Seni oleme lahendanud tundmatu suhtes vaid täisarvu võrrandeid ehk võrrandeid, mille nimetajad (kui neid oli) ei sisaldanud tundmatut.

Tihti tuleb lahendada võrrandeid, mis sisaldavad nimetajates tundmatut: selliseid võrrandeid nimetatakse murdosadeks.

Selle võrrandi lahendamiseks korrutame selle mõlemad pooled tundmatut sisaldava polünoomiga. Kas uus võrrand on samaväärne antud võrrandiga? Küsimusele vastamiseks lahendame selle võrrandi.

Korrutades selle mõlemad pooled arvuga , saame:

Lahendades selle esimese astme võrrandi, leiame:

Seega on võrrandil (2) üks juur

Asendades selle võrrandiga (1), saame:

Seega on see ka võrrandi (1) juur.

Võrrandil (1) pole muid juuri. Meie näites on seda näha näiteks sellest, et võrrandis (1)

Kuidas tundmatu jagaja peab võrduma dividendiga 1, mis on jagatud jagatisega 2, s.o.

Seega on võrranditel (1) ja (2) üks juur, seega on nad samaväärsed.

2. Nüüd lahendame järgmise võrrandi:

Lihtsaim ühisnimetaja: ; korrutage kõik võrrandi liikmed sellega:

Pärast vähendamist saame:

Laiendame sulgusid:

Sarnaste tingimustega on meil:

Selle võrrandi lahendamisel leiame:

Asendades võrrandi (1), saame:

Vasakul pool saime väljendeid, millel pole mõtet.

Järelikult ei ole võrrandi (1) juur. See tähendab, et võrrandid (1) ja ei ole samaväärsed.

Sel juhul ütleme, et võrrand (1) on omandanud kõrvalise juure.

Võrrelgem võrrandi (1) lahendit varem käsitletud võrrandite lahendiga (vt § 51). Selle võrrandi lahendamisel pidime sooritama kaks sellist toimingut, mida varem polnud kohatud: esiteks korrutasime võrrandi mõlemad pooled tundmatut (ühist nimetajat) sisaldava avaldisega ja teiseks vähendasime algebralisi murde teguritega, mis sisaldavad tundmatu.

Võrreldes võrrandit (1) võrrandiga (2), näeme, et kõik võrrandi (2) jaoks kehtivad x väärtused ei kehti võrrandi (1) jaoks.

Just arvud 1 ja 3 ei ole võrrandi (1) jaoks tundmatu vastuvõetavad väärtused ja teisenduse tulemusena muutusid need võrrandi (2) jaoks vastuvõetavaks. Üks neist arvudest osutus võrrandi (2) lahendiks, kuid loomulikult ei saa see olla võrrandi (1) lahendus. Võrrandil (1) pole lahendusi.

See näide näitab, et kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse teguriga, mis sisaldab tundmatut ja kui algebralised murrud võib saada võrrandi, mis ei ole antud võrrandiga samaväärne, nimelt: võivad ilmneda kõrvalised juured.

Seetõttu teeme järgmise järelduse. Nimetajas tundmatut sisaldava võrrandi lahendamisel tuleb kontrollida saadud juuri, asendades algse võrrandiga. Kõrvalised juured tuleb ära visata.

Juhend

Võib-olla on siin kõige ilmsem punkt muidugi . Numbrilised murrud ei kujuta endast ohtu (murdvõrrandid, kus kõik nimetajad sisaldavad ainult numbreid, on üldjuhul lineaarsed), aga kui nimetajas on muutuja, siis tuleb sellega arvestada ja ette kirjutada. Esiteks on see, et x, mis muudab nimetaja 0-ks, ei saa olla ja üldiselt on vaja eraldi registreerida asjaolu, et x ei saa olla võrdne selle arvuga. Isegi kui teil õnnestub, et lugejasse asendamisel koondub kõik ideaalselt ja vastab tingimustele. Teiseks ei saa me võrrandi kumbagi ega mõlemat poolt korrutada nulliga.

Pärast seda taandatakse selline võrrand kõigi selle liikmete ülekandmiseks vasakule poole, nii et 0 jääb paremale poole.

Kõik terminid tuleb viia ühisele nimetajale, korrutades vajadusel lugejad puuduvate avaldistega.
Järgmisena lahendame lugejasse kirjutatud tavalise võrrandi. Me suudame vastu pidada ühised tegurid sulgudest välja, rakendada lühendatud korrutamist, anda sarnaseid, arvutada ruutvõrrandi juured diskriminandi kaudu jne.

Tulemuseks peaks olema faktorisatsioon sulgude korrutise kujul (x-(i-s juur)). See võib hõlmata ka polünome, millel pole juuri, näiteks ruuttrinoom, mille diskriminant on väiksem kui null (muidugi juhul, kui probleemil pole ainult tegelikke juuri, nagu enamasti juhtub).
Teguriseerige ja nimetaja kindlasti sealsete sulgude asukohast, mis sisalduvad juba lugejas. Kui nimetaja sisaldab selliseid avaldisi nagu (x-(arv)), siis on ühise nimetajani taandamisel parem mitte korrutada selles olevaid sulgusid "peale", vaid jätta need korrutiseks originaalsed lihtsad väljendid.
Lugeja ja nimetaja samu sulgusid saab vähendada, kirjutades ette, nagu eespool mainitud, x-i tingimused.
Vastus kirjutatakse lokkis sulgudes, x väärtuste komplektina või lihtsalt loetledes: x1=..., x2=... jne.

Allikad:

• Murdratsionaalvõrrandid

Midagi, millest ei saa loobuda füüsikas, matemaatikas, keemias. Vähemalt. Õpime nende lahenduse põhitõdesid.

Juhend

Kõige üldisemas ja lihtsamas klassifikatsioonis saab selle jagada vastavalt neis sisalduvate muutujate arvule ja nende muutujate astmetele.

Lahendage võrrandi kõik juured või tõestage, et neid pole olemas.

Igal võrrandil on maksimaalselt P juur, kus P on antud võrrandi maksimum.

Kuid mõned neist juurtest võivad kokku langeda. Nii näiteks volditakse võrrand x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, kus ^ on astendamise ikoon, avaldise (x + 1) ruuduks, st kahe identse sulu korrutiseks, millest igaüks annab lahenduseks x = - 1.

Kui võrrandis on ainult üks tundmatu, tähendab see, et saate selgesõnaliselt leida selle juured (reaalsed või keerulised).

Selleks vajate suure tõenäosusega erinevaid teisendusi: lühendatud korrutamine, ruutvõrrandi diskriminandi ja juurte arvutamine, terminite ülekandmine ühest osast teise, taandamine ühiseks nimetajaks, võrrandi mõlema osa korrutamine sama avaldisega, ruudustamist ja nii edasi.

Teisendused, mis ei mõjuta võrrandi juuri, on identsed. Neid kasutatakse võrrandi lahendamise protsessi lihtsustamiseks.

Võite kasutada ka traditsioonilise analüütilise asemel graafiline meetod ja kirjutage see võrrand pärast uuringu läbiviimist kujul .

Kui võrrandis on rohkem kui üks tundmatu, saate väljendada ainult ühte neist teisega, näidates seeläbi lahenduste komplekti. Sellised on näiteks võrrandid parameetritega, milles on tundmatu x ja parameeter a. Parameetrilise võrrandi lahendamine tähendab, et kõik a väljendavad x-i läbi a, st arvestame kõigi võimalike juhtumitega.

Kui võrrand sisaldab tundmatute tuletisi või diferentsiaale (vt pilti), siis palju õnne, see on diferentsiaalvõrrand ja siin ei saa ilma kõrgema matemaatikata hakkama).

Allikad:

• Identiteedi transformatsioonid

Probleemi lahendamiseks koos fraktsioonid tuleb õppida nendega tegema aritmeetilised tehted. Need võivad olla kümnendkohad, kuid neid kasutatakse kõige sagedamini looduslikud fraktsioonid lugeja ja nimetajaga. Alles pärast seda saab liikuda murdväärtustega matemaatiliste ülesannete lahendamise juurde.

Sa vajad

• - kalkulaator;
• - murdude omaduste tundmine;
• - Oskus töötada murdudega.

Juhend

Murd on ühe arvu jagamise rekord teisega. Sageli ei saa seda täielikult teha ja seetõttu jäetakse see toiming "lõpetamata. Jaguvat arvu (see asub murrumärgi kohal või ees) nimetatakse lugejaks ja teist arvu (murrumärgi all või järel) nimetatakse nimetajaks. Kui lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse seda murdu valeks murruks ja sellest saab eraldada täisarvu. Kui lugeja on nimetajast väiksem, nimetatakse sellist murdu õigeks ja selle täisarvuline osa on 0.

Ülesanded jagunevad mitmeks tüübiks. Määrake, milline neist on ülesanne. Lihtsaim variant- murruna väljendatud arvu murdosa leidmine. Selle probleemi lahendamiseks piisab, kui korrutada see arv murdosaga. Näiteks toodi 8 tonni kartuleid. Esimesel nädalal müüdi 3/4 selle kogumahust. Mitu kartulit on alles? Selle probleemi lahendamiseks korrutage arv 8 3/4-ga. Selgub 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Kui peate leidma arvu selle osa järgi, korrutage teadaolev arvu osa selle murru pöördarvuga, mis näitab, kui suur osa sellest osast arvus on. Näiteks 8 1/3 õpilaste koguarvust. Kui palju sisse? Kuna 8 inimest on see osa, mis moodustab 1/3 koguarvust, siis leidke pöördväärtus, mis on 3/1 või lihtsalt 3. Seejärel saate klassi õpilaste arvu saamiseks 8∙3=24 õpilast.

Kui peate leidma, milline osa arvust on üks arv teisest, jagage seda osa esindav arv täisarvuga. Näiteks kui vahemaa on 300 km ja auto on läbinud 200 km, siis kui suur osa sellest moodustab kogu teekonnast? Jagage osa teest 200 kogu teekonnaga 300, pärast murdosa vähendamist saate tulemuse. 200/300 = 2/3.

Arvu teadmata murdosa leidmiseks, kui see on teada, võtke täisarv kokkuleppelise ühikuna ja lahutage sellest teadaolev murd. Näiteks kui 4/7 tunnist on juba läbitud, kas siis on veel jäänud? Võtke kogu õppetund kokkuleppelise ühikuna ja lahutage sellest 4/7. Saate 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

"Murdratsionaalvõrrandite lahendus"

Tunni eesmärgid:

Õpetus:

murdratsionaalvõrrandite mõiste moodustamine; kaaluda erinevaid murdratsionaalvõrrandite lahendamise viise; kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga; õpetada murdratsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi järgi; teema assimilatsiooni taseme kontrollimine kontrolltöö läbiviimisega.

Arendamine:

oskuse arendamine omandatud teadmistega õigesti opereerida, loogiliselt mõelda; intellektuaalsete oskuste ja vaimsete operatsioonide arendamine - analüüs, süntees, võrdlemine ja üldistamine; algatusvõime, otsustusvõime arendamine, mitte peatuda; kriitilise mõtlemise arendamine; uurimisoskuste arendamine.

Kasvatamine:

kognitiivse huvi kasvatamine aine vastu; iseseisvuse kasvatamine haridusprobleemide lahendamisel; tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Tunni tüüp: õppetund - uue materjali selgitus.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Võrrandid on tahvlile kirjutatud, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

Võrratusi, mille vasak ja parem pool on murdarvulised ratsionaalsed avaldised, nimetatakse murdratsionaalvõrranditeks. Mis te arvate, mida me täna tunnis uurime? Sõnastage tunni teema. Niisiis, avame märkmikud ja kirjutame üles tunni teema “Murdratsionaalvõrrandite lahendamine”.

2. Teadmiste aktualiseerimine. Frontaalküsitlus, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida peame õppima uus teema. Palun vastake järgmistele küsimustele:

1. Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)

2. Kuidas nimetatakse võrrandit nr 1? ( Lineaarne.) Lahendusmeetod lineaarvõrrandid. (Liigutage kõik, kus on tundmatu, võrrandist vasakule, kõik numbrid paremale. Tooge sarnaseid termineid. Leidke tundmatu kordaja).

3. Kuidas nimetatakse võrrandit nr 3? ( Ruut.) Lahendusviisid ruutvõrrandid. (Valik täisruut, valemite järgi, kasutades Vieta teoreemi ja selle tagajärgi.)

4. Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on tõene, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)

5. Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui võrrandis kanname liikme ühest osast teise, muutes selle märki, siis saame võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad osad korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saadakse võrrand, mis on samaväärne antud arvuga..)

6. Millal on murd võrdne nulliga? ( Murd on null, kui lugeja on null ja nimetaja on nullist erinev.)

3. Uue materjali selgitus.

Lahenda võrrand nr 2 vihikutes ja tahvlil.

Vastus: 10.

Millist murdratsionaalvõrrandit saate proportsiooni põhiomaduse abil lahendada? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Lahenda võrrand nr 4 vihikutes ja tahvlil.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Vastus: 3;4.

Nüüd proovige võrrandit nr 7 ühel viisil lahendada.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Siiani pole õpilased kõrvalise juure mõistet kohanud, neil on tõesti väga raske aru saada, miks see nii juhtus. Kui keegi klassis ei oska antud olukorrale selget selgitust anda, esitab õpetaja suunavaid küsimusi.

Mille poolest võrrandid nr 2 ja 4 erinevad võrranditest nr 5,6,7? ( Arvu nimetaja võrrandites nr 2 ja 4, nr 5-7 - muutujaga avaldised.) Mis on võrrandi juur? ( Muutuja väärtus, mille juures võrrandist saab tõeline võrdus.) Kuidas teada saada, kas arv on võrrandi juur? ( Tehke kontroll.)

Kontrolltööd tehes märkab mõni õpilane, et peab jagama nulliga. Nad järeldavad, et arvud 0 ja 5 ei ole selle võrrandi juured. Tekib küsimus: kas on olemas viis murdartsionaalvõrrandite lahendamiseks, mis võimaldab meil kõrvaldada antud viga? Jah, see meetod põhineb tingimusel, et murdosa on võrdne nulliga.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Kui x=5, siis x(x-5)=0, seega 5 on kõrvaline juur.

Kui x=-2, siis x(x-5)≠0.

Vastus: -2.

Proovime sõnastada sellisel viisil murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

1. Liigutage kõik vasakule küljele.

2. Viige murded ühise nimetajani.

3. Koostage süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga, ja nimetaja ei ole võrdne nulliga.

4. Lahenda võrrand.

5. Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.

6. Kirjuta vastus üles.

Arutelu: kuidas vormistada lahendus, kui kasutatakse proportsiooni põhiomadust ja võrrandi mõlema poole korrutamist ühise nimetajaga. (Täienda lahendust: jäta selle juurtest välja need, mis muudavad ühisnimetaja nulliks).

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise, olenevalt võrrandi tüübist. Ülesandeid õpikust "Algebra 8", 2007: nr 000 (b, c, i); nr 000(a, e, g). Õpetaja kontrollib ülesande täitmist, vastab tekkinud küsimustele ja osutab abi halvasti esinevatele õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 on kõrvaline juur. Vastus: 3.

c) 2 on kõrvaline juur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

g) Vastus: 1; 1.5.

5. Kodutöö väljavõte.

2. Õppige murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.

3. Lahenda vihikutes nr 000 (a, d, e); Nr 000 (g, h).

4. Proovige lahendada nr 000(a) (valikuline).

6. Kontrollülesande täitmine uuritaval teemal.

Tööd tehakse lehtedel.

Töö näide:

A) Millised võrrandid on murdratsionaalsed?

B) Murd on null, kui lugeja on __________________________ ja nimetaja ___________________________.

K) Kas arv -3 on võrrandi nr 6 juur?

D) Lahenda võrrand nr 7.

Ülesande hindamise kriteeriumid:

"5" antakse, kui õpilane täitis õigesti üle 90% ülesandest. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" saab õpilane, kes täitis alla 50% ülesandest. Hinnet 2 päevikusse ei panda, 3 on vabatahtlik.

7. Peegeldus.

Iseseisva tööga voldikutele pange:

1 - kui tund oli teile huvitav ja arusaadav; 2 - huvitav, kuid mitte selge; 3 - mitte huvitav, kuid arusaadav; 4 - pole huvitav, pole selge.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega, õppisime neid võrrandeid lahendama erinevatel viisidel, panid oma teadmised koolituse abil proovile iseseisev töö. Iseseisva töö tulemusi saad teada järgmises tunnis, kodus on võimalus saadud teadmisi kinnistada.

Milline murdratsionaalvõrrandite lahendamise meetod on teie arvates lihtsam, kättesaadavam, ratsionaalsem? Mida ei tohiks unustada, olenemata murdosa ratsionaalvõrrandite lahendamise meetodist? Mis on murdratsionaalvõrrandite "kavalus"?

Aitäh kõigile, õppetund on läbi.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid meie pakutavate teenuste täiustamiseks ja teile meie teenuste kohta soovituste andmiseks.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuvaidlusi ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riiklike organite avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Murdudega võrrandid ise pole keerulised ja väga huvitavad. Kaaluge tüüpe murdvõrrandid ja viise nende lahendamiseks.

Kuidas lahendada võrrandeid murdarvudega - x lugejas

Kui on antud murdvõrrand, kus lugejas on tundmatu, ei nõua lahendus lisatingimusi ja lahendatakse ilma lisavaev. Üldine vorm selline võrrand on x/a + b = c, kus x on tundmatu, a, b ja c on tavaarvud.

Leidke x: x/5 + 10 = 70.

Võrrandi lahendamiseks tuleb murdudest lahti saada. Korrutage võrrandi iga liige 5-ga: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ja 5 vähendatakse, 10 ja 70 korrutatakse 5-ga ja saame: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Leidke x: x/5 + x/10 = 90.

See näide on veidi keerulisem versioon esimesest. Siin on kaks lahendust.

• 1. võimalus: vabanege murdudest, korrutades kõik võrrandi liikmed suurema nimetajaga, st 10-ga: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• 2. valik: lisage võrrandi vasak pool. x/5 + x/10 = 90. Ühine nimetaja on 10. Jagage 10 5-ga, korrutage x-ga, saame 2x. 10 jagades 10-ga, korrutades x-ga, saame x: 2x+x/10 = 90. Seega 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Sageli on murdvõrrandid, milles x-id asuvad võrdusmärgi vastaskülgedel. Sellises olukorras on vaja üle kanda kõik murrud, millel on x ühes suunas ja numbrid teises suunas.

• Leidke x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Liigutage 2x/5 paremale nupuga vastupidine märk: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Vähendame 5x/5 ja saame: x = 130.

Kuidas lahendada võrrandit murdudega - x nimetajas

Seda tüüpi murdvõrrandid nõuavad lisatingimuste kirjutamist. Nende tingimuste näitamine on kohustuslik ja lahutamatu osa õige otsus. Neid mitte omistades riskite, kuna vastust (isegi kui see on õige) ei pruugita lihtsalt arvesse võtta.

Murdvõrrandite üldvorm, kus x on nimetajas, on: a/x + b = c, kus x on tundmatu, a, b, c on tavaarvud. Pange tähele, et x ei pruugi olla suvaline arv. Näiteks ei saa x olla null, kuna te ei saa 0-ga jagada. See on just see lisatingimus, mille peame täpsustama. Seda nimetatakse vastuvõetavate väärtuste vahemikuks, lühendatult ODZ.

Leidke x: 15/x + 18 = 21.

Kirjutame kohe x jaoks ODZ: x ≠ 0. Nüüd, kui ODZ on näidatud, lahendame võrrandi standardskeemi järgi, vabanedes murdosadest. Korrutame kõik võrrandi liikmed x-ga. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Sageli esineb võrrandeid, kus nimetaja sisaldab lisaks x-ile ka mõnda muud tehtet sellega, näiteks liitmist või lahutamist.

Leidke x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Me juba teame, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, mis tähendab, et x-3 ≠ 0. Viime -3 paremale poole, muutes samal ajal märgi “-” märgiks “+” ja saame, et x ≠ 3. ODZ on näidatud.

Lahendage võrrand, korrutage kõik x-3-ga: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Liigutage x-id paremale, numbrid vasakule: 24 = 3x => x = 8.