Et edukalt lahendada trigonomeetrilised võrrandid mugav kasutada vähendamise meetod varem lahendatud probleemidele. Vaatame, mis on selle meetodi olemus?

Igas pakutud ülesandes peate nägema varem lahendatud ülesannet ja seejärel proovima järjestikuste samaväärsete teisenduste abil taandada teile antud ülesanne lihtsamaks.

Nii et trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel moodustavad nad tavaliselt mingi lõpliku ekvivalentsete võrrandite jada, mille viimane lüli on ilmse lahendiga võrrand. Oluline on vaid meeles pidada, et kui pole moodustatud lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskusi, on lahendus rohkem keerulised võrrandid oleks raske ja ebaefektiivne.

Lisaks ei tohiks trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel kunagi unustada mitme lahendi olemasolu võimalust.

Näide 1. Leia juurte arv cos võrrandid x = -1/2 intervallil .

Lahendus:

ma viisin. Joonistame funktsioonide y = cos x ja y = -1/2 graafikud ning leiame nende ühispunktide arvu intervallil (joonis 1).

Kuna funktsioonide graafikutel on intervallil kaks ühist punkti, sisaldab võrrand sellel intervallil kahte juurt.

II viis. Kasutades trigonomeetrilist ringi (joonis 2), saame teada punktide arvu, mis kuuluvad intervalli, milles cos x = -1/2. Jooniselt on näha, et võrrandil on kaks juurt.

III viis. Juurevalemi kasutamine trigonomeetriline võrrand, lahendame võrrandi cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k on täisarv (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k on täisarv (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k on täisarv (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k on täisarv (k ∈ Z).

Intervalli kuuluvad juured 2π/3 ja -2π/3 + 2π, k on täisarv. Seega on võrrandil antud intervallil kaks juurt.

Vastus: 2.

Edaspidi lahendatakse trigonomeetrilised võrrandid ühe pakutud meetodi abil, mis paljudel juhtudel ei välista ka teiste meetodite kasutamist.

Näide 2. Leidke võrrandi tg (x + π/4) = 1 lahendite arv intervallil [-2π; 2π].

Lahendus:

Kasutades trigonomeetrilise võrrandi juurte valemit, saame:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k on täisarv (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k on täisarv (k € Z);

x = πk, k on täisarv (k € Z);

Intervall [-2π; 2π] kuuluvad arvude hulka -2π; -π; 0; π; 2π. Seega on võrrandil antud intervallil viis juurt.

Vastus: 5.

Näide 3. Leia võrrandi cos 2 x + sin x cos x = 1 juurte arv intervallil [-π; π].

Lahendus:

Kuna 1 = sin 2 x + cos 2 x (põhiline trigonomeetriline identsus), on algne võrrand:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Korrutis on võrdne nulliga, mis tähendab, et vähemalt üks teguritest peab olema võrdne nulliga, seega:

sin x \u003d 0 või sin x - cos x \u003d 0.

Kuna muutuja väärtus, mille juures cos x = 0, ei ole teise võrrandi juured (sama arvu siinus ja koosinus ei saa olla korraga võrdsed nulliga), siis jagame teise võrrandi mõlemad osad. võrrand cos x:

sin x = 0 või sin x / cos x - 1 = 0.

Teises võrrandis kasutame asjaolu, et tg x = sin x / cos x, siis:

sin x = 0 või tg x = 1. Kasutades valemeid, saame:

x = πk või x = π/4 + πk, k on täisarv (k ∈ Z).

Esimesest juurte seeriast kuni intervallini [-π; π] kuuluvad arvudesse -π; 0; π. Teisest seeriast: (π/4 – π) ja π/4.

Seega kuuluvad algvõrrandi viis juurt intervalli [-π; π].

Vastus: 5.

Näide 4. Leidke võrrandi tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 juurte summa vahemikus [-π; 1,1π].

Lahendus:

Kirjutame võrrandi ümber järgmisel kujul:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ja tehke muudatus.

Olgu tg x + сtgx = a. Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Laiendame sulgusid:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Kuna tg x сtgx = 1, siis tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, mis tähendab

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2–2.

Nüüd näeb algne võrrand välja selline:

a 2-2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta teoreemi kasutades saame, et a = -1 või a = -2.

Pöördasenduse tegemisel on meil:

tg x + сtgx = -1 või tg x + сtgx = -2. Lahendame saadud võrrandid.

tgx + 1/tgx = -1 või tgx + 1/tgx = -2.

Kahe vastastikku vastastikuse arvu omaduse põhjal teeme kindlaks, et esimesel võrrandil pole juuri ja teisest võrrandist on meil:

tg x = -1, st. x = -π/4 + πk, k on täisarv (k ∈ Z).

Intervall [-π; 1,1π] juured kuuluvad: -π/4; -π/4 + π. Nende summa:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Vastus: π/2.

Näide 5. Leia võrrandi sin 3x + sin x = sin 2x juurte aritmeetiline keskmine intervallil [-π; 0,5π].

Lahendus:

Kasutame valemit sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), siis

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x ja võrrand muutub

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Võtame sulgudest välja ühisteguri sin 2x

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Lahendame saadud võrrandi:

sin 2x \u003d 0 või 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 või cos x = 1/2;

2x = πk või x = ±π/3 + 2πk, k on täisarv (k ∈ Z).

Seega on meil juured

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k on täisarv (k ∈ Z).

Intervall [-π; 0,5π] kuuluvad juurte hulka -π; -π/2; 0; π/2 (esimesest juurte seeriast); π/3 (teisest seeriast); -π/3 (kolmandast seeriast). Nende aritmeetiline keskmine on:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Vastus: -π/6.

Näide 6. Leia võrrandi sin x + cos x = 0 juurte arv intervallil [-1,25π; 2π].

Lahendus:

See võrrand on esimese astme homogeenne võrrand. Jagage selle mõlemad osad cosx-iga (muutuja väärtus, mille juures cos x = 0, ei ole selle võrrandi juured, kuna sama arvu siinus ja koosinus ei saa olla samal ajal võrdsed nulliga). Algne võrrand näeb välja selline:

x = -π/4 + πk, k on täisarv (k ∈ Z).

Vahe [-1,25π; 2π] juured on -π/4; (-π/4 + π); ja (-π/4 + 2π).

Seega kuuluvad antud intervalli kolm võrrandi juurt.

Vastus: 3.

Õppige tegema kõige olulisemat - esitama selgelt probleemi lahendamise kava ja siis on teie õlal mis tahes trigonomeetriline võrrand.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks -.

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid üritusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmeanalüüs ja erinevaid uuringuid meie pakutavate teenuste täiustamiseks ja teile meie teenuste kohta soovituste andmiseks.
• Kui osalete auhinnal, võistlusel või sarnasel stiimulil, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuvaidlused ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riiklike organite avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Võime avaldada teie kohta teavet ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas administratiivsed, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Samuti võime kasutada isikuandmeid sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnal, võistlusel või sarnasel stiimulil, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas administratiivsed, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

a) Lahenda võrrand: .

b) Leidke selle võrrandi juured, intervalli kuuluv.

Probleemi lahendus

Selles tunnis on näide trigonomeetrilise võrrandi lahendamisest, mida saab edukalt kasutada matemaatika eksamiks valmistumisel. Eelkõige C1 tüüpi probleemide lahendamisel see otsus muutub asjakohaseks.

Lahenduse käigus teisendatakse võrrandi vasaku poole trigonomeetriline funktsioon topeltargumendi siinuse valemi abil. Paremal pool olev koosinusfunktsioon on samuti kirjutatud siinusfunktsioonina, mille argumendiks on lihtsustatud. Sel juhul märgi ees saanud trigonomeetriline funktsioon muutub vastupidiseks. Lisaks kantakse kõik võrrandi liikmed selle vasakusse serva, kus tehakse kahvlid ühine kordaja. Selle tulemusena esitatakse saadud võrrand kahe teguri korrutisena. Iga tegur seatakse omakorda võrdseks nulliga, mis võimaldab meil määrata võrrandi juured. Seejärel määratakse antud intervallile kuuluva võrrandi juured. Pöörete meetodil on konstrueeritud ühikringil tähistatud pööre antud lõigu vasakust piirist paremale. Ühikringi leitud juured ühendatakse segmentidega selle keskpunktiga ja seejärel määratakse punktid, kus need segmendid mähisega ristuvad. Need ristumispunktid on vastuseks probleemi osale "b".

Kohustuslikud miinimumteadmised

sin x \u003d a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
või
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, kZ
sin x = -1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x

Kohustuslikud miinimumteadmised

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = -1
x = + 2 k, k Z
y
x
x

Kohustuslikud miinimumteadmised

tg x = a, a R
x = arctg a + n, n Z
ctg x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Taandage võrrand üheks funktsiooniks
Vähenda ühele argumendile
Mõned lahendusmeetodid
trigonomeetrilised võrrandid
Trigonomeetriliste valemite rakendamine
Lühendatud korrutamisvalemite kasutamine
Faktoriseerimine
Vähendamine kuni ruutvõrrand sin x, cos x, tg x suhtes
Abiargumendi sisseviimisega
Jagades esimese astme homogeense võrrandi mõlemad pooled
(asin x +bcosx = 0) kuni cos x
Jagades teise astme homogeense võrrandi mõlemad pooled
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) kuni cos2 x

Suuharjutused Arvuta

arcsin½
arcsin (-√2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
arctan √3
arctan (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(kasutades trigonomeetrilist ringi)
cos 2x \u003d ½, x [- / 2; 3/2]
2x = ± kaared ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
Valime juured trigonomeetrilise ringi abil
Vastus: - /6; /6; 5/6; 7/6

Erinevad juurevaliku meetodid

Leia võrrandi juured, mis kuuluvad antud intervalli
sin 3x \u003d √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
Valime juured, loetledes k väärtused:
k = 0, x = /9 - kuulub intervalli
k = 1, x = - /9 + /3 = 2 /9 - kuulub intervalli
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 - ei kuulu intervalli
k = - 1, x = - /9 - /3 = - 4 /9 - kuulub intervalli
k = - 2, x = /9 - 2 /3 = - 5 /9 - ei kuulu intervalli
Vastus: -4/9; /9; 2/9

Erinevad juurevaliku meetodid

Leia võrrandi juured, mis kuuluvad antud intervalli
(kasutades ebavõrdsust)
punakaspruun 3x = -1, x (- /2;)
3x = - /4 + n, n Z
x = - /12 + n/3, n Z
Valime juured ebavõrdsuse abil:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; üks; 2; 3
n \u003d - 1, x \u003d - / 12 - / 3 \u003d - 5/12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = - /12 + /3 = /4
n \u003d 2, x \u003d - / 12 + 2/3 \u003d 7/12
n \u003d 3, x \u003d - / 12 + \u003d 11/12
Vastus: - 5/12; - /12; /neli; 7/12; 11/12

10. Erinevad juurevaliku meetodid

Leia võrrandi juured, mis kuuluvad antud intervalli
(kasutades diagrammi)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = kaared (– √2/2) + 2n, nZ
x = 3/4 + 2n, nZ
Valime juured graafiku abil:
x \u003d - / 2 - / 4 \u003d - 3/4; x = - - /4 = -5 /4
Vastus: 5/4; 3/4

11. 1. Lahenda võrrand 72cosx = 49sin2x ja märgi selle juured lõigul [; 5/2]

1. Lahendage võrrand 72cosx = 49sin2x
ja märgi selle juured segmendile [ ; 5/2]
Lahendame võrrandi:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cosx(1–2sinx) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + k, k Z
või
1-2 sinx = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
Valime juured kasutades
trigonomeetriline ring:
x = 2 + /6 = 13 /6
Vastus:
a) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
b) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. Lahenda võrrand 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0 Leia selle juured lõigul

2. Lahendage võrrand 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
Leidke segmendil selle juured
4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3/2 - x) +1 = 0,
4cos2x - 8 sin x +1 = 0,
4 - 4sin2 x - 8sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x - 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = -2,5
või
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. Valime segmendi juured (graafikute abil)

Valime segmendi juured
(kasutades diagramme)
sin x = ½
Joonistame funktsioonid y = sin x ja y = ½
x = 4 + /6 = 25 /6
Vastus: a) (-1)k /6 + k, k Z; b) 25/6

14. 3. Lahenda võrrand Leia lõigul selle juured

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
Kui cos2 2x = 0, siis sin2 2x = 0, mis on võimatu, seega
cos2 2x 0 ja võrrandi mõlemad pooled saab jagada cos2 2x-ga.
tg22x + 3–4 tg2x = 0,
tg22x – 4tg 2x + 3 = 0,
tg 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
või
tg 2x = 3,
2x = arctg 3 + k, k Z
x \u003d ½ arctaan 3 + k / 2, k Z

15.

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z või x = ½ arctaan 3 + k/2, k Z
Alates 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
on lahendus
Alates 0< /8 < /4 < 1,значит /8
on ka lahendus
Muud lahendused ei sobi
vahe, sest nad
saadakse arvudest ½ arctan 3 ja /8
lisades arvud, mis on /2 kordsed.
Vastus: a) /8 + n/2, n Z ; ½ arctaan 3 + k/2, k Z
b) /8; ½ arctaani 3

16. 4. Lahenda võrrand log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2 Leia selle juured lõigul

4. Lahendage võrrand log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2
Leidke segmendil selle juured
Lahendame võrrandi:
log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x - sin 2x + 25 > 0,
cos x - sin 2x + 25 \u003d 25, 25\u003e 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1–2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
või
1-2 sinx = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

Valime segmendil juured
Valime segmendi juured:
1) x = /2 + n, n Z
2/2 + n 7/2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 - /6 = 17 /6
Vastus: a) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
b) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. Lahenda võrrand 1/sin2x + 1/sin x = 2 Leia selle juured lõigul [-5/2; -3/2]

5. Lahendage võrrand 1/sin2x + 1/sin x = 2
Leia selle juured intervallilt [-5/2; -3/2]
Lahendame võrrandi:
1/sin2x + 1/sinx = 2
x k
Muudatus 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1 = – 2, t2 = 1
1/sin x = -2,
sin x \u003d - ½,
x = - /6 + 2 n, n Z
või
x = – 5/6 + 2n, nZ
1/sin x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2n, n Z
See juurte seeria on välistatud, sest -150º+360ºn vahemikust väljas
seatud intervall [-450º; -270º]

19.

Jätkame segmendi juurte valimist
Kaaluge ülejäänud juurte seeriat ja valige juured
intervallil [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x \u003d - / 6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1, n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Vastus: a) /2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, kZ
b) -13/6; -3/2

20. 6. Lahenda võrrand |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Leia selle juured lõigul [-1; kaheksa]

Lahendame võrrandi
|sinx|/sinx + 2 = 2cosx
1)Kui sin x >0, siis |sin x| =sin x
Võrrand saab kujul:
2 cosx=3,
cos x \u003d 1,5 - sellel pole juuri
2) Kui sin x<0, то |sin x| =-sin x
ja võrrand saab kuju
2cosx=1, cosx=1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Arvestades, et patt x< 0, то
üks komplekt vastuseid jäänud
x = - π/3 +2πk, k Z
Teeme valiku juurtest peale
segment [-1; kaheksa]
k=0, x= - π/3, - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 ei kuulu selle hulka
segment
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 pi/3 [-1; kaheksa]
k = 2, x = - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 ei kuulu siia
segment.
Vastus: a) - π/3 +2πk, k Z
b) 5
π/3

21. 7. Lahenda võrrand 4sin3x=3cos(x- π/2) Leia selle juured intervallilt

8. Lahendage võrrand √1-sin2x= sin x
Leidke selle juured intervallist
Lahendame võrrandi √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1-sin2x=sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sinx≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. Teostame lõigul juurte valiku

Valime segmendil juured
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y=sin x ja y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Vastus: a) (-1)k /4 + k, k Z ;b) 11 /4

26. 9. Lahenda võrrand (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Leia selle juured vahemikus [-5; -7/2]

9. Lahendage võrrand (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
Leia selle juured intervallist [-5 ; -7/2]
Lahendame võrrandi
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x + sin x) = 0,
sin x=0, x= n, n Z
või
cos x+ sin x=0 | : cosx,
tg x= -1, x= - /4 + n, n Z
ODZ-i arvesse võttes
x = n, nZ, x = +2 n, nZ;
x= - /4 + n, n Z,
x = 3/4 + 2n, nZ

27. Valige antud segmendi juured

Võtame juured antud
segment [-5 ; -7/2]
x = +2 n, nZ;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x = -6 = -5
x = 3/4 + 2n, nZ
-5 ≤ 3 /4 + 2n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, sellist pole
täisarv n.
Vastus: a) +2 n, n Z ;
3/4 + 2n, nZ;
b) -5.

28. 10. Lahenda võrrand 2sin2x =4cos x –sinx+1 Leia selle juured vahemikus [/2; 3/2]

10. Lahendage võrrand 2sin2x \u003d 4cos x -sinx + 1
Leia selle juured intervallilt [ /2; 3/2]
Lahendame võrrandi
2sin2x = 4cosx - sinx+1
2sin2x \u003d 4cos x - sinx + 1,
4 sinx∙cos x - 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x - 1) + (sin x - 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
või
4cos x +1 = 0, cos x = -0,25
x = ±(-arccos(0,25)) + 2n,nZ
Kirjutame selle võrrandi juured erinevalt
x = - arccos(0,25) + 2n,
x = -(- arccos(0,25)) + 2n, nZ

29. Valige ringi abil juured

x = /2+2 n, nZ, x = /2;
x = -arccos(0,25)+2n,
x \u003d - (-arccos (0,25)) +2 n, n Z,
x = - arccos(0,25),
x = + arccos(0,25)
Vastus: a) /2+2n,
-arccos(0,25)+2n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
b) /2;
- arccos(0,25); + arccos (0,25)

Loe ka...

• Lapse areng: beebi esimene samm - kuidas õpetada kõndima
• Sünnitusabi-günekoloogid "kardavad" aspiriini
• Millises vanuses hakkavad lapsed istuma
• Mitmest kuust alates lõigatakse esimesi hambaid ja millises järjekorras