Тематика нафтогазова промисловість EN truncated cone … Довідник технічного перекладача

УСЕЧЕНИЙ, усічений, усічений; усічений, усічений, усічений. 1. прич. страждань. прош. вр. від усіч (книжн.). 2. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною основі (про конус, піраміду; мат.). Усічений конус. Усічена піраміда … Тлумачний словникУшакова

усічений- ая, ое.; матем. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. У я піраміда ... Словник багатьох виразів

УСЕЧЕНИЙ, ая, ое. У математиці: такий, у якого вершинна частина відокремлена, відсічена площиною, паралельною підставі. У. конус. Усічена піраміда. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

Ая, о. 1. прич. страждань. прош. від усіч. 2. у знач. дод. мат. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. Усічена піраміда. 3. у знач. дод. р., літ. З усіченням (у 2 знач.), що представляє … Малий академічний словник

Прямий круговий конус. Прямий та … Вікіпедія

- (лат. conus, від грецьк. konos) конічна поверхня безліч прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Найпростіший К. круглий, або прямий круговий, що направляє до … Великий енциклопедичний політехнічний словник

- (Лат. conus, від грецьк. konos) (математика), 1) К., або конічна поверхня, геометричне місце прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Велика Радянська Енциклопедія

Навколишній світ динамічний і різноманітний, і далеко не всякий об'єкт можна просто обміряти лінійкою. Для подібного перенесення використовуються спеціальні техніки, як то тріангуляція. Потреба у складанні складних розгорток, як правило, ... Вікіпедія

Рис. 1. Предмети з життя, що мають форму зрізаного конуса

Як ви вважаєте, звідки в геометрії беруться нові фігури? Все дуже просто: людина в житті стикається зі схожими об'єктами і вигадує, як би їх назвати. Розглянемо тумбу, на якій сидять леви в цирку, шматок моркви, який виходить, коли ми нарізали тільки частину її, вулкан, що діє, і, наприклад, світло від ліхтарика (див. рис. 1).

Рис. 2. Геометричні фігури

Ми бачимо, що всі ці фігури схожої форми – і знизу, і зверху вони обмежені колами, але вони звужуються догори (див. рис. 2).

Рис. 3. Відсікання верхньої частини конуса

Це схоже на конус. Тільки не вистачає верхівки. Подумки уявімо, що ми беремо конус і відсікаємо від нього верхню частину одним помахом гострого меча(Див. рис. 3).

Рис. 4. Усічений конус

Виходить саме наша фігура, називається вона усічений конус (див. рис. 4).

Рис. 5. Перетин, паралельний підставі конуса

Нехай дано конус. Проведемо площину, паралельну площиніоснови цього конуса і конус, що перетинає (див. рис. 5).

Вона розіб'є конус на два тіла: одне з них – конус меншого розміру, а друге і називається усіченим конусом (див. рис. 6).

Рис. 6. Отримані тіла при паралельному перерізі

Таким чином, усічений конус - це частина конуса, укладена між його основою та паралельною основою площиною. Як і у випадку з конусом, усічений конус може мати в основі коло - у цьому випадку його називають круговим. Якщо вихідний конус був прямим, те й усічений конус називають прямим. Як і у випадку з конусами, ми розглядатимемо виключно прямі кругові усічені конуси, якщо спеціально не зазначено, що йдеться про непрямий усічений конус або в його підставах не кола.

Рис. 7. Обертання прямокутної трапеції

Наша глобальна тема – тіла обертання. Усічений конус - не виняток! Згадаймо, що з отримання конуса ми розглядали прямокутний трикутник і обертали навколо катета? Якщо отриманий конус перетнути площиною, паралельною до основи, то від трикутника залишиться прямокутна трапеція. Її обертання навколо меншого боку і дасть нам усічений конус. Зауважимо знову, що мова, зрозуміло, йдеться лише про прямий круговий конус (див. рис. 7).

Рис. 8. Підстави усіченого конуса

Зробимо кілька зауважень. Основу повного конуса і коло, що утворюється в перерізі конуса площиною, називають основами усіченого конуса (нижнім і верхнім) (див. рис. 8).

Рис. 9. Утворені зрізаного конуса

Відрізки утворюють повного конуса, укладені між основами зрізаного конуса, називають утворюючими зрізаного конуса. Так як всі утворюють вихідного конуса рівні і всі утворюють відсічений конус рівні, то і утворюють усіченого конуса рівні (не плутати відсічений і усічений!). Звідси й випливає рівнобедреність трапеції осьового перерізу (див. рис. 9).

Відрізок осі обертання, укладений усередині зрізаного конуса, називають віссю зрізаного конуса. Цей відрізок, зрозуміло, поєднує центри його основ (див. рис. 10).

Рис. 10. Вісь усіченого конуса

Висота зрізаного конуса - це перпендикуляр, проведений з точки однієї з основ до іншої основи. Найчастіше, як висота зрізаного конуса розглядають його вісь.

Рис. 11. Осьовий переріз усіченого конуса

Осьовий переріз зрізаного конуса - це перетин, що проходить через його вісь. Воно має вигляд трапеції, трохи згодом ми доведемо її рівнобедреність (див. рис. 11).

Рис. 12. Конус із введеними позначеннями

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса. Нехай основи зрізаного конуса мають радіуси і , а твірна дорівнює (див. рис. 12).

Рис. 13. Позначення утворює відсіченого конуса

Знайдемо площу бічної поверхні усіченого конуса як різницю площ бічних поверхонь вихідного конуса та відсіченого. Для цього позначимо через утворюючу відсіченого конуса (див. рис. 13).

Тоді шукана.

Рис. 14. Подібні трикутники

Залишилося висловити.

Зауважимо, що з подоби трикутників, звідки (див. рис. 14).

Можна було б висловити, розділивши на різницю радіусів, але нам це не потрібно, адже в шуканому виразі якраз фігурує твір. Підставивши замість нього, маємо: .

Нескладно тепер отримати формулу для площі повної поверхні. Для цього достатньо додати площі двох кіл підстав: .

Рис. 15. Ілюстрація до завдання

Нехай усічений конус отриманий обертанням прямокутної трапеції навколо її висоти. Середня лінія трапеції дорівнює, а велика бічна сторони - (див. рис. 15). Знайти площу бічної поверхні отриманого зрізаного конуса.

Рішення

За формулою ми знаємо, що .

Утворюючий конус буде велика сторона вихідної трапеції, тобто Радіуси конуса - це підстави трапеції. Знайти їх ми можемо. Але нам і не треба: потрібна лише їхня сума, а сума підстав трапеції вдвічі більша за її середньої лініїтобто вона дорівнює. Тоді.

Зверніть увагу, що коли ми говорили про конус, ми проводили паралелі між ним і пірамідою - формули були аналогічними. Так само і тут, адже усічений конус дуже схожий на усічену піраміду, так що формули для площ бічної та повної поверхонь усіченого конуса та піраміди (а скоро будуть і формули для об'єму) аналогічні.

Рис. 1. Ілюстрація до завдання

Радіуси підстав усіченого конуса рівні і, а твірна дорівнює. Знайти висоту зрізаного конуса і площу його осьового перерізу (див. рис. 1).

Отримане об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Далі розглядатиметься саме цей випадок, якщо не обговорено протилежне. Якщо основа конуса є багатокутником, конус стає пірамідою.

"== Пов'язані визначення ==

• Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
• Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
• Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
• Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) та ортогональна проекціявершини конуса на площину основи збігаються з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
• Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
• Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
• Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
• Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
• Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом.

Властивості

• Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти дорівнюють.
• Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

• Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

• Об'єм кругового конуса дорівнює

• Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних перерізів (у невироджених випадках – еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Узагальнення

В геометрії алгебри конус- це довільне підмножина векторного простору над полем, для якого для будь-якого

Див. також

• Конус (топологія)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Конус (геометрична фігура)" в інших словниках:

Конус: У математиці Конус геометрична фігура. Конус над топологічним простором. Конус (Теорія категорій). У техніці Конус інструментальний метод сполучення інструменту та шпинделя у верстатах. Конусний пристрій вузол… … Вікіпедія

Геометрія розділу математики, тісно пов'язаний з поняттям простору; залежно від форм опису цього поняття виникають різні видигеометрії. Передбачається, що читач, приступаючи до читання цієї статті, має деякі… Енциклопедія Кольєра

Візуалізація зображення на екрані дисплея (монітора). На відміну від відтворення зображення на папері або іншому носії, зображення, створене на екрані, можна майже негайно стерти або підправити, стиснути або розтягнути, … Енциклопедичний словник

Історія науки … Вікіпедія

Історія науки За тематикою Математика Природні науки… Вікіпедія

- (грец. geodaisia, від ge Земля і daio ділю, поділяю), наука про визначення положення об'єктів на земній поверхні, про розміри, форму та гравітаційне поле Землі та інших планет. Це галузь прикладної математики, тісно пов'язана з геометрією, … Енциклопедія Кольєра

Конус. Усічений конус

Конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена усіма прямими, що проходять через кожну точку даної кривої і точку поза кривою (рис.32).

Ця крива називається спрямовуючою , Прямі - утворюючими , крапка - вершиною конічної поверхні.

Прямою круговою конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена всіма прямими, що проходять через кожну точку даного кола і точку на прямій, яка перпендикулярна площині кола і проходить через її центр. Надалі цю поверхню коротко називатимемо конічною поверхнею (Рис.33).

Конусом (прямим круговим конусом ) називається геометричне тіло, обмежене конічною поверхнею і площиною, яка паралельна площині напрямного кола (рис.34).

Рис. 32 Мал. 33 Мал. 34

Конус можна розглядати як тіло, отримане під час обертання прямокутного трикутниканавколо осі, що містить один із катетів трикутника.

Коло, що обмежує конус, називається його основою . Вершина конічної поверхні називається вершиною конус. Відрізок, що з'єднує вершину конуса із центром його основи, називається заввишки конус. Відрізки, що утворюють конічну поверхню, називаються утворюючими конус. Ос'ю конуса називається пряма, що проходить через вершину конуса та центр його основи. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь конуса. Розгорткою бічної поверхні конуса називається сектор, радіус якого дорівнює довжиніутворює конуса, а довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса.

Для конуса вірні формули:

де R– радіус основи;

H- Висота;

l- Довжина утворює;

S осн– площа основи;

S бік

S повний

V- Об'єм конуса.

Усіченим конусомназивається частина конуса, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі конуса (рис.35).

Усічений конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутної трапеції навколо осі, що містить бічну сторону трапеції, перпендикулярну основ.

Два кола, що обмежують конус, називаються його підставами . Висотою усіченого конуса називається відстань між його основами. Відрізки, що утворюють конічну поверхню усіченого конуса, називаються утворюючими . Пряма, що проходить через центри основ, називається віссю зрізаного конуса. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь усіченого конуса.

Для усіченого конуса вірні формули:

(8)

де R– радіус нижньої основи;

r– радіус верхньої основи;

H- Висота, l - Довжина утворює;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

V- Об'єм зрізаного конуса.

приклад 1.Перетин конуса паралельне основі ділить висоту щодо 1:3, рахуючи від вершини. Знайти площу бічної поверхні зрізаного конуса, якщо радіус основи і висота конуса дорівнюють 9 см і 12 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 36).

Для обчислення площі бічної поверхні зрізаного конуса використовуємо формулу (8). Знайдемо радіуси основ Про 1 Аі Про 1 Ві утворює АВ.

Розглянемо такі трикутники SO 2 Bі SO 1 A, коефіцієнт подібності , тоді

Звідси

Бо те

Площа бічної поверхні усіченого конуса дорівнює:

Відповідь: .

Приклад2.Чверть кола радіусу згорнута у конічну поверхню. Знайти радіус основи та висоту конуса.

Рішення.Чверть кола є розгорткою бічної поверхні конуса. Позначимо r- Радіус його заснування, H –висота. Площа бічної поверхні обчислимо за такою формулою: . Вона дорівнює площі чверті кола: . Отримаємо рівняння з двома невідомими rі l(Утворююча конуса). У даному випадкуутворююча дорівнює радіусу чверті кола R, Отже, отримаємо наступне рівняння: , Звідки Знаючи радіус основи і утворює, знайдемо висоту конуса:

Відповідь: 2 см, .

приклад 3.Прямокутна трапеція з гострим кутом 45 О, меншою основою 3см і похилою бічною стороною рівною , обертається навколо бічної сторони перпендикулярної підстав. Знайти об'єм отриманого тіла обертання.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 37).

В результаті обертання отримаємо зрізаний конус, щоб знайти його об'єм обчислимо радіус більшої основи та висоту. У трапеції O 1 O 2 ABпроведемо AC^O 1 B. Маємо: отже, цей трикутник рівнобедрений AC=BC=3 див.

Відповідь:

приклад 4.Трикутник зі сторонами 13 см, 37 см і 40 см обертається навколо зовнішньої осі, яка паралельна більшій стороні і знаходиться від неї на відстані 3 см (Вісь розташована в площині трикутника). Знайти площу поверхні отриманого тіла обертання.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 38).

Поверхня отриманого тіла обертання складається з бічних поверхонь двох усічених конусів та бічної поверхні циліндра. Для того щоб обчислити ці площі необхідно знати радіуси основ конусів та циліндра ( BEі OC), що утворюють конусів ( BCі AC) та висоту циліндра ( AB). Невідомою є тільки CO. це відстань від боку трикутника до осі обертання. Знайдемо DC. Площа трикутника ABC з одного боку дорівнює добутку половини сторони AB на висоту, проведену до неї DC, з іншого боку, знаючи всі сторони трикутника, його площу обчислимо за формулою Герона.

Усічений конус виходить, якщо від конуса відсікти менший конус площиною, паралельною до основи (рис. 8.10). У усіченому конусі дві основи: "нижня" - основа вихідного конуса - і "верхня" - основа конуса, що відсікається.По теоремі про переріз конуса - основи усіченого конуса подібні.

Висотою зрізаного конуса називається перпендикуляр, опущений з точки однієї основи на площину іншого. Усі такі перпендикуляри дорівнюють (див. п. 3.5). Висотою називають також їх довжину, тобто відстань між площинами основ.

Усічений конус обертання виходить із конуса обертання (рис. 8.11). Тому його основи і всі паралельні їм його перерізи – кола з центрами на одній прямій – на осі. Усічений конус обертання виходить обертанням прямокутної трапеції навколо її бічної сторони, перпендикулярної основ, або обертанням

рівнобедреної трапеції навколо осі симетрії (рис. 8.12).

Бічна поверхня зрізаного конуса обертання

Це частина бічної поверхні конуса обертання, з якого він отриманий. Поверхня зрізаного конуса обертання (або його повна поверхня) складається з його основ та його бічної поверхні.

8.5. Зображення конусів обертання та усічених конусів обертання.

Прямий круговий конус малюють так. Спочатку малюють еліпс, що зображує коло основи (рис. 8.13). Потім знаходять центр основи - точку Про вертикально проводять відрізок РВ, який зображує висоту конуса. З точки Р проводять до еліпсу дотичні (опорні) прямі (практично це роблять на око, прикладаючи лінійку) і виділяють відрізки РА та РВ цих прямих від точки Р до точок дотику А та В. Зверніть увагу, що відрізок АВ – це не діаметр основи конуса, а трикутник АРВ – не осьовий перетин конуса. Осьовий переріз конуса – це трикутник АРС: відрізок АС проходить через точку О. Невидимі лінії малюють штрихами; відрізок ОР часто не малюють, а лише подумки намічають, щоб зобразити вершину конуса Р над центром підстави - точкою Про.

Зображуючи зрізаний конус обертання, зручно намалювати спочатку той конус, з якого виходить зрізаний конус (рис. 8.14).

8.6. Конічні перерізи. Ми вже говорили, що бічну поверхню циліндра обертання площину перетинає еліпсом (п. 6.4). Також і переріз бічної поверхні конуса обертання площиною, що не перетинає його основу, є еліпсом (рис. 8.15). Тому еліпс називається конічним перетином.

До конічних перерізів відносяться й інші добре відомі криві – гіперболи та параболи. Розглянемо необмежений конус, що утворюється при продовженні бічної поверхні конуса обертання (рис. 8.16). Перетнемо його площиною а, що не проходить через вершину. Якщо ж перетинає всі утворюючі конуси, то в перерізі, як уже сказано, отримуємо еліпс (рис. 8.15).

Повертаючи площину ОС, можна домогтися того, щоб вона перетинала всі конуса К, що утворюють, крім однієї (який ОС паралельна). Тоді у перерізі отримаємо параболу (рис. 8.17). Нарешті, обертаючи площину ОС далі, переведемо її в таке положення, що а, перетинаючи частину утворюючих конуса К, не перетинає вже безліч інших його утворюючих і паралельна двом з них (рис. 8.18). Тоді в перерізі конуса К з площиною а отримуємо криву, яку називають гіперболою (точніше, одну її "гілка"). Так, гіпербола, яка є графіком функції окремий випадокгіперболи - рівнобічна гіпербола, подібно до того як коло є окремим випадком еліпса.

Будь-які гіперболи можна отримати з рівнобічних за допомогою проектування, аналогічно тому, як еліпс виходить паралельним проектуванням кола.

Щоб отримати обидві гілки гіперболи, треба взяти перетин конуса, що має дві "порожнини", тобто конуса, утвореного не променями, а прямими, що містять утворюють бічній поверхні конуса обертання (рис. 8.19).

Конічні перерізи вивчали ще давньогрецькі геометри, та його теорія була однією з вершин античної геометрії. Найбільш повне дослідженняконічних перерізів у давнину було проведено Аполлонієм Пергським (III ст. до н.е.).

Є ряд важливих властивостей, що поєднують в один клас еліпси, гіперболи та параболи. Наприклад, ними вичерпуються "невироджені", тобто не зводяться до точки, прямої або парі прямих, криві, які задаються на площині декартових координатахрівняннями виду

Конічні перерізи відіграють важливу роль у природі: по еліптичних, параболічних та гіперболічних орбіт рухаються тіла в полі тяжіння (згадайте закони Кеплера). Чудові властивості конічних перерізів часто використовуються в науці та техніці, наприклад, при виготовленні деяких оптичних приладів або прожекторів (поверхня дзеркала в прожекторі виходить обертанням дуги параболи навколо осі параболи). Конічні перерізи можна спостерігати як межі тіні від круглих абажурів (рис. 8.20).