Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли знайдена область допустимих значень, залишається перетнути її з рішенням раціональної нерівності- І відповідь готовий.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифму:

Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:

Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:

1. Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
2. Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схемарозв'язання логарифмічних нерівностей наступна:

1. Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
2. Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів;
3. Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Потім – нулі знаменника:

x − 1 = 0;
x = 1.

Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меньше нуля. Маємо:

(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Отримали дві множини:

1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).

Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому обираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.

Часто, при розв'язанні логарифмічних нерівностей зустрічаються завдання зі змінною основою логарифму. Так, нерівність виду

є стандартною шкільною нерівністю. Як правило, для його вирішення застосовується перехід до рівносильної сукупності систем:

Недоліком цього є необхідність вирішення семи нерівностей, крім двох систем і однієї сукупності. Вже при цих квадратичних функціях рішення сукупності може зажадати багато часу.

Можна запропонувати альтернативний, менш трудомісткий спосіб розв'язання цієї стандартної нерівності. Для цього врахуємо таку теорему.

Теорема 1. Нехай безперервна зростаюча функція на множині X. Тоді цьому множині знак збільшення функції збігатися зі знаком збільшення аргументу, тобто. , де .

Примітка: якщо безперервна спадна функція на множині X, то .

Повернемося до нерівності. Перейдемо до десяткового логарифму (можна переходити до будь-якого з постійною основою більше одиниці).

Тепер можна скористатися теоремою, помітивши в чисельнику збільшення функцій і в знаменнику. Таким чином, вірно

В результаті кількість обчислень, що призводять до відповіді, зменшується приблизно вдвічі, що заощаджує не тільки час, а й дозволяє потенційно зробити менше арифметичних помилок та помилок “по неуважності”.

приклад 1.

Порівнюючи з (1) знаходимо , , .

Переходячи до (2) матимемо:

приклад 2.

Порівнюючи з (1) знаходимо , , .

Переходячи до (2) матимемо:

приклад 3.

Оскільки ліва частина нерівності – зростаюча функція при і , то відповіддю буде безліч.

Безліч прикладів, в яких можна застосовувати терему 1, може бути легко розширено, якщо врахувати терему 2.

Нехай на безлічі Xвизначено функції , , , і цьому безлічі знаки і збігаються, тобто. тоді буде справедливо.

приклад 4.

Приклад 5.

При стандартному підході приклад вирішується за схемою: твір менший за нуль, коли співмножники різних знаків. Тобто. розглядається сукупність двох систем нерівностей, у яких, як було зазначено на початку, кожна нерівність розпадається ще на сім.

Якщо ж врахувати терему 2, то кожен із співмножників, враховуючи (2), можна замінити іншою функцією, що має той же знак на даному прикладом О.Д.З.

Метод заміни збільшення функції збільшенням аргументу з урахуванням теореми 2, виявляється дуже зручним при вирішенні типових завданьС3 ЄДІ.

Приклад 6.

Приклад 7.

. Позначимо. Отримаємо

. Зауважимо, що з заміни випливає: . Повертаючись до рівняння, отримаємо .

Приклад 8.

У теоремах, які ми використовуємо, немає обмеження на класи функцій. У цій статті, наприклад, теореми були застосовані до вирішення логарифмічних нерівностей. Декілька наступних прикладів продемонструють перспективність методу при вирішенні інших видів нерівностей.

Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.

Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємося, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.

Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.

Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.

Найпростіша логарифмічна нерівність.

Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.

Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.

Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей

Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.

Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.

Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.

Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.

Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,

Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.

Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, тому що в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.

Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності

Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:

• метод заміни множників;
• декомпозиції;
• метод раціоналізації.

Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.

Приклади рішення :

Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.

В результаті ми отримуємо нерівність:

Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємось, що з рішенням такого простого рівнянняу вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".

Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.

Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.

І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.

Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.

Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.

Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.

Рішення логарифмічних рівняньі нерівностей з різними підставамипередбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є і більше складний випадок. Розглянемо один із самих складних видівлогарифмічних нерівностей.

Логарифмічні нерівності зі змінною основою

Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.

Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.

Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.

Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.

Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.

У логарифмічні нерівностібагато нюансів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!