Sulgudes näidatakse toimingute sooritamise järjekorda numbrilistes ja tähestikulistes avaldistes, samuti muutujatega avaldistes. Sulgudega avaldiselt on mugav üle minna identselt võrdsele ilma sulgudeta avaldisele. Seda tehnikat nimetatakse sulgude avamiseks.

Sulgude laiendamine tähendab nende sulgude väljenditest vabanemist.

Eraldi tähelepanu väärib veel üks punkt, mis puudutab kirjutuslahenduste iseärasusi sulgude avamisel. Algavaldise saame kirjutada sulgudega ja pärast sulgude avamist saadud tulemuse võrdsuseks. Näiteks pärast sulgude avamist avaldise asemel
3−(5−7) saame avaldise 3−5+7. Mõlemad avaldised saame kirjutada võrdsusena 3−(5−7)=3−5+7.

Ja veel üks oluline punkt. Matemaatikas on kirjete vähendamiseks tavaks mitte kirjutada plussmärki, kui see on avaldises või sulgudes esimene. Näiteks kui liidame kaks positiivset arvu, näiteks seitse ja kolm, siis me kirjutame mitte +7 + 3, vaid lihtsalt 7 + 3, hoolimata sellest, et seitse on samuti positiivne arv. Samamoodi, kui näete näiteks avaldist (5 + x) - teadke, et sulu ees on pluss, mida ei kirjutata, ja pluss + (+5 + x) viis.

Klambri laiendamise reegel lisamiseks

Sulgude avamisel, kui sulgude ees on pluss, siis see pluss jäetakse koos sulgudega välja.

Näide. Avage sulud avaldises 2 + (7 + 3) Enne sulgusid pluss, siis sulgudes olevate numbrite ees olevad märgid ei muutu.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Sulgude laiendamise reegel lahutamisel

Kui sulgude ees on miinus, siis see miinus jäetakse koos sulgudega välja, kuid sulgudes olnud terminid muudavad oma märgi vastupidiseks. Märgi puudumine sulgudes oleva esimese termini ees tähendab + märki.

Näide. Avage sulud avaldises 2 − (7 + 3)

Sulgude ees on miinus, seega tuleb sulgudest numbrite ees olevad märgid ära muuta. Enne numbrit 7 pole sulgudes märki, mis tähendab, et seitse on positiivne, loetakse, et + märk on selle ees.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Sulgude avamisel eemaldame näitest miinuse, mis oli enne sulgusid, ja sulud ise 2 − (+ 7 + 3) ning muudame sulgudes olnud märgid vastupidisteks.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Sulgude laiendamine korrutamisel

Kui sulgude ees on korrutusmärk, siis iga sulgudes olev arv korrutatakse sulgude ees oleva teguriga. Samas miinuse korrutamine miinusega annab plussi ja miinuse korrutamine plussiga, nagu pluss miinusega, annab miinuse.

Seega laiendatakse korrutises olevaid sulgusid vastavalt korrutamise jaotusomadusele.

Näide. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Sulgude korrutamisel sulgudega korrutatakse iga esimese sulu liige teise sulu iga liikmega.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Tegelikult pole vaja kõiki reegleid meeles pidada, piisab, kui meeles pidada ainult ühte, seda: c(a−b)=ca−cb. Miks? Sest kui asendame c asemel ühe, saame reegli (a−b)=a−b. Ja kui asendame miinus ühe, saame reegli −(a−b)=−a+b. Noh, kui asendate c asemel teise sulg, saate viimase reegli.

Jagamisel laiendage sulgusid

Kui sulgude järel on jagamismärk, siis iga sulgudes olev arv jagub sulgude järel oleva jagajaga ja vastupidi.

Näide. (9 + 6) : 3 = 9: 3 + 6: 3

Pesastatud sulgude laiendamine

Kui avaldis sisaldab pesastatud sulgusid, laiendatakse neid järjekorras, alustades välisest või sisemisest.

Samal ajal on ühe sulgu avamisel oluline mitte puudutada teisi sulgusid, vaid lihtsalt kirjutada ümber nii, nagu nad on.

Näide. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Nüüd jätkame sulgude avamisega avaldistes, kus sulgudes olev avaldis korrutatakse arvu või avaldisega. Sõnastame miinusmärgiga eelnenud sulgude avamise reegli: sulgud koos miinusmärgiga jäetakse välja ja kõikide sulgudes olevate terminite märgid asendatakse vastandlikega.

Üks avaldise teisendamise tüüp on sulgude laiendamine. Numbrilised, literaalsed ja muutuva avaldised koostatakse sulgude abil, mis võivad näidata toimingute sooritamise järjekorda, sisaldada negatiivset arvu jne. Oletame, et ülalkirjeldatud avaldistes võivad arvude ja muutujate asemel olla mis tahes avaldised.

Ja pöörame tähelepanu veel ühele punktile, mis puudutab sulgude avamisel lahenduse kirjutamise iseärasusi. Eelmises lõigus käsitlesime seda, mida nimetatakse sulgude laiendamiseks. Selleks on sulgude avamise reeglid, mida me nüüd üle vaatame. See reegel on tingitud asjaolust, et tavaks on kirjutada positiivseid numbreid ilma sulgudeta, sulud pole sel juhul vajalikud. Avaldise (−3,7)−(−2)+4+(−9) saab kirjutada ilma sulgudeta kujul −3,7+2+4−9.

Lõpuks tuleneb reegli kolmas osa lihtsalt negatiivsete arvude kirjutamise iseärasustest avaldises vasakule (mida mainisime negatiivsete arvude kirjutamise sulgudes). Võite kohata avaldisi, mis koosnevad arvust, miinusmärkidest ja mitmest sulgude paarist. Kui laiendate sulgusid, liikudes sisemiselt välimisele, on lahendus: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5) = −5.

Kuidas sulgusid avada?

Siin on selgitus: −(−2 x) on +2 x ja kuna see avaldis on esimene, siis +2 x saab kirjutada kui 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x ja −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Sulgude avamise kirjaliku reegli esimene osa tuleneb otseselt negatiivsete arvude korrutamise reeglist. Selle teine ​​osa on arvude korrutamise reegli tagajärg erinevad märgid. Liigume edasi näidete juurde laiendavate sulgude kohta toodetes ja kahe erineva märgiga arvu jagatistes.

Sulgude avamine: reeglid, näited, lahendused.

Ülaltoodud reegel võtab arvesse kogu nende toimingute ahelat ja kiirendab oluliselt sulgude avamise protsessi. Sama reegel lubab avada sulud avaldistes, mis on tooted, ja privaatsetes miinusmärgiga avaldistes, mis ei ole summad ja erinevused.

Mõelge selle reegli rakendamise näidetele. Anname vastava reegli. Eespool oleme juba kohanud avaldisi kujul −(a) ja −(−a), mis ilma sulgudeta on kirjutatud vastavalt −a ja a. Näiteks −(3)=3 ja. Need on antud reegli erijuhud. Vaatleme nüüd näiteid sulgude avamise kohta, kui nendes on summad või erinevused. Näitame selle reegli kasutamise näiteid. Tähistame avaldist (b1+b2) kui b, mille järel kasutame reeglit sulu korrutamiseks eelmise lõigu avaldisega, saame (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Induktsiooni abil saab seda väidet laiendada suvalisele arvule terminitele igas sulus. Jääb üle avada saadud avaldises sulud, kasutades eelmiste lõikude reegleid, mille tulemusena saame 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Matemaatika reegel on sulgude avamine, kui sulgude ees on (+) ja (-), väga vajalik reegel

See avaldis on kolme teguri (2+4), 3 ja (5+7 8) korrutis. Klambrid tuleb avada järjestikku. Nüüd kasutame sulu arvuga korrutamise reeglit, saame ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Kraadid, mille aluseks on mõned sulgudesse kirjutatud avaldised, koos naturaalnäitajatega, võib lugeda mitme sulu korrutiseks.

Näiteks teisendame avaldise (a+b+c)2. Esmalt kirjutame selle kahe sulu (a + b + c) (a + b + c) korrutisena, nüüd korrutame sulud sulgude kaupa, saame a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Samuti ütleme, et kahe arvu summade ja erinevuste tõstmiseks loomuliku astmeni on soovitatav kasutada Newtoni binoomvalemit. Näiteks (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Mitte vähem mugav on jagamine eelnevalt asendada korrutisega ja seejärel kasutada tootes sulgude avamiseks sobivat reeglit.

Jääb näidete abil välja selgitada sulgude avamise järjekord. Võtke avaldis (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Asendage need tulemused algses avaldises: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Jääb vaid sulgude avamine lõpule viia, tulemuseks on −5+3 2:4+6 7. See tähendab, et võrdsuse vasakult küljelt paremale üle minnes avanesid sulgud.

Pange tähele, et kõigis kolmes näites eemaldasime lihtsalt sulud. Kõigepealt lisage 889-le 445. Seda vaimset tegevust saab sooritada, kuid see pole väga lihtne. Avame sulud ja vaatame, et muudetud toimingute järjekord lihtsustab arvutusi oluliselt.

Kuidas avada sulgusid erineval määral

Illustreeriv näide ja reegel. Vaatleme näidet: . Avaldise väärtuse leiate, kui liidate 2 ja 5 ning võtate saadud arvu vastupidise märgiga. Reegel ei muutu, kui sulgudes pole mitte kaks, vaid kolm või enam terminit. Kommenteeri. Märgid pööratakse ümber ainult terminite ees. Sulgude avamiseks sel juhul mäleta jaotusomadust.

Üksikud numbrid sulgudes

Sinu viga pole mitte märkides, vaid vales töös murdudega? 6. klassis kohtusime positiivsete ja negatiivsed arvud. Kuidas me lahendame näiteid ja võrrandeid?

Kui palju on sulgudes? Mida saab nende väljendite kohta öelda? Loomulikult on esimese ja teise näite tulemus sama, nii et võite nende vahele panna võrdusmärgi: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Mida me siis sulgudega tegime?

Slaidi 6 demonstreerimine sulgude avamise reeglitega. Seega aitavad sulgude avamise reeglid meil näiteid lahendada, väljendeid lihtsustada. Järgmisena kutsutakse õpilasi tööle paaristööna: vaja on nooltega siduda sulgusid sisaldav avaldis vastava ilma sulgudeta avaldisega.

Slaid 11 Päikeselinnas viibides vaidlesid Znayka ja Dunno, kumb neist võrrandi õigesti lahendas. Järgmisena lahendavad õpilased võrrandi iseseisvalt, rakendades sulgude avamise reegleid. Võrrandite lahendamine ”Tunni eesmärgid: hariv (ZUN-ide fikseerimine teemal:“ Avasulgud.

Tunni teema: “Avasulud. Sel juhul peate korrutama iga esimestest sulgudest pärit termini iga teise sulgudes oleva terminiga ja seejärel liitma tulemused. Esiteks võetakse kaks esimest tegurit, mis on suletud veel ühte sulgudesse, ja nende sulgude sees avatakse sulgud vastavalt ühele juba teadaolevatest reeglitest.

rawalan.freezeet.ru

Klambri avamine: reeglid ja näited (7. klass)

Sulgude põhifunktsioon on väärtuste arvutamisel toimingute järjekorra muutmine numbrilised avaldised . Näiteks, arvulises avaldises \(5 3+7\) arvutatakse kõigepealt korrutis ja seejärel liitmine: \(5 3+7 =15+7=22\). Kuid avaldises \(5·(3+7)\) arvutatakse kõigepealt sulgudes liitmine ja alles seejärel korrutamine: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Kui aga meil on tegemist algebraline avaldis sisaldavad muutuv- näiteks nii: \ (2 (x-3) \) - siis on sulgudes olevat väärtust võimatu arvutada, muutuja segab. Seetõttu on sel juhul sulgud "avatud", kasutades selleks vastavaid reegleid.

Klambri laiendamise reeglid

Kui sulu ees on plussmärk, siis sulg lihtsalt eemaldatakse, avaldis selles jääb muutumatuks. Teisisõnu:

Siin on vaja selgitada, et matemaatikas on kirjete vähendamiseks tavaks mitte kirjutada plussmärki, kui see on avaldises esimene. Näiteks kui liidame kaks positiivset arvu, näiteks seitse ja kolm, siis kirjutame mitte \(+7+3\), vaid lihtsalt \(7+3\), hoolimata sellest, et seitse on samuti positiivne arv . Samamoodi, kui näete näiteks väljendit \((5+x)\) - teadke seda sulu ees on pluss, mida pole kirjas.

Näide . Avage sulg ja sisestage sarnased terminid: \((x-11)+(2+3x)\).
Lahendus : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Kui sulu ees on miinusmärk, siis kui sulg eemaldatakse, muudab iga selle sees oleva avaldise liige märgi vastupidiseks:

Siin on vaja selgitada, et a-l, kui see oli sulgudes, oli plussmärk (nad lihtsalt ei kirjutanud seda) ja pärast sulu eemaldamist muutus see pluss miinuseks.

Näide : avaldise \(2x-(-7+x)\) lihtsustamine.
Lahendus : sulu sees on kaks terminit: \(-7\) ja \(x\) ning sulu ees on miinus. See tähendab, et märgid muutuvad – seitse on nüüd plussiga ja x miinusega. avage klamber ja tuua sarnaseid tingimusi .

Näide. Laiendage sulg ja sisestage sarnased terminid \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Lahendus : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Kui sulu ees on koefitsient, korrutatakse sulu iga liige sellega, see tähendab:

Näide. Laiendage sulud \(5(3-x)\).
Lahendus : Sulgudes on \(3\) ja \(-x\) ning sulgude ees viis. See tähendab, et iga sulu liige korrutatakse \ (5 \) - ma tuletan teile meelde, et korrutusmärki arvu ja sulu vahel matemaatikas ei kirjutata kirjete suuruse vähendamiseks.

Näide. Laiendage sulud \(-2(-3x+5)\).
Lahendus : Nagu eelmises näites, korrutatakse sulgudes olevad \(-3x\) ja \(5\) arvuga \(-2\).

Jääb üle mõelda viimast olukorda.

Sulgude korrutamisel sulgudega korrutatakse iga esimese sulu liige teise iga liikmega:

Näide. Laiendage sulud \((2-x)(3x-1)\).
Lahendus : Meil ​​on sulgude toode ja selle saab ülaltoodud valemi abil kohe avada. Kuid selleks, et mitte segadusse sattuda, teeme kõike samm-sammult.
1. samm. Eemaldame esimese sulgu – iga selle liige korrutatakse teise sulguga:

2. samm. Laiendage klambri korruseid ülalkirjeldatud teguri võrra:
- esimene esimene...

3. samm. Nüüd korrutame ja toome sarnased terminid:

Kõiki teisendusi pole vaja üksikasjalikult värvida, saate kohe korrutada. Kuid kui õpite alles sulgusid avama - kirjutage üksikasjalikult, siis on vea tegemise võimalus väiksem.

Märkus kogu jaotisele. Tegelikult ei pea te meeles pidama kõiki nelja reeglit, peate meeles pidama ainult ühte, seda: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miks? Sest kui asendame c asemel ühe, saame reegli \((a-b)=a-b\) . Ja kui asendame miinus ühe, saame reegli \(-(a-b)=-a+b\) . Noh, kui asendate c asemel teise sulg, saate viimase reegli.

sulg sulgudes

Mõnikord on praktikas probleeme teiste sulgude sisse paigutatud sulgudega. Siin on näide sellisest ülesandest: avaldise \(7x+2(5-(3x+y))\) lihtsustamiseks.

Nende ülesannete edukaks täitmiseks peate:
- mõistma hoolikalt sulgude pesastamist – milline neist on millises;
- avage sulgud järjestikku, alustades näiteks kõige sisemisest.

See on oluline ühe klambri avamisel ärge puudutage ülejäänud väljendit, kirjutades selle lihtsalt ümber.
Võtame näitena ülaltoodud ülesande.

Näide. Avage sulud ja sisestage sarnased terminid \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lahendus:

Alustame ülesannet sisemise klambri (seesoleva) avamisega. Seda avades tegeleme ainult sellega, et see on sellega otseselt seotud - see on sulg ise ja selle ees olev miinus (roheliselt esile tõstetud). Kõik muu (ei ole valitud) kirjutatakse ümber nii, nagu see oli.

Matemaatika ülesannete lahendamine Internetis

Interneti-kalkulaator.
Polünoomide lihtsustamine.
Polünoomide korrutamine.

Selle abiga matemaatiline programm saate polünoomi lihtsustada.
Programmi töötamise ajal:
- korrutab polünoomid
- summeerib monomiaalid (annab nagu ühed)
- avab sulgud
- Tõstab polünoomi astmeks

Polünoomide lihtsustamise programm ei anna lihtsalt probleemile vastust, vaid juhatab üksikasjalik lahendus selgitustega, st. kuvab lahendusprotsessi, et saaksite kontrollida oma teadmisi matemaatikast ja/või algebrast.

See programm võib olla õpilastele kasulik üldhariduskoolid ettevalmistamisel kontrolltööd ja eksamid, enne eksamit teadmiste kontrollimisel vanemad kontrollivad paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö matemaatika või algebra? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.

Sel viisil saate ise koolitust läbi viia ja/või oma koolitust läbi viia nooremad vennad või õed, samal ajal kui haridustase lahendatavate ülesannete vallas tõuseb.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sekundit.

Natuke teooriat.

Mono- ja polünoomi korrutis. Polünoomi mõiste

Erinevate algebras käsitletavate avaldiste hulgas on monomiaalide summadel oluline koht. Siin on näited sellistest väljenditest:

Monoomide summat nimetatakse polünoomiks. Polünoomi termineid nimetatakse polünoomi liikmeteks. Mononoomidele viidatakse ka kui polünoomidele, pidades monoomi ühest liikmest koosnevaks polünoomiks.

Esitame kõik terminid monomialidena standardvaade:

Anname saadud polünoomis sarnased terminid:

Tulemuseks on polünoom, mille kõik liikmed on standardkuju monoomid ja nende hulgas pole sarnaseid. Selliseid polünoome nimetatakse standardkuju polünoomid.

Per polünoomaste standardvormil on selle liikmetest suurim volitus. Seega on binoomil kolmas aste ja trinoomil teine.

Tavaliselt on üht muutujat sisaldavate standardvormi polünoomide liikmed järjestatud selle eksponentide kahanevas järjekorras. Näiteks:

Mitme polünoomi summa saab teisendada (lihtsustatud) standardkujuliseks polünoomiks.

Mõnikord tuleb polünoomi liikmed jagada rühmadesse, lisades iga rühma sulgudesse. Kuna sulud on sulgude vastandid, on seda lihtne sõnastada sulgude avamise reeglid:

Kui +-märk asetatakse sulgude ette, siis sulgudes olevad terminid kirjutatakse samade märkidega.

Kui sulgude ette on pandud märk "-", siis sulgudes olevad terminid kirjutatakse vastandmärkidega.

Mono- ja polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).

Korrutamise jaotusomadust kasutades saab mono- ja polünoomi korrutise polünoomiks teisendada (lihtsustada). Näiteks:

Monoomi ja polünoomi korrutis on identselt võrdne selle monoomi ja polünoomi iga liikme korrutiste summaga.

See tulemus sõnastatakse tavaliselt reeglina.

Monooomi korrutamiseks polünoomiga tuleb see monoom korrutada polünoomi iga liikmega.

Oleme seda reeglit korduvalt kasutanud summaga korrutamiseks.

Polünoomide korrutis. Kahe polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).

Üldiselt on kahe polünoomi korrutis identselt võrdne ühe polünoomi iga liikme ja teise iga liikme korrutise summaga.

Tavaliselt kasutage järgmist reeglit.

Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise liikmega ja liitma saadud korrutised.

Lühendatud korrutusvalemid. Summa, vahe ja erinevuse ruudud

Mõne algebralise teisenduse avaldisega tuleb tegeleda sagedamini kui teistega. Võib-olla on kõige levinumad avaldised ja see tähendab summa ruut, erinevuse ruut ja ruutude erinevus. Olete märganud, et nende avaldiste nimed tunduvad olevat puudulikud, nii et näiteks - see pole muidugi mitte ainult summa ruut, vaid a ja b summa ruut. A ja b summa ruut pole aga nii levinud, reeglina sisaldab see tähtede a ja b asemel erinevaid, kohati üsna keerulisi avaldisi.

Avaldisi on lihtne teisendada (lihtsustada) standardvormi polünoomideks, tegelikult olete polünoomide korrutamisel sellise ülesandega juba kokku puutunud:

Saadud identiteedid on kasulik meelde jätta ja rakendada ilma vahepealsete arvutusteta. Sellele aitavad kaasa lühikesed verbaalsed formuleeringud.

on summa ruut on võrdne summaga ruudud ja topelttoode.

- erinevuse ruut võrdub ruutude summaga ilma topeltkorrutiseta.

- ruutude vahe on võrdne vahe korrutisega summaga.

Need kolm identiteeti võimaldavad teisendustes asendada oma vasakpoolsed osad parempoolsetega ja vastupidi - paremad osad vasakpoolsetega. Kõige keerulisem on sel juhul näha vastavaid avaldisi ja aru saada, mis muutujad a ja b neis asendatakse. Vaatame mõnda näidet lühendatud korrutusvalemite kasutamisest.

Raamatud (õpikud) Ühtse riigieksami ja OGE testide kokkuvõtted Online Mängud, pusled Funktsioonide graafika koostamine Vene keele õigekeelsussõnaraamat Noorte slängi sõnaraamat Vene koolide kataloog Venemaa keskkoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Ülesannete loetelu GCD ja LCM leidmine numbrilised murrud Protsentuaalsete ülesannete lahendamine Kompleksarvud: summa, vahe, korrutis ja jagatis 2 süsteemid lineaarvõrrandid kahega muutujad Lahendus ruutvõrrand Binoomi kvadratuur ja faktooring ruudukujuline kolmik Võrratuste lahendamine Võrratussüsteemide lahendamine Joonistamine ruutfunktsioon Joonistamine lineaarne murdfunktsioon Aritmeetiliste ja geomeetriliste progressioonide lahendamine Trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmilised võrrandid Piirmäärade arvutamine, tuletis, puutuja Integraal, antiderivaat Kolmnurkade lahendamine Toimingute arvutused vektoritega Toimingute arvutused sirgete ja tasanditega Pindala geomeetrilised kujundid Geomeetriliste kujundite ümbermõõt Geomeetriliste kehade ruumala Geomeetriliste kehade pindala
Liiklusolukordade konstruktor
Ilm - uudised - horoskoobid

www.mathsolution.ru

Klambri laiendamine

Jätkame algebra põhitõdede uurimist. Selles õppetükis õpime, kuidas avada väljendites sulgusid. Sulgude laiendamine tähendab nende sulgude väljenditest vabanemist.

Sulgude avamiseks peate pähe õppima ainult kaks reeglit. Kell tavaklassid sulgud võid avada suletud silmadega ja need reeglid, mis vajasid päheõppimist, võib julgelt unustada.

Sulgude laiendamise esimene reegel

Mõelge järgmisele väljendile:

Selle avaldise väärtus on 2 . Avame selle väljendi sulud. Sulgude laiendamine tähendab nendest vabanemist ilma väljendi tähendust mõjutamata. See tähendab, et pärast sulgudest vabanemist avaldise väärtus 8+(−9+3) peaks ikkagi olema võrdne kahega.

Esimese sulgu laiendamise reegel näeb välja järgmine:

Sulgude avamisel, kui sulgude ees on pluss, siis see pluss jäetakse koos sulgudega välja.

Nii et me näeme seda väljendis 8+(−9+3) sulgude ees on pluss. See pluss tuleb koos sulgudega välja jätta. Teisisõnu, sulud kaovad koos plussiga, mis nende ees seisis. Ja see, mis sulgudes oli, kirjutatakse muutmata kujul:

8−9+3 . See avaldis on võrdne 2 , nagu eelmine sulgudes avaldis oli võrdne 2 .

8+(−9+3) ja 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Näide 2 Sulgede laiendamine avaldises 3 + (−1 − 4)

Sulgude ees on pluss, nii et see pluss jäetakse koos sulgudega välja. Sulgudes olev jääb muutumatuks:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Näide 3 Sulgede laiendamine avaldises 2 + (−1)

AT see näide sulgude avamisest on saanud omamoodi pöördoperatsioon lahutamise asendamiseks liitmisega. Mida see tähendab?

Väljendis 2−1 toimub lahutamine, kuid selle saab asendada liitmisega. Siis saad väljenduse 2+(−1) . Aga kui väljendis 2+(−1) avage sulgud, saate originaali 2−1 .

Seetõttu saab esimest sulgude laiendamise reeglit kasutada avaldiste lihtsustamiseks pärast mõningaid teisendusi. See tähendab, et vabastage see sulgudest ja muutke see lihtsamaks.

Näiteks lihtsustame väljendit 2a+a−5b+b .

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnaseid termineid. Tuletage meelde, et sarnaste terminite vähendamiseks peate liitma sarnaste terminite koefitsiendid ja korrutama tulemuse ühise täheosaga:

Sai väljenduse 3a+(−4b). Selles väljendis avage sulud. Sulgude ees on pluss, seega kasutame sulgude avamisel esimest reeglit, see tähendab, et jätame sulud välja koos plussiga, mis tuleb enne neid sulgusid:

Nii et väljend 2a+a−5b+b lihtsustatult 3a-4b .

Pärast ühe sulgu avamist võivad teised teel kohtuda. Nende suhtes rakendame samu reegleid, mis esimese puhul. Näiteks laiendame sulgusid järgmises avaldises:

Sulgusid tuleb laiendada kahes kohas. Sel juhul kehtib sulgude laiendamise esimene reegel, nimelt sulgude väljajätmine koos plussmärgiga, mis on enne neid sulgusid:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Näide 3 Sulgede laiendamine avaldises 6+(−3)+(−2)

Mõlemas kohas, kus on sulud, on nende ees plussmärk. Siin kehtib jällegi esimese sulgu laiendamise reegel:

Mõnikord kirjutatakse esimene termin sulgudes ilma märgita. Näiteks väljendis 1+(2+3−4) esimene termin sulgudes 2 kirjutatud ilma märgita. Tekib küsimus, et mis märk tuleb enne kahest pärast seda, kui sulgud ja pluss sulgude ees on ära jäetud? Vastus viitab iseenesest – kahekesi ees on pluss.

Tegelikult on isegi sulgudes olles pluss kahekesi ees, aga me ei näe seda tänu sellele, et pole kirjas. Oleme juba öelnud, et positiivsete arvude täielik märkimine näeb välja selline +1, +2, +3. Aga plusse traditsiooniliselt üles ei kirjutata, mistõttu näeme meile tuttavaid positiivseid numbreid. 1, 2, 3 .

Seetõttu avage avaldises sulgud 1+(2+3−4) , tuleb sulgud välja jätta nagu tavaliselt koos plussmärgiga nende sulgude ees, kuid esimene termin, mis oli sulgudes, kirjuta plussmärgiga:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Näide 4 Sulgede laiendamine avaldises −5 + (2 − 3)

Sulgude ees on pluss, seega rakendame sulgude avamisel esimest reeglit, nimelt jätame sulud välja koos plussiga, mis tuleb enne neid sulgusid. Kuid esimene termin, mis on kirjutatud plussmärgiga sulgudes:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Näide 5 Sulgede laiendamine avaldises (−5)

Sulgude ees on pluss, kuid seda ei kirjutata, kuna enne seda ei olnud muid numbreid ega väljendeid. Meie ülesanne on eemaldada sulgud, rakendades sulgude laiendamise esimest reeglit, nimelt jättes sulgud koos selle plussiga välja (isegi kui see on nähtamatu)

Näide 6 Sulgede laiendamine avaldises 2a + (−6a + b)

Sulgude ees on pluss, nii et see pluss jäetakse koos sulgudega välja. Sulgudes olev kirjutatakse muutmata kujul:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Näide 7 Sulgede laiendamine avaldises 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Selles väljendis on kaks kohta, kus peate sulud avama. Mõlemas sektsioonis on sulgude ees pluss, mis tähendab, et see pluss jäetakse koos sulgudega välja. Sulgudes olev kirjutatakse muutmata kujul:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Teine sulgude avamise reegel

Nüüd vaatame teise sulgu laiendamise reeglit. Seda kasutatakse siis, kui sulgude ees on miinus.

Kui sulgude ees on miinus, siis see miinus jäetakse koos sulgudega välja, kuid sulgudes olnud terminid muudavad oma märgi vastupidiseks.

Näiteks laiendame järgmise avaldise sulgusid

Näeme, et sulgude ees on miinus. Seega peate rakendama teist laiendusreeglit, nimelt jätma välja sulud koos miinusega nende sulgude ees. Sel juhul muudavad sulgudes olevad terminid oma märgi vastupidiseks:

Saime väljendi ilma sulgudeta 5+2+3 . See avaldis võrdub 10-ga, nagu ka eelmine sulgudega avaldis oli võrdne 10-ga.

Seega väljendite vahel 5−(−2−3) ja 5+2+3 võite panna võrdusmärgi, kuna need on võrdsed sama väärtusega:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Näide 2 Sulgede laiendamine avaldises 6 − (−2 − 5)

Sulgude ees on miinus, seega rakendame sulgude avamisel teist reeglit, nimelt jätame sulud välja koos miinusega, mis tuleb enne neid sulgusid. Sel juhul kirjutatakse sulgudes olevad terminid vastupidiste märkidega:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Näide 3 Sulgede laiendamine avaldises 2 − (7 + 3)

Sulgude ees on miinus, seega rakendame sulgude avamiseks teist reeglit:

Näide 4 Sulgede laiendamine avaldises −(−3 + 4)

Näide 5 Sulgede laiendamine avaldises −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Sulgusid tuleb laiendada kahes kohas. Esimesel juhul peate rakendama teist reeglit sulgude avamiseks ja siis, kui väljendile tuleb pööre +(−9−2) peate rakendama esimest reeglit:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Näide 6 Sulgede laiendamine avaldises −(−a−1)

Näide 7 Sulgede laiendamine avaldises −(4a + 3)

Näide 8 Sulgede laiendamine avaldises a −(4b + 3) + 15

Näide 9 Sulgede laiendamine avaldises 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Sulgusid tuleb laiendada kahes kohas. Esimesel juhul peate rakendama esimest reeglit sulgude laiendamiseks ja kui pöördume avaldisesse −(3c+5) peate rakendama teist reeglit:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

Näide 10 Sulgede laiendamine avaldises -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Sulgusid tuleb laiendada kolmes kohas. Kõigepealt peate rakendama teist sulgude laiendamise reeglit, seejärel esimest ja siis jälle teist:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Sulgude laiendamise mehhanism

Sulgude avamise reeglid, mida oleme nüüd kaalunud, põhinevad korrutamise jaotusseadusel:

Tegelikult avamisklambrid kutsuge protseduur välja, kui ühistegur korrutatakse iga sulgudes oleva liikmega. Sellise korrutamise tulemusena kaovad sulud. Näiteks laiendame avaldises olevaid sulgusid 3× (4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Seega, kui peate korrutama arvu sulgudes oleva avaldisega (või korrutama sulgudes oleva avaldise arvuga), peate ütlema avage sulgud.

Kuid kuidas on korrutamise jaotusseadus seotud sulgude avamise reeglitega, mida me varem kaalusime?

Fakt on see, et enne mis tahes sulgusid on ühine tegur. Näites 3× (4+5)ühine tegur on 3 . Ja näites a(b+c)ühine tegur on muutuja a.

Kui sulgude ees pole numbreid ega muutujaid, siis on ühine tegur 1 või −1 , olenevalt sellest, milline märk on sulgude ees. Kui sulgude ees on pluss, siis ühistegur on 1 . Kui sulgude ees on miinus, siis on ühine tegur −1 .

Näiteks laiendame avaldises olevaid sulgusid −(3b−1). Sulgude ees on miinus, seega tuleb sulgude avamiseks kasutada teist reeglit, see tähendab, et sulgud koos miinusega enne sulgusid välja jätta. Ja väljend, mis oli sulgudes, kirjuta vastupidiste märkidega:

Laiendasime sulgusid kasutades sulgude laiendamise reeglit. Kuid neid samu sulgusid saab avada korrutamise jaotusseaduse abil. Selleks kirjutame esmalt sulgude ette ühisteguri 1, mis jäi kirja panemata:

Varem sulgude ees seisnud miinus viitas sellele seadmele. Nüüd saate sulgud avada, rakendades korrutamise jaotusseadust. Selleks on ühine tegur −1 peate korrutama iga sulgudes oleva terminiga ja liitma tulemused.

Mugavuse huvides asendame sulgudes oleva erinevuse summaga:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Nagu eelmiselgi korral, saime väljendi −3b+1. Kõik nõustuvad, et seekord kulus nii lihtsa näite lahendamisele rohkem aega. Seetõttu on sulgude avamiseks mõistlikum kasutada valmis reegleid, mida me selles õppetükis käsitlesime:

Kuid see ei tee haiget, kui tead, kuidas need reeglid toimivad.

Selles õppetükis õppisime veel üht identset teisendust. Koos sulgude avamise, üldise sulgudest välja panemise ja sarnaste terminite toomisega on võimalik lahendatavate ülesannete ringi veidi laiendada. Näiteks:

Siin peate tegema kaks toimingut - esmalt avage sulud ja seejärel sisestage sarnased terminid. Niisiis, järjekorras:

1) Laiendage sulgusid:

2) Anname sarnased terminid:

Saadud väljendis −10b+(−1) saate sulgud avada:

Näide 2 Avage sulud ja lisage sarnased terminid järgmises avaldises:

1) Laiendage sulgusid:

2) Esitame sarnased terminid. Seekord jätame aja ja ruumi kokkuhoiu mõttes kirja panemata, kuidas koefitsiendid korrutatakse ühise täheosaga

Näide 3 Väljendi lihtsustamine 8m+3m ja leidke selle väärtus m = -4

1) Esmalt lihtsustame väljendit. Väljendi lihtsustamiseks 8m+3m, saate sellest ühise teguri välja võtta m sulgude jaoks:

2) Leidke avaldise väärtus m(8+3) juures m = -4. Selle jaoks väljendis m(8+3) muutuja asemel m asendage number −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Kui soovite kaasata põhitekstiga seotud teavet, kuid see teave ei mahu lause või lõigu sisusse, peate selle teabe panema sulgudesse. Ta sisse võtmine ümmargused sulgud, vähendate sellega selle olulisust, nii et see ei kahanda teksti peamist tähendust.

• Näide: J. R. R. Tolkien (raamatu „Sõrmuste isanda“ autor) ja C. S. Lewis (raamatu „Narnia kroonikad“ autor) olid Inklingite nime all tuntud kirjandusliku vestlusrühma regulaarsed liikmed.

Selles artiklis käsitleme üksikasjalikult matemaatikakursuse nii olulise teema põhireegleid nagu avasulud. Peate teadma sulgude avamise reegleid, et õigesti lahendada võrrandeid, milles neid kasutatakse.

Kuidas lisamisel sulgusid õigesti avada

Laiendage sulud, millele eelneb "+" märk

See on kõige lihtsam juhtum, sest kui sulgude ees on lisamärk, siis sulgude avamisel märgid nende sees ei muutu. Näide:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Kuidas avada sulgusid, millele eelneb märk "-".

Sel juhul peate kõik terminid ilma sulgudeta ümber kirjutama, kuid samal ajal muutma kõik nende sees olevad märgid vastupidisteks. Märgid muutuvad ainult nende sulgudes olevate terminite puhul, millele eelnes märk “-”. Näide:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Kuidas korrutamisel sulgusid avada

Sulgudele eelneb kordaja

Sel juhul peate iga termini korrutama teguriga ja avama sulud märke muutmata. Kui kordajal on märk "-", siis korrutamisel muutuvad terminite märgid vastupidiseks. Näide:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Kuidas avada kaks sulgu, mille vahel on korrutusmärk

Sel juhul peate korrutama iga esimestest sulgudest pärit termini iga teise sulgudes oleva terminiga ja seejärel liitma tulemused. Näide:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Kuidas ruudus sulgusid avada

Kui kahe liikme summa või erinevus on ruudus, tuleb sulgusid laiendada järgmise valemi järgi:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Sulgudes oleva miinuse korral valem ei muutu. Näide:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Kuidas avada sulgusid erineval määral

Kui terminite summa või erinevus tõstetakse näiteks 3. või 4. astmeni, tuleb sulu aste lihtsalt “ruutudeks” jagada. Samade tegurite astmed liidetakse ja jagamisel lahutatakse dividendi astmest jagaja aste. Näide:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Kuidas avada 3 sulgu

On võrrandeid, milles 3 sulgu korrutatakse korraga. Sel juhul peate esmalt korrutama kahe esimese sulu liikmed omavahel ja seejärel korrutama selle korrutamise summa kolmanda sulu liikmetega. Näide:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Need sulgude avamise reeglid kehtivad võrdselt nii lineaarsete kui ka trigonomeetriliste võrrandite puhul.

Selles õppetükis saate teada, kuidas muuta sulgu sisaldav avaldis avaldisteks, mis sulgusid ei sisalda. Õpid, kuidas avada sulgusid, millele eelneb pluss- ja miinusmärk. Jätame meelde, kuidas avada sulgud korrutamise jaotusseaduse abil. Vaadeldavad näited võimaldavad siduda uut ja varem uuritud materjali ühtseks tervikuks.

Teema: võrrandite lahendamine

Õppetund: sulgude laiendamine

Kuidas avada sulgusid, millele eelneb "+" märk. Assotsiatiivse liitmise seaduse kasutamine.

Kui teil on vaja arvule lisada kahe arvu summa, saate sellele arvule lisada esimese liikme ja seejärel teise liikme.

Võrdlusmärgist vasakul on sulgudega avaldis ja paremal ilma sulgudeta avaldis. See tähendab, et võrdsuse vasakult küljelt paremale üle minnes avanesid sulgud.

Kaaluge näiteid.

Näide 1

Sulgusid laiendades muutsime toimingute järjekorda. Loendamine on muutunud mugavamaks.

Näide 2

Näide 3

Pange tähele, et kõigis kolmes näites eemaldasime lihtsalt sulud. Sõnastame reegli:

Kommenteeri.

Kui esimene termin sulgudes on märgita, tuleb see kirjutada plussmärgiga.

Saate järgida samm-sammult näidet. Kõigepealt lisage 889-le 445. Seda vaimset tegevust saab sooritada, kuid see pole väga lihtne. Avame sulud ja vaatame, et muudetud toimingute järjekord lihtsustab arvutusi oluliselt.

Kui järgite näidatud toimingute järjekorda, peate esmalt lahutama 512-st 345 ja seejärel lisama tulemusele 1345. Sulgude laiendamisega muudame toimingute järjekorda ja lihtsustame arvutusi oluliselt.

Illustreeriv näide ja reegel.

Vaatleme näidet: . Avaldise väärtuse leiate, kui liidate 2 ja 5 ning võtate saadud arvu vastupidise märgiga. Saame -7.

Teisest küljest võib sama tulemuse saada vastandarvude liitmisel.

Sõnastame reegli:

Näide 1

Näide 2

Reegel ei muutu, kui sulgudes pole mitte kaks, vaid kolm või enam terminit.

Näide 3

Kommenteeri. Märgid pööratakse ümber ainult terminite ees.

Sulgude avamiseks peame sel juhul meelde tuletama jaotusomaduse.

Esiteks korrutage esimene sulg 2-ga ja teine ​​​​3-ga.

Esimesele sulule eelneb märk “+”, mis tähendab, et märgid tuleb jätta muutmata. Teisele eelneb märk “-”, seetõttu tuleb kõik märgid ümber pöörata

Bibliograafia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemaatika 6. klass. - Gümnaasium, 2006.
3. Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Matemaatikaõpiku lehekülgede taga. - Valgustus, 1989.
4. Rurukin A.N., Tšaikovski I.V. Ülesanded 5.-6. klassi matemaatika kursusele - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sotšilov S.V., Tšaikovski K.G. Matemaatika 5.-6. Käsiraamat MEPhI korrespondentkooli 6. klassi õpilastele. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemaatika: Vestluskaaslase õpik 5.-6. klassile Keskkool. Matemaatikaõpetaja raamatukogu. - Valgustus, 1989.

1. Internetis matemaatika testid ().
2. Punktis 1.2 nimetatud saate alla laadida. raamatud ().

Kodutöö

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (vt link 1.2)
2. Kodutöö: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
3. Muud ülesanded: nr 1258(c), nr 1248