Lihtsaimate numbriliste funktsioonidena palju

ratsionaalse funktsiooni muutlikud või kriitilised punktid

y n . Q x

Ratsionaalne ebavõrdsus on ebavõrdsus, mis sisaldab ainult ratsionaalseid funktsioone.

Ratsionaalsed ebavõrdsused on sageli lahendatavad nn intervallmeetodiga. See meetod põhineb ratsionaalse funktsiooni ühel olulisel omadusel: kahe külgneva kriitilise punkti vahelises intervallis säilitab ratsionaalne funktsioon oma märgi.

Intervalli meetod on järgmine. Ratsionaalne ebavõrdsus toob kaasa järgmise vormi:

Siis nad leiavad kõik kriitilised punktid ratsionaalne funktsioon. Need punktid on tähistatud numbriteljel. Kogu numbritelg on jagatud kriitilisega

punktid üle lõpliku arvu intervallide, millest igaühel jääb ebavõrdsuse vasak pool oma märgi. Vasaku külje märgi määramiseks kõigel

see intervall ja sellega määrata, kas see intervall sisaldub selle võrratuse lahendite hulka.

Mis puutub kriitilistesse punktidesse endisse, siis range ebavõrdsuse korral

lahendused, välja arvatud juhul, kui need on nullid ja polünoom Q x .

Pange tähele, et intervallmeetodit saab kasutada ainult siis, kui polünoomide P x ​​ja Q x nullid on teada (või leitavad), st kriitilised.

Tõepoolest, x 3 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 3 x 1 x 1.

Ebavõrdsuse saab nüüd kirjutada järgmiselt:

x 3 x 1 x 1 0 .

x 1 x 2

Ratsionaalfunktsiooni kriitilised punktid: x 2 ,x 1,x 1,x 3 .

Nende punktide abil sõelutakse arvtelg 5 intervalliks. Märgi punktid numbrireale.

Funktsiooni märgi määramiseks igal intervallil saate toimida järgmiselt. Märgime, et x 3 korral on kõik ratsionaalse funktsiooni lugeja ja nimetaja lineaarsed tegurid positiivsed ja järelikult

oluline, intervallil 3; Funktsioon võtab ainult positiivseid väärtusi.

Punkti x 3 läbimisel intervallist 3; intervallile 1; 3, muudab märki ainult üks lineaarsetest teguritest, nimelt x 3, ja seetõttu muutub funktsioon negatiivseks.

Seejärel liikudes järgmisele intervallile 1; 1 , tuvastame, et märk muutub ainult teguri x 1 juures. See tähendab, et punkti x 1 läbimisel muudab võrratuse vasak pool märki. Punkti x 1 läbimisel säilib ilmselgelt funktsiooni märk, kuna tegur x 1 esineb nii ratsionaalfunktsiooni lugejas kui ka nimetajas. Lõpuks üleminek viimasele intervallile; 2-ga kaasneb jällegi funktsiooni märgi muutus. Fikseerime joonisel märkide vaheldumise.

Kuna ebavõrdsus on range, ei ole kriitilised punktid ise lahendused.

Vastus. 2; 1 1; 1 3;.

Selle ebavõrdsuse lahendamise protsessis võib tekkida kiusatus asendada see algusest peale lihtsama ebavõrdsusega

x 1 x 3

Selline lihtsustus (mis on tehtud ilma reservatsioonideta) toob kaasa vea. Saadud võrratus ei ole samaväärne algse võrratusega, kuna selle lahendite hulk sisaldab x 1 ja see muutuja väärtus ei ole selle võrratuse lahendus.

4xx

Ratsionaalfunktsiooni kriitilised punktid: x 3, x 0, x 4. Arvtelg on jagatud 4 intervalliks, millest igaühel on funktsiooni märk lihtsalt määratav.

Märgi määramisel on vaja jälgida ainult nimetaja lineaartegurite märgi muutumist, kuna ruuttegurid on arvulised

x 32 ja x 2 x 1 jaoks on positiivsed kõigil intervallidel. Kolmest kriitilisest punktist on ebavõrdsuse lahendite hulka kaasatud ainult x 3.

Vastus. 3 0;4 .

Selle funktsiooni määratluspiirkonna leidmiseks on vaja lahendada

x 1 x 2 x 1

Kuna x 2 x 1 0 muutuja kõigi väärtuste jaoks, liigume võrdsele

tugev ebavõrdsus x 1 x 2 0.

Kriitilised punktid jagavad arvtelje kolmeks intervalliks.

+ –

Määrame igal intervallil ebavõrdsuse vasaku külje märgi. Uurime kriitilisi punkte endid: punkt x 2 on lugeja null ja kuna ebavõrdsus ei ole range, sisaldub see lahenduste hulgas. Punkt x 1, kuigi see on lugeja null, ei kuulu lahendushulka, kuna see muudab nulli nimetajaks.

Vastus: ; 1 1;2 .

2.1. Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Näited:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

Murdratsionaalvõrratuste lahendamisel kasutatakse intervallide meetodit. Seetõttu, kui allolev algoritm tekitab teile raskusi, vaadake artiklit .

Kuidas lahendada murdosa ratsionaalset ebavõrdsust:

Murdratsionaalvõrratuste lahendamise algoritm.

Näited:



Asetage märgid numbritelje intervallidele. Tuletan teile meelde märkide paigutamise reegleid:

Määrame märgi kõige parempoolsemas intervallis - võtame sellest intervallist arvu ja asendame selle x asemel ebavõrdsusega. Pärast seda määrame sulgudes olevad märgid ja nende märkide korrutamise tulemuse;

Näited:




Tõstke esile soovitud ruumid. Kui on olemas eraldi seisev juur, seejärel märkige ruut, et te ei unustaks seda oma vastusele lisada (vt allolevat näidet).

Näited:


Kirjutage vastuseks esiletõstetud lüngad ja lipuga märgitud juured (kui neid on).

Näited:
Vastus: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪

Nüüd teeme ülesande pisut keerulisemaks ja arvestame mitte ainult polünoomidega, vaid vormi nn ratsionaalsete murdudega:

kus $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ on samad polünoomid kujul $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(a)_(0))$ või selliste polünoomide korrutis.

See oleks ratsionaalne ebavõrdsus. Põhipunkt on muutuja $x$ olemasolu nimetajas. Näiteks siin on ratsionaalne ebavõrdsus:

\[\begin(joonda) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\vasak(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(joona)\]

Ja see pole ratsionaalne, vaid kõige levinum ebavõrdsus, mis lahendatakse intervallmeetodiga:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Tulevikku vaadates ütlen kohe: ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks on vähemalt kaks võimalust, kuid kõik need ühel või teisel viisil taandatakse meile juba tuntud intervallide meetodile. Seetõttu tuletagem enne nende meetodite analüüsimist meelde vanu fakte, muidu pole uuest materjalist mõtet.

Mida sa juba teadma pead

Pole palju olulisi fakte. Meil on tõesti vaja ainult nelja.

Lühendatud korrutusvalemid

Jah, jah: nad järgivad meid kogu aeg kooli õppekava matemaatika. Ja ülikoolis ka. Neid valemeid on üsna palju, kuid vajame ainult järgmist:

\[\begin(joona) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\vasak(a+b \parem)\vasak(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\parem); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\vasak(a-b \parem)\vasak(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\paremal). \\ \end(joonda)\]

Pöörake tähelepanu kahele viimasele valemile - see on kuubikute summa ja erinevus (ja mitte summa või erinevuse kuup!). Neid on lihtne meeles pidada, kui märkate, et esimeses sulus olev märk on sama, mis algse avaldises olev märk ja teises sulgudes on see vastand alglauses olevale märgile.

Lineaarvõrrandid

Neid on kõige rohkem lihtsad võrrandid kujul $ax+b=0$, kus $a$ ja $b$ on tavalised numbrid ning $a\ne 0$. Seda võrrandit on lihtne lahendada:

\[\begin(joonda) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(joonda)\]

Märgin, et meil on õigus jagada koefitsiendiga $a$, sest $a\ne 0$. See nõue on üsna loogiline, kuna väärtusega $a=0$ saame järgmise:

Esiteks pole selles võrrandis muutujat $x$. Üldiselt ei tohiks see meid segadusse ajada (seda juhtub näiteks geomeetrias ja üsna sageli), kuid siiski pole me enam lineaarne võrrand.

Teiseks sõltub selle võrrandi lahendus ainult koefitsiendist $b$. Kui $b$ on samuti null, siis on meie võrrand $0=0$. See võrdsus on alati tõsi; seega $x$ on suvaline arv (tavaliselt kirjutatakse $x\ in \mathbb(R)$). Kui koefitsient $b$ ei ole võrdne nulliga, siis võrdus $b=0$ ei ole kunagi täidetud, s.t. vastuseid pole (kirjutati $x\in \varnothing $ ja loeti "lahenduskomplekt on tühi").

Kõigi nende keerukuste vältimiseks eeldame lihtsalt $a\ne 0$, mis ei piira meid kuidagi edasistest mõtisklustest.

Ruutvõrrandid

Lubage mul teile meelde tuletada, et seda nimetatakse ruutvõrrandiks:

Siin vasakul on teise astme polünoom ja jälle $a\ne 0$ (muidu asemel ruutvõrrand saame lineaarseks). Diskriminandi abil lahendatakse järgmised võrrandid:

1. Kui $D \gt 0$, saame kaks erinevat juurt;
2. Kui $D=0$, siis on juur üks, aga teise kordsusega (milline paljusus see on ja kuidas seda arvesse võtta – sellest lähemalt hiljem). Või võime öelda, et võrrandil on kaks identset juurt;
3. $D \lt 0$ korral puuduvad juured ja polünoomi $a((x)^(2))+bx+c$ märk mis tahes $x$ korral langeb kokku koefitsiendi $a märgiga $. Muide, see on väga kasulik fakt, millest nad millegipärast unustavad algebratundides rääkida.

Juured ise arvutatakse tuntud valemi järgi:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Sellest, muide, ka piirangud diskrimineerijale. Pealegi Ruutjuur alates negatiivne arv ei eksisteeri. Mis puutub juurtesse, siis paljudel õpilastel on peas kohutav segadus, seega salvestasin spetsiaalselt terve tunni: mis on algebras juur ja kuidas seda arvutada - soovitan soojalt lugeda. :)

Tehted ratsionaalsete murdudega

Kõik, mis ülalpool oli kirjutatud, teate juba, kui uurisite intervallide meetodit. Kuid sellel, mida me praegu analüüsime, pole minevikus analooge – see on täiesti uus fakt.

Definitsioon. Ratsionaalne murd on vormi avaldis

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

kus $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ on polünoomid.

On ilmne, et sellisest murdosast on lihtne saada ebavõrdsust - piisab, kui omistada paremale märk “suurem kui” või “vähem kui”. Ja veidi edasi leiame, et selliste probleemide lahendamine on rõõm, seal on kõik väga lihtne.

Probleemid algavad siis, kui ühes avaldises on mitu sellist murdu. Need tuleb kohale tuua ühine nimetaja- ja see on praegu lubatud suur hulk piinlikud vead.

Seega eduka lahenduse nimel ratsionaalsed võrrandid Kaks oskust tuleb kindlalt omandada:

1. Polünoomi $P\left(x \right)$ faktoriseerimine;
2. Tegelikult murdude viimine ühisele nimetajale.

Kuidas polünoomi faktoriseerida? Väga lihtne. Olgu meil vormi polünoom

Võrdlustame selle nulliga. Saame $n$-nda astme võrrandi:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Oletame, et lahendasime selle võrrandi ja saime juured $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ärge muretsege: enamikul juhtudel seda pole rohkem kui kaks neist juurtest). Sel juhul saab meie algse polünoomi ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end (joonda)\]

See on kõik! Pange tähele: esikoefitsient $((a)_(n))$ pole kuhugi kadunud - see on eraldi faktor sulgude ees ja vajadusel saab selle sisestada ükskõik millisesse neist sulgudest (näitab praktika et $((a)_ (n))\ne \pm 1$ juures on juurte hulgas peaaegu alati murded).

Ülesanne. Lihtsusta väljendit:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Lahendus. Kõigepealt vaatame nimetajaid: need on kõik lineaarsed binoomid ja siin pole midagi faktoriseerida. Nii et faktoriseerime lugejad:

\[\begin(joona) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\right)\left(x-1\right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \parem)\vasak (2-5x \parem). \\\end(joonda)\]

Pange tähele: teises polünoomis ilmus vanemkoefitsient "2", mis on täielikult kooskõlas meie skeemiga, esmalt sulu ees ja seejärel lisati esimesse sulgu, kuna sealt pääses välja murdosa.

Sama juhtus ka kolmanda polünoomiga, ainult et seal on terminite järjekord samuti segane. Koefitsient “−5” sattus aga teise sulgu (pidage meeles: teguri saab sisestada ühte ja ainult ühte sulgu!), mis päästis meid murdjuurtega kaasnevatest ebamugavustest.

Mis puutub esimesse polünoomi, siis seal on kõik lihtne: selle juuri otsitakse kas standardsel viisil diskriminandi kaudu või Vieta teoreemi abil.

Läheme tagasi algse avaldise juurde ja kirjutame selle ümber teguriteks jaotatud lugejatega:

\[\begin(maatriks) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \parem))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\vasak(x+5) \parem)-\vasak(x-1 \parem)-\vasak(2-5x \parem)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(maatriks)\]

Vastus: $5x+4$.

Nagu näete, pole midagi keerulist. Natuke 7.-8.klassi matemaatikat ja ongi kõik. Kõigi teisenduste mõte on muuta keeruline ja hirmutav väljend millekski lihtsaks ja hõlpsasti kasutatavaks.

See ei pruugi aga alati nii olla. Nii et nüüd käsitleme tõsisemat probleemi.

Kuid kõigepealt mõelgem välja, kuidas viia kaks murru ühise nimetajani. Algoritm on äärmiselt lihtne:

1. Faktoreerige mõlemad nimetajad;
2. Mõelge esimesele nimetajale ja lisage sellele tegurid, mis esinevad teises nimetajas, kuid mitte esimeses nimetajas. Saadud korrutis on ühine nimetaja;
3. Uurige, millised tegurid puuduvad igal algsel murdel, et nimetajad oleksid võrdsed ühisega.

Võib-olla tundub see algoritm teile lihtsalt tekstina, milles on "palju tähti". Nii et vaatame konkreetset näidet.

Ülesanne. Lihtsusta väljendit:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Lahendus. Selliseid mahukaid ülesandeid saab kõige paremini lahendada osade kaupa. Kirjutame välja, mis on esimeses sulus:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Erinevalt eelmisest probleemist ei ole siin nimetajad nii lihtsad. Tegutseme igaüks neist.

Ruuttrinoomi $((x)^(2))+2x+4$ ei saa faktoriseerida, kuna võrrandil $((x)^(2))+2x+4=0$ pole juuri (diskriminant on negatiivne) . Jätame selle muutmata.

Teine nimetaja, kuuppolünoom $((x)^(3))-8$, on lähemal uurimisel kuubikute erinevus ja seda saab hõlpsasti lahutada lühendatud korrutusvalemite abil:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x) ^(2))+2x+4 \parem)\]

Midagi muud ei saa arvesse võtta, kuna esimene sulg sisaldab lineaarset binoom, teine ​​aga meile juba tuttavat konstruktsiooni, millel pole tegelikke juuri.

Lõpuks on kolmas nimetaja lineaarne binoom, mida ei saa lagundada. Seega on meie võrrand järgmine:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \parem))-\frac(1)(x-2)\]

On üsna ilmne, et $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ on ühine nimetaja ja selleks, et taandada kõik murrud sellele, esimene murd tuleb korrutada väärtusega $\left(x-2 \right)$ ja viimane murdarvuga $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Siis jääb üle vaid tuua järgmine:

\[\begin(maatriks) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ parem))+\frac(((x)^(2))+8)(\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \parem))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \parem)-\vasak(((x) )^(2))+2x+4 \parem))(\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \parem))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem)). \\ \end(maatriks)\]

Pöörake tähelepanu teisele reale: kui nimetaja on juba ühine, s.t. kolme eraldi murru asemel kirjutasime ühe suure, sulgudest ei tohiks kohe lahti saada. Parem on kirjutada lisarida ja märkida, et näiteks kolmanda murru ees oli miinus - ja see ei kao kuhugi, vaid “ripub” sulu ees olevasse lugejasse. See säästab palju vigu.

Noh, viimasel real on kasulik lugeja faktoriseerida. Pealegi on see täpne ruut ja lühendatud korrutusvalemid tulevad meile taas appi. Meil on:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \parem) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Nüüd käsitleme teist sulgu samamoodi. Siin kirjutan lihtsalt võrdsuste ahela:

\[\begin(maatriks) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(maatriks)\]

Naaseme algse probleemi juurde ja vaatame toodet:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Vastus: \[\frac(1)(x+2)\].

Selle ülesande tähendus on sama, mis eelmisel: näidata, kui palju saab ratsionaalseid väljendeid lihtsustada, kui läheneda nende teisendamisele targalt.

Ja nüüd, kui sa seda kõike tead, liigume edasi tänase tunni põhiteemale – murdartsionaalvõrratuste lahendamisele. Pealegi, pärast sellist ettevalmistust klõpsavad ebavõrdsused ise nagu pähklid. :)

Peamine viis ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks

Ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks on vähemalt kaks lähenemist. Nüüd kaalume ühte neist - seda, mis on kooli matemaatika kursusel üldiselt aktsepteeritud.

Kuid kõigepealt paneme tähele oluline detail. Kõik ebavõrdsused jagunevad kahte tüüpi:

1. Range: $f\left(x \right) \gt 0$ või $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Mitte range: $f\left(x \right)\ge 0$ või $f\left(x \right)\le 0$.

Teist tüüpi ebavõrdsused on kergesti taandatavad esimeseks, nagu ka võrrand:

See väike "lisa" $f\left(x \right)=0$ viib sellise ebameeldiva asjani nagu täidetud punktid – me kohtusime nendega tagasi intervallmeetodil. Vastasel juhul pole rangete ja mitterangete ebavõrdsuste vahel erinevusi, seega analüüsime universaalset algoritmi:

1. Koguge kõik nullist erinevad elemendid ebavõrdsuse märgi ühele küljele. Näiteks vasakul;
2. Too kõik murrud ühise nimetaja juurde (kui selliseid murde on mitu), too sarnased. Seejärel lisage võimaluse korral lugejasse ja nimetajasse. Ühel või teisel viisil saame ebavõrdsuse kujul $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kus linnuke on ebavõrdsuse märk.
3. Võrdsusta lugeja nulliga: $P\left(x \right)=0$. Lahendame selle võrrandi ja saame juured $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Siis nõuame et nimetaja ei olnud võrdne nulliga: $Q\left(x \right)\ne 0$. Muidugi, sisuliselt peame lahendama võrrandi $Q\left(x \right)=0$ ja saame juured $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (reaalsetes ülesannetes on selliseid juuri vaevalt rohkem kui kolm).
4. Märgime kõik need juured (nii tärnidega kui ka ilma) ühele numbrireale ja tärnideta juured värvitakse üle ja tärnidega juured stantsitakse välja.
5. Asetame pluss- ja miinusmärgid, valime vajalikud intervallid. Kui ebavõrdsus on kujul $f\left(x \right) \gt 0$, siis vastuseks on "plussiga" märgitud intervallid. Kui $f\left(x \right) \lt 0$, siis vaatame intervalle "miinustega".

Praktika näitab, et punktid 2 ja 4 põhjustavad suurimaid raskusi - pädevad teisendused ja õige paigutus numbrid kasvavas järjekorras. Noh, viimases etapis olge äärmiselt ettevaatlik: paneme sildid alati selle põhjal viimane võrratus, mis on kirjutatud enne võrrandite juurde liikumist. See on universaalne reegel, mis on päritud intervallimeetodist.

Niisiis, skeem on olemas. Harjutame.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Lahendus. Meil on range ebavõrdsus kujul $f\left(x \right) \lt 0$. Ilmselgelt on meie skeemi punktid 1 ja 2 juba täidetud: kõik ebavõrdsuse elemendid on kogutud vasakule, midagi pole vaja taandada ühisele nimetajale. Liigume siis edasi kolmanda punkti juurde.

Seadke lugeja nulliks:

\[\begin(joonda) & x-3=0; \\ &x=3. \end(joonda)\]

Ja nimetaja:

\[\begin(joonda) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(joonda)\]

Sellesse kohta jäävad paljud kinni, sest teoreetiliselt tuleb ODZ-i nõudmisel üles kirjutada $x+7\ne 0$ (nulliga jagada ei saa, see on kõik). Kuid lõppude lõpuks pistame välja nimetajast saadud punktid, nii et te ei tohiks oma arvutusi veel kord keeruliseks teha - kirjutage kõikjale võrdusmärk ja ärge muretsege. Selle eest ei võta keegi punkte maha. :)

Neljas punkt. Saadud juured märgime numbrireale:

Kõik punktid on läbi löödud, sest ebavõrdsus on range

Märge: kõik punktid on läbi löödud, sest algne ebavõrdsus on range. Ja siin pole enam tähtsust: need punktid tulid lugejast või nimetajast.

No vaadake märke. Võtke suvaline arv $((x)_(0)) \gt 3$. Näiteks $((x)_(0))=100$ (aga sama hästi oleks võinud võtta $((x)_(0))=3.1$ või $((x)_(0)) = 1 000 000 $). Saame:

Niisiis, kõigist juurtest paremal on meil positiivne ala. Ja iga juure läbimisel märk muutub (see ei pruugi alati nii olla, aga sellest hiljem). Seetõttu jätkame viienda punktiga: asetame sildid ja valime õige:



Pöördume tagasi viimase võrratuse juurde, mis oli enne võrrandite lahendamist. Tegelikult langeb see kokku esialgsega, sest me ei teinud selles ülesandes mingeid teisendusi.

Kuna on vaja lahendada ebavõrdsus kujul $f\left(x \right) \lt 0$, varjutasin intervalli $x\in \left(-7;3 \right)$ - see on ainuke märgitud miinusmärgiga. See on vastus.

Vastus: $x\in \left(-7;3 \right)$

See on kõik! Kas see on raske? Ei, see pole raske. Tõepoolest, see oli lihtne ülesanne. Teeme nüüd missiooni veidi keerulisemaks ja mõelgem "väljamõeldud" ebavõrdsusele. Selle lahendamisel ma enam nii üksikasjalikke arvutusi ei anna - toon lihtsalt põhipunktid välja. Üldiselt korraldame selle nii, nagu me selle korraldaksime iseseisev töö või eksam. :)

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Lahendus. See on mitterange ebavõrdsus kujul $f\left(x \right)\ge 0$. Kõik nullist erinevad elemendid kogutakse vasakule, erinevad nimetajad Ei. Liigume edasi võrrandite juurde.

Lugeja:

\[\begin(joona) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Paremnool ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Paremnool ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(joonda)\]

Nimetaja:

\[\begin(joonda) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(joonda)\]

Ma ei tea, milline pervert selle probleemi välja mõtles, kuid juured ei tulnud eriti hästi välja: neid on keeruline arvureale järjestada. Ja kui juurega $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ on kõik enam-vähem selge (see on ainus positiivne arv - see jääb paremale), siis $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ ja $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ nõuavad täiendavat uurimist: milline neist on suurem?

Selle saate teada näiteks:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Loodan, et ma ei pea selgitama, miks murdosa$-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Vajadusel soovitan meeles pidada, kuidas murdosadega toiminguid teha.

Ja tähistame numbrireal kõik kolm juurt:

Lugeja punktid on varjutatud, nimetajast välja lõigatud

Panime sildid üles. Näiteks võite võtta $((x)_(0))=1$ ja leida sellel hetkel märgi:

\[\begin(joona) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(joona)\]

Viimane võrratus enne võrrandeid oli $f\left(x \right)\ge 0$, seega huvitab meid plussmärk.



Saime kaks komplekti: üks on tavaline segment ja teine ​​on avatud kiir numbritel.

Vastus: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Oluline märkus numbrite kohta, mida me asendame, et leida märk kõige parempoolsemas intervallis. Parempoolsema juure lähedast numbrit ei ole vaja asendada. Võite võtta miljardeid või isegi "pluss-lõpmatust" - sel juhul määratakse polünoomi märk sulgudes, lugejas või nimetajas ainult juhtiva koefitsiendi märgiga.

Vaatame veel kord viimase ebavõrdsuse funktsiooni $f\left(x \right)$:

See sisaldab kolme polünoomi:

\[\begin(joonda) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(joonda)\]

Kõik need on lineaarsed binoomid ja neil kõigil on positiivsed koefitsiendid (numbrid 7, 11 ja 13). Seetõttu asendamisel väga suured numbrid ka polünoomid ise on positiivsed. :)

See reegel võib tunduda liiga keeruline, kuid ainult alguses, kui analüüsime väga lihtsaid probleeme. Tõsise ebavõrdsuse korral võimaldab "pluss-lõpmatuse" asendus meil märke välja selgitada palju kiiremini kui standardne $((x)_(0))=100 $.

Selliste väljakutsetega seisame silmitsi üsna pea. Kuid kõigepealt vaatleme alternatiivset võimalust murdosa ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks.

Alternatiivne viis

Selle tehnika soovitas mulle üks mu õpilane. Ma ise pole seda kunagi kasutanud, kuid praktika on näidanud, et paljudel õpilastel on tõesti mugavam niimoodi ebavõrdsusi lahendada.

Seega on algandmed samad. Peame lahendama murdosalise ratsionaalse ebavõrdsuse:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Mõelgem: miks on polünoom $Q\left(x \right)$ "halvem" kui polünoom $P\left(x \right)$? Miks peame arvestama eraldi juurrühmadega (tärniga ja ilma), mõtlema stantsitud punktidele jne? See on lihtne: murdel on definitsioonipiirkond, mille kohaselt on murdel mõte ainult siis, kui selle nimetaja erineb nullist.

Muidu pole lugejal ja nimetajal erinevusi: võrdsustame ka selle nulliga, otsime juured, seejärel märgime need arvureale. Miks siis mitte asendada murdosa (tegelikult jagamismärk) tavalise korrutisega ja kirjutada kõik DHS-i nõuded eraldi ebavõrdsena? Näiteks nii:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Paremnool \vasak\( \begin(joonda) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(joonda) \right.\]

Pange tähele: see lähenemisviis võimaldab teil probleemi taandada intervallide meetodile, kuid see ei muuda lahendust üldse keeruliseks. Lõppude lõpuks võrdsustame polünoomi $Q\left(x \right)$ nulliga.

Vaatame, kuidas see reaalsete ülesannete puhul töötab.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Lahendus. Liigume edasi intervallmeetodi juurde:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Paremnool \left\( \begin (joonda) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(joonda) \right.\]

Esimene ebavõrdsus lahendatakse elementaarselt. Lihtsalt määrake iga sulg nulliks:

\[\begin(joona) & x+8=0\Paremnool ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Paremnool ((x)_(2))=11. \\ \end(joonda)\]

Teise ebavõrdsusega on kõik samuti lihtne:

Märgime reaaljoonele punktid $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Kõik need on torgatud, kuna ebavõrdsus on range:

Õige punkt osutus kaks korda torgatuks. See sobib.

Pöörake tähelepanu punktile $x=11$. Selgub, et see on "kaks korda raiutud": ühelt poolt torkame selle välja ebavõrdsuse tõsiduse tõttu, teiselt poolt lisanõue ODZ.

Igal juhul jääb see lihtsalt torgatud punktiks. Seetõttu panime ebavõrdsuse $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ märgid - viimane, mida nägime enne võrrandite lahendamise alustamist:



Oleme huvitatud positiivsetest piirkondadest, kuna lahendame ebavõrdsuse kujul $f\left(x \right) \gt 0$ ja värvime need. Jääb vaid vastus kirja panna.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Selle lahenduse näitel hoiatan teid algajate õpilaste seas levinud vea eest. Nimelt: ära kunagi ava ebavõrdsuses sulgusid! Vastupidi, proovige kõike arvesse võtta - see lihtsustab lahendust ja säästab teid paljudest probleemidest.

Proovime nüüd midagi keerulisemat.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Lahendus. See on mitterange ebavõrdsus kujul $f\left(x \right)\le 0$, nii et siin peate hoolikalt jälgima täidetud punkte.

Liigume edasi intervallmeetodi juurde:

\[\left\( \begin(joona) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(joonda) \right.\]

Liigume edasi võrrandi juurde:

\[\begin(joona) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Paremnool ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Paremnool ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Paremnool ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(joonda)\]

Võtame arvesse lisanõuet:

Märgime kõik saadud juured numbrireale:

Kui punkt on samaaegselt välja löödud ja täidetud, loetakse see väljastantsiks.

Jälle kaks punkti "kattuvad" üksteisega - see on normaalne, see jääb alati nii. Oluline on ainult mõista, et punkt, mis on märgitud nii stantsina kui ka täidetuna, on tegelikult välja löödud punkt. Need. "Lööbimine" on tugevam tegevus kui "üle värvimine".

See on igati loogiline, sest punktsiooniga märgime punktid, mis mõjutavad funktsiooni märki, kuid ise vastuses ei osale. Ja kui mingil hetkel number lakkab meile sobimast (näiteks ei kuulu see ODZ-i), kustutame selle kuni ülesande lõpuni kaalumisest.

Üldiselt lõpetage filosofeerimine. Järjestame märgid ja värvime need intervallid, mis on märgitud miinusmärgiga:



Vastus. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Ja jälle tahtsin juhtida teie tähelepanu sellele võrrandile:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Veel kord: ärge kunagi avage sellistes võrrandites sulgusid! Sa teed selle enda jaoks ainult raskemaks. Pidage meeles: korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Järelikult see võrrand lihtsalt “lahkub” mitmeks väiksemaks, mille me eelmises ülesandes lahendasime.

Võttes arvesse juurte paljusust

Eelnevatest ülesannetest on hästi näha, et just mitteranged ebavõrdsused on kõige keerulisemad, sest nendes tuleb jälgida täidetud punkte.

Kuid maailmas on veel suurem kurjus – need on ebavõrdsuse mitmekordsed juured. Siin on juba vaja järgida mitte mingeid täidetud punkte seal - siin ei pruugi ebavõrdsusmärk neid samu punkte läbides järsku muutuda.

Me pole selles õppetükis veel midagi sellist käsitlenud (kuigi intervallmeetodi puhul tuli sageli ette sarnast probleemi). Nii et tutvustame uut määratlust:

Definitsioon. Võrrandi $((\left(x-a \right))^(n))=0$ juur on võrdne $x=a$ ja seda nimetatakse $n$-nda kordsuse juureks.

Tegelikult me ​​ei ole eriti huvitatud täpne väärtus paljusus. Oluline on vaid see, kas see arv $n$ on paaris või paaritu. Sest:

1. Kui $x=a$ on paariskordsuse juur, siis funktsiooni märk sellest läbides ei muutu;
2. Ja vastupidi, kui $x=a$ on paaritu kordsuse juur, siis funktsiooni märk muutub.

Paaritu paljususe juure erijuhtumiks on kõik selles õppetunnis käsitletud eelnevad probleemid: seal on kordsus kõikjal võrdne ühega.

Ja edasi. Enne kui hakkame probleeme lahendama, juhin teie tähelepanu ühele peensusele, mis tundub kogenud õpilasele enesestmõistetav, kuid ajab paljud algajad uimasesse. Nimelt:

Korrutusjuur $n$ esineb ainult siis, kui kogu avaldis tõstetakse sellele astmele: $((\left(x-a \right))^(n))$, mitte $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Veelkord: sulg $((\left(x-a \right))^(n))$ annab meile paljususe $n$ juure $x=a$, aga sulg $\left(((x)^( n)) -a \right)$ või, nagu sageli juhtub, $(a-((x)^(n)))$ annab meile esimese kordsuse juure (või kaks juurt, kui $n$ on paaris) , olenemata sellest, mis võrdub $n$-ga.

Võrdlema:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Paremnool x=3\vasak(5k \parem)\]

Siin on kõik selge: kogu sulg tõsteti viienda astmeni, nii et väljundis saime viienda astme juure. Ja nüüd:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Paremnool ((x)^(2))=4\Paremnool x=\pm 2\]

Saime kaks juurt, kuid mõlemal on esimene paljusus. Või siin on veel üks:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Paremnool ((x)^(10))=1024\Paremnool x=\pm 2\]

Ja ärge laske end segadusse ajada kümnendast astmest. Peaasi, et 10 on paarisarv, nii et meil on väljundis kaks juurt ja mõlemal on jälle esimene kordsus.

Üldiselt olge ettevaatlik: paljusus ilmneb ainult siis, kui aste kehtib kogu suule, mitte ainult muutujale.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \parem))^(5)))\ge 0\]

Lahendus. Proovime seda lahendada alternatiivne viis- ülemineku kaudu konkreetselt tootele:

\[\left\( \begin(joona) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(joonda )\paremal.\]

Esimese ebavõrdsusega käsitleme intervallmeetodit:

\[\begin(joona) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \parem)^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Paremnool x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Paremnool x=6\vasak(3k \parem); \\ & x+4=0\Paremnool x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Paremnool x=-7\vasak(5k \parem). \\ \end(joonda)\]

Lisaks lahendame teise ebavõrdsuse. Tegelikult oleme selle juba lahendanud, kuid et arvustajad lahenduses vigu ei leiaks, on parem see uuesti lahendada:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Paremnool x\ne -7\]

Pange tähele, et viimases võrratuses pole kordusi. Tõepoolest: mis vahet sellel on, mitu korda numbrireal punkti $x=-7$ maha kriipsutada? Vähemalt üks, vähemalt viis korda - tulemus on sama: torgatud punkt.

Märgime kõik, mis numbrireale saime:



Nagu ma ütlesin, punkt $x=-7$ lüüakse lõpuks välja. Korrutised on järjestatud lähtudes võrratuse lahendusest intervallmeetodil.

Jääb alles panna sildid:



Kuna punkt $x=0$ on paariskordsuse juur, siis märk sellest läbides ei muutu. Ülejäänud punktid on paaritu kordusega ja nendega on kõik lihtne.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Pöörake uuesti tähelepanu $x=0$. Ühtlase paljususe tõttu tekib huvitav efekt: kõik, mis jääb sellest vasakule, värvitakse üle, paremale - ka ja punkt ise on täielikult üle värvitud.

Seetõttu ei pea seda vastuse salvestamisel eraldama. Need. ei pea kirjutama midagi sellist nagu $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (kuigi formaalselt oleks selline vastus ka õige). Selle asemel kirjutame kohe $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Sellised mõjud on võimalikud ainult ühtlase paljususe juurte puhul. Ja järgmises ülesandes kohtame selle efekti vastupidist "ilmingut". Valmis?

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Lahendus. Seekord järgime standardskeemi. Seadke lugeja nulliks:

\[\begin(joona) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Paremnool ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Paremnool ((x)_(2))=4. \\ \end(joonda)\]

Ja nimetaja:

\[\begin(joona) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Paremnool x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Paremnool x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(joonda)\]

Kuna lahendame mitteranget võrratust kujul $f\left(x \right)\ge 0$, lõigatakse nimetaja juured (millel on tärnid) välja ja lugejast pärinevad värvitakse üle. .



Korraldame sildid ja silitame "plussiga" märgitud alasid:

Punkt $x=3$ on isoleeritud. See on osa vastusest

Enne lõpliku vastuse kirja panemist vaadake pilti hoolikalt:

1. Punkt $x=1$ on paariskorrutisega, kuid ise on punkteeritud. Seetõttu tuleb see vastuses eraldada: peate kirjutama $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, mitte $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Punkt $x=3$ on samuti paariskorrutisega ja varjutatud. Märkide paigutus viitab sellele, et punkt ise meile sobib, aga samm vasakule ja paremale - ja leiame end piirkonnast, mis meile kindlasti ei sobi. Selliseid punkte nimetatakse isoleeritud ja need kirjutatakse $x\in \left\(3 \right\)$.

Kombineerime kõik saadud tükid ühiseks komplektiks ja kirjutame vastuse üles.

Vastus: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definitsioon. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab leida kõik selle lahendused või tõestage, et see komplekt on tühi.

Näib: mis siin arusaamatut saab olla? Jah, tõsiasi on see, et komplekte saab määrata erineval viisil. Kirjutame viimase ülesande vastuse ümber:

Me loeme sõna otseses mõttes seda, mis on kirjutatud. Muutuja "x" kuulub teatud hulka, mis saadakse nelja eraldi hulga ühendusega (sümbol "U"):

• Intervall $\left(-\infty ;1 \right)$, mis sõna-sõnalt tähendab "kõik arvud, mis on väiksemad kui üks, kuid mitte üks ise";
• Intervall on $\left(1;2 \right)$, st. "kõik arvud vahemikus 1 kuni 2, kuid mitte arvud 1 ja 2 ise";
• Komplekt $\left\( 3 \right\)$, mis koosneb ühest arvust - kolm;
• Intervall $\left[ 4;5 \right)$ sisaldab kõiki numbreid vahemikus 4 kuni 5, pluss 4 ise, kuid mitte 5.

Kolmas punkt pakub siin huvi. Erinevalt intervallidest, mis defineerivad lõpmatuid arvude hulki ja tähistavad ainult nende hulkade piire, määratleb hulk $\left\(3 \right\)$ loendamisega täpselt ühe arvu.

Et mõista, et loetleme komplektis sisalduvad konkreetsed numbrid (ja mitte ei sea piire ega midagi muud), kasutatakse lokkis sulgusid. Näiteks märge $\left\( 1;2 \right\)$ tähendab täpselt "hulka, mis koosneb kahest arvust: 1 ja 2", kuid mitte segmenti 1 kuni 2. Ärge mingil juhul ajage neid mõisteid segamini. .

Mitmekordse liitmise reegel

Noh, tänase tunni lõpetuseks väike plekk Pavel Berdovilt. :)

Tähelepanelikud õpilased on ilmselt juba esitanud endale küsimuse: mis saab siis, kui lugejas ja nimetajas leitakse samad juured? Seega toimib järgmine reegel:

Lisatakse identsete juurte kordused. Alati. Isegi kui see juur esineb nii lugejas kui ka nimetajas.

Mõnikord on parem otsustada kui rääkida. Seetõttu lahendame järgmise probleemi:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \parem))\ge 0\]

\[\begin(joona) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(joonda)\]

Seni pole midagi erilist. Määra nimetaja nulliks:

\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Paremnool x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Paremnool x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(joonda)\]

Leitakse kaks identset juurt: $((x)_(1))=-2$ ja $x_(4)^(*)=-2$. Mõlemal on esimene kordsus. Seetõttu asendame need ühe juurega $x_(4)^(*)=-2$, kuid kordusega 1+1=2.

Lisaks on olemas ka identsed juured: $((x)_(2))=-4$ ja $x_(2)^(*)=-4$. Need on ka esimese kordsusega, seega jääb ainult $x_(2)^(*)=-4$ kordsusest 1+1=2.

Pange tähele: mõlemal juhul jätsime täpselt “väljalõigatud” juure ja “ülevärvitud” jätsime kaalumisest välja. Sest juba tunni alguses olime ühel meelel: kui punkt on korraga nii stantsitud kui ka üle värvitud, siis me loeme selle ikkagi auguliseks.

Selle tulemusena on meil neli juurt ja kõik need osutusid välja raiutuks:

\[\begin(joonda) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(joonda)\]

Märgime need arvureale, võttes arvesse paljusust:



Asetame sildid ja värvime üle meid huvitavad valdkonnad:



Kõik. Ei mingeid üksikuid punkte ja muid perversioone. Vastuse võid kirja panna.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

korrutamisreegel

Mõnikord tekib veelgi ebameeldivam olukord: mitme juurega võrrand tõstetakse ise teatud astmeni. See muudab kõigi algsete juurte kordusi.

Seda juhtub harva, mistõttu enamikul õpilastest puudub selliste probleemide lahendamise kogemus. Ja siin kehtib reegel:

Kui võrrand tõsta astmeni $n$, suureneb ka kõigi selle juurte kordsus $n$ võrra.

Teisisõnu, astmeni tõstmise tulemuseks on korduste korrutamine sama astmega. Võtame selle reegli näitena:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Lahendus. Seadke lugeja nulliks:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Esimese kordajaga on kõik selge: $x=0$. Ja siit algavad probleemid:

\[\begin(joona) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(joonda)\]

Nagu näete, on võrrandil $((x)^(2))-6x+9=0$ teise kordsuse kordumatu juur: $x=3$. Seejärel ruudustatakse kogu võrrand. Seetõttu on juure kordsus $2\cdot 2=4$, mille me lõpuks kirja panime.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Paremnool x=4\vasak(5k \parem)\]

Ka nimetajaga pole probleemi:

\[\begin(joonda) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Paremnool x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Paremnool x_(2)^(*)=1\vasak(2k \parem). \\ \end(joonda)\]

Kokku saime viis punkti: kaks välja löödud ja kolm täidetud. Lugejas ja nimetajas pole kattuvaid juuri, seega märgime need lihtsalt numbrireale:



Korraldame märgid paljusid arvesse võttes ja värvime üle meid huvitavad intervallid:

Jälle üks isoleeritud punkt ja üks torgatud

Ühtlase paljususe juurte tõttu saime jälle paar “mittestandardset” elementi. See on $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, mitte $x\in \left[ 0;2 \right)$ ja ka isoleeritud punkt $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Vastus. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Nagu näete, pole kõik nii keeruline. Peaasi on tähelepanelikkus. Viimane osa Sellest õppetunnist on pühendatud transformatsioonid – need, millest me alguses rääkisime.

Eelkonversioonid

Selles jaotises käsitletavad ebavõrdsused ei ole keerulised. Erinevalt eelmistest ülesannetest tuleb siin aga rakendada oskusi ratsionaalsete murdude teooriast - faktoriseerimine ja taandamine ühise nimetajani.

Arutasime seda küsimust üksikasjalikult tänase õppetunni alguses. Kui te pole kindel, et saate aru, millest jutt, soovitan tungivalt minna tagasi ja korrata. Sest pole mõtet ebavõrdsuse lahendamise meetodeid toppida, kui murdude teisendamises "ujuda".

IN kodutöö Muide, sarnaseid ülesandeid tuleb ka palju. Need on paigutatud eraldi alajaotisesse. Ja sealt leiate väga ebatriviaalseid näiteid. Aga see jääb kodutöösse, aga nüüd analüüsime paari sellist ebavõrdsust.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Lahendus. Liigutades kõike vasakule:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Vähendame ühise nimetajani, avame sulud, anname lugejas sarnased terminid:

\[\begin(joona) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ parem))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(joonda)\]

Nüüd on meil klassikaline murdratsionaalne ebavõrdsus, mille lahendamine pole enam keeruline. Teen ettepaneku see lahendada alternatiivne meetod— intervallide meetodi abil:

\[\begin(joonda) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(joonda)\]

Ärge unustage nimetajast tulenevat piirangut:

Märgime numbrireale kõik numbrid ja piirangud:

Kõigil juurtel on esimene kordsus. Pole probleemi. Me lihtsalt asetame sildid ja värvime üle vajalikud alad:



See on kõik. Vastuse võid kirja panna.

Vastus. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

See oli muidugi väga lihtne näide. Nii et vaatame nüüd probleemi lähemalt. Ja muide, selle ülesande tase on üsna kooskõlas sõltumatu ja kontrolltööd sel teemal 8. klassis.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3(x)^(2))-5x+2)\]

Lahendus. Liigutades kõike vasakule:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3(x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Enne mõlema murru ühise nimetaja ühendamist jagame need nimetajad teguriteks. Järsku tulevad samad sulgud välja? Esimese nimetajaga on see lihtne:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Teine on veidi keerulisem. Võite vabalt lisada konstantse kordaja sulgu, kus murd leiti. Pidage meeles: algsel polünoomil olid täisarvu koefitsiendid, seega on väga tõenäoline, et faktorisatsioonil on ka täisarvu koefitsiendid (tegelikult on see alati olemas, välja arvatud juhul, kui diskriminant on irratsionaalne).

\[\begin(joona) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end (joonda)\]

Nagu näeme, on olemas ühine sulg: $\left(x-1\right)$. Pöördume tagasi ebavõrdsuse juurde ja toome mõlemad murrud ühise nimetaja juurde:

\[\begin(joona) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ vasak(3x-2\parem))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(joonda)\]

Määra nimetaja nulliks:

\[\begin(joona) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( joondada)\]

Pole paljusid ega kattuvaid juuri. Märgime sirgele neli numbrit:

Asetame sildid:



Kirjutame vastuse üles.

Vastus: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ õige) $.

Matemaatilise ebavõrdsuse mõiste tekkis iidsetel aegadel. See juhtus siis, kui ürginimesel tekkis vajadus loendamise ja sellega tegutsemise järele erinevaid esemeid võrrelda nende arvu ja suurust. Juba iidsetest aegadest on ebavõrdsust oma arutlustes kasutanud Archimedes, Euclid ja teised kuulsad teadlased: matemaatikud, astronoomid, disainerid ja filosoofid.

Kuid reeglina kasutasid nad oma töödes verbaalset terminoloogiat. Esimest korda leiutati ja rakendati Inglismaal tänapäevased märgid mõistete "rohkem" ja "vähem" tähistamiseks sellisel kujul, mida iga koolilaps tänapäeval tunneb. Matemaatik Thomas Harriot osutas järeltulijatele sellist teenust. Ja see juhtus umbes neli sajandit tagasi.

Ebavõrdsust on mitut tüüpi. Nende hulgas on lihtsad, mis sisaldavad ühte, kahte või enamat muutujat, ruut-, murd-, komplekssuhteid ja isegi avaldiste süsteemiga. Ja ebavõrdsuse lahendamise mõistmiseks on kõige parem kasutada erinevaid näiteid.

Ärge jätke rongi maha

Esiteks kujutage ette, et elanik maal kiirustab raudteejaama, mis asub tema külast 20 km kaugusel. Et kell 11 väljuvast rongist mitte maha jääda, peab ta õigel ajal majast lahkuma. Mis ajal peaks seda tegema, kui tema liikumiskiirus on 5 km/h? Selle praktilise ülesande lahendus on taandatud avaldise tingimuste täitmisele: 5 (11 - X) ≥ 20, kus X on väljumisaeg.

See on arusaadav, sest vahemaa, mille külaelanik peab jaamani läbima, võrdub liikumiskiiruse korrutisega teel oldud tundide arvuga. tule varasem mees võib-olla, aga ta ei tohi hiljaks jääda. Teades, kuidas ebavõrdsust lahendada, ja rakendades oma oskusi praktikas, saame lõpuks X ≤ 7, mis on vastus. See tähendab, et külamees peaks minema hommikul kell seitse või veidi varem raudteejaama.

Numbrivahed koordinaatide sirgel

Nüüd uurime, kuidas kaardistada kirjeldatud seoseid ülaltoodud ebavõrdsusega, mis ei ole range. See tähendab, et muutuja väärtus võib olla väiksem kui 7 ja võib olla võrdne selle arvuga. Toome teisi näiteid. Selleks kaaluge hoolikalt allolevat nelja joonist.



Esimesel neist näete intervalli graafilist esitust [-7; 7]. See koosneb numbrite komplektist, mis asuvad koordinaatjoonel ja asuvad vahemikus -7 kuni 7, sealhulgas piirid. Sel juhul kuvatakse graafiku punktid täidetud ringidena ja intervall salvestatakse kasutades

Teine joonis on range ebavõrdsuse graafiline kujutis. Sel juhul ei kuulu määratud komplekti piirinumbrid -7 ja 7, mis on näidatud läbitorkatud (täitmata) punktidega. Ja intervall ise salvestatakse sulgudes järgmiselt: (-7; 7).

See tähendab, et olles välja mõelnud, kuidas seda tüüpi ebavõrdsust lahendada ja saanud sarnase vastuse, võime järeldada, et see koosneb arvudest, mis jäävad vaadeldavate piiride vahele, välja arvatud -7 ja 7. Järgmised kaks juhtumit tuleb hinnata sarnasel viisil. Kolmas joonis näitab tühikute kujutisi (-∞; -7] U )

Loe ka...

• Tahkeküttekatelde korstna kõrgus ja läbimõõt Eramu katla korstna arvutamine
• Kuidas õigesti katuse aurutõket teha: aurutõkkeseadme tehnoloogilised põhimõtted
• Gaasikatla korsten: seadme omadused ja nõuded gaasikatel Mis toru läbimõõtu on vaja gaasikatla jaoks
• Mansardkatused: tüübid ja disainifunktsioonid